Approximationsalgorithmen VU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Approximationsalgorithmen VU"

Transkript

1 1 Approximationsalgorithmen VU Institut für Computergraphik und Algorithmen Abteilung für Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2011, 2h VU Motivation: Bereits viele einfache Optimierungsprobleme wie z.b. Routenplanung, Reihenfolgeprobleme und Packungsprobleme können nicht effizient exakt gelöst werden. Gute Näherungsmethoden, das heißt Approximations- Algorithmen, werden gesucht. Aber was ist gut? Beispiel: Bin Packing (vgl. AlgoDat) gegeben: n Pakete mit unterschiedlichen Gewichten und Container (bins) mit fester Kapazität. gesucht: Zuordnung der Pakete in möglichst wenige Container. Analyse: Wie gut oder wie schlecht sind einfache und kompliziertere Näherungsverfahren?

2 Approximationsalgorithmen Ulrich Pferschy 2 Zeit: drei Blöcke zu je drei Tagen: 9.3.: 17:00-19:00 SR : 9:00-12:00 SR : 9:00-10:30 SR : 17:00-19:00 SR : 9:00-12:00 SR : 9:00-12:00 SR 187/2 6.4.: 17:00-19:00 SR : 9:00-12:00 SR : 9:00-10:30 SR 186 Sprechstunde: jeweils vor und nach den Lehrveranstaltungen (außer an den Blockrändern) bin ich am Institut erreichbar. Zu Teilen der Vorlesung gibt es ein Folienskriptum im Netz. Dieses reichte keineswegs zum Selbststudium aus. Vortragender: a.o.univ.-prof. Dr. Ulrich Pferschy Institut für Statistik und Operations Research Universität Graz

3 Approximationsalgorithmen Ulrich Pferschy 3 Approximationsalgorithmen VU Beurteilung 1. Übungsteil: 30 % der Gesamtnote Sie werden im Netz Übungszettel finden, die am (1. Übungsblatt) und 6.4. (2. Übungsblatt) behandelt werden. Dazu gibt es jeweils zu Beginn der LV eine Kreuzelliste, auf der Sie jene Beispiele, die Sie gelöst haben, ankreuzen. Danach werden Unfreiwillige zur Präsentation der Lösung an die Tafel gerufen. Daraus ergibt sich für diese zwei Tage eine implizite Anwesenheitspflicht. Die Beispiele des kurzen 3. Übungsblatts können bis 9.5. abgegeben werde (auf Papier im Sekretariat oder elektronisch (auch eingescannt) an Insgesamt müssen Sie mindestens die Hälfte aller Beispiele angekreuzt haben! 2. Vorlesungsteil: 70 % der Gesamtnote mündliche Einzelprüfung (ca. 20 Minuten) Termine nach Vereinbarung, erstmals gleich nach Ende der LV am 8.4.

4 Approximationsalgorithmen Ulrich Pferschy 4 Vertiefende Literatur: K. Jansen, M. Margraf, Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit, de Gruyter, R. Wanka, Approximationsalgorithmen: Eine Einführung, Teubner, D.S. Hochbaum, Approximation algorithms for NP-hard problems, PWS Publishing Company, V.V. Vazirani, Approximation Algorithms, Springer, G. Ausiello et al., Complexity & Approximation, Springer, J. Hromkovic, Algorithmics for hard problems, Springer, Lecture Notes aus dem Internet: R. Motwani (Standford University) D.P. Williamson (IBM Almaden Research Center) M.X. Goemans (MIT)

5 Approximationsalgorithmen Ulrich Pferschy 5 Approximationsalgorithmen Approximation im Sinne der Analysis: Satz von Weierstrass: ( ) Sei f eine stetige Funktion auf [a, b]. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein Polynom P ε mit: max f(x) P ε(x) < ε x [a,b] Numerische Mathematik: Numerical Recipes in C++

6 Approximationsalgorithmen Ulrich Pferschy 6 Approximation von diskreten, kombinatorischen Problemen: Betrachtung einzelner Objekte, Identitäten oder abstrakter Elemente mit ganzzahligen Daten Motiviert aus praktischen Problemstellungen Klassische Probleme der diskreten Optimierung: Scheduling Graph-Probleme (Überdeckung, Färbung, Partition) Netzwerkprobleme Routen- und Tourenplanung TSP Packungs- und Zuschnittprobleme...

7 Approximationsalgorithmen Einleitung 7 Erwünscht: Optimale Lösung N P-Vollständigkeit: = Bei fast allen interessanten Problemen gibt es kein effizientes optimales Lösungsverfahren, d.h. keinen Algorithmus mit polynomialer Laufzeit 1. Optimale Lösung durch intelligente Enumeration Branch & Bound ILP-Formulierung, Branch & Cut Dynamisches Programmieren Verzicht auf Optimalität = Approximation Bestimmt wird eine zulässige Lösung. Qualität der Lösung ist i.a. unbekannt. Unterscheide: Suchverfahren (local search, Metaheuristiken, etc.) konstruktive Verfahren Hybride Verfahren

8 Approximationsalgorithmen Bewertung 8 Bewertung von Approximationsalgorithmen 1. empirische Tests 2. average-case Analyse 3. worst-case Analyse

9 Approximationsalgorithmen Bewertung 9 Güte eines Algorithmus A für ein Optimierungsproblem: Unterscheide: Problem vs. Problem-Instanz I (Näherungs-)Algorithmus A liefert Lösungswert A(I) (unbekannte) Optimallösung wäre Opt(I) Definition: Algorithmus A ist ein Approximationsalgorithmus wenn A für jede Instanz I eine zulässige Lösung liefert. Definition: Ein Approximationsalgorithmus A hat eine absolute Gütegarantie k, (k > 0), wenn für jede Instanz I gilt: Opt(I) A(I) k Bemerkung: Def. gilt für Maximierungs- und Minimierungsprobleme.

