D. Ulmet IT 4 Blatt 5 Stochastik I SS 2005

Transkript

1 D Ulmet IT Blatt Stochastik I SS 200 Aufgabe : Von den Ereignissen A, B und C trete a nur A ein, A B C ( (Ā (Ā b genau eines ein, A B C B C B C c höchstens eines ein, ( A B C (Ā B C (Ā B C (Ā B C d mindestens eines ein, A B C e mindestens eines nicht ein, Ā B C = (A B C f keines ein Ā B C = (A B C Drücken sie diese Ereignisse mittels A, B und C aus Aufgabe 2: Zwei Personen verabreden, sich an einem bestimmten Ort zwischen 2 und 3 Uhr nachmittags zu treffen, wobei jeder nur 20 Minuten warten und dann weggehen soll Spätestens um 3 Uhr verlässt jeder unabhängig von seiner Ankunftszeit den Ort Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie sich treffen Ω = {(a, b 0 a, b 0} A = {(a, b mit a b 20} p(a = A Ω = p(ā = = 9 Aufgabe 3: a Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen beim Wurf zweier idealer Würfel zwei aufeinanderfolgende Zahlen? Zeigt der erste Würfel die Augenzahl 2,3,,, so ist die Wahrscheinlichkeit, daá sich insgesamt aufeinanderfolgende Zahlen ergeben 3 Ist der erste Wurf eine oder, so ist diese Wahrscheinlichkeit Insgesamt erhalten wir: p = = 8 b Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim Wurf mit drei Würfeln lauter verschiedene Augenzahlen? Ω = 3 A = p = 3 = 9

2 c Drei Würfel werden geworfen Welches der beiden Ereignisse ist wahrscheinlicher, Augensumme oder Augensumme 2? Wir spielen diese Frage auf die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen bei zwei Würfel zurück: Augenzahl Augenzahl des Wurf 2 3 Augenzahl des 2 und 3 Wurfs Wahrscheinlichkeiten: p( = 3 [ ] = 27 3 Augenzahl 2 Augenzahl des Wurf 2 3 Augenzahl des 2 und 3 Wurfs Wahrscheinlichkeiten: p(2 = 3 [ ] = 2 3 Aufgabe : Ein Speiselokal bietet Vorspeisen, 8 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen an Wie viele Möglichkeiten hat ein Gast beim Zusammenstellen eines vollständigen Menüs? allgemeine Multiplikationsregel: 8 3 = 9 Aufgabe : Wie viele Permutationen der Elemente {,, 2,, 8} beginnen a mit, Platz sei ; für die Positionen 2 8 beliebige Permutationen der übrigen Zahlen 7! = 00 b mit 23, Plätze 3 sind festgelegt; für die übrigen Positionen ergeben sich:! = 20 Möglichkeiten c mit 82? Plätze sind festgelegt; f ür die übrigen Positionen ergeben sich:! = 2 Möglichkeiten Aufgabe : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß beim Verteilen der Skatkarten a Spieler A Buben erhält, 0 Karten werden aus 32 ausgewählt; ohne Zurücklegen, ungeordnet Ω = ( 32 0 Unterteilung der 32 Karten in die Gruppe der Buben und die Gruppe der Nichtbuben Ereignis Buben auf der Hand bedeutet: aus aus 28 E = ( ( 28 ( 28 p(e = ( = , 008 2

3 b Spieler A 3 Buben und 2 Asse erhält? Unterteilung der 32 Karten in die Gruppe der Buben, die Gruppe der Asse und die Gruppe der weder noch Ereignis 3 Buben und 2 Asse auf der Hand bedeutet: 3 aus 2 aus aus 2 E 2 = ( ( 3 ( 2 2 ( ( ( p(e 2 = ( 0, Aufgabe 7: Ein Skatspiel sei gut gemischt Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die Asse nebeneinander? Es gibt 32! Möglichkeiten die 32 Karten anzuordnen Ω = 32! Wir betrachten zunächst die Asse als einen Block Danach gibt es 29! Möglichkeiten die 28 verbleibenden Karten und den er Block anzuordnen Die Asse lassen sich noch intern auf! Möglichkeiten anordnen E = 29!! p(e =! 29! 32! = 20 0,

