Name: 3. MATHEMATIKKLAUSUR
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- Edmund Acker
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1 Name: 3. MTHEMTIKKLUSUR M3 Mathe 12 K () Bearbeitungszeit: 135 min Seite 1 ufgabe 1: rundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung a) Seine und B zwei Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten P() = ; P(B) = 6 und P ( B ) =. Erstellen Sie das zugehörige Baumdiagramm. b) Die Qualitätskontrolle von Mehrwegflaschen läuft in drei Schritten ab. Die erste Kontrolle erkennt einen Fehler am las, die zweite Kontrolle prüft, ob die Flasche von innen sauber und vollständig entleert ist. Scheitert nur eine Kontrolle, so wird die Flasche einer dritten, endgültigen, menschlichen Kontrolle unterzogen. Erfahrungsgemäß schaffen 90 % der Flaschen die erste Kontrolle. Die zweite Kontrolle passieren nur 40 % der Flaschen und die letzte menschliche Kontrolle überstehen lediglich 20 % der Flaschen. (1) Stellen Sie die Information in einem Baumdiagramm dar. (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine beliebige Flasche aussortiert? (3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss eine Flasche in die menschliche Kontrolle? (4) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Flasche, welche die erste Kontrolle geschafft hat, doch noch aussortiert? c) Betrachten Sie den rechts abgebildeten Zeitungsartikel und bearbeiten Sie dazu folgende ufgaben: (1) Stellen Sie die Daten des Zeitungsartikels in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar. (2) Zeichnen Sie zwei verschiedene Baumdiagramme, die sich aus den Daten ableiten lassen. (3) Beantworten Sie mit Hilfe der Baumdiagramm folgende Fragen: (I) Mit welcher WS ist eine zufällig ausgewählte Person gesund? Sind Ärzte gesünder? Köln Bei einer Umfrage unter 2400 Personen (darunter 120 Ärzte) stellte man fest, das 90 % der Ärzte gesund waren, wogegen 96,61 % der kranken Personen keine Ärzte waren. (II) Mit welcher WS ist eine aus den nicht Ärzten zufällig ausgewählte Person gesund? (III) Mit welcher WS ist eine zufällig ausgewählte gesunde Person ein rzt? (IV) Mit welcher WS ist eine zufällig ausgewählte Peron ein kranker rzt? (4) Nehmen Sie Stellung zur Überschrift des Zeitungsartikels. Ist die Situation wirklich so dramatisch, wie es scheint? Zeigen Sie mit Hilfe einer egendarstellung in Form eines Zeitungsartikels, dass Ärzte gar nicht so viel gesünder sind, als andere Menschen. d) us einem Skat-Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten auf die Hand. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (1) er vier sse bekommen hat, (2) er zwei Buben erhalten hat, (3) er drei Bilder bekommen hat (Bube, Dame und König sind Bilder), (4) er die große Straße (10, Bube, Dame, König, s) gezogen hat. e) In einer Urne mit liegen Kugeln mit den Nummern 1 bis 20. Die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 sind blau gefärbt, die Kugeln mit den Nummern 11 bis 17 sind rot gefärbt und die restlichen Kugeln sind grün gefärbt. Es werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter (1) genau zwei grüne Kugeln sind, (2) genau eine blaue und eine rote Kugel sind, (3) mindestens 4 blaue Kugeln sind. (4) genau zwei blaue Kugeln mit gerader Nummer sind. (5) genau vier Kugeln mit einer durch 3 teilbaren Nummer sind.