10 Approximationsalgorithmen Graph Colouring 10 Graph Colouring (Knoten): Knotenfärbung von Graphen/Graph Colouring: gegeben: Graph (V, E), beliebig viele Farben. Problem: Ordne jedem Knoten eine Farbe zu, sodaß Knoten, die durch eine Kante verbunden sind, verschiedene Farben haben und eine minimale Gesamtzahl von Farben verwendet werden. Von besonderem Interesse ist die Färbung von planaren Graphen. Satz: (Four Colour Theorem): Jeder planare Graph ist 4-färbbar. Beweis von Appel, Haken, Koch 1977 mit heftigem Computereinsatz.

11 Approximationsalgorithmen Graph Colouring 11 Satz: Ein planarer Graph ist genau dann 2-färbbar, wenn er bipartit ist. Satz: Das Entscheidungsproblem Ist ein gegebener planarer Graph 3-färbbar ist N P-vollständig. Eine 5-Färbung eines planaren Graphen ist relativ einfach zu bestimmen. Satz: (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1995) Die 4-Färbung eines planaren Graphen ist in O(n 2 ) möglich. (inkl. vereinfachter Beweis des Four Colour Theorems). = Färbung von planaren Graphen kann mit einer absoluten Gütegarantie von 1 approximiert werden. Beachte: Algorithmus zur 4-Färbung 4-Farben Satz

12 Approximationsalgorithmen Graph Colouring 12 Graph Colouring (Kanten): Kantenfärbung von Graphen: gegeben: Graph (V, E), beliebig viele Farben. Problem: Ordne jeder Kante eine Farbe zu, sodaß Kanten mit gemeinsamen Endknoten verschiedene Farben haben und eine minimale Gesamtzahl von Farben verwendet werden. Sei (G) der maximale Grad eines Knoten in G. Satz von Vizing: Jeder Graph G ist kantenfärbbar mit (G) oder (G) + 1 Farben. = Kantenfärbung von beliebigen Graphen kann mit einer absoluten Gütegarantie von 1 approximiert werden.

13 Approximationsalgorithmen Graph Colouring 13 = Ist die absolute Gütegarantie das perfekte Konzept?? Negatives Resultat: Satz: Es gibt keinen polynomiellen Algorithmus für das Rucksackproblem (KP) mit einer absoluten Gütegarantie k, für irgendein k > 0 (wenn P N P).

14 Approximationsalgorithmen Bewertung 14 Maximierung: Definition: Ein Approximationsalgorithmus A für ein Maximierungsproblem hat eine relative Gütegarantie k, (0 < k < 1), wenn für jede Instanz I gilt: A(I) k Opt(I) kurz: A ist ein k Approximationsalgorithmus. Betrachte die relative Abweichung: Opt(I) A(I) Opt(I) ε A(I) (1 ε)opt(i) Ein Approximationsalgorithmus A mit relativer Abweichung ε ist ein (1 ε) Approximationsalgorithmus.

15 Approximationsalgorithmen Bewertung 15 Minimierung: Definition: Ein Approximationsalgorithmus A für ein Minimierungsproblem hat eine relative Gütegarantie k, (k > 1), wenn für jede Instanz I gilt: A(I) k Opt(I) auch hier: A ist ein k Approximationsalgorithmus. betrachte wiederum die relative Abweichung: A(I) Opt(I) Opt(I) ε A(I) (1 + ε)opt(i) Ein Approximationsalgorithmus A mit relativer Abweichung ε ist ein (1 + ε) Approximationsalgorithmus. Zusatz: Eine relative/absolute Gütegarantie eines Algorithmus A ist scharf, wenn es eine Instanz I gibt, sodaß die entsprechende Ungleichung mit Gleichheit erfüllt ist. Oder wenn es eine Folge von Instanzen gibt, sodaß die Gleichheit im Grenzwert gilt.

16 Approximationsalgorithmen Bewertung 16 Definition: (Minimierung) Ein Approximationsalgorithmus A für ein Minimierungsproblem hat eine asymptotische Gütegarantie k, (k > 1), wenn es eine Konstante d gibt, sodaß für jede Instanz I gilt: A(I) k Opt(I) + d oder technischer: k = lim sup Opt(I) I A(I) Opt(I) Wird benötigt, um Instanzen mit sehr kleinem, ganzzahligen Lösungswert auszuschließen. Motivation: Lösung des N P-vollständigen Partitionsproblem kann als Instanz von Bin-Packing mit Lösungswert 2 formuliert werden.