4 D Ulmet IT Blatt Stochastik II SS 200 Aufgabe : Die Buchstaben des Wortes Mississippi werden durcheinander gebracht und dann willkürlich aneinandergereiht Zeichen lassen sich auf! Möglichkeiten anordnen Da es i, s und 2 p gibt, müssen wir noch durch die interne Anordnungsmöglichkeiten teilen Ω =!!! 2! a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die i in der sich ergebenden Anordnung aufeinander folgen? Der er Block i entspricht dann einem Zeichen E =! 8! 2! p(e = 8!!! 2!! 2!! = 0, 022 b Es sei bekannt, dass die Anordnung mit M beginnt und mit s endet Mit welcher Wahrscheinlichkeit folgen dann die i aufeinander? Jetzt gibt es nur noch 9 Zeichen Da es noch i, 3 s und 2 p gibt, müssen wir noch durch die interne Anordnungsmöglichkeiten teilen Ω = 9!! 3! 2! E 2 = 3!! 2! p(e 2 =!! 3! 2! 9! 3! 2! = 2 0, 0 c Mit welcher Wahrscheinlichkeit folgen die i aufeinander, wenn bekannt ist, daá die 2 p aufeinander folgen? Wir betrachten die 2 p als einen Block Danach gibt es 0 Dinge anzuordnen Wenn wir noch durch die internen Anordnungsmöglichkeiten der i und s teilen ergibt sich: Ω =! 0!! Wenn wir die i als einen Block betrachten ergibt sich nach Division durch die internen Anordnungsmöglichkeiten der s : E 3 = 7!! p(e 3 = 7!!! 0!! = 30 0, 033 Aufgabe 2: Gegeben ist eine Urne mit Losen mit den Nummern, 2,, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in natürlicher Reihenfolge gezogen werden? Elemnte können auf! verschiedene Arten angeordnet werden Ω =! p =! = Aufgabe 3: Das Morsealphabet besteht aus den Zeichen und - Wie viele verschiedene Zeichen können dargestellt werden, wenn festgelegt wird, daá ein Zeichen höchstens aus Elementen ( oder - bestehen darf? Zeichen 2 Möglichkeiten 2 Zeichen 2 2 Möglichkeiten Zeichen 2 Möglichkeiten = 2( = = 2 Möglichkeiten

5 Aufgabe : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von k Studenten mindestens zwei am gleichen Tag gemeinsam ihren Geburtstag feiern können Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für k = 0,, 20, 22, 23, 2, 30, 0, 0 Wir nummerieren die k Studenten durch, dh wir betrachten ein beliebiges k-tupel, dessen Komponenten die Zahlen bis 3 sein dürfen Ω = 3 k Übergang zum Gegenereignis: Es gibt keinen gemeinsamen Geburtstag Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür? Student 3 Möglichkeiten 2 Student 3 Möglichkeiten k Student (3 k + Möglichkeiten Ē = 3 3 (3 k + p(e = 3 3 (3 k + 3 k k p(k 0, 7 0, , 7 0, , 70 0, 89 0, 970 Aufgabe : In einer Urne seien Lose a, b, c, d und e Ein Spieler zieht nacheinander 3 Lose Zieht er a, b, c in dieser Reihenfolge, so gewinnt er 0 DM Sonst muss er DM bezahlen Ist dies ein faires Spiel? Gewinnwahrscheinlichkeit: 3 aus ohne Zurücklegen, geordnet Ω = 3 = 0 p = 0 Die Zufallsvariable X sei der Gewinn bzw Verlust beim Spiel E(X = ( 9 0 = 0 9 Was ändert sich, wenn er gewinnt, falls er a, b, c in beliebiger Reihenfolge zieht? Gewinnwahrscheinlichkeit: 3 aus ohne Zurücklegen, ungeordnet Ω = ( 3 = 0 p = Die Zufallsvariable X sei der Gewinn bzw Verlust beim Spiel E(X = ( 9 0 = 0 0 Aufgabe : Wie groß ist im Lotto ( aus 9, Zusatzzahl nicht berücksichtigt die Gewinnwahrscheinlichkeit für,,, 3, 2,, 0 Richtige? aus 9 ohne Zurücklegen, ungeordnet Ω = ( 9 = Wir teilen die 9 Zahlen in Gewinnzahlen und 3 Nichtgewinnzahlen ein 2

