FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE, FUNKTIONEN. Dr. Kinga Szűcs FSU Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik

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1 FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE, FUNKTIONEN Dr. Kinga Szűcs FSU Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik

2 INHALT Bezüge zu den Bildungsstandards Bezüge zum Thüringer Lehrplan Einführung von Folgen Grenzwertbegriff bei Folgen Grenzwertbegriff bei Funktionen

3 BEZÜGE ZU DEN BILDUNGSSTANDARDS (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang Die Schülerinnen und Schüler nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale), bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her, beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms, geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können.

4 BEZÜGE ZUM THÜRINGER LEHRPLAN Lernausgangslage aus der Grundschule: Der Schüler kann in Sach- und Problemaufgaben funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben (z.b. Menge-Preis, Zeitpunkt-Temperatur), diese darstellen und Sachaufgaben zu Proportionalität lösen. Der Schüler kann in strukturierten Aufgabenfolgen Muster/Zusammenhänge beschreiben und fortsetzen. Er entwickelt selbst Aufgabenfolgen mit arithmetischen Mustern.

5 BEZÜGE ZUM THÜRINGER LEHRPLAN KLASSENSTUFE 5/6 Der Schüler kann Unterschiedliche Darstellungsformen von alltagsbezogenen Zuordnungen situationsangemessen auswählen, erstellen und zwischen ihnen wechseln, Muster bei Zahlen und Figuren erkennen, verbal beschreiben, fortsetzen oder reproduzieren.

6 BEZÜGE ZUM THÜRINGER LEHRPLAN KLASSENSTUFE 7/8 Der Schüler kann proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen von Zahlen und Größen durch verbale Beschreibung, Gleichung, Wertetabelle und Graph darstellen, an konkreten Zuordnungen entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt, lineare Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Anstieg, Monotonie, Achsenschnittpunkte untersuchen, Terme zu vorgegebenen Sachverhalten aufstellen, Termwerte durch Belegung der Variablen berechnen.

7 BEZÜGE ZUM THÜRINGER LEHRPLAN KLASSENSTUFE 9/10 Der Schüler kann quadratische Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnittpunkte, Monotonie, Symmetrie untersuchen und graphisch darstellen, das Verhalten von Funktionen an den Rändern des Definitionsbereichs untersuchen, dabei den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erklären und die Grenzwertschreibweise lim f ( x) bzw. lim f ( x) verwenden, x ± x x 0

8 BEZÜGE ZUM THÜRINGER LEHRPLAN KLASSENSTUFE 12 Der Schüler kann grundlegende Begriffe zur Beschreibung von Funktionen anschaulich erläutern und anwenden: Definitions- und Wertebereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrie bezüglich der y-achse und des Koordinatenursprungs, Monotonie, Periodizität, Grenzwert von Funktionen, Asymptoten, Stetigkeit, Polstelle, Lücke, verknüpfte und verkettete Funktionen, Umkehrfunktion, Extrem- und Wendepunkte,

9 BEZÜGE ZUM THÜRINGER LEHRPLAN KLASSENSTUFE 12 Der Grenzwertbegriff ist der zentrale Begriff der Analysis, er ist sowohl in der Differential- als auch in der Integralrechnung von grundlegender Bedeutung.

10 EINFÜHRUNG VON FOLGEN Definition: Eine Folge ist eine spezielle Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der (positiven) natürlichen Zahlen ist. Vorkenntnisse: Muster erkennen in unterschiedlichsten Kontexten (z.b. Turm von Hanoi, Sortierspiel, Dreieckszahlen) Aufstellung von Termen Induktion

11 EINFÜHRUNG VON FOLGEN Mögliche Beispiele: Wachstumsprozesse Geometrische und arithmetische Folgen (falls noch nicht bekannt) DIN A4-Blatt halbieren ( Grenzwert, Folge, Reihe, Summe der Reihe) Musterfolgen fortsetzen und analysieren

12 EINFÜHRUNG VON FOLGEN Forderung an die Beispiele: Reichhaltigkeit Darstellung verschiedener Eigenschaften Möglichkeit zur Klassifikation (hierzu: Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz) Darstellung von Repräsentanten aber auch von Gegenbeispielen für die genannten Kategorien Anwendbarkeit in späteren mathematischen Kontexten

13 EINFÜHRUNG VON FOLGEN Darstellungsformen Wertetabelle Term: explizit/rekursiv Graph Zahlenstrahl Computer

14 GRENZWERTBEGRIFF BEI FOLGEN Eine Folge reeller Zahlen a n heißt konvergent mit dem Grenzwert g, Wenn für jeden vorgegebenen auch noch so kleinen Streifenradius ε die Folge ab einer bestimmten Stelle ganz in dem Streifen g verschwindet, bzw. Wenn für jedes ε>0 eine Gliednummer n 0 existiert, sodass die Ungleichung a n g < ε für alle Folgenglieder a n mit n> n 0 erfüllt ist. (Mathenetz 11, S.203)

15 GRENZWERTBEGRIFF BEI FOLGEN Andere Varianten: Eine Folge reeller Zahlen a n heißt Nullfolge, wenn für jedes ε>0 eine Gliednummer n 0 existiert, sodass die Ungleichung a n < ε für alle Folgenglieder a n mit n> n 0 erfüllt ist. Eine Folge reeller Zahlen a n heißt konvergent mit dem Grenzwert g, wenn die Differenzfolge b n = a n g eine Nullfolge ist.

16 GRENZWERTBEGRIFF BEI FOLGEN Ein klassisches/historisches Beispiel: Achilles und die Schildkröte Lösung + didaktische Bewertung Quadratpflanze

17 GRENZWERTBEGRIFF BEI FUNKTIONEN 1. Definition: Grenzwert einer Funktion an der Stelle a Zu jeder gegen x=a konvergenten Folge <x n > (a selbst darf kein Folgenglied sein) gehört eine Folge der Funktionswerte <f(x n )>. Wenn 1. Alle diese Folgen von Funktionswerten konvergieren und 2. Alle diese Folgen denselben Grenzwert haben, sagt man: f(x) hat an der Stelle a den Grenzwert g. Man schreibt: lim f ( x) = g (Mathenetz 11, 217) x a

18 GRENZWERTBEGRIFF BEI FUNKTIONEN 2. Definition: Grenzwert einer Funktion an der Stelle a Die Funktion f(x) hat den Grenzwert g an der Stelle a, wenn für jede vorgegebene ε>0 ein δ>0 existiert, sodass für jedes x mit x-a < δ f(x)-g < ε gilt.