Protokoll zur Vorlesung Analysis I

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1 Protokoll zur Vorlesung Anlysis I Prof. W. Bley 3. August 2011 Protokoll über die 1., 2. und 3. Vorlesung 1 Grundlgen, reelle und komplexe Zhlen, Vollständigkeit 1.1 Grundlgen In der ersten Vorlesung wurde grundsätzliches zu Aussgen, logischen Zeichen und Mengen eingeführt, huptsächlich um Nottionen und verschiedene, in der Mthemtik llgemein verwendete Sprechweisen, festzulegen. Dies soll hier nicht wiederholt werden. Zwei wichtige Beweisprinzipien: ) Der indirekte Beweis oder Beweis durch Widerspruch. b) Die vollständige Induktion. Ds Prinzip des indirekten Beweises wurde n folgendem Stz demonstriert. Stz Sei p eine Primzhl. Dnn gibt es kein x Q mit x 2 = p. Ds Prinzip der vollständigen Induktion funktioniert in seiner einfchsten Form wie folgt. Jeder ntürlichen Zhl n sei eine Aussge A(n) zugeordnet. Die Aussgen A(n) sind für lle n N bewiesen, wenn folgendes gezeigt werden knn: 1. A(1) ist richtig. Dies ist der Induktionsnfng. 2. Unter der Induktionsnnhme, dß nämlich A(1),..., A(n) richtig sind, ist uch A(n + 1) richtig. Dies ist der Induktionsschritt. Bemerkung Mn knn den Induktionsnfng uch für A(n 0 ) mchen, wobei n 0 N. Dnn besgt die Induktionsnnhme, dß A(n 0 ),..., A(n) richtig für n n 0 ist und es ist hierus wieder A(n + 1) zu beweisen. Hierdurch wird A(n) für lle n n 0 gezeigt. Mittels vollständiger Induktion hben wir die folgenden Sätze gezeigt. Stz Sei n N. Dnn ist n k=1 k = n(n+1) 2. Stz Sei n N. Die Anzhl der verschiedenen Anordnungen einer n-elementigen Menge ist n!. Stz Sei n N. Dnn gilt: (x + y) n = n ( n k=0 k) x k y n k. Hierbei ist ( ) n k = n! k!(n k)!. Dies ist die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge, insbesondere lso eine gnze Zhl. Ebenflls mit vollständiger Induktion läßt sich die Krdinlität der Potenzmenge bestimmen. 1

2 Stz Die Potenzmenge einer n-elementigen Menge ht 2 n Elemente. Hierbei ist die Potenzmenge einer Menge M definiert ls die Menge ller Teilmengen von M. Stz Für n N 0 und x 1 gilt: n k=0 xk = 1 xn+1 1 x. 1.2 Geordnete Mengen Definition Sei M eine Menge. Eine Ordnung uf M ist eine Reltion <, welche die folgenden Eigenschften ht: i) Für lle x, y M gilt genu eine der folgenden Aussgen x < y, x = y, y < x. ii) Für lle x, y, z M gilt: x < y, y < z = x < z. Eine geordnete Menge ist eine Menge, uf der eine Ordnung definiert ist. Definition Sei M eine geordnete Menge und E M. Dnn ist E nch oben beschränkt, wenn es ein β M gibt, so dß x β für lle x E gilt. β nennen wir dnn eine obere Schrnke. Anlog definiert mn die Begriffe nch unten beschränkt und untere Schrnke. Exmple Sei M = Q und E = {x Q x 2 2}. Dnn ist E nch oben beschränkt, ht ber keine kleinste obere Schrnke. In diesem Sinne ht Q sozusgen Lücken. Definition Sei M eine geordnete Menge und E M eine nch oben beschränkte, nicht-leere Menge. Es existiere ein α M mit den folgenden Eigenschften: (i) α ist eine obere Schrnke zu E. (ii) Ist γ < α, so ist γ keine obere Schrnke zu E. Dnn nennen wir α die kleinste obere Schrnke oder ds Supremum von E. Anlog definieren wir die größte untere Schrnke oder ds Infimum einer nch unten beschränkten nicht-leeren Menge E. Schreibweise: sup(e), inf(e). Wie ds obige Beispiel zeigt, existieren in Q im Allgemeinen keine Suprem. Dies ist ein Mkel der rtionlen Zhlen, den es zu beseitigen gilt. Ziel der Vorlesung ist dher, die Konstruktion der reellen Zhlen, die diesen Mkel der Unvollständigkeit nicht hben werden. Definition Wir sgen, dß eine geordnete Menge M die Supremumseigenschft ht, wenn zu jeder nicht-leeren, nch oben beschränkten Teilmenge E M ds Supremum existiert. Wichtige Beobchtung: Q ht die Supremumseigenschft nicht. Anlog hätten wir ntürlich uch die Infimumseigenschft definieren können. Ds folgende Resultt zeigt, dß eine geordnete Menge genu dnn die Supremumseigenschft besitzt, wenn sie die Infimumseigenschft besitzt. Stz Sei M eine geordnete Menge mit der Supremumseigenschft. Sei B M eine nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge. Sei U die Menge der unteren Schrnken. Dnn existiert α = sup(u) und es gilt: α = inf(b). Insbesondere existiert lso ds Infimum zu B. 2

3 1.3 Gruppen und Körper Wir wollen nun die lgebrischen Eigenschften eines Körpers kennzeichnen. Definition Sei G eine nicht-leere Menge mit einer Verknüpfung, d.h. zu je zwei Elementen, b G gibt es ein eindeutig bestimmtes Element b G. Dnn nennen wir G eine Gruppe, wenn folgenden Eigenschften erfüllt sind: (Assozitivität) Für lle, b, c G gilt ( b) c = (b c). (Existenz eines neutrlen Elements) Es gibt ein Element e G, so dß für lle G gilt: e = e =. (Existenz vom inversen Element) Zu jedem G gibt es ein Element b G, so dß b = b = e. Zustz: Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung. Flls für lle, b G gilt b = b, so nennen wir die Gruppe belsch oder kommuttiv. Ds neutrle Element e und ds Inverse b zu einem Element G sind jeweils eindeutig bestimmt. Dies rechtfertigt die Schreibweisen 1 oder für ds Inverse in den häufigen Fällen, wo die Verknüpfung eine Multipliktion bzw. eine Addition ist. Definition Eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + und heißt Körper, flls gilt: 1) K ist bezüglich + eine belsche Gruppe. Es bezeichne 0 ds neutrle Element bezüglich +. 2) K \ {0} ist bezüglich eine belsche Gruppe. 3) (Distributivität) Für lle, b, c K gilt: (b + c) = b + c. Wir benutzen die us der Schule beknnten Schreibweisen für ds Inverse bezüglich der Addition, 1 für ds Inverse bezüglich der Multipliktion. Ferner schreiben wir oft b nsttt +( b) und b nsttt b 1. Beispiele sind der Körper Q der rtionlen Zhlen, ber uch die endlichen Körper F p, wobei p eine Primzhl ist. Protokoll über die 4.Vorlesung 1.4 Die Anordnungsxiome Wir gehen nun dzu über, Anordnungeigenschften eines Körpers zu studieren. Definition Ein geordneter Körper ist ein Körper K, der zugleich eine geordnete Menge ist, derrt dß gilt: (i) y < z = x + y < x + z, x, y, z K. (ii) x > 0 und y > z = xy > xz, x, y, z K. Offensichtlich ist Q ein ngeordneter Körper. Endliche Körper knn mn nicht nordnen. 3

