Gegeben Zieladresse, finde Nachbarknoten, an den Paket zu senden ist ("Routing-Tabelle")

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1 8 Digitalbäume, Tries,, Suffixbäume 8.0 Anwendungen Internet-outer egeben Zieladresse, finde Nachbarknoten, an den Paket zu senden ist ("outing-tabelle") 3 network addr Host id jefe.inf.fu.berlin.de Suchmaschine Finden aller Web-Seiten mit bestimmte Stichworte enthalten io-informatik Finde Positionen in einem en, dass die Sequenz ACTAATACCTTCT enthält 0 Map Suche in Texten hs / fub alp3-28-digitalbaum 8. Digitalbäume A E Artur odo Egon D Arndt Edgar Erwin M Siehe z.. Tamassia: Data Structures... Suchbaum mit Schlüsseln über Alphabet {x,...,xm} Verzweigung in Knoten der Tiefe k: k-tes Zeichen des Suchschlüssels s 0,s,...,s n- Schlüsselwerte in den Knoten (wie binärer S) aum abhängig von Einfügefolge Mögliche Einfügereihenfolge:. 2. Artur 3. odo 4. Arndt 5. Egon 6. Edgar 7. Erwin 8. 9.

2 Suchen A E Artur odo Egon D Arndt Edgar M Erwin class Node{ String key; Node nachfolger[] = new Node[alphasize]; } Für jedes Zeichen des Alphabets ein Nachfolger private boolean search2 (String key, int pos, Node n){ if (node.key == key) return true; if (node.nachfolger[pos] == null)return false; else return search2(key,pos+,n.nachfolger[pos]); } Fast wie binärer Suchbaum hs / fub alp3-28-digitalbaum 3 Einfügen A E N Artur odo Egon Nora D L Arndt Edgar Erwin Elise M Wie binärer Suchbaum: Edmiranda - suchen des Schlüssel - wenn gefunden, "duplicate key" sonst einfügen als latt gemäß s k+, wenn Suchpfad die Länge k hatte. I Einfügen: Nora Elise Edmiranda Nachteile: -Im egensatz zu binärem Suchbaum keine Ordnung! - großes Alphabet => großer Speicheraufwand für Knoten. hs / fub alp3-28-digitalbaum 4 2

3 Digitalbäume mit binärem Alphabet 0 Artur 0 Tanja 0 odo Nora osi 0 Arndt Egon 0 Edgar Erwin 0 Mögliche Einfügereihenfolge:. 2. Artur 3. odo 4. Arndt 5. Edgar 6. Edgar 7. Erwin Nora. Tanja A=0000 =0000 D=0000 E=000 =00 L=000 M=00 N=00 Q=000 =000 T=000 U=00 Codierung der Zeichen: 5-it inärwert der Position im Alphabet, A= hs / fub alp3-28-digitalbaum 5 Eigenschaften Schlüssel binär, eindeutig, feste Schlüssellänge und N << 2 k Schlüssel dann maximal k Vergleiche ( im Vergleich zu N bei binären Suchbäumen). Zufällige Verteilung der Schlüssel-its: log N Vergleiche im Durchschnitt, 2* log N im schlechtesten Fall. Sortierte Verarbeitung? hs / fub alp3-28-digitalbaum 6 3

4 Frequenzsortierter Digitalbaum Position im aum durch Schlüsselposition und Einfügereihenfolge bestimmt Idee: häufigster Schlüssel als Wurzel seines Unterbaums,0 A E Artur,3 odo Egon, 4 5 D Arndt, 2 Edgar, 9 Arndt T A E Artur odo Edgar Egon Minimieren: Σ freq(k)* hight(k) k hs / fub alp3-28-digitalbaum 7 eispiel Symboltabelle, Wörterbuch (z.. echtschreibprüfung) u.a. Sorted frequency tree THE 5568 OF 9767 AND 7638 TO 5739 A 5074 IN 432 THAT 307 IS 2509 FO 869 AS 853 zitiert nach ayer, TUM, einfügen nach absteigender Häufigkeit - Knoten-Inhalt bestimmt Such- und Einfügepfad hs / fub alp3-28-digitalbaum 8 4

5 eispiel: Frequenzsortierter Digitalbaum nach ayer, TUM, 2000 Die 3 häufigsten Wörter des Englischen, eingefügt nach Häufigkeit. (eachte: andere Kodierung der Zeichen als oben!) hs / fub alp3-28-digitalbaum Tries Knotensortierung in digitalem Suchbaum? Idee: Schlüsselwerte nur in lattknoten, innere Knoten haben nur Wegweiserfunktion. (hohler aum, siehe + -äume) A E Artur odo Egon D Arndt Edgar N A E odo D T T Egon Erwin M M Erwin Arndt Edgar Artur Trie: abgeleitet von "etrieval", Aussprache wie "try" hs / fub alp3-28-digitalbaum 0 5

6 Trie: : Definition Ein Trie T ist ein Positionsbaum über einem Alphabet A (binärer Trie, wenn A = {0,} ) Wenn T N Schlüssel enthält, besitzt T N lätter. Jedes latt enthält einen Schlüssel. Der Pfad von der Wurzel bis zum latt für den Schlüssel s s 2...s n hat die Länge k <= n. Die Kanten des Pfades sind implizit mit s, s 2,...,s k markiert. (Implizit, weil Markierung bereits durch Positionsbaum- Eigenschaft). Für alle Schlüssel s, s' gilt: es gibt ein <= k <= m mit s i = s' i und s k!= s' k Kein Schlüssel ist Präfix eines anderen (wenn Schlüssel variabel lang) Eigenschaft: Die zu den Schlüsseln führenden Wurzelpfade sind geordnet (per Konstruktion). hs / fub alp3-28-digitalbaum Einfügen N N Arndt T A E odo D M Egon Edgar T V Artur Arved Erwin H W Erhard Erwin public void insert(string k){ node n = searchkey(k); int d = n.depth(); if (isleaf(n)) splitnodeandinsert(d,n.key, k) else n.insert(d,k); //"null leaf" } hs / fub alp3-28-digitalbaum 2 6