2 Name: 3. MTHEMTIKKLUSUR M3 Mathe 12 K () Bearbeitungszeit: 135 min Seite 2 f) us der gleichen Urne wie in Teilaufgabe e) werden jetzt 5 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für die folgenden Ereignisse? (1) Es werden der Reihe nach die Kugeln rot-grün-blau-blau-rot gezogen. (2) Es werden 5 Kugeln gezogen, deren Nummern alle durch 2 oder 3 teilbar sind. (3) Es werden 5 unterschiedliche Kugeln gezogen. (4) Es werden genau 3 blaue Kugeln gezogen. ufgabe 2: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen a) Ein Hexaeder (normaler Spielwürfel) und ein Oktaeder (Wurfgerät mit acht Seiten) werden gewürfelt. Zeigt der Hexaeder eine höhere Zahl als der Oktaeder, so erhält Spieler die Differenz zwischen den ugenzahlen in von Spieler B. Zeigt der Hexaeder eine kleinere Zahl, so zahlt Spieler an Spieler B 1,. Zeigen beide Wurfgeräte die gleiche ugenzahl, so gewinnt keiner etwas. (1) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Zufallsgröße X: ewinn von Spieler in auf. eben Sie zu jedem Ereignis X = k die zugehörige Ergebnismenge an. Zeichnen Sie anschließend das zugehörige Histogramm. (2) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und begründen Sie damit, dass das Spiel nicht fair ist. (3) Ändern Sie den ewinnplan lediglich an einer Stelle so ab, dass das Spiel wieder fair wird. (4) Die Spieler vereinbaren folgende Spielerweiterung: Zeigen beide Wurfgeräte die gleiche ugenzahl, so wird eine Münze geworfen. Zeigt die Münze Kopf, so zahlt Spieler an Spieler B einen noch festzulegenden Betrag. Wie groß muss dieser Betrag sein, damit das ursprüngliche Spiel fair wird. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Tabelle aus nlage I (1) P(X = 5) für n = 10 und p = 0,3 (2) P(X 15) für n = 20 und p = 0,75 (3) P(30 < X < 40) für n = 50 und p = (4) P(40 X < 45) für n = 100 und p = 0,5 (5) P(X < 90) für n = 100 und p = 0,9 c) Ein Spielwürfel wird 20 mal geworfen. Insgesamt ist dabei 5 mal die Zahl 6 gefallen. (1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit unter der nnahme, dass es ein korrekter Würfel ist. (2) Berechnen Sie die WS unter der nnahme, dass es ein gezinkter Würfel (p = 0,3) ist. (3) Wir machen einen weiteren Versuch, um unsere Hypothese H: Der Würfel ist in Ordnung zu überprüfen. Ist die nzahl der 6en beim 20fachen Werfen kleiner als 4 ist, so nehmen wir unsere Hypothese an. ndernfalls verwerfen wir die Hypothese. (i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir einen Fehler 1. rt begehen. Verwenden Sie die Tabelle aus nlage I. (ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. rt, wenn der Würfel tatsächlich gezinkt ist (p = 0,3). (iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man keinen Fehler macht? (4) Wir waren etwas zu misstrauisch. Jetzt wollen wir nur mit höchstens 5 % Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. rt machen. Welchen kritischen Wert haben wir dann zu wählen, d. h. ab welcher nzahl von 6en müssen wir die nnahme p = 1 / 6 verwerfen? Viel Erfolg!!!
