Rotationskurve der Milchstraßengalaxie auf Basis der Modifizierten Newtonschen Dynamik (MOND) Klaus Retzlaff

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1 Zusmmenfssung: Die MOdifiziete Newtonsche Dynmik (MOND) wude 1983 von Modehi Milgom ls Altentive zum Postult de Dunklen Mteie vogeschlgen []. Diese hypothetische Theoie sollte die Eigent de beobchteten glktischen Rottionskuven us eine Modifiktion de Newtonschen Dynmik ekläen. Wie Simultionen des Autos uf Bsis de Newtonschen Theoie belegen, ist be die Annhme Dunkle Mteie in de Milchstßenglxie nicht efodelich, um ds Rottionsvehlten zu ekläen. Es ist dhe nzunehmen, dss die Modifiziete Newtonschen Dynmik bei Anwendung uf die Milchstßenglxie in Konflikt zu den Beobchtungen geät. Diese Fge wid hie nchgegngen. Ds Modell de Milchstße Fü die Milchstße weden die folgenden geometischen Dten zugunde gelegt: Abbildung 1:Geometische Fom de Modell-Glxie: Bulge-Duchmesse = 6 kpc Scheibenduchmesse = 30 kpc, mximle Dicke de Scheibe = 1, kpc. De Buge in de Simultion scheint übetieben, be de gößte Anteil de Msse befindet sich in de Simultion im Zentum [1]. De Queschnitt de Scheibe wid duch eine Ellipse beschieben. Es wid weite eine dilsymmetische Dichteveteilung ngenommen, welche Egebnis de Computesimultion uf Bsis de nicht modifizieten Newtonschen Gvittionstheoie ist. Eine Komponente de Glxie ist ein 6 zentles Schwzes Loch mit eine Msse von m 4,31 10 Blck Hole Sonnenmssen[3]. Doch diese Msse eicht nicht us, um die ichtige, Cochstedt

2 Rottionskuve im Beeich bis 4kpc zu epoduzieen, denn in de Zentumsumgebung liegt eine weit höhee Mssenkonzenttion vo und ds in de Simultion vewendete Rste us Stützpunkten fü die Mssenveteilungsfunktion ist in diesem Beeich zu gob, die Veteilung useichend nzunähen 1. In de Simultion ist nu ein Rste mit Stützpunkten fü die Dichte im Abstnd von 1kpc vewendet woden. Dum wid im Modell die Zentlmsse höhe gewählt, nämlich zu 9 m Zentlmse 10 Sonnenmssen. De Abstnd de Sonne ist Sonne 7, 94 R kpc vom Zentum entfent. Die gemessene Geschwindigkeit, mit de sie die Glxie umkeist, ist R km/s [4]. Sonne Abbildung : Dichteveteilung de Simultion uf Bsis de Newtonschen Gvittionstheoie. Die beobchtet Mssendichte stimmt mit den Simultionsegebnissen seh gut übeein und die Sonne ht die ichtige Umlufgeschwindigkeit. De Fehleblken bezieht sich uf die Messwete de Mssendichte in Sonnenumgebung. 1 Computesimultionen müssen häufig einen Kompomiss zwischen Genuigkeit und Rechenzeit, bzw. Speichebedf dstellen. D es hie nicht um die Feinstuktu des Zentlgebietes geht, ist die zugunde gelegt Näheung geechtfetigt., Cochstedt 01-01

3 Abbildung 3: Die künstleische Zeichnung, wie sie von de Ns veöffentlicht wude, zeit eine estunliche Übeeinstimmung mit de uf Bsis de Simultion beechneten Dichteveteilung. Die Mxim in de simulieten Dichte fllen mit den Oten de Spilme zusmmen. Die Dichteveteilung steht in Übeeinstimmung mit de Beobchtung byonische Mteie [5]. Auf Bsis diese Wete egibt sich die Dichteveteilung, wie sie in de Abbildung zu sehen ist. Diese Dichteveteilung bedeutet eine Msse von 73.19% de glktischen Gesmtmsse innehlb de Sonnenbhn. Die Gesmtmsse de Glxie, die sich uf einen Rdius von 15kpc bezeiht, betägt dbei 108,5 Milliden Sonnenmssen. Ds ist eine usgezeichnete Übeeinstimmung mit den Beobchtungsdten, lledings ist in Rechnung zu stellen, dss die Beobchtungsdten fü die Mssendichte einen eheblichen Fehle von und 5% ufweisen. Bemekenswet ist ein Vegleich de Dichteveteilung mit eine künstleischen Zeichnung unsee Milchstße, welches von de Ns veöffentlicht wude. Sowohl die Spilme ls uch die stenenmen Beeiche stimmen mit de beechneten Dichtekuve übeein. Es ist zu vemuten, dss dem Künstle Messdten zu Vefügung gestnden hben, siehe Abbildung 3. Newtonsche Rottion Die Rottionskuve unsee Milchstße wid bis 15kpc offensichtlich mit de Dichteveteilung seh gut epoduziet. Aus diesem Gunde ist mit hohe nzunehmende Whscheinlichkeit nicht dvon uszugehen, in diesem Beeich einen igendwie elevnten Anteil Dunklee Mteie zu finden. Dmit entfällt in diesem Beeich die Notwendigkeit ltentiv zu Dunklen Mteie übe, Cochstedt