17 Approximationsalgorithmen Approximationsschema 17 Betrachte die relative Abweichung ε als Input-Wert. Definition: Maximierung Ein Algorithmus A ist ein ε Approximationsschema, wenn A für jedes ε (0, 1) ein (1 ε) Approximationsalgorithmus ist. Minimierung analog. Natürlich wächst die Laufzeit mit sinkendem ε. Definition: Ein Approximationsschema A ist ein Polynomiales Approximationsschema (PTAS), wenn die Laufzeit von A polynomial in der Länge der Instanz ist. Verschärfung: Ein effizientes PTAS (EPTAS) hat eine Laufzeit f(ε) n c, wobei f(ε) eine beliebige Funktion ist und c eine Konstante unabhängig von ε ist. Definition: Ein Approximationsschema A ist ein Voll-Polynomiales Approximationsschema (FPTAS), wenn die Laufzeit von A polynomial in der Länge der Instanz und in 1/ε ist. analog: asymptotisches PTAS und asymptotisches FPTAS.

18 Approximationsalgorithmen Scheduling 18 Scheduling Single-Prozessor Scheduling: gegeben: n jobs/aufträge, jeder mit Bearbeitungszeit p i, die auf einer Maschine hintereinander bearbeitet werden müssen. möglich: Gewicht w i für die Wichtigkeit eines jobs. Problem: Ordne jedem job einen Startzeitpunkt s i auf der Maschine zu, sodaß eine Zielfunktion minimal ist. Endzeitpunkt eines jobs i: C i = s i + p i. (Completion time) Gesamtfertigstellungszeitpunkt ist trivial n i=1 p i.

19 Approximationsalgorithmen Scheduling 19 Zielfunktion 1: Minimiere die gewichtete Summe der Endzeitpunkte (weighted sum of completion times) n min w i C i i=1 Algorithmus WSPT: (weighted shortest processing time) Sortiere jobs nach aufsteigenden p i /w i Ordne sie so auf der Maschine an. = liefert stets Optimallösung (Austauschargument)

20 Approximationsalgorithmen Scheduling 20 Einführung von Fertigstellungsterminen due dates d i für jeden job i Zielfunktion 2: Minimiere die größte Verspätung (lateness) L max eines jobs lateness von job i: L i = s i + p i d i Bei rechtzeitigen jobs wäre lateness negativ = Transformation aller due dates: d i := d i d max = alles jobs sind verspätet, aber Unterschiede in der lateness bleiben gleich. Algorithmus EDD (earliest due date): Sortiere jobs nach aufsteigenden due dates d i Ordne sie so auf der Maschine an. = liefert stets Optimallösung (Austauschargument)

21 Approximationsalgorithmen Scheduling 21 Einführung von Verfügbarkeitsterminen release dates r i für jeden job i = N P- schweres Problem List Scheduling: immer wenn die Maschine frei ist: ordne den nächsten job von der Liste an job i wird zum Zeitpunkt r i in die Liste aufgenommen. List-Scheduling hat eine scharfe Gütegarantie von 2 (bei beliebiger Listenorganisation). Jackson s Rule: Sortierung der Liste nach aufsteigenden due dates (EDD) Jackson s Rule hat eine scharfe Gütegarantie von 2. Gleiches worst-case Beispiel wie bei allgemeinem List Scheduling Es gibt Approximationsalgorithmen mit Gütegarantie 3/2 (Potts, 1980) und ein PTAS (Hall, Schmoys, 1992).

22 Approximationsalgorithmen Scheduling 22 Betrachte die Anzahl der verspäteten jobs: unit penalty U i, (keine release dates) U i = { 1 wenn Ci > d i, 0 sonst. (1) Zielfunktion 3: Minimiere die Anzahl der verspäteten jobs n i=1 U i Algorithmus Iterated EDD: Sortiere jobs nach aufsteigenden due dates d i J := {1,..., n} Menge der noch verfügbaren jobs J L := Menge der verspäteten jobs repeat sei j der erste verspätete job in J k := arg max i=1,...,j p i J := J \ {k}, J L := J L {k} until kein verspäteter job in J = liefert stets Optimallösung Minimiere gewichtete Anzahl n i=1 w iu i = N P-schwer.

23 Approximationsalgorithmen Scheduling 23 Multi-Prozessor Scheduling: gegeben: n jobs/aufträge, jeder mit Bearbeitungszeit p i, m Maschinen Problem: Ordne jeden job einer Maschine zu, sodass der Gesamt-Fertigstellungszeitpunkt minimal ist. Algorithmus List-Scheduling (Graham): l j := 0 Arbeitszeit von Maschine j = 1,.., m for i := 1 to n do j min := arg min{l j } ordne job i auf Maschine j min an. l jmin := l jmin + p i end for Gesamtzeit := max{l j } List-Scheduling hat eine scharfe Gütegarantie von 2 1 m.

24 Approximationsalgorithmen Scheduling 24 Verbesserung: (LPT) Longest-Processing Time List-Scheduling Sortiere die jobs in absteigender Reihenfolge. (LPT) hat eine scharfe Gütegarantie von m.

25 Approximationsalgorithmen Scheduling 25 PTAS für Multi-Prozessor Scheduling: Allgem. Konstruktionsprinzip beschränkte Enumeration. Grundidee: Wähle ein geeignetes Unterproblem der Größe k Löse das Unterproblem optimal durch vollständige Enumeration Erweitere die Lösung zu einer Gesamtlösung Multi-Prozessor Scheduling: Approximationsschema (Graham) Algorithmus Scheduling-PTAS: Sortiere die jobs in absteigender Reihenfolge p 1 p 2... p n ( ) wähle Parameter k bestimme die optimale Anordnung der jobs 1,..., k führe (LPT) für die restlichen jobs aus.