6 Rang : aus 0 aus 3 Rang : aus aus 3 Rang : aus 2 aus 3 Rang 3: 3 aus 3 aus 3 Rang 2: 2 aus aus 3 Rang : aus aus 3 Rang 0: 0 aus aus 3 ( ( ( ( 3 ( 2 ( ( 0 ( 3 0 ( 3 ( 3 2 ( 3 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( ( 3 0 p( = ( 7, ( ( 3 p( = (, ( ( 3 2 p( = ( 0, ( ( p(3 = ( 0, ( ( 3 2 p(2 = ( 0, 32 9 ( ( 3 p( = ( 0, 3 9 ( ( 3 0 p(0 = ( 0, 3 9 Was ändert sich für den Rang, wenn das Unterscheidungskriterium mit oder ohne Zusatzzahl berücksichtigt wird? Wir unterteilen die 9 Zahlen in Gewinnzahlen eine Zusatzzahl und 2 Weder-Noch : Rang mit Zusatzzahl bedeutet: aus aus 0 aus 2 E + = ( ( ( 2 0 ( p(e + = (, Rang ohne Zusatzzahl bedeutet: aus 0 aus aus 2 E + = ( ( ( 0 2 ( ( 2 p(e = (,

7 Aufgabe 7: N Stäbe werden je in ein langes und ein kurzes Stück zerbrochen Die entstehenden 2N Stücke werden zufällig wieder zu N Paaren zusammengefügt Wie viele Paarbildungen sind möglich? Paar (2N Möglichkeiten 2 Paar (2N 3 Möglichkeiten (N- Paar (3 Möglichkeiten N Paar ( Möglichkeiten Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ω = (2N (2N 3 3 a dabei jedes Stück wieder mit dem zu ihm gehörigen Ergänzungsstück vereinigt wird? p = (2N (2N 3 3 b jedes lange Stück mit einem kurzen Stück vereinigt wird? Wurde beim Zug zunächst ein langes Stück gezogen, so hat man noch N Möglichkeiten für ein passendes kurzes Stück Begann man mit einem kurzen Stück, so ergeben sich für das passende lange Stück ebenfalls N Möglichkeiten Beim nächsten Zug stehen noch N kurze und genauso viele lange Stücke zur Auswahl Damit erhalten wir für eine Paarbildung kurz lang N Möglichkeiten etc E = N (N 32 p(e = N! (2N (2N 3 3

8 D Ulmet IT Blatt 7 Stochastik III SS 200 Aufgabe : a Wie viele kürzeste Wege gibt es im skizzierten Straáennetz von A nach B? b Wie viele davon führen über C? Um von A nach B zu kommen werden Schritte benötigt, davon 7 nach rechts und nach oben Ein Weg wird also vollständig durch ein -Tupel beschrieben, dessen Komponenten r oder o sein können Die Gesamtzahl der Wege ergibt sich aus dem Modell auf wieviele Möglichkeiten kann ich auf mögliche Positionen o oder 7 r verteilen = ( Ω = ( 7 = 330 Es gibt ( ( 2 verschiedene Wege von A nach C und 7 2 verschiedene Wege von C nach B Insgesamt führen ( ( = 2 verschiedene Wege über C von A nach B Die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiger Weg von A nach B über C führt ergibt sich aus: p = ( 2( 7 2 ( = 0, 2 Aufgabe 2: Aus einem Skatspiel wird willkürlich eine Karte gezogen Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es wenigstens eine Herz- oder As- Karte? Ω = 32 E = Herz As = = p = 32 0, 33 Aufgabe 3: Ein Basketballspieler trifft bei jedem Wurf mit 80% Wahrscheinlichkeit in den Korb Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei zwei Würfen a zweimal? Unabhängigkeit vorausgesetzt: p = (0, 8 2 = 0, b mindestens einmal? Übergang zum Gegenereignis: Ē : trifft zweimal nicht p(e = p(ē = (0, 22 = 0, 9 A C B Aufgabe : Wie groá ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel Die Ergebismenge Ω besteht aus 3 Elemtareignissen, von denen jedes die gleiche Wahrscheinlichtkeit p = 3 besitzt a in zwei Würfen zuerst eine und dann eine, p = 3 (, (, 2 (, 3 (, (, (, (2, (2, 2 (2, 3 (2, (2, (2, (3, (3, 2 (3, 3 (3, (3, (3, (, (, 2 (, 3 (, (, (, (, (, 2 (, 3 (, (, (, (, (, 2 (, 3 (, (, (,

