Mechanik IA Thomas Antretter

Transkript

1 Vorlesung Thomas Antretter Institut für Mechanik, Montanuniversität Leoben, 8700 Leoben

2 Einteilung Mechanik feste Körper Fluide (Flüssigkeiten, Gase) starre Körper deformierbare Körper Mechanik fester Körper Statik Dynamik Kinematik Kinetik

3 Der Kraftbegriff: Eine Kraft ist ein Vektor, charakterisiert durch Größe, Richtung und Orientierung Bezeichung allgemein: F (auch F, F, F..) Typische Kräfte: Gewichtskraft G, Seilkraft S, Kontaktkraft K. Kräfte bewirken: Muskelempfindungen Verformungen fester Körper Beschleunigung von Körpern Einheit der Kraft: Newton, 1 N = 1 kgms -2 (früher: kilopond, 1 kp = 9,80665 N, Normalfallbeschleunigung g n = 9,80665 ms -2 ) Andere Vektoren in der Mechanik: Geschwindigkeit v Beschleunigung a Ortsvektor r..

4 Vektorrechnung F 1 = F 2, wenn F 1 = F 2 und F 1 F 2 und gleiche Orientierung, der Angriffspunkt kann unterschiedlich sein F 3 = F 1, wenn F 1 = F 3 und F 1 F 2 und entgegengesetzte Orientierung. Multiplikation mit einem Skalar: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar verändert die Größe und ggf. die Orientierung des Vektors, die Richtung bleibt hingegen gleich.

5 Vektoraddition: R = F 1 + F 2 = F 2 + F 1 aber R F 1 + F 2 kommutativ! k(f 1 + F 2 ) = kf 1 + kf 2 distributiv! Vektordifferenz: D = F 1 F 2 = F 1 + ( F 2 )

6 Zerlegung eines Vektors: Zerlegung von F in Komponenten F a und F b

7 Darstellungsmöglichkeiten von Vektoren: Zerlegung eines Vektors in einem geeigneten Koordinatensystem z.b. kartesisch, 2D: F = F x + F y = F x e x + F y e y = F x e x + F y e y e x, e y. Einheitsvektoren (Richtungsanzeiger der Länge 1) F x = F cos α F y = F sin α Merke:

8 kartesisch, 3D: rechtshändiges Koordinatensystem! +z F = F x e x + F y e y + F z e z = = F x e x + F y e y + F z e z +y +x Gegebenenfalls sind andere Koordinatensysteme zielführend, z.b. Polarkoordinaten (Zylinderkoordinaten), natürliche Koordinaten (in der Kinematik). Manchmal werden Vektoren in Spaltenform dargestellt: z.b. Kraftvektor F = F x F y F z, Geschwindigkeitsvektor v = u v w,.

9 Rechnerische Addition und Subtraktion von Vektoren: A = A x e x + A y e y + A z e z B = B x e x + B y e y + B z e z R = (A x + B x )e x + (A y + B y )e y + (A z + B z )e z analog für Subtraktion Alternative Schreibweise: R x R y R z = A x A y A z + B x B y B z = A x + B x A y + B y A z + B z R = A + B

10 Beispiel: Geg.: α, β, S 1 = S 1, S 2 = S 2 Ges.: Resultierender Kraftvektor R rechnerische Lösung: S 1 = S 1 cos β e x S 1 sin β e y S 2 = S 2 cos α e x + S 2 sin α e y R = S 1 + S 2 = (S 1 cos β + S 2 cos α) e x + +( S 1 sin β + S 2 sin α) e y graphische Lösung: R = S 1 cos β + S 2 cos α S 1 sin β + S 2 sin α

11 Kraftangriffspunkt Der Begriff Einzelkraft ist bereits eine Idealisierung. In der Realität treten zwei Fälle auf: 1.) räumlich verteile Kräfte (Volumskräfte oder Massenkräfte) ΔF k = lim V ΔV 0 ΔV k = N/m³ z.b. Schwerkraft (im Modell Ersatz durch Einzellast im Schwerpunkt) 2.) flächig verteile Kräfte (Oberflächenkräfte) ΔF σ = lim A ΔA 0 ΔA σ = N/m² z.b. Druckverteilung auf einem Autoreifen (Ersatz durch Einzellast)