26 Approximationsalgorithmen Scheduling 26 Scheduling-PTAS hat eine Gütegarantie von 1 + m 1 k. Für gegebenes ε wähle k := (m 1)/ε = ε Approximationsschema Laufzeit: Optimallösung für k jobs durch Enumeration in O(m k ) Zeit. Gesamtzeit: O(m m/ε + n log n) = PTAS m wird als konstant betrachtet.

27 Approximationsalgorithmen Bin Packing 27 Bin Packing Problem (BP): gegeben: n Objekte, jedes mit Gewicht a i (0, 1], beliebig viele Container/bins mit Kapazität 1 Problem: Packe alle Objekte in minimale Anzahl von bins Naive Methode: Algorithmus Next Fit (NF): öffne das erste bin for i := 1 to n do wenn Objekt i in das offene bin paßt packe es dort hinein sonst schließe das offene bin öffne ein neues bin und packe Objekt i ein end for (NF) läuft in O(n) Zeit. (NF) hat eine scharfe asymptotische Gütegarantie von 2.

28 Approximationsalgorithmen Bin Packing 28 Algorithmus First Fit (FF) (Johnson et al.): öffne das erste bin for i := 1 to n do betrachte die offenen bins der Reihe nach packe Objekt i in das erste bin, wo es paßt wenn es nirgends paßt öffne ein neues bin und packe Objekt i ein end for (FF) hat eine scharfe asymptotische Gütegarantie von 1.7. (FF) läuft in O(n log n) Zeit. (FF) hat (nicht asymptot.) Gütegarantie 12/7 = Varianten: Best Fit (BF): Wähle bin mit minimaler Restkapazität: Güte 1.7. Worst Fit (WF): Wähle bin mit maximaler Restkapazität: Güte 2. Almost Worst Fit (AWF): Wähle bin mit zweitgrößter Restkapazität (sofern mehr als ein bin möglich): Güte 1.7. Any Fit (AF): Wähle beliebiges bin: Güte liegt stets zwischen 1.7 und 2.

29 Approximationsalgorithmen Bin Packing 29 Verbesserung: (D.S. Johnson 73) First Fit Decreasing (FFD) Sortiere die Objekte in absteigender Reihenfolge. (FFD) hat eine scharfe asymptotische Gütegarantie von (FFD) hat scharfe Gütegarantie von 3 2 (nicht asymptotisch). gleiche Resultate gelten auch für Best Fit Decreasing. (NFD) hat scharfe Gütegarantie von Weitere Verbesserung: Modified First Fit Decreasing (Garey, Johnson 85) Spezielle Regel für items mit Gewicht ( 1 6, 1 3 ]. Scharfe asymptotische Gütegarantie von =

30 Approximationsalgorithmen Bin Packing 30 Asymptotisches PTAS für Bin Packing Fernandez de la Vega, Lueker (1981) Überblick: 1. Einteilung in kleine und große items 2. Gruppeneinteilung der großen items um eine reduzierte Instanz zu erhalten 3. packe items in der größten Gruppe in separate bins 4. packe den Rest der reduzierten Instanz optimal mit einem ILP konstanter Dimension 5. packe die ursprünglichen items an die Positionen von items der reduzierten Instanz 6. packe die kleinen items mit FF Erweiterung zur asymptotischem FPTAS: Karmakar, Karp (1982)

Approximationsalgorithmen. Approximation im Sinne der Analysis:

Approximationsalgorithmen. Approximation im Sinne der Analysis: Approximationsalgorithmen Ulrich Pferschy 1 Approximationsalgorithmen Approximation im Sinne der Analysis: Satz von Weierstrass: (1815-1897) Sei f eine stetige Funktion auf [a, b]. Dann gibt es zu jedem

Mehr

Approximation im Sinne der Analysis:

Approximation im Sinne der Analysis: 1 Approximation im Sinne der Analysis: Satz von Weierstrass: (1815-1897) Sei f eine stetige Funktion auf [a, b]. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein Polynom P ε mit: max x [a,b] f(x) P ε(x) < ε Numerische

Mehr

Approximations-Algorithmen

Approximations-Algorithmen Approximations-Algorithmen Institut für Computergraphik und Algorithmen Abteilung für Algorithmen und Datenstrukturen 186.102 Sommersemester 2004, 2h VU Motivation: Bereits viele einfache Optimierungsprobleme

Mehr

Polynomialzeit- Approximationsschema

Polynomialzeit- Approximationsschema Polynomialzeit- Approximationsschema 27.01.2012 Elisabeth Sommerauer, Nicholas Höllermeier Inhalt 1.NP-Vollständigkeit Was ist NP-Vollständigkeit? Die Klassen P und NP Entscheidungsproblem vs. Optimierungsproblem

Mehr

Approximationsklassen für Optimierungsprobleme

Approximationsklassen für Optimierungsprobleme Approximationsklassen für Optimierungsprobleme Matthias Erbar 19. September 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Approximationsalgorithmen mit garantierter Güte 2 2.1 Terminologie......................................