7 Trie: : Eigenschaften Ein Trie ist nach Schlüsseln sortiert. Ein Trie ist unabhängig von Einfügereihenfolge der Schlüssel: Oder: Ein Trie ist eindeutig durch die Menge der einzufügenden Schlüssel bestimmt. Suche und Einfügen in einen binären Trie mit N zufälligen Schlüsseln der Länge m benötigt im Mittel O(log N) Vergleiche. Im schlechtesten Fall werden m Vergleiche benötigt. Folgerung: Wegen N <= 2 m, also m <= log N, gilt: Suche von Schlüssel s linear in der Länge von s hs / fub alp3-28-digitalbaum 3 Präfix-Suche Neben Standardoperationen von Mengen Präfixsuche offenbar sehr einfach. public Set hasprefix (String pref); //pre: true //res: {s s self & pref is prefix of s} N N Arndt A odo T E Artur D Edgar T M V Egon Arved H Erhard W Erwin hs / fub alp3-28-digitalbaum 4 7

8 Alternative Definition Wurzelpfade haben jeweils Schlüssellänge auch hier Pfade mit je einem Nachfolger sind redundant, und lassen sich verkürzen. Voraussetzung: Schlüssel in lättern vorhanden. length = 4 + IE rafik von David reton, David Huynh & Denis icard, Mcill Univ. hs / fub alp3-28-digitalbaum Patricia äume Pfadkompression I O L O S. Aber wie markiert man die Kanten mit variabel langen Zeichenketten?? IE "Practical Algorithm To etrieve Information Coded In Alphanumeric", Morrison, 968 hs / fub alp3-28-digitalbaum 6 8

9 Implementierung der Pfadkomprimierung Komprimierte Pfadstücke sind redundant, search(key k) muss nur jeweils. Zeichen prüfen. [] I E L O ILL S IE IEST O S [6] IE [3] [3] ILL IEST search("iest" )muss drei Zeichen prüfen: IEST" [ 3 6 ] hs / fub alp3-28-digitalbaum 7 Patricia-Tries Ein Patricia-Trie (compressedtrie) ist ein pfadkomprimierter Trie Eigenschaften Ein aum mit N Schlüsseln hat N lätter Jeder Knoten hat - mindestens 2 Nachfolger - höchstens m Nachfolger bei Alphabet der röße m esamtspeicheraufwand O(N) Suche eines Schlüssels s in O(s.length()) hs / fub alp3-28-digitalbaum 8 9

10 Patricial-Trie und Zeichenketten [] [3] [3] M [6] [35,4] S [20,6], [27,7] AMEICA...IE IEST ILL... ZEO hs / fub alp3-28-digitalbaum 9 Patricial-Trie und Zeichenketten [6] [20,6], [40,45] [] [3] [3] [35,4] [27,7] Im allgemeinen kein vollständiger Schlüsselvergleich, wenn latt erreicht (Überspringen von von Schlüsselpositionen) Deshalb Schlüssel (oder Präfix) im latt unerlässlich, evtl. als Verweis (wie in Abb.). AMEICA...IE IEST ILL... IE ZEO ei Verzicht auf Eindeutigkeit der Schlüssel" problemlos: Mehrere Verweise in latt hs / fub alp3-28-digitalbaum 20 0

11 "IP Präfix Lookup" [] 0 [3] [3] 0 0 n3 [4] n5 n3 n4 n4 Adresspräfix Nachbarknoten n3 000 n4 n4 00 n5... esucht: nächster Netzknoten auf dem Weg zur Zieladresse Finde Eintrag (adr, nachbar) so, dass adr Präfix der Zieladresse mit maximaler Länge. 2. eispiel: Suche endet in innerem Knoten, wähle eines der lätter des Unterbaums. Einfügen, Ändern? hs / fub alp3-28-digitalbaum 2 Änderungsoperationen [] [] [3] [3] [3] [3] [6] [35,4] [20,6], [27,7] AMEICA...IE IEST IMAC ILL... ZEO [35,4] [20,6], [27,7] [6] [38,6] Einfügen: Pfad suchen, in den eingefügt wird. Fehlstelle zwischen einzufügendem Wert und in latt gefundenen Wert bestimmen, übersprungenen Teilpfad auftrennen. [4] hs / fub alp3-28-digitalbaum 22

12 Alternative Darstellung [22,24] [25,25] [20,6], [27,7] [20,2] [,2] [35,4] [32,32] [37,38] [,] Kanten mit Position des ersten / letzten Zeichen der Teilzeichenkette markiert. AMEICA...IE IEST ILL... ZEO hs / fub alp3-28-digitalbaum 23 Patricia-Tries Tries: : Alternative für inäre Suchbäume? Empirische Untersuchung (nach Sedgewick) Einfügen Suche N Trie Pat Trie Pat Zufällig erzeugte 32-it-Zahlen als Schlüssel hs / fub alp3-28-digitalbaum 24 2

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