4 ndee Gvittionstheoien nchzudenken. Die Rottionskuve, welche sich bei de betchteten Dichteveteilung und Geometie de Glxie egibt, ist in de folgenden Abbildung 4 zu finden. Diese Abbildung zeigt be uch eine Rottionskuve, wie sie sich bei deselben Dichteveteilung bei eine kugelsymmetischen ppoximtiven Beechnung egeben wüde. Abbildung 4: Auf Bsis de Newtonschen Gvittionstheoie beechnete Rottionskuve de Milchstßenglxie (Simultionspmete siehe Text). Bei eine kugelsymmetischen Appoximtion weden die Mssen, welche sich innehlb eines bestimmten Rdius befinden, ls im Zentum de Keisbewegung konzentiet gedcht und zugleich weden die Mssen ußehlb des Rdius bei de Beechnung de Gvittionskäfte nicht beücksichtigt. Diese Appoximtion ist in eine kugelsymmetischen Mssenveteilung exkt., Cochstedt

5 Fü Abstände übe 15kpc hinus efolgte keine sinnvolle Simultion, denn b 15 kpc ist die Dichte ls venchlässigb betchtet woden, ws de Relität nicht entspechen düfte. De Sinn eine Simultion in Beeich gößee Abstände wid von mi dum in Zweifel gezogen, weil die Messwete extem steuen, es weden Objekte mit seh hohen Geschwindigkeiten be uch seh kleinen Geschwindigkeiten gefunden. Ds veweist fü mich duf, dss ds Modell eine Keisbhnbewegung nicht meh ngewendet weden knn und dss es sich um einen Beeich hndelt, wo de Einflussbeeich de Milchstße in Whheit endet. Es existiet in de Tt kein Beweis, dss die hohen ode niedigen Geschwindigkeiten dot, ihen Gund in de Stuktu de Milchstße hben. Fü den sinnvoll simulieten Beeich steht die beechnete Rottionskuve in usgezeichnete Übeeinstimmung mit den Dten von Honm und Sofue [6], [7] sowie den weiteen bei diesen Autoen ngegebenen Refeenzen. Insbesondee die Sonne läuft mit.05 km/s um ds glktische Zentum. Ds entspicht pktisch exkt dem ktuelle genuesten beknntem Wet [4]. Milgomsche Rottion (MOND) Es geht um Ntugesetze. Physiklische Theoien sind gednkliche Dstellungen von objektiven Gesetzmäßigkeiten. Wenn es uch nu eine einzige Abweichung von dem theoetisch behupteten Gesetzt gibt, so ist die Theoie widelegt und ds behuptete Gesetzt ist unzuteffend. Bedenkt mn den Umstnd, dss die Milgomsche Modifiziete Newtonsche Mechnik entwicklet woden ist, um die scheinb uf Bsis de Newtonschen Gvittionstheoie unvestehben glktischen Rottionskuven ohne Dunkle Mteie zu vestehen, so liegt die Vemutung nhe, dss die Rottionskuve unsee Milchstßenglxie in Widespuch zu Milgomschen Hypothese steht. Abbildung 5: Nicht bfllende glktische Rottionskuven. Milgom fgte sich, wie die Newtonsche Dynmik modifiziet weden müsste, um den beobchteten Umstnd zu bescheiben, dss uch in seh goßen Entfenungen die Rottionskuven von Glxien nicht bfllen, sonden nu bflchen., Cochstedt