9 b in zwei Würfen eine und eine, p 2 = 2 = 3 8 c in zwei Würfen eine Gerade und dann eine ungerade Zahl, Mit Abzählen oder: Wurf beliebig; die Wahrscheinlichkeit beim 2 Wurf passend zu werfen ist 2 p 3 = 8 = 3 2 d in drei Würfen zuerst eine gerade Zahl und dann zweimal eine Wurf gerade danach zwei 2 3 p = = zu werfen? Aufgabe : Drei Gruppen bearbeiten unabhängig voneinander ein Problem mit den Erfolgswahrscheinlichkeiten p(a = 0,, p(b = 0, 2, p(c = 0, Wie groá ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Gruppe erfolgreich ist? Gesuchtes Ereignis: E = A B C Gegenereignis: Ē = A B C = Ā B C Wegen der Unabhängigkeit gilt die Produktregel: p(ē = 0, 0, 7 0, = 0, 22 p(e = 0, 22 = 0, 77 Aufgabe : Wieviele Würfel müssen ausgespielt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine zu erhalten, größer ist als 0,8? Übergang zum Gegenereignis: Ē n : in n Würfen keine zu werfen ( p(ēn = n ( n < p(e n = n = 9 ( n > 0, 8 n {ln( ln(} < ln( n > ln( ln( ln( }{{} 8,83 Aufgabe 7: Aus Statistiken weiß man, dass von Kindern, die das 0 Lebensjahr erreicht haben, im Mittel das 0 Lebensjahr und das 70 Lebensjahr erleben Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 0-jährigen das 70 Lebensjahr zu erreichen? A 0 Jahre p(a = B 70 Jahre p(b = mit B A p(b A = p(a B p(a = p(b p(a = ,

10 Aufgabe 8: Bei einer Abnahmekontrolle werden aus 0 Sicherungen zufällig ohne Zurücklegen herausgegriffen; sind alle einwandfrei, so wird die Sendung angenommen, sonst nicht Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Sendung angenommen wird, obwohl sie 20% Ausschusss enthält? Modell : In der Packung befinden sich tatsächlich 0 defekte Sicherungen Die 0 Sicherungen werden durchnummeriert Ω = A alle entnommenen Sicherungen sind in Ordnung A = p(a = A Ω = , 30 Modell 2: Die Wahrscheinlichkeit eine defekte Sicherung zu greifen ist 0,2 (Binomialverteilung!! p(a = (0, 8 = 0, 3278

11 D Ulmet IT Blatt 8 Stochastik IV SS 200 Aufgabe : a Ein Signal wird über drei hintereinander geschaltete Bauelemente übertragen Die Elemente E, E 2, E 3 arbeiten unabhängig voneinander ohne Ausfall mit den Wahrscheinlichkeiten p, p 2, p 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schaltung ausfällt? Serienschaltung: E E 2 E 3 p(e E 2 E 2 = p p 2 p 3 = 0, 8 0, 9 0, 7 = 0, 0 b Ein Signal wird aus Sicherheitsgründen über drei parallel geschaltete Elemente (derselben Zuverlässigkeit p, p 2, p 3 wie in a übertragen Wie groá ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Element das Signal weiterleitet und dadurch die Schaltung nicht ausfällt? Hintereinanderschaltung: Übergang zum Gegenereignis! E E 2 E 3 Zahlenwerte: p = 0, 8 p 2 = 0, 9 p 3 = 0, 7 p(e E 2 E 3 = p(e E 2 E 3 = p(ē Ē2 Ē3 p(ē Ē2 Ē2 = ( p ( p 2 ( p 3 = 0, 2 0, 0, 3 = 0, 00 p(e E 2 E 3 = 0, 00 = 099 Aufgabe 2: Vier Elemente E E, die mit den Wahrscheinlichkeiten p p unabhängig voneinander arbeiten, werden auf zwei verschiedene Arten zu einem System zusammengebaut Wie groá ist jeweils die Zuverlässigkeit des Systems, dh die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System nicht ausfällt? Zahlenwerte: p = p 2 = 0, 9 p 3 = p = 0, 8 E a b E E 3 E E 3 E 2 E E 2 E

12 E i System E i arbeitet einwandfrei : p(e i = p i a p a = p [(E E 3 (E 2 E ] = p(e E 2 + p(e 2 E p(e E 2 E 3 E = p(e P (E 3 + p(e 2 p(e p(e p(e 2 p(e 3 p(e = p p 3 + p 2 p p p 2 p 3 p = 2 0, 9 0, 8 0, 9 2 0, 8 2 = 0, 98 b p b = p [(E E 2 (E 3 E ] = p(e E 2 p(e 2 E = [p(e + P (E 2 p(e 2 E 2 ] [p(e 3 + p(e p(e 3 E ] = [p + p 2 p 2 p ] [p 3 + p p 3 p ] = (2 0, 9 0, 9 2 (2 0, 8 0, 8 2 = 0, 977 Aufgabe 3: Ein Wanderer startet im Punkt O und entscheidet sich an jeder Kreuzung völlig zufällig für eine der möglichen Richtungen (nicht zurück Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er im angegebenen Straßennetz den Punkt A erreicht? p = [ ] = , 8 Aufgabe : In drei Fabriken werden Glühlampen hegestellt: Werk A liefert 2% Werk B 3% und Werk C 0% der Gesamtproduktion Im Mittel sind % der in A, % der in B und 2% der in C hergestellten Lampen Ausschuss a Wie groá ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Kauf einer Glühlampe ein fehlerhaftes Exemplar zu erhalten? b Wie groá ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese fehlerhafte Lampe aus Werk A (B, C stammt? A, B, C Glühlampe stammt aus Werk A, B, C D Glühlampe ist defekt Gegeben sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten: p(d A, p(d B, p(d C und die Wahrscheinlichkeiten: p(a, p(b, p(c a p(d = p [(A D (B D (C D] A, B, C disjunkt und A B C = Ω = p(a p(d A + p(b p(d B + p(c p(d C = 0, 2 0, 0 + 0, 3 0, 0 + 0, 0, 02 = 0, 03 O A b p(a D = p(a p(d A p(d = 0, 2 0, 0 0, 03 0, 323 p(b D = p(b p(d B p(d = 0, 3 0, 0 0, 03 0, 08 p(c D = p(c p(d C p(d = 0, 0, 02 0, 03 0, 239

13 D Ulmet IT Blatt 9 Stochastik V SS 200 Aufgabe : Eine Urne enthalte blaue, 3 rote und 2 gelbe Kugeln Mit welche Wahrscheinlichkeit erhält man beim Ziehen ohne Zurücklegen a im 2 Zug eine gelbe Kugel, wenn man im Zug keine gelbe Kugel erhalten hat, Da beim ersten Zug keine gelbe Kugek gezogen wurde, sind beim 2 Zug 2 gelbe und nichtgelbe Kugeln in der Urne p a = 2 8 b im 2 Zug eine blaue Kugel, b 3 8 Pfadregel: Ereignis bb mit der Wahrscheinlichkeit 9 38 Ereignis nb mit der Wahrscheinlichkeit 9 8 b 9 n 9 b 8 p b = = 9 Bemerkung: Die Wahrscheinlichkeit beim 2 Zug eine blaue Kugel zu erhalten ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit beim Zug!! Zug 2Zug c In 2 Versuchen mindestens eine rote Kugel, Gegenereignis: keine rote Kugel bei beiden Zügen p c = 9 8 = 2 7 d in 2 Versuchen genau eine rote Kugel? Pfadregel: Ereignis rn mit der Wahrscheinlichkeit Ereignis nr mit der Wahrscheinlichkeit 9 38 r 3 9 n 9 8 n r 3 8 p d = = 2 Zug 2Zug Aufgabe 2: Aus einem Skatspiel wird eine Karte gezogen Man betrachtet die Ereignisse: Die gezogene Karte ist A ein As, R rot, C ein Karo-As, Z eine Zehn p(a = 32 = 8 p(r = 32 = 2 p(c = 32 p(z = 32 = 8