Mehr

Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme

Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund

Mehr

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 1 / 18 Was tun mit NP-harten Problemen? Viele praxisrelevante

Mehr

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 4. Januar 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung

Mehr

Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP

Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP Kap..1 Heuristiken Kap.. Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 3. VO DAP SS 008 14. Juli 009 Überblick

Mehr

Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien

Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 23. VO DAP2 SS 2008 14. Juli 2009

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 7. Dezember 2017 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 07.12.2017 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität

Mehr

Approximationsschemata

Approximationsschemata Effiziente Algorithmen Aproximationsalgorithmen 312 Definition Approximationsschemata Sei A(ǫ) ein Approximationsalgorithmus mit einem Parameter ǫ. 1. A(ǫ) ist ein PTAS (polynomial time approximation scheme),

Mehr

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling Approximationsalgorithmen: Klassiker I Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling VO Approximationsalgorithmen WiSe 2011/12 Markus Chimani

Mehr

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme Theoretische Informatik Exkurs Rainer Schrader Exkurs: Komplexität von n Institut für Informatik 13. Mai 2009 1 / 34 2 / 34 Gliederung Entscheidungs- und Approximationen und Gütegarantien zwei Greedy-Strategien

Mehr

2.6 Asymptotische Approximation: Min Binpacking

2.6 Asymptotische Approximation: Min Binpacking 2.6 Asymptotische Approximation: Min Binpacking In diesem Abschnitt geht es die Erscheinung, dass manche Optimierungsprobleme Approximationsalgorithmen haben, die nur für Inputs x mit groÿem Wert m (x)

Mehr

Kompaktkurs Diskrete Optimierung

Kompaktkurs Diskrete Optimierung Technische Universität Braunschweig SS 08 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Postfach 339 D-3803 Braunschweig Notizen Kompaktkurs Diskrete Optimierung Henrik Peters Bearbeitungsstand: 17.

Mehr

Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen Approximationsalgorithmen 1. Vorlesung Joachim Spoerhase Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Wintersemester 2017/18 Bücher zur Vorlesung Vijay V. Vazirani Approximation Algorithms Springer-Verlag

Mehr

Approximation in Batch and Multiprocessor Scheduling

Approximation in Batch and Multiprocessor Scheduling Approximation in Batch and Multiprocessor Scheduling Tim Nonner IBM Research Albert-Ludwigs-Universität Freiburg 3. Dezember 2010 Scheduling Zeit als Ressource und Beschränkung Formaler Gegeben sind Jobs

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 26. Vorlesung Greedy- und Approximationsalgorithmen Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Operations Research Optimierung für Wirtschaftsabläufe:

Mehr

Kapitel 9: Lineare Programmierung Gliederung

Kapitel 9: Lineare Programmierung Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen Ausarbeitung zum Thema Approximationsalgorithmen im Rahmen des Fachseminars 24. Juli 2009 Robert Bahmann robert.bahmann@gmail.com FH Wiesbaden Erstellt von: Robert Bahmann Zuletzt berarbeitet von: Robert

Mehr

Randomisierte und Approximative Algorithmen. Prof. Dr. Heiko Röglin Institut für Informatik Universität Bonn

Randomisierte und Approximative Algorithmen. Prof. Dr. Heiko Röglin Institut für Informatik Universität Bonn Randomisierte und Approximative Algorithmen Prof. Dr. Heiko Röglin Institut für Informatik Universität Bonn 22. Januar 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Greedy-Algorithmen 6 2.1 Vertex Cover................................

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2005/2006

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2005/2006 1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2005/2006 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnummer anbringen Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit

Mehr

Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen Makespan-Scheduling Kapitel 4: Approximationsalgorithmen (dritter Teil) (weitere Beispiele und Illustrationen an der Tafel) Hilfreiche Literatur: Vazarani: Approximation Algorithms, Springer Verlag, 2001.

Mehr

Approximation mit relativer Gütegarantie Überblick und einführende Beispiele

Approximation mit relativer Gütegarantie Überblick und einführende Beispiele Approximation mit relativer Gütegarantie Überblick und einführende Beispiele Marvin Schiller 4. Oktober 2007. Einführung In diesem Essay geben wir einen Überblick über eine Auswahl von algorithmischen

Mehr

Die dynamische Programmierung 1 / 51

Die dynamische Programmierung 1 / 51 Die dynamische Programmierung 1 / 51 Dynamische Programmierung - Das Ausgangsproblem P 0 wird in Teilprobleme P 1,..., P t aufgebrochen. - Die Teilprobleme werden dann, einer Schwierigkeitshierarchie entsprechend,

Mehr

3-Färbbarkeit. Korollar: Zu Entscheiden, ob ein Graph k-färbbar ist mit k 3, ist NP-vollständig.

3-Färbbarkeit. Korollar: Zu Entscheiden, ob ein Graph k-färbbar ist mit k 3, ist NP-vollständig. 3-Färbbarkeit Wir wissen bereits, dass in polynomieller Zeit entschieden werden kann, ob ein Graph 2-färbbar ist. Satz: Zu Entscheiden, ob ein Graph 3-färbbar ist, ist NPvollständig. Beweis: Reduktion

Mehr

Seminar im WS 2006/07 Zerlegen und Clustern von Graphen. Correlation Clustering Minimizing Disagreements on Arbitrary Weighted Graphs

Seminar im WS 2006/07 Zerlegen und Clustern von Graphen. Correlation Clustering Minimizing Disagreements on Arbitrary Weighted Graphs Seminar im WS 006/07 Zerlegen und Clustern von Graphen Correlation Clustering Minimizing Disagreements on Arbitrary Weighted Graphs Myriam Freidinger 18. April 007 1 Einleitung Ziel dieser Ausarbeitung