6 Betchtet mn die physiklischen Vehältnisse in hineichend goße Entfenung, so knn fü jede beliebige Mssenveteilung die Msse ls punktfömig ngenommen weden die Betonung liegt uf: hineichend weit entfente Distnzen Die Fliehkft F T liegt im Gleichgewicht mit de Gvittionskft F G. F G F T (1) Legt mn die Newtonsche Gvittionstheoie zugunde, so gilt: fm F G m () De entspechende Betg de Fliehkft egibt sich uf Gund de Rdilbeschleunigung zu v m m F T. (3) Die Gleichgewichtsbedingung (1) füht dnn uf: m fm v m. (4) Duch Umstellen de Gleichung (4) nch de Geschwindigkeit egibt sich: fm v (5) 1 Mn sieht m Ausduck (5), dss die Geschwindigkeit mit bfllen müsste. Doch nch den Beobchtungen von Rubin und ndeen scheint es sich nicht so zu vehlten, vielmeh scheinen die Rottionskuven in goßen Abständen konstnt, d.h. flch, zu velufen. Milgom fnd es nicht kzeptbel, diesem Umstnd eine vemeintlich nicht beobchtben ungewöhnlichen zusätzlichen Mteie zuzuscheiben. Es wude gumentiet, dss fü seh kleine Beschleunigungen ds Newtonsche Tägheitsgesetzt (. Axiom), Cochstedt

7 m (6) F T nicht gesichet sei und dss fü seh kleine Beschleunigungen n die Stelle des Newtonschen. Axioms ein modifizietes Gesetz teten müsse: m ( ) (7) F T 0 Es titt dbei eine zusätzliche beschleunigungsbhängige Funktion ( ) ls Fkto uf. Diese Funktion enthält eine neue Ntukonstnte 0, deen Wet so gewählt wude, um univesell die Rottionskuven zu bescheiben. Dmit ds gelingt, muss die Funktion ( ) die folgende Bedingung efüllen: 0 0 ( 0 ) 1, fü 0, fü (8) D kein physiklisches Pinzip beknnt ist, us dem sich die Funktion ( ) bleiten läßt, wuden Ausdücke gewählt, die näheungsweise die 0 Fodeung (8) befiedigen. In de voliegenden Computesimultion ist die Funktion in de Fom: ( ) (9) 0 0 gewählt woden. Fü die neue Ntukonstnte wude de von Milgom und 10 m ndeen bestimmte Wet 0 1, 10 ngenommen. Ds ist ein seh s kleine Wet, so dss fü die Alltgsphysik die Newtonsche Dynmik poblemlos ngewendet weden knn, in de kosmischen Physik spielt diese Wet uf glktischen und integlktischen Sklen be eine Rolle., Cochstedt

8 Ttsächlich bewikt diese Modifiktion de Newtonschen Dynmik ein bflchendes Vehlten de Rottionskuven. In Anlogie zu Beziehung (4) können wi unte Vewendung von (7) scheiben: m fm v m ( ) (10) 0 Ds egibt unte Vewendung von (9) m fm v m (11) 0 und fü seh kleine Beschleunigungen gilt dnn: fm v m m. (1) 0 Die Beziehung (1) läßt sich nun wiede nch de Keisbhngeschwindigkeit umstellen und so folgt: v fm 0 (13) fü die Milgomsche Rottion in goßen Distnzen. Fü hineichend goße Abstände vom glktischen Zentum geht die Rottion gemäß (13) in eine konstnte Rottion übe, deen Göße llein von de Gesmtmsse de Glxie, de Gvittionskonstnte und de neuen Ntukonstnte bhängt. Wüde MOND stimmen, wäe dieses Vehlten bedeutsm. Dum sollen hie noch einige Anmekungen zu Newtonschen Theoie gemcht weden. Ds Newtonsche Gvittionsgesetz ist gegenübe ltentiven Theoien fü die physiklischen Intepettionen im Begiffshmen de klssischen Physik usgezeichnet, weil die At des Abflls des Kftflusses diekt mit den Eigenschften eines deidimensionlen homogenen und isotopen euklidischen Rumes zusmmenhängt. Andes usgedückt, bezüglich eine Punktquelle fällt die Feldstäke so b, wie die Intensität eine Sthlungsquelle, wenn diese nicht geschwächt wid. Die Newtonsche Gvittionstheoie besgt somit, dss ein von eine Quelle usgehende Kftfluss vom dem ihn umgebenden Rum nicht beeinflusst wid. De Gesmtfluss eine Quelle ist lso eine Konstnte!, Cochstedt