14 Man untersuche, ob die folgenden Ereignisse stochastisch unabhängig sind: a A und R p(a R = 2 32 b A und C p(a C = 32 c R und C p(r C = 32 d R und Z p(z R = 2 32 e C und Z C Z = disjunkt!! = p(a p(r unabhängig! p(a p(c abhängig! p(r p(c abhängig!! = p(z p(r unabhängig! Aufgabe 3: a Eine ideale Münze wird fünfmal geworfen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau dreimal Wappen erscheint? Binomialverteilung mit p = q = n = 2 p a = f B (3, ; = ( ( ( 2 2 = 2 b Durch Beobachtungen über einen längeren Zeitraum stellte man fest, dass von 000 Neugeborenen im Mittel Knaben sind Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Familie mit Kindern mindestens Knaben sind? Binomialverteilung mit p = = 0, q = 0, 8 n = 000 p b = f B (, ; 0, + f B (, ; 0, + f B (, ; 0, = ( 0, 3723 (0, (0, ( (0, (0, 8 + ( (0, (0, 8 0 c Von 000 Werkstücken einer Fabrik seien im Mittel 920 fehlerfrei Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 0 Werkstücken mindestens 9 fehlerfrei sind? Binomialverteilung mit p = 920 = 0, 92 q = 0, 08 n = p c = f B (9, 0; 0, 92 + f B (0, 0; 0, 92 = ( 0 9 0, 82 (0, 929 (0, 08 + ( 0 (0, 92 0 (0, Aufgabe : Arbeiter, die unabhängig arbeiten, benötigen Strom, und zwar jeweils im Mittel etwa 2 Miniten pro Stunde Genügt es, die Stromversorgung so einzurichten, dass 3 Arbeiter gleichzeitig Strom entnehmnen können oder entstehen Wartezeiten dadurch, dass mehr als 3 Arbeiter gleichzeitig Strom entnehmen wollen? Aufgabe : Ein Medikament M heile jeden an der Krankheit K leidenden Patienten mit der Wahrscheinlichkeit 0, a Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 0 Patienten durch M Binomialverteilung mit p = 0, q = 0, n = 0

15 a genau p = f B (, 0; 0, = ( 0 (0, (0, 0, 208 a 2 mindestens p 2 = f B (, 0; 0, + + f B (0, 0; 0, = ( 0 (0, (0, + + ( 0 0 (0, 0 (0, 0 0, 33 a 3 weniger als 3 p 3 = f B (0, 0; 0, + f B (, 0; 0, + f B (2, 0; 0, = ( 0 0 (0, 0 (0, 0 + ( 0 (0, (0, 9 + ( 2 0 (0, 2 (0, 8 0, 023 geheilt werden? b Wird eine an K leidende Person mit dem Medikament M behandelt, so tritt mit Wahrscheinlichkeit 0,2 eine Nebenwirkung ein; mit Wahrscheinlichkeit 0,8 wird der Patient durch M ohne Nebenwirkung geheilt Sind die Ereignisse Der Patient wird durch M geheilt und Beim Patienten tritt durch M eine Nebenwirkung ein stochastisch unabhängig? G Patient wird geheilt p(g = 0, N Nebenwirkung tritt ein p(n = 0, 2 G \ N Patient wird ohne Nebenwirkung geheilt p(g \ N = 0, 8 G N p(g N = p(g p(g \ N = 0, 0, 8 = 0, 2 p(g p(n = 0, 0, 2 = 0, 2 = unabhängig!