3 nlage I: Kumulierte Binomialverteilung Kumulierte Binomialverteilung für n = ,349 0,162 0,107 0,056 0,028 0,017 0,006 0, , ,376 0,244 0,149 0,104 0,046 0, ,930 0, ,526 0,383 0,299 0,167 0, ,987 0,930 0,879 0, ,559 0,382 0, ,998 0,985 0,967 0,922 0,850 0, , ,000 0,998 0,994 0,980 0,953 0,923 0, ,000 1,000 0,999 0,996 0,989 0,980 0,945 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0,997 0,988 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Kumulierte Binomialverteilung für n = ,122 0,026 0,012 0,003 0,001 0,000 0,000 0, ,392 0,130 0,069 0,024 0,008 0,003 0,001 0, ,329 0,206 0,091 0,035 0,018 0,004 0, ,867 0, ,225 0,107 0,060 0,016 0, ,957 0, ,238 0,152 0,051 0, ,989 0,898 0, ,297 0,126 0, ,998 0,963 0,913 0, ,250 0, ,000 0,989 0,968 0,898 0, , ,000 0,997 0,990 0,959 0,887 0,809 0,596 0, ,000 0,999 0,997 0,986 0,952 0,908 0, ,000 1,000 0,999 0,996 0,983 0,962 0,872 0, ,000 1,000 1,000 0,999 0,995 0,987 0,943 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,996 0,979 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,994 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Kumulierte Binomialverteilung für n = ,005 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,034 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,112 0,007 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,250 0,024 0,006 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,064 0,018 0,002 0,000 0,000 0,000 0, ,139 0,048 0,007 0,001 0,000 0,000 0, ,770 0,251 0,103 0,019 0,002 0,001 0,000 0, ,878 0,391 0,190 0,045 0,007 0,002 0,000 0, ,942 0,542 0,307 0,092 0,018 0,005 0,000 0, , ,164 0,040 0,013 0,001 0, ,991 0,799 0,584 0,262 0,079 0,028 0,002 0, ,997 0,883 0,711 0,382 0,139 0,057 0,006 0, ,999 0,937 0,814 0,511 0,223 0,104 0,013 0, ,000 0,969 0, ,328 0,171 0,028 0, ,000 0,986 0,939 0, ,261 0,054 0, ,000 0,994 0,969 0,837 0,569 0,369 0,096 0, ,000 0,998 0,986 0, ,156 0, ,000 0,999 0,994 0,945 0, ,237 0, ,000 1,000 0,997 0,971 0,859 0,713 0,336 0, ,000 1,000 0,999 0,986 0,915 0, , ,000 1,000 1,000 0,994 0,952 0,874 0,561 0, ,000 1,000 1,000 0,997 0,975 0, , ,000 1,000 1,000 0,999 0,988 0,958 0,766 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,994 0,978 0,844 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0,989 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,995 0,943 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,984 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,992 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Kumulierte Binomialverteilung für n = ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,008 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,024 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,058 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,117 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,206 0,004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,321 0,010 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,021 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,583 0,043 0,006 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,703 0,078 0,013 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,802 0,130 0,025 0,001 0,000 0,000 0,000 0, ,876 0,200 0,047 0,002 0,000 0,000 0,000 0, ,927 0,287 0,080 0,005 0,000 0,000 0,000 0, ,960 0,388 0,129 0,011 0,000 0,000 0,000 0, , ,192 0,021 0,001 0,000 0,000 0, ,990 0,599 0,271 0,038 0,002 0,000 0,000 0, , ,362 0,063 0,005 0,000 0,000 0, ,998 0, ,100 0,009 0,001 0,000 0, ,999 0,848 0,559 0,149 0,016 0,002 0,000 0, ,000 0, ,211 0,029 0,005 0,000 0, ,000 0,937 0,739 0,286 0,048 0,009 0,000 0, ,000 0,962 0,811 0,371 0,076 0,016 0,000 0, ,000 0,978 0, ,114 0,028 0,001 0, ,000 0,988 0,913 0,553 0,163 0,046 0,001 0, ,000 0,994 0, ,224 0,071 0,002 0, ,000 0,997 0,966 0,722 0,296 0,107 0,005 0, ,000 0,999 0,980 0,792 0,377 0,152 0,008 0, ,000 0,999 0,989 0, ,209 0,015 0, ,000 1,000 0,994 0,896 0,549 0,277 0,025 0, ,000 1,000 0,997 0, ,353 