4 Stz Die folgenden Aussgen gelten in jedem ngeordneten Körper K. Es sei x, y, z K. () x > 0 x < 0. (b) x > 0, y < z = xy < xz. (c) x < 0, y < z = xy > xz. (d) x 0 = x 2 > 0. Insbesondere lso 1 > 0. (e) 0 < x < y = 0 < 1 y < 1 x. Definition Seien M, N zwei Mengen. Unter einer Abbildung f von M nch N versteht mn eine Vorschrift, die jedem x M ein eindeutig bestimmtes Element f(x) N zuordnet. f heißt injektiv, flls für lle x 1, x 2 M gilt: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). f heißt surjektiv, wenn es zu jedem y N ein x M mit f(x) = y gibt. Flls f injektiv und surjektiv ist, so nennen wir f bijektiv. Stz Sei K ein ngeordneter Körper. Dnn ist die Abbildung injektiv und mit +, und < vertäglich, d.h. Dieses Resultt knn mn veredeln. ϕ: N 0 K, n n 1 ϕ(n + m) = ϕ(n) + ϕ(m), n, m N, ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m), n, m N, n < m = ϕ(n) < ϕ(m), n, m N. Stz Sei K ein ngeordneter Körper. Dnn ist ψ : Q K, ϕ(n) n ϕ(m), n > 0, m > 0, m 0, n = 0, ϕ(n) ϕ(m), n < 0, m > 0. eine wohldefinierte Abbildung, die injektiv und mit +, und < vertäglich ist. Bemerkung Der vorherige Stz besgt, dß Q in jeden ngeordneten Körper K eingebettet werden knn, oder mit nderen Worten, mn knn Q ls Teilkörper von K betrchten. Die Rechengesetze und die Anordnug in Q bleiben dbei erhlten. Definition Sei K ein ngeordneter Körper und K. Dnn definiert mn:, flls > 0, := 0, flls = 0,, flls < 0. heißt der Absolutbetrg von. 4

5 Protokoll über die 5.Vorlesung Der Absolutbetrg ht die fogenden Eigenschften. Stz Für, b K gelten: 1) 0. 2) = 0 = 0. 3) b = b. 2) (Dreieckungleichung) + b + b. 2) (Untere Dreiecksungleichung) b + b. 1.5 Der Körper der reellen Zhlen Wir kommen nun zum zentrlen Resultt des ersten Kpitels. Stz Es gibt einen Körper R, der geordnet ist und die Supremumseigenschft besitzt. Ferner ist Q in R eingebettet, so dß +, und < erhlten bleiben In der Vorlesung hben wir die Definiton von R ls die Menge der Dedekindschen Schnitte ngegeben. Definition Eine Teilmenge α Q heißt Dedekindscher Schnitt, flls die folgenden drei Eigenschften erfüllt sind: Es sei lso nun (i) α, α Q, (ii) p α und q Q mit q < p = q α, (iii) zu p α gibt es r α mit r > p. R := {α α ist Dedekindscher Schnitt }. Es wurde gezeigt, dss R eine geordnete Menge bezüglich α < β def α ist echte Teilmenge von β ist. Ferner wurde nchgewiesen, dss R die Supremumseigenschft ht. Es sei hier nochmls druf hingewiesen, dss Q die Supremumseigenschft nicht erfüllt. Für den usführlichen Beweis sei der Leser uf ds Buch von Rudin, S.19-24, verwiesen. Als erste Konsequenz us der Supremumseigenschft beweisen wir Stz (Archimedisches Prinzip) Seien x, y R, x > 0. Dnn gibt es eine ntürliche Zhl n, so dß nx > y. Insbesondere gibt es zu y R stets ein n N mit n > y. Aus dem Archimedischen Prinzip folgern wir Stz (Q liegt dicht in R) Seien x, y R mit x < y. Dnn gibt es p Q mit x < p < y. Protokoll über die 6. Vorlesung Der folgende Stz zeigt, dß in den reellen Zhlen n-te Wurzeln existieren. Mn erinnere sich, dß wir gezeigt hben, dß die Gleichung x 2 = p, p Primzhl, keine Lösung in Q ht. Dieser Mkel von Q wird durch die Supremumseigenschft behoben. 5

6 Stz Sei x R, x > 0. Für jedes n N existiert genu ein y R mit y n = x, y > 0. Bezeichnung: Die eindeutig bestimmte Zhl y us dem letzten Stz bezeichnen wir mit n x oder x 1 n. Aus der Eindeutigkeit und den Rechenregeln im Körper erhlten wir leicht Folgerung Für positive reelle Zhlen, b und n N gilt (b) 1 n = () 1 n (b) 1 n. Bemerkung Jede reelle Zhl knn mn in einen Dezimlbruch entwickeln. Allgemeiner hben wir gezeigt, dß mn jede reelle Zhl in einen b-dischen Bruch entwickeln knn. 1.6 Abzählbrkeit Definition Sei M eine nicht leere Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung N M. Oder mit nderen Worten: Jeder ntürlichen Zhl n wird ein Element n M zugeordnet. Mn schreibt dnn ( n ) n N oder in ufzählender Form ( 1, 2,...). Die folgenden kleinen Verllgemeinerungen sind selbsterklärend: ( n ) n n0, n 0 Z, ( n ) n N0, etc. Definition Eine nicht leere Menge M heißt bzählbr, flls es eine surjektive Abbildung N M gibt. Oder mit nderen Worten: Es gibt eine Folge ( n ) n N, so dß die der Folge unterliegende Menge { n n N} gleich der Menge M ist. Einfche Beobchtungen: ) Endliche Mengen sind bzählbr. b) Teilmengen von bzählbren Mengen sind bzählbr. Stz Abzählbre Vereinigungen von bzählbren Mengen sind bzählbr. Stz Q ist bzählbr. Ausgehend von der Dezimlbruchentwicklung reeller Zhlen zeigt mn mit dem Cntorschen Digonlverfhren, dß R nicht bzählbr ist. Stz Die reellen Zhlen sind überbzählbr. Mn bechte, dß mn diesen Beweis uch mit der b-dischen Entwicklung führen knn. 1.7 Die komplexen Zhlen Sei C = { + bi, b R}, i 2 = 1, der Körper der komplexen Zhlen. Forml hben wir C ls die Menge der geordneten Tupel (, b) mit, b R und folgender Addition und Multipliktion eingeführt: ( 1, b 1 ) + ( 2, b 2 ) := ( 1 + 2, b 1 + b 2 ), ( 1, b 1 ) ( 2, b 2 ) := ( 1 2 b 1 b 2, 1 b b 1 ), Ausführlich knn mn dies zum Beispiel im Buch von Rudin, Seite 13, nchlesen. Definition Sei α = + bi C. Dnn heißt Re(α) := der Relteil von α, Im(α) := b der Imginärteil und ᾱ := bi die komplex Konjugierte von α. 6

7 Aus den Definitionen erhält mn durch einfche Verifiktion den Stz Seien z, w C. Dnn gilt: () z + w = z + w, z w = z w, (b) z + z = 2Re(z), z z = 2iIm(z), (c) z z = Re(z) 2 + Im(z) 2, (d) z z = 0 z = 0, (e) z R z = z. Protokoll über die 7. Vorlesung Definition Sei z = + bi C. Dnn heißt z := z z = 2 + b 2 der Absolutbetrg oder uch die Länge von z. Dieser Längenbegriff entspricht genu unserer Vorstellung im Sinne des Stzes von Pythgors, wenn wir komplexe Zhlen ls Vektoren im R 2 betrchten. Insbesondere ist uch die Dreiecksungleichung erfüllt. Stz Seien z, w C. Dnn gilt: () z 0, (b) (c) z = 0 z = 0, z = z, zw = z w, (d) z + w z + w (Dreiecksungleichung) Bemerkungen ) C knn mn nicht nordnen. b) Sei z 0. Dnn ist z 1 = z z z. 2 Folgen und Grenzwerte 2.1 Definition und erste Eigenschften Im folgenden sei K stets Q, R oder C. Eine Folge ist stets eine Folge rtionler, reeller oder komplexer Zhlen. Definition Sei ( n ) n N eine Folge. Dnn heißt die Folge konvergent in K, wenn es eine Zhl K gibt, so dß folgendes gilt: Für lle ɛ > 0 gibt es eine ntürliche Zhl N = N(ɛ), so dß für lle n N gilt n < ɛ. Die Zhl heißt dnn Grenzwert oder Limes der Folge. Wir schreiben = lim n n oder einfch n. Mn bechte, dß N = N(ɛ) von ɛ bhängt. Im Allgemeinen wird mn N um so größer wählen müssen, je kleiner ɛ ist. Eine Folge konvergiert gegen, wenn in jeder noch so kleinen ɛ-umgebung von fst lle Folgenglieder n liegen. Dbei bedeutet fst lle lle bis uf endlich viele Ausnhmen. Stz Jede konvergente Folge ist beschränkt. 7

8 Wie ds Gegenbeispiel n = ( 1) n zeigt, ist die Umkehrung im Allgemeinen flsch. Stz Der Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Dieser Stz rechtfertigt erst die Bezeichnung lim n n. Definition Eine bsteigende Folge I 0 I 1 von bgeschlossenen Intervllen I n = [ n, b n ], n, b n R, b n > n heißt Intervllschchtelung. Stz Für die Intervllschchtelung gelte... lim (b n n ) = 0. n Dnn gibt es genu eine reelle Zhl x R mit x I n für lle n N 0. Für die Existenz von x ist die Supremumseigenschft der reellen Zhlen verntwortlich, die Eindeutigkeit folgt us (*). ( ) Protokoll über die 8. Vorlesung Definition Eine Folge ( n ) n N reeller Zhlen heißt nch oben (bzw. unten) beschränkt, wenn es eine Konstnte C R gibt, so dß n < C (bzw. n > C) für lle n N gilt. Eine Folge reeller oder komplexer Zhlen heißt beschränkt, wenn es eine Konstnte C R gibt, so dß n < C für lle n N gilt. Wir behndeln nun Summen, Produkte und Quotienten konvergenter Folgen. Stz Seien ( n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen. Dnn konvergieren uch die Folgen und es gilt ( n + b n ) und ( n b n ) lim ( n + b n ) = lim n + lim b n, n n n lim ( nb n ) = lim n lim b n. n n n Folgerung Seien ( n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen und λ, µ K. Dnn ist uch (λ n + µb n ) konvergent und es gilt: lim (λ n + µb n ) = λ lim n + µ lim b n. n n n Die konvergenten Folgen bilden lso einen Untervektorrum im K-Vektorrum ller Folgen. Stz Seien ( n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten und b. Es gelte b 0. Dnn gibt es ein n 0 N, so dß b n 0 für lle n n 0 gilt und die Quotientenfolge ) ( n konvergiert gegen b. b n Für Folgen reeller Zhlen beweisen wir ein erstes Konvergenzkriterium. Wir schicken folgende Definition vorus. Definition Eine Folge ( n ) reeller Zhlen heißt monoton wchsend (bzw. fllend), flls n n 0 n+1 n ( bzw. n+1 n ) für lle Indizes n gilt. Flls hier > (bzw. <) gilt, so sprechen wir von strenger Monotonie. Stz Sei ( n ) eine nch oben beschränkte, monoton wchsende Folge reeller Zhlen. Dnn ist ( n ) konvergent in R. Anlog: Sei ( n ) eine nch unten beschränkte, monoton fllende Folge reeller Zhlen. Dnn ist ( n ) konvergent in R. 8

9 2.2 Unendliche Reihen Definition Sei ( n ) n N eine Folge. Für jedes m N nennt mn s m := die m-te Prtilsumme. Die Folge (s m ) m N heißt unendliche Reihe über die Folge ( n ) n N. Übliche Bezeichnung: n Flls die Folge (s m ) m N der Prtilsummen konvergiert, so sgt mn, dß die unendliche Reihe konvergiert. Der Grenzwert wird dnn ebenflls mit n bezeichnet, lso m n n := lim m s m. Bemerkung Wie uch schon bei den Folgen, wollen wir uch llgemeinere Indexmengen zulssen, etw n n 0 n. Eine hervorgehobene Bedeutung für spätere Konvergenzsätze ht die sogennnte geometrische Reihe. Stz (Geometrische Reihe) Die Reihe n=0 konvergiert für lle x K mit x < 1 gegen 1 1 x. Aus dem entsprechenden Resultt für konvergente Folgen erhlten wir sofort Stz Seien n und b n zwei konvergente Reihen und λ, µ K. Dnn konvergiert uch die Reihe (λ n + µb n ), und zwr gegen den Grenzwert x n λ n + µ b n. 2.3 Bestimmte Divergenz reeller Folgen Definition Eine Folge ( n ) reeller Zhlen heißt bestimmt divergent gegen + (oder uneigentlich konvergent gegen + ), wenn es zu jedem C R ein N N gibt, so dß für lle n N gilt: n > C. Eine Folge ( n ) reeller Zhlen heißt bestimmt divergent gegen (oder uneigentlich konvergent gegen ), wenn ( n ) bestimmt gegen + divergiert. Schreibweisen: lim n n = +, bzw. lim n =. n Protokoll über die 9. Vorlesung Stz Für die Folge ( n ) gelte lim n =. Dnn gibt es ein n 0 N, so dß n 0 für n lle n n 0, und die Folge ( 1 n ) n n0 konvergiert gegen 0. 9

10 2.4 Teilfolgen Definition Sei ( n ) eine Folge und n 1 < n 2 < n 3 <... eine ufsteigende Folge ntürlicher Zhlen. Dnn nennt mn die Folge eine Teilfolge von ( n ). ( nk ) k N = ( n1, n2, n3,...) Definition Eine Zhl K heißt Häufungspunkt der Folge ( n ), wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen konvergiert. Flls ( n ) eine Folge reeller Zhlen ist, so nennen wir {± } einen Häufungspunkt im uneigentlichen Sinn, wenn es eine Teilfoge gibt, die bestimmt gegen divergiert. Unter der erweiterten Zhlengerden verstehen wir R {± }. Die Symbole ± sind keine reellen Zhlen! ist größer ls jede reelle Zhl, entsprechend kleiner ls jede reelle Zhl. Definition Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen. Sei E die Menge ller eigentlichen und uneigentlichen Häufungspunkte, lso E R {± }. Dnn heißt der Limes superior (bzw.inferior) der Folge ( n ). lim sup n := sup(e) bzw. lim inf n := inf(e) n n Der Stz von Bolzno-Weierstrß (siehe unten) zeigt, dß die Menge ller Häufungspunkte (im eigentlichen und uneigentlichen Sinn) stets nicht-leer ist. Dher sind lim sup und lim inf wohldefiniert. Stz (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge reeller Zhlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Wir chrkterisieren den Limes superior einer Folge reeller Zhlen. Stz Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen und R. Genu dnn gilt lim sup n =, wenn für jedes ε > 0 die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: (i) Es gibt ein N N, so dß n < + ε gilt für lle n N. (ii) Es gibt unendlich viele Indizes m N mit m > ε. Bemerkung Der Beweis zeigt uch, dß Limes superior und inferior stets ngenommen werden. Ttschlich implizieren (i) und (ii), dß selbst eine Häufungspunkt ist. 2.5 Metrische Räume Definition Für k N sei x 1 R k := x =. x i R, i = 1,..., k. x k Die Elemente x R k nennen wir Vektoren. 10

11 Vektoren können ddiert und sklr multipliziert werden: x 1 y 1 x 1 + y :=., x k y k x k + y k x 1 λx 1 λ. x k :=. λx k, λ R. Definition Wir definieren für x, y R k x, y := und nennen x, y ds Sklrprodukt von x und y. k x i y i i=1 Ds Sklrprodukt erfüllt folgende einfche Eigenschften. x, y = y, x, x, y R k. αx + βy, z = α x, z + β y, z, x, y, z R k, α, β R. x, x 0, x R k mit Gleichheit genu dnn, wenn x = 0. Definition Für x R k definieren wir und nennen x die Norm von x. x := x, x Die Norm erfüllt folgende einfche Eigenschften. x 0, x R k mit Gleichheit genu dnn, wenn x = 0. λx = λ x, λ R, x R k. x + y x + y, x, y R k. Die letzte dieser Eigenschften wird ls Dreiecksungleichung bezeichnet. Zu ihrem Beweis hben wir die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung herngezogen. Stz (Cuchy-Schwrz) Für x, y R k gilt: x, y x y. Wir definieren nun uf dem R k einen Abstndsbegriff. Definition Für x, y R k definieren wir ( k ) 1/2 d(x, y) := x y = (x i y i ) 2. i=1 Dmit wird der R k zu einem metrischen Rum, wobei 11

12 Definition Eine nicht-leere Menge X zusmmen mit einer Abbildung d : X X R heißt metrischer Rum, flls d die folgenden Eigenschften erfüllt: (i) d(x, y) 0, x, y X, d(x, y) = 0 x = y. (ii) d(x, y) = d(y, x), x, y X. (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X. d nennt mn eine Metrik oder einen Abstnd. (iii) ist die sogennnte Dreiecksungleichung. Unser wichtigstes Beispiel ist der R k mit der Metrik ( k ) 1/2 ( k ) 1/2 x := x 2 i, d(x, y) := x y = (x i y i ) 2. i=1 i=1 Protokoll über die 10. Vorlesung (Dustin Lzrovici) 2.6 Cuchy-Folgen und Vollständigkeit Stz (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge im R k besitzt eine konvergente Teilfolge. Definition Sei X ein metrischer Rum und ( n ) eine Folge in X. Dnn nennt mn ( n ) eine Cuchy-Folge, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein N N gibt, so dß für lle l, m N gilt: d( l, m ) < ɛ. Insbesondere gilt für eine Folge ( n ) n im R k : ( n ) n Cuchy-Folge : ɛ > 0 N N l, m N : l m < ɛ. Stz Jede konvergente Folge ist eine Cuchy-Folge. Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum. Eine Teilmenge A X heisst beschränkt, wenn dim(a) := sup{d(x, y) x, y A} < Dies ist äquivlent zu A U r (p) := {x X d(p, x) < r} für ein p X und hinreichend großes r. Lemm Jede Cuchy-Folge ist beschränkt. Stz (Vollständigkeit von R k ) In R k ist jede Cuchy-Folge konvergent. Definition Ein metrischer Rum X ist vollständig, wenn jede Cuchy-Folge in X konvergiert. Bemerkung ) Der R k ist lso vollständig. b) Wegen C k = R 2k ist uch C k vollständig k N. c) Der Q k ist nicht vollständig Bemerkung Für die reellen Zhlen sind lle diese Eigenschften äquivlent: i) Supremumseigenschft ii) Intervllschchtelungsprinzip iii) Bolzno-Weierstrß iv) Vollständigkeit 12

13 2.7 Konvergenzkriterien für Reihen Aus dem Cuchy-Kriterium für Folgen folgt Stz Die Reihe n konvergiert genu dnn, wenn es für jedes ɛ > 0 ein N N gibt, so dß für lle l, m N gilt: m n < ɛ. n=l Insbesondere (l = m) gilt lso im Flle der Konvergenz n < ɛ für lle n N. Folgerung (Notwendiges Konvergenzkriterium) n konvergent ( n ) n Nullfolge. Mn bechte, dß die Umkehrung im llgemeinen flsch ist. Definition Sei ( n ) eine Folge reeller oder komplexer Zhlen. n heißt bsolut konver- gent, wenn die Reihe n konvergent ist. Lemm n bsolut konvergent n konvergent zeigt. Absolute Konver- Die Umkehrung ist im Allgemeinen flsch wie ds Beispiel genz ist lso,,stärker ls Konvergenz. ( 1)n 1 n Stz (Leibniz-Kriterium) Sei ( n ) n eine monoton fllende Nullfolge in R. Dnn ist die lternierende Reihe ( 1) n n konvergent. Lemm ( m ) n ist konvergent n m ist beschränkt. Ds nächste Kriterium ist von besonderer Bedeutung, unter nderem, weil es Grundlge für die Beweise weiterer Kriterien (Wurzel- und Quotientenkriterium) ist. Stz (Mjorntenkriterium) Sei n eine Reihe reeller oder komplexer Zhlen. Es gebe eine reelle Folge (c n ) n, sodss c n konvergent ist und ein N 0 N, soss n c n für lle n N 0. Dnn ist n konvergent, lso n bsolut konvergent. Die Reihe c n nennen wir eine konvergente Mjornte. Protokoll über die 11. Vorlesung (Dustin Lzrovici) Stz (Minorntenkriterium) Seien n und b n zwei Reihen reeller Zhlen und es gelte n b n 0 für lle hinreichend großen n. Dnn gilt: bn divergiert = n divergiert. 13

14 Folgerung n s ist divergent für s 1 und konvergent für s > 1. Stz (Wurzelkriterium) Gegeben sei eine Reihe n reeller oder komplexer Zhlen. Dnn gilt: () (b) (c) lim sup n lim sup n Für lim sup n n n < 1 = n n > 1 = Stz (Quotientenkriterium) Sei n bsolut konvergent. n divergent. n n = 1 knn mn keine llgemeine Aussge treffen. hinreichend großen n. Dnn gilt: ( ) () q < 1 N N : n+1 n q n N lim sup n+1 n n < 1 n bsolut konvergent. (b) N N : n eine reelle oder komplexe Reihe mit n 0 für lle n+1 n 1 n N n divergent. Bemerkung Ds Wurzelkriterium ht einen größeren Anwendungsbereich ls ds Quotientenkriterium. Konkret bedeutet dies: Wnn immer ds Quotientenkriterium Konvergenz nzeigt, so uch ds Wurzelkriterium. Wnn immer ds Wurzelkriterium ohne Ergebnis ist, so uch ds Quotientenkriterium. 2.8 Umordnung von Reihen Definition Sei Sei ( n ) n N eine Folge und ϕ : N N eine Bijektion. Dnn nennt mn ϕ(n) eine Umordnung der Reihe n. Wie üblich erluben wir uch llgemeinere Indexmengen. Stz (Umordnungsstz, Dirichlet) Sei n eine bsolut konvergente Reihe. Dnn konvergiert uch jede Umordnung, und zwr gegen den selben Grenzwert. Stz (Riemnnscher Umordnungsstz) Ist die reelle Reihe n konvergent, ber nicht bsolut konvergent, dnn existiert für jedes beliebige C R {± } eine Umordnung ϕ : N N, sodss ϕ(n) = C. 14

15 Protokoll über die 12. Vorlesung 2.9 Potenzreihen Definition Sei (c n ) eine Folge komplexer Zhlen und z C. Dnn nennt mn eine Potenzreihe. c n z n n=0 Stz (Stz von Cuchy-Hdmrd) Gegeben sei die Potenzreihe c n z n. Mn setze α := lim sup n n cn, R := 1 α. Dnn konvergiert die Potenzreihe bsolut für z < R und divergiert für z > R. R nennt mn den Konvergenzrdius der Potenzreihe. Bei der Berechnug von R gelten die folgenden Rechenregeln für ds Symbol : 1 = 0, 1 0 =. Mn bechte, dss für z mit z = R keine llgemeine Aussge möglich ist Die Exponentilreihe Stz Für jedes z C ist die Exponentilreihe bsolut konvergent. exp(z) := n=0 Definition e := exp(1) = 2, heißt Eulersche Zhl. Will mn etw die Eulersche Zhl numerisch mit nchweisbrer Fehlerbschätzung berechnen, so ist ds nächste Resultt hilfreich. Stz (Restgliedbschätzung) Es gilt für lle ntürlichen Zhlen N 0 und z C mit z n n! z 1 + N 2 und exp(z) = N n=0 z n n! + R N(z) mit R N (z) = R N (z) 2 z N+1 (N + 1)!. n=n+1 z n n! Von entscheidender Bedeutung für die Exponentilfunktion ist ihre Funktionlgleichung. Stz Für lle z 1, z 2 C gilt: exp(z 1 + z 2 ) = exp(z 1 ) exp(z 2 ). Dieses wichtige Resultt ist eine einfche Konsequenz us 15

16 Stz (Cuchy-Produkt) Seien n=0 n und n=0 b n zwei bsolut konvergente Reihen. Sei c n := n k b n k = 0 b n + 1 b n n 1 b 1 + n b 0. k=0 Dnn ist uch n=0 c n bsolut konvergent und es gilt ( ) ( ) c n = n b n. n=0 n=0 Zum Abschluss dieses Abschnitts notieren wir einige einfche Eigenschften der Exponentilfunktion. Stz () exp(z) 0, z C. (b) exp(x) > 0, x R. () exp( z) = 1 exp(z), z C. () exp(n) = e n, n Z Sinus und Kosinus Stz Für jedes z C konvergieren die Reihen n=0 cos(z) := sin(z) := n=0 ( 1) n z2n (2n)!, ( 1) n z2n+1 (2n + 1)! n=0 bsolut. Durch Koeffizientenvergleich beweist mn den Stz exp(iz) = cos(z) + i sin(z), z C. Folgerung () cos 2 (z) + sin 2 (z) = 1, z C. (b) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y), x, y R. (c) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), x, y R. Hierbei hben wir die gängige Schreibweise cos n (z) := (cos(z)) n und sin n (z) := (sin(z)) n für n N benutzt. Teil (b) und (c) bezeichnet mn häufig ls Additionstheoreme. Für x R gilt Re(exp(ix)) = cos(x), Im(exp(ix)) = sin(x), und exp(ix) liegt uf dem Einheitskreis S 1 = {z C z = 1}. 16

17 Protokoll über die 13. Vorlesung 3 Stetige Funktionen 3.1 Allgemeines zu Funktionen Seien X und Y metrische Räume mit Abstndfunktionen d X und d Y. Sei D X und f : D Y eine Abbildung. Abbildungen nennt mn oft uch Funktionen. Definition () D heißt Definitionsbereich oder Definitionsmenge von f. (b) f(d) := {f(x) x D} heißt ds Bild von f. Schreibweise: Bild(f). Etws llgemeiner bezeichnet für eine Teilmenge V D die Menge f(v ) := {f(x) x V } ds Bild von V unter f. (c) Für eine Menge U Y heißt f 1 (U) := {x D f(x) U} ds Urbild von U unter f. (d) Die Menge {(x, f(x)) X Y x D} heißt Grph von f. Ds f 1 in der Nottion für ds Urbild ist nicht zu verwechseln mit der Funktion 1 f (flls diese existiert) oder der Umkehrfunktion, die wir später noch kennen lernen (flls f bijektiv ist). 3.2 Stetigkeit Definition ) Seien X, Y metrische Räume, D X, und f : D Y eine Funktion. Sei D. Dnn heißt f stetig in, flls gilt: ɛ > 0 δ > 0 x D : d X (, x) < δ = d Y (f(), f(x)) < ɛ. b) f heißt stetig, flls f stetig in llen Punkten D ist. Definition ) Ein Punkt X heißt Häufungspunkt von D, flls es eine Folge (x n ) in D gibt, die gegen konvergiert. Mn bechte, dß nicht notwendig in D enthlten sein muss. b) Eine Teilmenge D X heißt dicht in X, flls jeder Punkt x X ein Häufungspunkt von D ist. Definition Seien X, Y metrische Räume, D X, f : D Y und X ein Häufungspunkt von D. Dnn schreiben wir lim f(x) = b, x flls es ein b Y gibt, so dß für lle Folgen (x n ) mit x n D und lim n x n = gilt: lim n f(x n) = b. Stz Sei f : D X Y und D ein Häufungspunkt von D. Dnn gilt: f ist stetig in lim x f(x) = f(). Aus der Restgliedbschätzung für die Exponentilfunktion htten wir ls Beispiel gezeigt, dss exp n der Stelle z = 0 stetig ist. Zusmmen mit dem letzten Stz und der Funktionlgleichung der Exponentilfunktion erhlten wir Stz Die Exponentilfunktion ist stetig. Im folgenden sei X stets ein metrischer Rum mit Metrik d. 17

18 Definition ) Sei r > 0 und x X. Dnn heißt U r (x) := {z X d(x, z) < r} r-umgebung von x. b) Sei E X. Dnn nennt mn x E einen inneren Punkt von E, wenn es ein r > 0 gibt, so dß U r (x) E. c) E X heißt offen, wenn jeder Punkt x E ein innerer Punkt ist. d) E X heißt bgeschlossen, wenn X \ E offen ist. Mn zeigt leicht, dß jede r-umgebung U r (x) offen ist (Übung). Mn bechte, dss im folgenden Stz die Stetigkeit ohne Zuhilfenhme der Metrik chrkterisiert wird. Stz Sei f : X Y eine Funktion. Dnn ist f genu dnn stetig, wenn ds Urbild f 1 (V ) jeder offenen Teilmenge V Y offen in X ist. Stz (Kompositum von stetigen Funktionen) Seien X, Y, Z metrische Räume und f : D X Y, g : E Y Z Funktionen mit f(d) E. Es sei h := g f, d.h. h(x) := g(f(x)) für lle x D. Flls dnn f stetig bei D und g stetig bei f() ist, so ist uch h stetig in. Insbesondere ist lso ds Kompositum stetiger Funktionen stetig. Im folgenden sei wie früher K entweder R oder C. Seien f, g : X K Funktionen des metrischen Rums X nch K. Dnn definiert mn Funktionen f + g, fg, f g von X nch K durch ( ) f (f + g)(x) := f(x) + g(x), (fg)(x) := f(x)g(x), (x) := f(x) g g(x). Mn bechte, dss f g nur n den Punkten x X definiert ist, wo g(x) 0 gilt. Flls f, g : X R k, so knn mn in nloger Weise f + g : X R k definieren. Stz Sei X ein metrischer Rum und f, g : X K seien stetig in X. Dnn sind uch f +g, fg, f g stetig in. (Beim Quotienten müssen wir ntürlich in der Regel g() 0 vorussetzen.) Stz ) Sei f : X R k eine Funktion mit den Koordintenfunktionen f 1,..., f k : X R. Sei X. Dnn gilt: f ist stetig in f 1,..., f k sind stetig in. b) Seien f, g : X R k stetig in X. Dnn ist uch f + g stetig in. Protokoll über die 14. Vorlesung 3.3 Kompktheit In diesem Abschnitt bezeichnet X stets einen metrischen Rum. Wir schicken folgendes Lemm vorus. Lemm Sei E X eine nicht-leere Teilmenge. Dnn ist E genu dnn bgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge ( n ) mit n E für lle n uch lim n E gilt. 18

19 Definition Unter einer offenen Überdeckung einer Teilmenge E X versteht mn eine Fmilie {U α } von offenen Teilmengen U α von X, so dß E α U α. Die Indexmenge ist hier bewußt nicht näher spezifiziert. Die α können us einer beliebigen Indexmenge kommen. Definition (Kompktheit) Eine Teilmenge E X heißt kompkt, wenn jede offene Überdeckung von E eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Stz Kompkte Mengen sind bgeschlossen. Stz Abgeschlossene Teilmengen von kompkten Mengen sind kompkt. Der folgende Stz ist die entscheidende Grundlge für ds weitere Studium der Kompktheit im Flle X = R k. Stz (Abgeschlossene Quder sind kompkt) Sei Dnn ist ist Q kompkt. Q = {x R k i x i b i, i = 1,..., k}, i < b i. Bemerkung Beim Beweis benutzen wir n entscheidender Stelle ds Intervllschchtelungsprinzip, welches wiederum uf der Supremumseigenschft der reellen Zhlen beruht. Stz (Heine-Borel) Sei E R k. Dnn ist E genu dnn kompkt, wenn E beschränkt und bgeschlossen ist. 3.4 Stetigkeit und Kompktheit Definition Sei f : D X R k eine Funktion. Dnn heißt f beschränkt, flls es ein M R gibt, so dss für lle x D gilt: f(x) M. Stz Sei f : X Y eine stetige Abbildung und D X kompkt. Dnn ist f(d) kompkt. Der Stz von Heine-Borel impliziert dher. Folgerung Sei f : X R k eine stetige Abbildung und D X kompkt. Dnn ist f(d) beschränkt und bgeschlossen. Folgerung Sei f : X R stetig und und D X kompkt. Sei m := inf{f(x) x D}, M := sup{f(x) x D}. Dnn gibt es p, q D mit der Eigenschft f(p) = m, f(q) = M, d.h. ds Infimum und ds Supremum werden ngenommen. Mit nderen Worten: Es gibt p, q D, so dss f(p) f(x) f(q), x D. 19

20 Protokoll über die 15. Vorlesung Definition Seien A, B zwei nicht-leere Mengen und f : A B eine bijektive Abbildung. Dnn heißt die Abbildung die Umkehrfunktion zu f. g : B A, g(b) :=, flls f() = b, Mn schreibt häufig f 1 für g. Diese Schreibweise führt mnchml zu Verwirrung im Zusmmenhng mit dem Urbild f 1 (V ) einer Teilmenge V B. Mn bechte den Unterschied, der eigentlich stets us dem Kontext hervorgeht. Offensichtlich gilt: f g = id B, g f = id A. Stz Sei f : X Y stetig und bijektiv und X kompkt. Dnn ist uch die Umkehrbbildung stetig. 3.5 Gleichmäßige Konvergenz Definition Sei f : X Y. Dnn nennt mn f gleichmäßig stetig, flls es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x 1, x 2 X mit d X (x 1, x 2 ) < δ gilt: d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) < ɛ. Offensichtlich impliziert gleichmäßige Stetigkeit die gewöhnliche Stetigkeit. Die Umkehrung ist im Allgemeinen flsch. Jedoch gilt Stz Sei f : D X Y stetig und D kompkt. Dnn ist f gleichmäßig stetig uf D. 3.6 Der Zwischenwertstz Stz Sei f : [, b] R,, b R, < b, eine stetige Funktion und es gelte f() < 0, f(b) > 0. Dnn gibt es ein p [, b] mit f(p) = 0. Mn bechte, dß beim Beweis des Zwischenwertstzes n entscheidender Stelle die Supremumseigenschft der reellen Zhlen eingeht. Folgerung Sei f : [, b] R,, b R, < b, eine stetige Funktion und es gelte f() < f(b) (bzw. f() > f(b)). Dnn gibt es ein zu jedem c [f(), f(b)] (bzw. c [f(b), f()]) ein p [, b] mit f(p) = c. Folgerung Jedes Polynom P : R R ungerden Grdes ht mindestens eine Nullstelle. Folgerung Sei I R ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervll und f : I R stetig. Dnn ist uch f(i) ein Intervll. 3.7 Logrithmus und llgemeine Potenz Sei D R und f : D R. Die Begriffe monoton wchsend, streng monoton wchsend, monoton fllend und streng monoton fllend setzen wir ls beknnt vorus. Der folgende Stz ist die Grundlge für die Definition der Wurzelfunktionen, des Logrithmus und der Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen. Stz Sei D R ein Intervll und f : D R eine stetige, streng monoton wchsende (bzw. streng monoton fllende) Funktion. Dnn bildet f ds Intervll D bijektiv uf ds Intervll D := f(d) b und die Umkehrfunktion f 1 : D D ist ebenflls stetig und streng monoton wchsend (bzw. streng monoton fllend). 20

21 Sei nun k N, k 2. Dnn ist die Funktion Protokoll über die 16. Vorlesung f : R 0 R, x x k, stetig, streng monoton wchsend und bildet R 0 bijektiv uf R 0 b. Die Umkehrfunktion f 1 : R 0 R, x k x, ist ebenflls stetig, streng monoton wchsend und heißt k-te Wurzel. Die Funktion exp : R R, x exp(x), ist stetig, streng monoton wchsend und bildet R bijektiv uf R >0 b. Die Umkehrfunktion, die mit log bezeichnet wird, log : R >0 R, x log(x), ist ebenflls stetig, streng monoton wchsend und heißt ntürlicher Logrithmus. Der Logrithmus erfüllt die Funktionlgleichung log(xy) = log(x) + log(y), x, y R >0. Wir sind nun bereit, um die llgemeine Potenz zu definieren. Definition Für R >0 und x R definieren wir x := exp(x log()). Mn überzeugt sich leicht, dss die Rechenregeln x y = x+y, ( x ) y = xy, x b x = (b) x, ( ) x 1 = x gelten. Die Schreibweise wird ebenflls gerechtfertigt durch die Beziehung 3.8 Stetigkeit von Potenzreihen p/q = q p für p Z, q N, q 2. Stz Sei f(z) = n=0 nz n, n K, eine Potenzreihe mit Konvergentrdius R > 0. Dnn ist die ddurch definierte Funktion f : D := {z K z < R} K, z f(z), stetig. Als Konsequenz notieren wir, dss exp, sin und cos stetige Funktionen sind. 21

22 3.9 Die Zhl π Wir definieren π/2 ls die kleinste positive Nullstelle des Cosinus. Stz Es gibt genu ein ξ [0, 2] mit cos(ξ) = 0. Definition π := 2ξ. Auch Teile dieses Beweises wurden in ds nächste Kpitel verschoben. Es wurde gezeigt, dss sin(x) > 0 ist für x (0, 2]. Aus cos (x) = sin(x) folgt, wie wir mit den Resultten des nächsten Kpitels einsehen werden, dss cos(x) uf [0, 2] streng monoton fällt. Folgerung cos( π 2 ) = 0, sin( π 2 ) = 1. Aus den Additionstheoremen folgern wir nun Stz Für x R gilt: Ferner ht mn die folgende Wertetbelle. 1) cos(x + 2π) = cos(x), sin(x + 2π) = sin(x), 2) cos(x + π) = cos(x), sin(x + π) = sin(x), 3) cos(x + π 2 ) = sin(x), sin(x + π 2 ) = cos(x). x 0 π 2 π 3π 2 2π sin(x) cos(x) Umkehrung der trigonometrischen Funktionen cos ist uf [0, π] streng monoton fllend. Die Umkehrfunktion heißt Arcus-Cosinus. rccos: [ 1, 1] [0, π] sin ist uf [ π 2, π 2 ] streng monoton wchsend. Die Umkehrfunktion heißt Arcus-Sinus. Für x R \ { π 2 + kπ k Z} setzt mn rcsin: [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] tn(x) := sin(x) cos(x). tn ist uf ( π 2, π 2 ) streng monoton wchsend und bildet ( π 2, π 2 ) uf R b. Die Umkehrfunktion heißt Arcus-Tngens. Bemerkung Es gilt rctn(1) = π 4. rctn: R ( π 2, π 2 ) 22

23 Protokoll über die 17. Vorlesung (Dustin Lzrovici) 4 Differenzierbre Abbildungen 4.1 Definition und erste Eigenschften Im folgenden sei I ein nicht-leeres, offenes Intervll in R (z.b. I = R). Wie bisher steht K für den Körper R oder C. Definition Sei f : I K eine Funktion und x 0 I. Dnn heißt f differenzierbr n der Stelle x 0, flls es ein m K gibt, so dß wobei r : I x 0 K die Eigenschft ht. f(x) = f(x 0 ) + m(x x 0 ) + r(x x 0 ), (1) r(x x 0 ) lim = 0 (2) x x 0 x x 0 x x 0 Stz Sei f : I K und x 0 I. Dnn ist f genu dnn in x 0 differenzierbr, wenn der Differentilquotient f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) := x x0 lim x x 0 x x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) = lim h 0 h h 0 existiert. In diesem Fll ist f (x 0 ) gleich dem m in obiger Definition. Folgerung Ist f n der Stelle x 0 differenzierbr, dnn ist ds m in obiger Definition eindeutig bestimmt. Interprettion der Ableitung (1) Lokle Linerrisierung (ffin linere Abb. + Fehlerterm, der,,schneller ls liner gg. 0 geht) (2) Steigung der Tngente (Differenzenquotient Differentilquotient) (3) Physiklisch (,,Mittlere Geschwindigkeit Momentn-Geschwindigkeit) Stz Wenn f in x 0 differenzierbr ist, so ist f in x 0 stetig. Mn bechte, dß die Umkehrung flsch ist. Ein einfches Gegenbeispiel ist die Betrgsfunktion. Definition ) Ist f differenzierbr in x 0, dnn heißt f (x 0 ) die Ableitung oder ds Differentil von f n der Stelle x 0. Sttt f (x 0 ) schreibt mn uch d dx f(x 0) oder Df(x 0 ). b) f heißt differenzierbr, wenn sie uf dem gnzen Definitionsbereich I differenzierbr ist. Die Zuordnung f : I K, x f (x) definiert dnn eine Abbildung uf I, gennnt die Ableitung von f. c) f heißt stetig differenzierbr (n der Stelle x 0 ), wenn f differenzierbr und f (n der Stelle x 0 ) stetig ist. d) f heißt k-ml (stetig) differenzierbr, wenn die Abbildungen f, f, f = f 2,..., f k 1 lle differenzierbr sind (und f k stetig ist). Mn nennt f k = (f k 1 ) die k-te Ableitung von f. 23

24 Definition Wir definieren die Funktionenräume C(I; K) := {f : I K f stetig} C k (I; K) := {f : I K f k ml stetig differenzierbr}, k N. Klr ist C C 1 C 2... C k 1 C k.... Wir definieren ferner C (I; K) := C k (I; K) k N 0 Abschließend definieren wir einseitige Ableitungen. Definition ) f heißt linksseitig differenzierbr in x 0, flls der Limes f (x f(x) f(x 0 ) 0 ) := x x0 lim x x x<x 0 0 existiert. b) f heißt rechtsseitig differenzierbr in x 0, flls der Limes existiert. f +(x f(x) f(x 0 ) 0 ) := x x0 lim x x x>x 0 0 Die einseitigen Ableitungen f bzw. f sind uch n den Rändern kompkter Intervlle sinnvoll. 4.2 Differentitionsregeln Stz Seien f : I 1 K, g : I 2 K differenzierbr in x 0 I 1 I 2 und λ K. Dnn sind uch die Funktionen f + g, λf, f g in x 0 differenzierbr und es gilt i) (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) ii) (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ) iii) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel) Ist ferner g 0 in einer Umgebung von x 0, dnn ist uch f g in x 0 differenzierbr mit iv) ( ) f g (x0 ) = f (x 0)g(x 0) f(x 0)g (x 0) g(x 0) 2 (Quotientenregel) Stz (Kettenregel) Seien I 1, I 2 R offene Intervlle und f : I 1 I 2, g : I 2 K. Die Funktion f sei in x 0 I 1 differenzierbr und g sei in y 0 := f(x 0 ) differenzierbr. Dnn ist uch ds Kompositum g f differenzierbr in x 0 und es gilt (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). 24

25 Protokoll über die 18. Vorlesung Stz (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei I R ein offenes Intervll und f : I R eine stetige und streng monotone Funktion. Sei I := f(i) und g : I R die Umkehrfunktion. Ist f in x 0 I differenzierbr und f (x 0 ) 0, so ist g in y 0 := f(x 0 ) differenzierbr und es gilt 4.3 Extremlstellen g (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (g(y 0 )). Definition Sei f : X R eine Funktion uf dem metrischen Rum X. ) f ht ein lokles Mximum bei p X, flls es ein δ > 0 gibt, so dß f(p) f(x) gilt für lle x U δ (p). b) f ht ein lokles Minimum bei p X, flls es ein δ > 0 gibt, so dß f(p) f(x) gilt für lle x U δ (p). c) Wir nennen ds Mximum isoliert, flls in der Ungleichung > gilt. Anlog definiert mn ein isoliertes Minimum. d) f ht ein globles Mximum bei p X, flls f(p) f(x) gilt für lle x X. e) f ht ein globles Minimum bei p X, flls f(p) f(x) gilt für lle x X. Stz Sei f : [, b] R und f hbe bei x 0 (, b) einen loklen Extremwert (d.h. ein lokles Mximum oder Minimum) und f sei in x 0 differzierbr. Dnn gilt f (x 0 ) = 0. Mn bechte, dß dies nur eine notwendige, ber keine hineichende Bedingung ist. Als Gegenbeispiel sei die Funktion x x 3 ngeführt. 4.4 Mittelwertsätze Stz (Stz von Rolle) Sei < b, f : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr. Es gelte f() = f(b). Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (ξ) = 0. Stz (Verllgemeinerter Mittelwertstz) Sei < b und seien f, g : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit (f(b) f()) g (ξ) = (g(b) g()) f (ξ). Folgerung (Mittelwertstz) Sei < b und f : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (ξ) = f(b) f(). b Folgerung Sei < b und f : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr. Für die Ableitung gelte m f (ξ) M, ξ (, b), mit m, M R. Dnn gilt für lle x, y [, b] mit x y die Abschätzung m(y x) f(y) f(x) M(y x). Folgerung Sei f wie eben und es gelte zusätzlich f (x) = 0 für lle x (, b). Dnn ist f konstnt. 25

26 4.5 Monotonie Stz Sei f : (, b) R differenzierbr. Dnn gilt: () f (x) > 0, x (, b) = f ist streng monoton wchsend. (b) f (x) < 0, x (, b) = f ist streng monoton fllend. (c) f (x) 0, x (, b) f ist monoton wchsend. (d) f (x) 0, x (, b) f ist monoton fllend. Stz Sei f : (, b) R differenzierbr, in x (, b) zweiml differenzierbr und es gelte f (x) = 0 und f (x) > 0 (bzw. f (x) < 0). Dnn ht f in x ein isoliertes Minimum (bzw. Mximum). Mn bechte, dss die Bedingung des Stzes zwr hinreichend, ber nicht notwendig ist. 4.6 Konvexität Definition Sei I R ein Intervll. Eine Funktion f : I R heißt konvex, wenn für lle x, y I und lle λ (0, 1) gilt Mn nennt f konkv, wenn f konvex ist. f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Bemerkung Fordert mn in der Definition strikte Ungleichheit, so nennt mn f streng konvex. Stz Sei I R ein offenes Intervll und f : I R eine zweiml differenzierbre Funktion. Dnn ist f genu dnn konvex, wenn f (x) 0 für lle x I. Bemerkung In obiger Sitution gilt uch: f (x) > 0, x I = f ist streng konvex. 26

27 4.7 Stz von Drboux Protokoll über die 19. und 20. Vorlesung Stz Sei f : [, b] R, < b, differenzierbr uf [, b]. Dnn gibt es zu jedem λ R mit f () < λ < f (b) (bzw. f (b) < λ < f ()) ein ξ (, b) mit f (ξ) = λ. Die Ableitung f erfüllt lso den Zwischenwertstz ohne notwendigerweise stetig zu sein. 4.8 Die Regel von l Hospitl Stz Sei < b + und seien f, g : (, b) R differenzierbr. Sei ferner g (x) 0 für lle x (, b). Der rechtsseitige Limes f (x) lim x + g (x) existiere (im eigentlichen oder uneigentliche Sinn). Weiter sei eine der folgenden beiden Vorussetzungen erfüllt: (H1) (H2) lim x x f(x) = lim g(x) = 0, + + lim g(x) = ±. x + Dnn existiert uch und es gilt f(x) lim x + g(x) f(x) lim x + g(x) = lim f (x) x + g (x). Anloge Resultte gelten für x b. 4.9 Der Tylorsche Stz Stz Sei f : [, b] R, n N, f (n 1) sei stetig uf [, b] und differenzierbr uf (, b). Seien α, β (, b), α β. Sei P (t) = P n 1,f,α (t) := Dnn gibt es einen Zwischenwert ξ von α und β, n 1 k=0 f (k) (α) (t α) k. k! ξ = α + ϑ(β α), ϑ (0, 1), so dß f(β) = P (β) + f (n) (ξ) (β α) n. } n! {{} =:R n,f,α (β) Bemerkungen ) Für n = 1 ist dies der Mittelwertstz. 2) Ds Polynom P n 1,f,α nennt mn ds (n 1)-te Tylorpolynom von f im Entwicklungspunkt α. Dies ist ein Polynom (in t) vom Grd n 1. 27

