Unschärferelation in der QM

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1 Unscärfereltion in der QM Die Unscärfereltion gilt ls ein zentrles Merkml der QM. Die Ere, den ersten Pltz einzunemen, t sie ber n die Verscränkung verloren. Wir werden seen, dss die Beweise der Unscärfereltion rein mtemtisce Beweise sind. Friedelm Kuyers Lererfortbildung Oberviectc Der t die Unscärfereltion Nicts mit dem Mess- rozess,, Imulsübertrgungen oder dergleicen zu tun. Somit sollte es nict verwundern, dss bereits die klssiscen Wellen eine Unscärfereltion ben, die für die Prxis von großer Bedeutung ist.

2 Übersict. Unscärfe m Slt (qulittiv) Seite 3. Orts-Imuls-Unscärfe (exk Seite 5 3. Orts- und Imulsmessungen Unscärfen und Vertuscung der Reienfolge Seite 0 4. Allgemeine Unscärfereltion Seite 4

3 . Unscärfe m Slt (qulittiv) Wir nennen die Ortsunscärfe inter dem Slt. Durc die Beugung erlten die Elektronen eine vertikle Imulsunscärfe, die sic mit der Breite des nullten Beugungsmximums bscätzen lässt. Für ds erste Beugungsminimum gilt lut klssiscer Wellenteorie: sinα min λ de Broglie mit Plnck. Wirkungsquntum,05 0 orizontler Elektronenimuls 34 Js 3

4 sin α min λ mit orizont. Elektronenimuls Wir benötigen noc eine geometrisce Bezieung: min sin α tn α Δ x α min << sin α min min Δ x Δ x Dnc ist die Unscärfe der vertikle Imuls, mit dem die Teilcen ds erste Beugungsminimum erreicen. Δ x Δ Die beknnte Orts-Imuls-Unscärfereltion t die untere Grenze: x Δ x 4 π Also: Herleitung grob. Dfür ber ysiklisc nsculic. Welleneffekt. 4

5 . Orts-Imuls-Unscärfe (exk Nun stellen sic drei Frgen: ) Wie wird die Orts-Imuls-Unscärfereltion exkt bgeleitet? ) Gilt diese Unscärfereltion nur für den Slt oder uc für ndere Systeme? Und gibt es in der klssiscen Pysik womöglic Vergleicbres? 3) Gibt es in der QM uc für r ndere Pre von Observblen vergleicbre, nc unten begrenzte Unscärferodukte? Mit nderen Worten: Lssen sic uc ndere Observblen-Pre in der QM nict gleiczeitig scrf messen? In diesem zweiten Abscnitt wollen wir die erste und zweite Frge bentworten. 5

6 Zuerst die Frge: Wie ist denn eine Unscärfe genu definiert? Zur Einfürung betrcten wir N klssisce Messungen im Lbor. Wie erlten wir mit N zufällig (sttistisc) verteilten Messwerten ds beste Ergebnis? Mittelwert Stndrdbweicung x : : N N i x i N N ( xi x ) i x, x,... Die Stndrdbweicung (in der QM Unscärfe rfe) ist die Wurzel us der mittleren qudrtiscen Abweicung. Säter nloge Definition in der QM. x N Nur bei normlverteilten Messwerte liegen 68,3% der Messwerte im Intervll x ± und der wre, unbeknnte Wert liegt mit 68,3 Wrsceinkt. im Intervll x ± / N 6

7 Nun zur QM : Die komlexe Lösung L der Scrödinger dinger-gl. sei bsolut integrierbr: ( x, dx < Dnn lässt sic die Wellenfunktion ls kontinuierlice Überlgerung drstellen: ( x, π ~ (, e i x / d π mit : λ k Die Fouriertrnsformierte ~ (, t ) eißt Imulswellenfunktion. Inverse Fouriertrf.: ~ (, π ( x, e i x / dx Die Bedeutung der Orts- und Imulswellenfkt. wird durc Postulte festgelegt: ( x, dx Wkt., ds Teilcen in [ x, x + dx] zu finden. ~ (, d Wkt., den Imuls in [, + d ] zu finden. 7

8 x ( x x ) x ( x, dx ( ) ( x, dx Die qudrierte Stndrdbweicung des Ortes ist die mittlere qudrtisce Abweicung vom Erwrtungswert des Ortes. ( ) ~ (, d ( Δ) ~ (, d Ds zweite Integrl ist die mittlere qudrtisce Abweicung vom Erwrtungswert. Mit der Teorie der Fouriertrnsformtionen lässt sic rein mtemtisc beweisen, dss ds Unscärferodukt von Ort und Imuls eine untere Grenze t: Δ Die untere Grenze t Nicts mit der Pysik, Nicts mit Messrozessen, Imulsüberträgen,. zu tun. Sie ist eine innere mtemt. Eigenscft der Funktionen. Bei Gußverteilg. z.b. ist der Abstnd x Wendeunkt. Die Pysik kommt nur erst durc die Wrsceinlickeitsinterrettion der Wellenfunktionen ins Siel. 8