12 bei größerer Berührfläche: Kräfte treten paarweise, mit gleichem Betrag, entgegengesetzt auf (3. Newtonsches Axiom) K.. Kontaktkraft von Unterlage auf Körper Ersatz durch Einzelkraft bei der Berechnung der Verformungen und inneren Beanspruchungen i.a. nicht zulässig

13 Für 2D Modelle werden häufig linienmäßig verteilte Lasten benötigt: ΔF q = lim l Δx 0 Δx q = N/m

14 Ortsvektoren: r BA = r B - r A Ziel Ausgangspunkt r P = xe x + ye y + ze z oder r P = x y z r BA = (x B x A )e x + (y B y A )e y + (z B z A )e z normierter Richtungsvektor n BA = r BA r BA n BA = 1

15 Ist die Wirkungslinie einer Kraft durch 2 Punkte A und B gegeben und kennt man die Größe der Kraft, so kann man den Kraftvektor wie folgt anschreiben: F = λr BA = Fn BA = F r BA r BA λ = F r BA Beispiel: A Geg.: S = 350 N, Punkte A, B Ges.: S r A = , r B = r BA = 3 2 6, r BA = = 7 B S = = oder S = 150e x 100e y 300e z

16 Vektorprodukte - Inneres Produkt (Skalarprodukt) zweier Vektoren: "In-Produkt" A B = B A kommutativ! Definition: A B = AB cos φ Projektion eines Vektors auf den anderen. Wird in der Mechanik z.b. für die Definition von Arbeit, Leistung etc. benötigt. A = A x e x + A y e y + A z e z B = B x e x + B y e y + B z e z A B = (A x e x + A y e y + A z e z ) (B x e x + B y e y + B z e z ) = A x B x e x e x + A x B y e x e y + A x B z e x e z + A y B x e y e x + A y B y e y e y +A y B z e y e z + A z B x e z e x + A z B y e z e y + A z B z e z e z = A x B x + A y B y + A z B z Man beachte: e i e j = i,j x, y, z 1 für i = j 0 für i j

17 Winkel zwischen 2 Vektoren: cos φ = A B A B z.b. in vorigem Beispiel: Winkel γ zwischen S und z-achse: cos γ = S e z S e z = S z S = 300 γ = 149, γ =

18 Vektorprodukte - Äußeres Produkt (vektorielles Produkt) zweier Vektoren: Ex-Produkt" A B = B A nicht kommutativ! Definition: A B = A B sin α Flächeninhalt N = A B N = A B Rechtsschraubregel A B = 0, wenn A B oder A = 0 oder B = 0 k A B = ka B = A kb assoziativ für die Multiplikation mit einem Skalar A B + C = A B + A C distributiv A B + C = A B + C A B + C Punkt vor Strich

19 A = A x e x + A y e y + A z e z B = B x e x + B y e y + B z e z A B = (A x e x + A y e y + A z e z ) (B x e x + B y e y + B z e z ) = A x B x e x e x + A x B y e x e y +A x B z e x e z + A y B x e y e x + A y B y e y e y +A y B z e y e z + A z B x e z e x +A z B y e z e y +A z B z e z e z = (A y B z A z B y )e x + (A z B x A x B z )e y + (A x B y A y B x )e z Man beachte: e x e x = 0 e y e y = 0 e z e z = 0 e x e y = e z e y e z = e x e z e x = e y e y e x = e z e z e y = e x e x e z = e y andere Schreibweise: A B = e x e y e z A x A y A z = e x (A y B z A z B y ) e y (A x B z A z B x ) + e z (A x B y A y B x ) B x B y B z

20 Gemischtes Produkt dreier Vektoren: Spatprodukt" A B C ist das Volumen des von A, B und C aufgespannten Parallelepipeds (Spat) A B C = A B C cos β A B A B C = A x A y A z B x B y B z = A x (B y C z B z C y ) + A y (B z C x B x C z ) + A z (B x C y B y C z ) C x C y C z A, B und C können zyklisch vertauscht werden.

21 Entwicklungssatz: A B C = B A C C A B Man beachte: A B C A B C nicht assoziativ

22 Der Momentenbegriff Das Moment einer Kraft bzgl. eines Bezugspunkts O: Definition: M O = r F M O = r F sin α = F r sin α = = F p.. Kraft mal Hebelarm (sinnvoll nur in 2D) Der Momentenvektor steht normal auf die von r und F aufgespannte Ebene. Der Drehsinn ergibt sich aus der Rechtsschraubregel. M O = r F = e x e y e z x y z F x F y F z = (yf z zf y )e x (xf z zf x )e y + (xf y yf x )e z Offensichtlich ist M O abhängig von der Wahl des Bezugspunkts.

23 Resultierender Momentenvektor eines Kraftsystems mit Bezugspunkt O: M O (R) = n ri i=1 F i

24 Moment eines Kräftepaars: M O (R) = r1 F + r 2 F = = r 1 F r 2 F = (r 1 r 2 ) F = r 12 F r 12 ist unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts! Abkürzend setzen wir r 12 r Also M = r F (man beachte: M hat keinen Index für den Bezugspunkt) Wieder gilt für den Betrag: M = F p Dieser M darf am starren Körper beliebig längs und parallel verschoben werden.

25 Äquivalente Kräftepaare erzeugen alle den gleichen Momentenvektor M Die Momente von Kräftepaaren können zu einem resultierenden Moment zusammengefasst werden: M (R) = n r i i=1 F i

26 Kraftsysteme gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirkungslinien kein gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirkungslinien 2D zentrales ebenes Kraftsystem allgemeines ebenes Kraftsystem 3D zentrales räumliches Kraftsystem allgemeines räumliches Kraftsystem

27 Reduktion eines Kraftsystems: Geg.: Kräfte F 1 bis F n in den Angriffspunkten A 1 bis A n Ges.: Durch welches Gebilde im Punkt A läßt sich das Kraftsystem äquivalent ersetzen?

28 Reduktion eines Kraftsystems: Geg.: Kräfte F 1 bis F n in den Angriffspunkten A 1 bis A n Ges.: Durch welches Gebilde im Punkt A läßt sich das Kraftsystem äquivalent ersetzen? Verschiebt man eine Kraft parallel, so ist das nur durch ein zusätzliches Moment äquivalent möglich. M 1 = r 1 F 1 M n = r n F n R = n F i M A = n r i F i A..Reduktionspunkt i=1 i=1 Reduktionsresultanten

29 Haben Kraftsystem im gleichen Punkt gleiche Reduktionsergebnisse, nennt man sie äquivalent. Welchen Einfluss hat die Wahl eines anderen Reduktionspunkts A? Ausgangspunkt: Reduktionsergebnis für den Punkt A: R = F i, M A = r i F i für A gilt: R = F i, M A = r i F i

30 Haben Kraftsystem im gleichen Punkt gleiche Reduktionsergebnisse, nennt man sie äquivalent. Welchen Einfluss hat die Wahl eines anderen Reduktionspunkts A? Ausgangspunkt: Reduktionsergebnis für den Punkt A: R = F i, M A = r i F i für A gilt: R = F i, M A = r i F i r i =r i a M A = (r i a) F i = (r i F i ) a F i M A = M A (a R) M A R M A nur dann = M A, wenn R = 0 oder a R Wir projizieren nun M A auf den normierten R, d.h. auf n = R R : M A n = M A n (a R) n 0 M A n = M A n = M R, M R = M R n

31 M A = M A (a R)

32 Zentralachse Dyname Bei geeigneter Wahl des Reduktionspunkts verschwindet die Normalkomponente von M A0 und es verbleibt die auf der Zentralachse liegende Dyname oder Kraftschraube des Systems. Sie ist charakteristisch für das Kraftsystem.