28 Definition Sei I R ein Intervll und I. Die Funktion sei im Punkt I beliebig oft differenzierbr. Dnn nennt mn T f, (x) := k=0 die Tylorentwicklung von f im Entwicklungspunkt. f (k) () (x ) k. k! Für ein x I konvergiert T f, (x) genu dnn gegen f(x), wenn R m,f, (x) für m gegen 0 konvergiert. Mn bechte, dß die Tylorreihe im Allgemeinen nicht für lle x I konvergiert. Selbst im Flle der Konvergenz, gilt im Allgemeinen nicht f(x) = T f, (x). Stz Für x < 1 gilt log(1 + x) = ( 1) k xk k. k=1 Auf die selbe Weise wie im Beweis zu diesem Stz knn mn Tylorentwicklungen für rctn, rcsin und rccos herleiten. 5 Funktionenfolgen 5.1 Grundlegende Definitionen Definition Seien f n : X Y Funktionen zwischen metrischen Räumen X und Y. 1) Die Funktionenfolge (f n ) n N heißt punktweise konvergent in x X, flls die Folge (f n (x)) n N konvergiert. Wir nennen (f n ) n N punktweise konvergent, wenn für lle x X punktweise Konvergenz vorliegt. 2) Im Flle punktweiser Konvergenz heißt f : X Y, x lim n f n(x) die Grenzfunktion von (f n ). 3) Die Funktionenfolge (f n ) heißt gleichmäßig konvergent gegen f, flls es zu jedem ɛ > 0 eine ntüriche Zhl N = N(ɛ) gibt, so dß für lle n N und lle x X gilt: d Y (f(x), f n (x)) < ɛ. Wir schreiben f n f bei punktweiser Konvergenz, und f n = f bei gleichmäßiger Konvergenz. Einen wichtigen Spezilfll von Funktionenfolgen stellen die unendlichen Reihen über Funktionen dr. Sei g k : X K und n f n := g k. k=0 Wie bei Reihen üblich schreibt mn uch hier k=0 g k und meint dmit die Folge der Prtilsummen. Dieser Spezilfll umfßt insbesondere die Potenzreihen. Definition Für eine Funktion f : X K erklärt mn die Supremumsnorm durch f = f X := sup{ f(x) x X} R 0 { }. Diese Norm erfüllt die Dreiecksungleichung, f + g f + g. Stz Die Funktionenfolge (f n ) konvergiert genu dnn gleichmäßig gegen f, wenn f n f gegen 0 konvergiert. 28

29 Stz (Weiserstrß) Gegeben seien die Funktionen g k : X K. Die Reihe k=0 g k sei konvergent. Dnn konvergiert k=0 g k bsolut und gleichmäßig uf X. Für spätere Anwendungen in der Theorie der Potenzreihen ist ds nächste Resultt grundlegend. Folgerung Sei P (x) = n=0 nx n, x K, eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r > 0. Dnn ist P (x) bsolut und gleichmäßig konvergent uf jeder Teilmenge der Form {x K x ρ}, 0 < ρ < r. 5.2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit der Grenzfunktion Die folgenden Resultte geben Auskunft drüber, unter welchen Vorussetzungen sich Eigenschften der f n, wie Stetigkeit und Differenzierbrkeit, uf die Grenzfunktion f vererben. Stz Die Funktionen f n : X Y seien stetig und (f n ) sei gleichmäßig konvergent gegen f. Dnn ist uch f stetig. Folgerung Potenzreihen stellen im Inneren ihres Konvergezbereichs stetige Funktionen dr. Protokoll über die 21. bis zur letzten Vorlesung Stz Sei I R ein offenes Intervll und die Funktionen f n : I R seien differenzierbr uf I. Für ein x 0 I existiere lim n f n (x 0 ). Auf jedem bgeschlossenen und beschränkten Teilintervll von I sei (f n) gleichmäßig konvergent. Dnn ist uch (f n ) uf jedem bgeschlossenen und beschränkten Teilintervll gleichmäßig konvergent, die Grenzfunktion f = lim n f n ist differenzierbr und f = lim n f n Folgerung Potenzreihen P (x) = n=0 nx n sind im Inneren ihres Konvergezbereichs differenzierbr und es gilt P (x) = n n x n 1. 6 Ds Riemnn-Integrl 6.1 Grundlegende Definitionen Definition Unter einer Prtition P des Intervlls [, b] versteht mn eine endliche Menge von Punkten x 0,..., x n mit = x 0 x 1... x n 1 x n = b. Wir schreiben i := x i x i 1, i = 1,..., n. Sei f : [, b] R beschränkt und P eine Prtition von [, b]. Wir setzen M i := sup{f(x) x i 1 x x i }, m i := inf{f(x) x i 1 x x i }, n S(P, f) := M i i, s(p, f) := i=1 n m i i, i=1 29

30 und schließlich b b fdx := inf S(P, f), fdx := sup s(p, f). Mn spricht hier vom oberen und unteren Riemnn-Integrl. Ds Infimum bzw. Supremum ist hier über lle Prtitionen von [, b] zu nehmen. Definition f heißt Riemnn-integrierbr, wenn b fdx = Die Menge der Riemnn-integrierbren Funktionen uf [, b] bezeichnen wir mit R = R(, b). Ds wesentliche technische Hilfsmittel in vielen Beweisen zu Resultten rund um ds Riemnn- Integrl ist der Begriff der Verfeinerung einer Prtition. b fdx. Definition P ist eine Verfeinerung von P, flls P P. Zu zwei gegebenen Verfeinerungen gibt es stets gemeinsme Verfeinerungen, etw P = P 1 P 2. Stz Es gilt stets b fdx b fdx. Der nun folgende Stz enthält eine wichtige Chrkterisierung der Integrierbrkeit. Stz f R ɛ > 0 P : S(P, f) s(p, f) < ɛ. Folgerung ) Flls S(P, f) s(p, f) < ɛ für eine Prtition P gilt, so gilt uch S(P, f) s(p, f) < ɛ für jede Verfeinerung P von P. b) Es gelte wieder S(P, f) s(p, f) < ɛ für die Prtition P = {x 0,..., x n }. Seien s i, t i [x i 1, x i ]. Dnn gilt uch n f(s i ) f(t i ) i < ɛ. c) Sei f R und es gelten die Vorussetzungen us b). Dnn gilt: n b f(t i ) i fdx < ɛ. i=1 i=1 In den folgenden Sätzen wird die Riemnn-Integrierbrkeit für verschiedene Klssen von Funktionen f gezeigt. Stz Sei f stetig uf [, b]. Dnn ist f R(, b). Stz Sei f monoton uf [, b]. Dnn ist f R(, b). Stz Die beschränkte Funktion f hbe uf [, b] höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen. Dnn ist f R(, b). Stz Sei f R, m f(x) M, x [, b]. Sei Φ : [m, M] R stetig. Dnn ist Φ f R. 30

31 6.2 Eigenschften des Integrls Stz ) (Linerität) Sind f, f 1, f 2 R und c R. Dnn ist f 1 + f 2 R und cf R. Es gilt b b (f 1 + f 2 )dx = cfdx = c b b fdx. b) (Monotonie) Gilt f 1 (x) f 2 (x), x [, b], so gilt c) Für f R und < c < b gilt b b fdx = f 1 dx c b fdx + f 1 dx + f 2 dx. b d) Ist f R und f(x) M, x [, b], so gilt b fdx M(b ). Stz Für f, g R gilt: ) fg R. b) f R. Ferner gilt: b fdx b f dx. c b fdx. f 2 dx, 31