Mehr

Algorithmentheorie 1. Vorlesung

Algorithmentheorie 1. Vorlesung Algorithmentheorie. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 6. April 2006 Methode, Material Vorlesung Vorlesungsskript (Netz, Copyshop) Folien (im Netz) Vorlesung nachbereiten! Übung Übungsblätter (im Netz) Übung

Mehr

Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität

Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Tobias Lieber 10. Dezember 2010 1 / 16 Grundlegendes Approximationsalgorithmen Parametrisierte Komplexität 2 / 16 Grundlegendes Definition

Mehr

Näherungsalgorithmen (Approximationsalgorithmen) WiSe 2012/13 in Trier

Näherungsalgorithmen (Approximationsalgorithmen) WiSe 2012/13 in Trier Näherungsalgorithmen (Approximationsalgorithmen) WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 29. Januar 2013 Näherungsalgorithmen, Fernau, Universität Trier, WiSe 2012/13

Mehr

Näherungsalgorithmen (Approximationsalgorithmen) WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Näherungsalgorithmen (Approximationsalgorithmen) WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Näherungsalgorithmen (Approximationsalgorithmen) WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Näherungsalgorithmen Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung

Mehr

Approximationsalgorithmen. Wintersemester 2013/14 HERZLICH WILLKOMMEN!

Approximationsalgorithmen. Wintersemester 2013/14 HERZLICH WILLKOMMEN! Approximationsalgorithmen Wintersemester 2013/14 HERZLICH WILLKOMMEN! 1 / 39 Worum geht s? Eine Bemerkung von Vasek Chvatal In den kommunistischen Ländern des Ostblocks in den 60 er und 70 er Jahren war

Mehr

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013 Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Stephan Friedrichs Klausur Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

Kap. 5: Graph Coloring

Kap. 5: Graph Coloring Kap. 5: Graph Coloring Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 10./11. VO 18.12.06 / 8.1.07 Überblick 5.1 Einführung Definition und Motivation Sudoku 5.2 ILP-Formulierungen

Mehr

Komplexitatstheoretische Zwischenbetrachtungen: Klassen & eine Hierarchic

Komplexitatstheoretische Zwischenbetrachtungen: Klassen & eine Hierarchic Kapitel 5 Komplexitatstheoretische Zwischenbetrachtungen: Klassen & eine Hierarchic In den vorhergehenden Kapiteln sind wir einmal quer durch das Gebiet der Approximationsalgorithmen gelaufen. Wir haben

Mehr

Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke

Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring 13.07.2012 1/18 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen

Mehr

durch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann.

durch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann. Satz von Kuratowski Definition Unterteilung eines Graphen Sei G = (V, E) und e = {u, v} E. 1 Das Einfügen eines neuen Knoten w in die Kante e führt zum Graphen G = (V {w}, E \ e {{u, w}, {w, v}}). 2 Der

Mehr

Hamiltonsche Graphen

Hamiltonsche Graphen Hamiltonsche Graphen Definition 3.2. Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Weg. Ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal enthält,

Mehr

Gliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen

Gliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen Kapitel Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren

Mehr

Überblick Kap. 5: Graph Coloring

Überblick Kap. 5: Graph Coloring Überblick Kap. 5: Graph Coloring Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 10./11. VO 18.12.0 / 8.1.07 5.1 Einführung Definition und Motivation Sudoku 5.2 ILP-Formulierungen

Mehr

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Ausgabe 22. Dezember 2016 Abgabe 17. Januar 2017, 11:00 Uhr

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 20. November 2014 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 20.11.2014 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der

Mehr

Inhalt. 8.1 Motivation. 8.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen. 8.3 Optimierung unter Nebenbedingungen. 8.4 Lineare Programmierung

Inhalt. 8.1 Motivation. 8.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen. 8.3 Optimierung unter Nebenbedingungen. 8.4 Lineare Programmierung 8. Optimierung Inhalt 8.1 Motivation 8.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen 8.3 Optimierung unter Nebenbedingungen 8.4 Lineare Programmierung 8.5 Kombinatorische Optimierung 2 8.1 Motivation Viele Anwendungen

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie WS 2008/2009 Vorlesung: Dr. Felix Brandt, Dr. Jan Johannsen Übung: Markus Brill, Felix Fischer Institut für Informatik LMU München Organisatorisches Vorlesung Donnerstag,

Mehr

20. Dynamic Programming II

20. Dynamic Programming II Aufgabe 20. Dynamic Programming II Subset Sum Problem, Rucksackproblem, Greedy Algorithmus, Lösungen mit dynamischer Programmierung, FPTAS, Optimaler Suchbaum [Ottman/Widmayer, Kap. 7.2, 7.3, 5.7, Cormen

Mehr

Vorlesung 3: Graphenalgorithmen. Markus Püschel David Steurer Peter Widmayer. PDF download goo.gl/ym3spq

Vorlesung 3: Graphenalgorithmen. Markus Püschel David Steurer Peter Widmayer. PDF download goo.gl/ym3spq Vorlesung 3: Graphenalgorithmen Markus Püschel David Steurer Peter Widmayer PDF download goo.gl/ym3spq Algorithmen und Datenstrukturen, Herbstsemester 2017, ETH Zürich Gerichtete Graphen und Abhängigkeiten

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

20. Dynamic Programming II

20. Dynamic Programming II 536 20. Dynamic Programming II Subset Sum Problem, Rucksackproblem, Greedy Algorithmus, Lösungen mit dynamischer Programmierung, FPTAS, Optimaler Suchbaum [Ottman/Widmayer, Kap. 7.2, 7.3, 5.7, Cormen et

Mehr

Algorithmentheorie 1. Vorlesung

Algorithmentheorie 1. Vorlesung Algorithmentheorie 1. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 6. April 2006 FG KTuEA, TU Ilmenau AT 06.04.2006 Methode, Material Vorlesung Vorlesungsskript (Netz, Copyshop) Folien (im Netz) Vorlesung nachbereiten!