9 Doch die Newtonsche Gvittionstheoie ist beknntlich nicht unpoblemtisch. Mn denke n die Sigulitätspoblemtik (Schwze Löche) ode n ds Gvittionspdoxon eines unendlichen Gvittionspotentils in einem unendlichen Kosmos mit homogene Mssenveteilung. H. v. Seelige htte 1894 zu Vemeidung dieses beühmten Pdoxons eine Modifiktion de Newtonschen Gvittionstheoie det vogeschlgen, dss de leee Rum nicht ein eines Gefäß fü den Kftfluss sei, sonden de Rum den Fluss selbst modifiziet. Seeliges Gvittionstheoie lässt sich so intepetieen, dss de leee Rum bezüglich des Kftflusses eine Opzität besitzt, d. h., dss de Rum den Kftfluss schwächt. Moden könnte mn sich ds so vostellen, dss ein Teil des Kftflusses wähend seine Ausbeitung im Rum in unbeknnten Dimensionen vesicket. Ich hbe dieses Bild des vesickenden Kftflusses vogetgen, weil so kle wid, ws es bedeutet, wenn de Gvittionsfluss wenige schnell bfällt, ls es die Newtonschen Theoie besgt. Ds wäe j de Fll, wenn die Rottionskuven von Glxien z.b. us eine ltentiven Gvittionstheoie zu ekläen wäen. Dnn wäe es so, ls wüde de leee Rum, im Gegenstz zu Seeliges Vostellung, einen zusätzlichen Kftfluss hevobingen, ls wüde in einem Gvittionsfeld jedes Rumelement selbst wie eine kleine Feldquelle wiken. Egebnisse de Simultion uf Bsis de Modifizieten Newtonschen Dynmik Abbildung 6: Rottionskuve, beechnet uf Bsis de Modifizieten Newtonschen Dynmik unte Vewendung de Newtonschen Mssendichte fü byonische Mteie in de Milchstße., Cochstedt

10 Wie zu ewten, füht die Anwendung de Milgomschen Dynmik zu eine Ehöhung de Rottion. D in diese Simultion von de Mssenveteilung entspechend Abbildung usgegngen wude, egibt Milgoms Theoie zu hohe Wete fü die Rottion (Abbildung 6). Sowohl de Wete de exkten Rechnung, wie die Wete us de kugelsymmetischen Appoximtion sind zu hoch. Demnch wüde die Sonne mit eine Geschwindigkeit von 65km/s um ds glktische Zentum lufen, sttt mit km/s dem ktuell genuesten Wet. Es ist dhe von Bedeutung eine Mssendekomposition so vozunehmen, dss die Milgomsche Rottionskuve mit de gemessenen Rottion übeeinstimmt. In de Folge esultiet eine veingete Gesmtmsse fü die Milchstße und eine dmit vebundene geingee Dicht. Wie zu ewten, stimmt die so bestimmte geingee Dichte nicht meh mit de Msse de beobchteten Mteie übeein. Abbildung 7: Dichteveteilung beechnet uf Bsis de Modifizieten Newtonschen Dynmik. Deutschlich entspicht die beechnete Dichte nicht den beobchteten Weten., Cochstedt

11 Mithin ist die Theoie von Milgom ls widelegt zu betchten. Immehin ist die beechnete Rottionskuve seh genu n die beobchtete Kuve ngepsst woden: Abbildung 8: Die beechnete Rottionskuve wude seh genu n die beobchten Wete de Rottion ngepsst. Ds gelng be nu duch eine ehebliche Absenkung de Gesmtmsse de Glxie von 108,6 Milliden uf lediglich 56,0 Milliden Sonnenmssen und eine Modifiktion de loklen Dichteveteilung entlng des Abstndes vom Zentum. Abschließend seien in tbellische Fom einige Dten veglichen: Glktische Dten (Alle Mssenngben in Sonnenmssen) Gesmtmsse (bis 15kpc) Beobchtung Newton- Dynmik 1, Modifiziete Newtonsche Dynmik 5, Msse innehlb de Sonnenbhn 70 % 73,19% 87,53% Mittlee Dichte in de Sonnenumgebung (Messfehle 5%) 0,13 1 pc 3 0,1 1 pc 3 0,05 1 pc 3, Cochstedt

12 Quellen [1] Bildquelle: (The imge ws uploded to en.wiki t 17:16, 1 Septembe 006 by Twtunes. [] M. Milgom, Astophys. J. 70, 365 (1983). [3] S. Gillessen et l.: Monitoing Stell Obits Aound the Mssive Blck Hole in the Glctic Cente. In: Astoph. Joun.. Bd. 69, 009, S , [4] lt. Zeitschift: Stene und Weltum, Ausgbe 08/010 [5] K. Retzlff, Die Bedeutung de Geometie fü die glktische Rottion, Webseite de Astonomischen Gesellschft Mgdebug e.v., wissenschftliche Pojekte, 01/01 [6] M. Honm, Y. Sofue, Rottion Cuve of Glxy, 1997, PASJ, 49, 453 [7] M. Honm, Y. Sofue, Mss of the Glxy Infeed fom Oute Rottion Cuve, 1996, Apj, 360, 505, Cochstedt