9 Der rein mtemtiscen Beweis legt die Vermutung ne, dss es uc bei klssiscen Wellen, lso in der Ncrictentecnik, Otik, Akustik eine Unscärfereltion gibt. In der Tt : Ds Zeit-Bndbreite Bndbreite-Produkt t eine untere Grenze. Die Zeitduer und die Bndbreite eines Signls können nict gleiczeitig beliebig klein sein. Für ds Zeit-Bndbreite Bndbreite-Produkt gilt: Δt Δω Eine genue untere Grenze wird nict gennnt, weil die Zeitduer und die Bndbreite in der Signlverrbeitung je nc Anwendung verscieden definiert werden. 9

10 3. Orts- und Imulsmessungen Wir wollen ds Unscärferodukt näer beleucten. Dzu betrcten wir 0^4 identisc rärierte rierte Teilcen, lso Teilcen mit derselben Wellenfunktion. Wir messen n den ersten 5000 Teilcen den Ort und finden eine mer oder weniger weite Verbreitung der Fundorte. Die Ausdenung der Verteilung wird durc die Ortsunscärfe crkterisiert. Bei einer normlverteilten Aufentltsdicte ( x, liegen 68,3% der Fundorte im Intervll x ± Δ x Dnc messen wir n den letzten 5000 Teilcen den Imuls und finden eine mer oder weniger weite Verbreitung der gemessenen Imulswerte. Die Ausdenung der Imulsverteilung wird durc die Imulsunscärfe Δ crkterisiert. Δ Fzit: Je stärker die gemessenen 5000 Fundorte streuen, umso dicter liegen die gemessenen Imulse zusmmen und umgekert. Mn sgt: Orte und Imulse lssen sic nict gleiczeitig scrf messen. 0

11 Alterntive Betrctung für ein einzelnes Teilcen: Je kleiner ds Ortsintervll ist, in dem mn ds Teilcen bei einer Ortsmessung erwrtet, desto größer ist ds Imulsintervll, in dem der Teilcenimuls wrsceinlic bei einer Imulsmessung gefunden wird. Becte: Die Ortsunscärfe ist nict die Ungenuigkeit des Messgerätes, sondern gibt ds Intervll n, in dem ds Teilcen wrsceinlic gefunden wird. Die Unscärfe get uf die Wrsceinlickeitsinterrettion der Wellenfunktion zurück ck. Beisiel: Unscärferodukt Gußscer Wellenkete mit x ( x,0) ex ~ ( k) ex π π k0 x ( ) x ( x,0) dx x ex dx π FS ( k k0 ) ~ ( k) dk ( Δk ) Δk Δ 4 k : / [ ( ) ] k Ds minimle Unscärferodukt von Ort und Imuls wird nur bei Normlverteilungen ngenommen.

12 ), ~ ( ), ( t t x 5.5 ( ) [ ] k k k k x x π π mit ex ) ( ~ ex,0) ( 0

13 Reienfolge von Orts- und Imulsmessung nict vertuscbr. ( x, ~ (, Gußsces Wellenket. Am roten Ort wird ds Teilcen gefunden. Die rote Ortsmessung lässt die Wellenfkt. in die Umgebung des Fundortes kollbieren. Die Imulsmessung lässt die Imulswellenfunktion kollbieren. Ein weitere Ortsmessung würde evtl. einen gnz nderen Fundort liefern. Fzit: Wegen der Imulsmessung ist ds Ergebnis der nfänglicen Ortsmessung bedeutungslos geworden. Eine scrfe Imulsmessung zerstört rt ds Ergebnis einer Ortsmessung. 3

14 4. Allgemeine Unscärfereltion Wir erinnern uns: In der QM werden die klssiscen Messgröß ößen (Observblen) r,, L, E, durc ermitesce Oertoren ersetzt. Beisielsweise: r Rˆ r Pˆ i m m Wir sucen ds Unscärferodukt für ein beliebiges Pr von Observblen. Die Definition der Unscärfe übernemen wir unverändert von oben. Reelle symmetrisce Mtrizen sind ermitesc. (Trägeitstensor der klss. Mecnik) Komlexe Mtrizen sind ermitesc, wenn sie mit irer komlex-konjugierten und trnsonierten Mtrix übereinstimmen. Oertoren sind genu dnn vertuscbr, wenn ir Kommuttor verscwindet: Δ [ Aˆ, Bˆ ] : AB ˆ ˆ Bˆ Aˆ Wictig: Zwei Oertoren vertuscen genu dnn, wenn sie lle Eigen- vektoren gemeinsm ben. [ Aˆ, Bˆ ] 0 Aˆ, Bˆ ben lle Eigenvektoren gemeinsm. 4

15 Die llgemeine Unscärfereltion für lle ermitescen Oertoren lässt sic bgeleiten mit der Scwrzscen Ungleicung und mit den mte- mtiscen Eigenscften ermitescer Oertoren. Die Unscärfereltion lutet für ein Teilcen im Zustnd : ΔA ΔB [ Aˆ, Bˆ ] i x, x ( x) i Der mtemtisce Herleitung zeigt, dss die Unscärfereltion Nicts mit dem Messrozess, Imulsübertrgungen und dergleicen zu tun t. Die Unscärfe ist eine innere Eigenscft der Wellenfunktionen. Beisiel: + x x i Δ Der Erwrtungswert eines Kommuttors ist immer imginär. Wenn der Zustnd eine Eigenfunktion von A ist, gilt die Gl.: 0 ΔB 0 Bei Messungen n einem Teilcen drf die Reienfolge der Messungen en nict kommutierender Oertoren nict vertusct werden wie bei Ort-Imuls. 5