0,040 0, ,000 1,000 0,998 0,955 0, ,062 0, ,000 1,000 0,999 0,972 0,779 0,519 0,091 0, ,000 1,000 1,000 0,984 0, ,130 0, ,000 1,000 1,000 0,991 0, ,179 0, ,000 1,000 1,000 0,995 0,920 0,751 0,239 0, ,000 1,000 1,000 0,997 0,947 0,812 0,307 0, ,000 1,000 1,000 0,999 0,966 0,863 0,382 0, ,000 1,000 1,000 0,999 0,979 0, , ,000 1,000 1,000 1,000 0,988 0,934 0,543 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,993 0, , ,000 1,000 1,000 1,000 0,996 0, , ,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0,983 0,763 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,990 0,821 0, ,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,994 0,869 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0,907 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0,936 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,958 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,983 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0, ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 3. MTHEMTIKKLUSUR M3 Mathe 12 K () LÖSUNEN Seite 4 ufgabe 1: a) b) 0,7 0,3 (1) K2 0,9 0,1 K1 nk1 nk2 K2 nk2 B nb B nb 0,36 0,2 0,8 0,2 0,8 0,06 0,24 0,16 2 0,18 K3 nk3 K3 nk3 (2) zwei Kontrollen scheitern: 0,06+0, = 0,524 (3) eine Kontrolle der ersten beiden scheitert: 0,9 + 0,1 = 0,58 (4) Zweig K1 nk2 nk3: P K1 (nk2 und nk3) = 32 / 0,9 = 8 0, ,008 0,032 c) (1) ges ges (2) 0,05 0,95 0,9 0,1 0,85 0,15 0,045 0,005 0,8075 0,1425 0,8525 0,1475 0,053 0,947 0,0339 0,9661 0,045 0,8075 0,005 0,1425 (3) (I) P() = 0,8525 (II) P () = 0,85 (III) P () = 0,053 (IV) P( und ) = 0,005 (4) Überschrift verfälscht das Bild. egendarstellung: Eine Befragung von 2400 Personen (davon 120 Ärzte) ergab: 90 % der Ärzte sind gesund, aber nur 85 % der nicht Ärzte sind gesund. d) (1) 0, (2) 0,0976 (3) 0,2076 (4) 0,0051 e) (1) 0,1316 (2) 0,0045 (3) 0,152 (4) 0,293 (5) 0,0135 f) (1) 0,00459 (2) 0,116 (3) 0,5814 (4) 0,3125
5 3. MTHEMTIKKLUSUR M3 Mathe 12 K () LÖSUNEN Seite 5 ufgabe 2: a) (1) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht wie folgt aus: k Ergebnismenge P(X=k) k*p(x=k) 1 (6 5) (4 4) (4 3) (3 2) (2 1) 5/48 5/48 2 (6 4) (5 3) (4 2) (3 1) 4/48 8/48 3 (6 3) (5 2) (4 1) 3/48 9/48 4 (6 2) (5 1) 2/48 8/48 5 (6 1) 1/48 5/48-1 (1 2) (1 3) (2 3) (1 4) (2 4) (3 4) (1 5) (2 5) (3 5) (4 5) (1 6) (2 6) (3 6) (4 6) (5 6) (1 7) (2 7) (3 7) (4 7) (5 7) (6 7) (1 8) (2 8) (3 8) (4 8) (5 8) (6 8) 27/48-27/48 0 (1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5) (6 6) 6/48 0/48 Das Histogramm sollte klar sein. (2) E(X) = 1 / 6 Das Spiel ist zugunsten von Spieler nicht fair. (3) Ändert man den ewinnplan z. B. so ab, dass Spieler bei einer Differenz von zwei Punkten keinen ewinn erhält, so wird das Spiel fair. (4) 6 / 48 1 / 2 x = 1 / 6 x = 16 / 6 = 2 2 / 3. b) (1) P(X = 5) = 0,103 für n = 10 und p = 0,3 (2) P(X 15) = 17für n = 20 und p = 0,75 (3) P(30 < X < 40) = 44für n = 50 und p = (4) P(40 X < 45) = 0,118 für n = 100 und p = 0,5 (5) P(X < 90) = 17 für n = 100 und p = 0,9 c) (1) P 1/6 (X = 5) = 0,129 (2) P 0,3 (X = 5) = 0,179 (3) (i) P 1/6 (X>=4) = 33 (ii) P 0,3 (X<=3) = 0,107 (iii) im Falle p = 1 / 6 liegt die WS bei 0,567 und im Falle p = 0,3 bei 0,893. (4) kritischer Wert bei Fehler 1. rt α 3,5 33 4,5 0,231 5,5 0,102 6,5 0,037 Bei einem kritischen Wert von 6,5 wird der Fehler 1. rt kleiner als 5 %. Die neue Entscheidungsregel lautet dann: Verwirf die Hypothese p = 1 / 6 bei mehr als sechs 6en.
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