Mehr

Das Lastverteilungsproblem

Das Lastverteilungsproblem Das Lastverteilungsproblem Approximationsalgorithmen Referent Franz Brauße Veranstaltung Proseminar Theoretische Informatik Universität Trier, FB IV Dozent Prof. Dr. Henning Fernau 23.02.2012 Übersicht

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2005/2006

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2005/2006 . Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 005/006 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes Aufgabenblatt

Mehr

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis Optimierungsprobleme Instanz eines Optimierungsproblems zulässiger Bereich (meist implizit definiert) Zielfunktion Optimierungsrichtung opt {max, min} Optimierungsproblem Menge von Instanzen meist implizit

Mehr

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 15. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen II

Algorithmen und Datenstrukturen II Algorithmen und Datenstrukturen II Große Übung #1 Arne Schmidt 19.04.2016 Organisatorisches Arne Schmidt Große Übung 2 Homepage Aktuelle Informationen, Hausaufgaben, Slides auf: https://www.ibr.cs.tu-bs.de/courses/ss17/aud2/

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Tobias Lieber Sommersemester 2011 Übungsblatt 1 16. September 2011 Grundlagen: Algorithmen und

Mehr

Diskrete und kombinatorische Optimierung

Diskrete und kombinatorische Optimierung Prof. Dr. Gerhard Reinelt Institut für Informatik Mathematikon 1.329 Im Neuenheimer Feld 205 Studieninformation zum Gebiet Diskrete und kombinatorische Optimierung 1. Beschreibung des Gebiets Diskrete

Mehr

4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem...

4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem... Inhaltsverzeichnis 4 Färbungen 41 4.1 Begriffe....................... 41 4.2 Komplexität..................... 42 4.3 Greedy-Algorithmus................ 42 4.4 Knotenreihenfolgen................. 43 4.5

Mehr

Der Branching-Operator B

Der Branching-Operator B Branching 1 / 17 Der Branching-Operator B Unser Ziel: Löse das allgemeine Minimierungsproblem minimiere f (x), so dass Lösung(x). B zerlegt eine Menge von Lösungen in disjunkte Teilmengen. Die wiederholte

Mehr

11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016

11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016 11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016 Lisa Kohl lisa.kohl@kit.edu mit Folien von Lukas Barth Roadmap Ausblick: Was sind schwierige Probleme? Travelling Salesman Problem - Reprise ein ILP ein Algorithmus

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 11. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Das Rucksack-Problem Ein Dieb, der einen Safe

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2009 11. Vorlesung Uwe Quasthoff Universität Leipzig Institut für Informatik quasthoff@informatik.uni-leipzig.de Das Rucksack-Problem Ein Dieb, der einen

Mehr

Berechnung von Abständen

Berechnung von Abständen 3. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph. Der Abstand d(v, w) zweier Knoten v, w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w.

Mehr

Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion

Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Dezember 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP

Mehr

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme

Mehr

3.6 Branch-and-Bound-Verfahren

3.6 Branch-and-Bound-Verfahren 36 Branch-and-Bound-Verfahren Die Branch-and-Bound -Methode beruht darauf, auf eine intelligente Weise alle zulässigen Lösungen eines kombinatorischen Optimierungsproblems aufzulisten und mit Hilfe von

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Inhalt. 1. Flußprobleme. 2. Matching. 3. Lineares Programmieren. 4. Ganzzahliges Programmieren. 5. NP-Vollständigkeit. 6. Approximationsalgorithmen

Inhalt. 1. Flußprobleme. 2. Matching. 3. Lineares Programmieren. 4. Ganzzahliges Programmieren. 5. NP-Vollständigkeit. 6. Approximationsalgorithmen Effiziente Algorithmen Einführung 1 Inhalt 1. Flußprobleme 2. Matching. Lineares Programmieren 4. Ganzzahliges Programmieren 5. NP-Vollständigkeit 6. Approximationsalgorithmen 7. Backtracking und Branch-and-Bound

Mehr

Überblick. Kap. 1.4: Minimum Weight Perfect Matching. 1.3 Blüten-Schrumpf Algorithmus für Maximum Matching

Überblick. Kap. 1.4: Minimum Weight Perfect Matching. 1.3 Blüten-Schrumpf Algorithmus für Maximum Matching Kap. 1.4: Minimum Weight Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 4. VO 6. November 2006 Überblick kurze Wiederholung: 1.2 Blüten-Schrumpf-Algorithmus für Perfektes Matching

Mehr

Heuristiken im Kontext von Scheduling

Heuristiken im Kontext von Scheduling Heuristiken im Kontext von Scheduling Expertenvortrag CoMa SS 09 CoMa SS 09 1/35 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung Literatur CoMa SS 09 2/35

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2006/ April 2007

2. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2006/ April 2007 2. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2006/2007 12. April 2007 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnr. anbringen Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber

Mehr

Sandro Pirkwieser, (Bin Hu, Jakob Puchinger) SS 2010

Sandro Pirkwieser, (Bin Hu, Jakob Puchinger) SS 2010 Lösungsverfahren für Ganzzahlige Optimierung Sandro Pirkwieser, (Bin Hu, Jakob Puchinger) Fortgeschrittene Algorithmen und Datenstrukturen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Institut für

Mehr

Seminar Algorithmentechnik

Seminar Algorithmentechnik Seminar Algorithmentechnik Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl für Algorithmik I Prof. Dorothea Wagner Karlsruhe Seminar Institut Algorithmentechnik für Technologie (KIT) Fakultät für Informatik

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Teil III. Komplexitätstheorie

Teil III. Komplexitätstheorie Teil III Komplexitätstheorie 125 / 160 Übersicht Die Klassen P und NP Die Klasse P Die Klassen NP NP-Vollständigkeit NP-Vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme 127 / 160 Die Klasse P Ein

Mehr

Online-Algorithmen. Proseminar von Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans im Wintersemester 00/01

Online-Algorithmen. Proseminar von Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans im Wintersemester 00/01 Online-Algorithmen Proseminar von Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans im Wintersemester 00/01 Vortrag Bin Packing von Thilo Geertzen 25. Oktober 2000 Online Algorithmen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2014/15 22. Vorlesung Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I 2 Vorbereitung auf die Klausur am 5.2. Tipp: Schreiben

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung 1 Assignment Problem (Zuordnungsproblem) Gewichtetes Perfektes Bipartites Matching agents Costs tasks Weise jedem Agenten genau

Mehr

LiSA Scheduling Software

LiSA Scheduling Software LiSA Scheduling Software Vom Forschungsprojekt zum Software Paket für Lehre und Forschung Otto von Guericke Universität Magdeburg Überblick Was ist Lisa? Zur Theorie Lisa intern Cooperative Development

Mehr

Seminar Algorithmen für planare Graphen

Seminar Algorithmen für planare Graphen Seminar Algorithmen für planare Graphen Reinhard Bauer, Marcus Krug, Ignaz Rutter, Dorothea Wagner Universität Karlsruhe (TH) Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Algorithmik I 24. Oktober 2008

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Kombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Kombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Kombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik F3: Berechenbarkeit un

Formale Grundlagen der Informatik F3: Berechenbarkeit un Formale Grundlagen der Informatik F3: Berechenbarkeit und Komplexität Fachbereich Informatik AB Theoretische Grundlagen der Informatik (TGI) Universität Hamburg farwer@informatik.uni-hamburg.de 14. Dezember

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2008/2009

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2008/2009 . Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 8/9 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes Aufgabenblatt

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL Übungstest WS Januar 2011

Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL Übungstest WS Januar 2011 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 2. Übungstest WS 2010 14. Januar

Mehr

Kurt Mehlhorn und Adrian Neumann Max Planck Institute for Informatics and Saarland University 1. Dezember 2013

Kurt Mehlhorn und Adrian Neumann Max Planck Institute for Informatics and Saarland University 1. Dezember 2013 P versus NP Kurt Mehlhorn und Adrian Neumann Max Planck Institute for Informatics and Saarland University 1. Dezember 2013 Gliederung Informelle Formulierung des P = NP Problems Das Erfüllbarkeitsproblem

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching

Mehr

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen Kapitel 4 Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen 1 Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren

Mehr

NP-vollständig - Was nun?

NP-vollständig - Was nun? Kapitel 4 NP-vollständig - Was nun? Wurde von einem Problem gezeigt, dass es NP-vollständig ist, ist das Problem damit nicht gelöst oder aus der Welt geschafft. In der Praxis muss es trotzdem gelöst werden.

Mehr

Von Aachen nach Halle...

Von Aachen nach Halle... Von Aachen nach Halle... Koeln? Aachen Halle 14. 6. 15. 6. 16. 6. Saarbruecken? Effiziente Algorithmen fr Graphtraversierungen Ulrich Meyer p. 3 Von Aachen nach Halle... Koeln? Aachen Halle 14. 6. 15.

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2016/2017

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2016/2017 2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2016/2017 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnummer anbringen Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Beachten Sie: Bringen Sie

Mehr

Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 13, Henning Meyerhenke

Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 13, Henning Meyerhenke Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 13, 01.02.2012 Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2008/2009

2. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2008/2009 2. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2008/2009 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes

Mehr

1 Einführung 2 1.1 Zwei Beispiele (MIN JOB SCHEDULING und MAXCUT)... 2 1.2 Notationen und Definitionen... 7 1.3 Übungsaufgaben...

1 Einführung 2 1.1 Zwei Beispiele (MIN JOB SCHEDULING und MAXCUT)... 2 1.2 Notationen und Definitionen... 7 1.3 Übungsaufgaben... Vorwort v I Approximative Algorithmen 1 1 Einführung 2 1.1 Zwei Beispiele (MIN JOB SCHEDULING und MAXCUT).... 2 1.2 Notationen und Definitionen... 7 1.3 Übungsaufgaben..... 18 2 DieKomplexitätsklassen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 25. Vorlesung Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Klausurvorbereitung Tipp: Schreiben Sie sich alle Fragen

Mehr

Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08) Kapitel 5: NP-schwierige Probleme Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 21. Dezember 2007) Rucksack Problem

Mehr

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008 Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr