Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

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1 Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments) versehen mit einer Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge von Ω (Ereignis) wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet (Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt) mit folgenden Eigenschaften (KolmogorovAxiome): 1. P(Ω) = 1 (sicheres Ereignis), 2. P(A B) = P(A) + P(B), falls A B = (Additionsregel für unvereinbare Ereignisse). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 1

2 Beispiel fairer Würfel Ω = {1,..., 6} mit P({i}) = P(i) = 1 für jede der möglichen 6 Augenzahlen i = 1, 2,..., 6. bzw. allgemeiner P(A) = 1 #A für jede Teilmenge A Ω 6 (#A bezeichnet die Anzahl der Elemente von A). Z. B. entspricht das Ereignis Augenzahl ist nicht durch 3 teilbar der Menge A = {1, 2, 4, 5} mit P(A) = 4 6 = 2 3. Für die Ereignisse B: Augenzahl durch 3 teilbar und C : Augenzahl durch 5 teilbar gilt B = {3, 6}, C = {5} B C = und B C = {3, 5, 6} und somit P(B C) = P(B) + P(C) = = 1 2 = 50%. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 2

3 Folgerungen aus den KolmogorovAxiomen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) für beliebige A, B, P(A) P(B), falls A B (Monotonie), P(A) = 1 P(A), wobei A = A c = Ω \ A das Komplementärereignis zu A bezeichnet. P( ) = 0 (unmögliches Ereignis) Beispiel P(Augenzahl durch 2 oder 3 teilbar ) = P({2, 4, 6}) + P({3, 6}) P({6}) = = 2 3. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 3

4 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten ist auf unterschiedliche Weise möglich. Die wichtigsten sind: durch ein Symmetrieprinzip: Ein Zufallsexperiment hat endlich viele mögliche Ausgänge, die alle als gleichwahrscheinlich angenommen werden (Beispiel Augenzahl eines Würfels). Man spricht von einem LaplaceExperiment. durch Schätzung anhand von Beobachtungen durch Berechnung ausgehend von bekannten Wahrscheinlichkeiten (Beispiel: Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Würfeln mindestens eine 6 zu erhalten) wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 4

5 Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Ω ist dabei endliche Menge mit n Elementen mit P({x}) = 1 n für alle x A (Gleichverteilung). Für eine beliebige Teilmenge A Ω folgt dann P(A) = 1 n #A = 1 n mal Zahl der Elemente von A Beispiele = Zahl der günstigen durch Zahl der möglichen Fälle. fairer Würfel Münzwurf: P(Wappen) = P(Zahl) = 1 2 = 50% Ziehen einer Spielkarte aus 32: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ass gezohen wird, ist 4/32 = 1 8 = 12, 5%. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 5

6 Beispiel Lotto Es gibt ( 49 6 ) Möglichkeiten, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahlenkombination ist damit 1/ ( 49 6 ) = 1/ < 0, 00001% (Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) Andere Urnenmodelle Mit Berücksichtung der Reihenfolge gibt es beim Ziehen von 6 aus 49 Zahlen = 49! 43! Möglichkeiten P({x}) = 43! 49! = 1/ Mit Zurücklegen (d. h. Zahlen können mehrfach gezogen werden) und Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 49 6 Möglichkeiten P({x}) = 49 6 = 1/ wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 6

7 Zwei Würfel Es gibt 36 Möglichkeiten, jede hat Wahrscheinlichkeit 1/36. Ω = {(i, j) : 1 i, j 6} mit P(i, j) = Mit A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} (erster Würfel 2) und B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} (zweiter Würfel 3) ist P(A) = P(B) = 1 6 und P(A B) = P(2, 3) = 1 = P(A) P(B) 36 Unabhängigkeit A und B heiÿen unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B) Interpretation: Das Eintreten von Ereignis A hat keinen Einuss auf die Wahrscheinlichkeit von B und umgekehrt. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 7

8 Beispiele Mit A = Augenzahl des ersten Würfels gerade und B = Augensumme gerade ist P(A) = P(B) = 1 2 und P(A B) = 1 4, also sind die beiden Ereignisse unabhängig. Mit A = erster Würfel 4 und B = Augensumme 10 ist P(A) = 1, P(B) = 1 und 6 12 P(A B) = P(4, 6) = 1 1 1, also sind A und B nicht unabhängig. Mit A = erste gezogene Spielkarte ist ein Ass und B = zweite Karte ist ein Bube ist P(A) = P(B) = 1 und 8 P(A B) = 1 4 = 1 1 1, d. h. die beiden Ereignisse sind nicht unabhängig. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 8

9 Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit umformuliert: P(A B) = P(A) P(B) P(A) = P(A B)/P(B). Allgemein deniert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B als P(A B) P(A B) =. P(B) Interpretation: Wahrscheinlichkeit für A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist. Bemerkungen P(A B) ist nur deniert, wenn P(B) > 0. Falls P(A), P(B) > 0, so gilt A und B unabhängig P(A B) = P(A) P(B A) = P(B). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 9

10 Beispiele bei zwei Würfeln A: Augensumme 10, B: erster Würfel 4, Dann ist P(A) = 3 36 = 1 12, P(B) = 1 6, P(A B) = 1 36 P(A B) = 1/36 1/6 = 1 6 P(A) = 1 12 sowie P(B A) = 1/36 1/12 = 1 3 P(B) = 1 6. A: Augensumme 7, B: erster Würfel 6, P(A B) = 1/36 = 1 = P(A) sowie 1/6 6 P(B A) = 1 = P(B), 6 d. h. A und B sind unabhängig. A: 6 Richtige beim Lotto, B: die ersten 5 gezogenen Zahlen stimmen, P(A B) = 1 2, 27% > P(A) sowie 44 P(B A) = 1 P(B). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 10

11 Beispiel Kartenspiel (mit 32 Karten) Es werden zwei Karten (ohne Zurücklegen) gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Asse gezogen werden? Mit A = erste Karte ist ein Ass und B = zweite Karte ist ein Ass ist P(A) = 4 32 = 1 8 und P(B A) = 3 31 (da unter der Annahme, dass A eingetreten ist, unter den verbleibenden 31 Karten noch 3 Asse sind). Daraus kann jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet werden: P(A B) = P(A) P(B A) = 1 3 = 3 0, 012 = 1, 2% wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 11

12 Totale Wahrscheinlichkeit Sind A und B Ereignisse, so gilt B = (A B) (A B) sowie (A B) (A B) =. Aus den KolmogorovAxiomen folgt daher P(B) = P(A B) + P(A B) = P(A) P(B A) + P(A) P(B A). Allgemeiner gilt P(B) = n k=1 P(A k) P(B A k ), wenn Ω = A 1... A n mit A i A j = eine Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes ist. Im letzten Kartenbeispiel Mit P(B A) = 4 31 erhält man P(B) = P(A) P(B A) + P(A) P(B A) = = 1 8. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 12

13 Weiteres Beispiel Es werden s untersucht, die zum Teil Spam sind. Betrachtet werden die Ereignisse S =Mail ist Spam sowie G =Mail enthält das Wort Gewinn Aus Erfahrungswerten seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P(S) = 0, 25, P(G S) = 0, 19 und P(G S) = 0, 01, d. h. jede 4. Mail ist Spam und 19% aller Spammails sowie 1% aller NichtSpamMails enthalten das Wort Gewinn. Es folgt P(G) = P(S) P(G S) + P(S) P(G S) = 0, 055, also enthalten 5, 5% aller Mails das Wort Gewinn. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 13

14 Formel von Bayes Nach Denition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt für Ereignisse A und B P(A B) = P(A) P(B A) sowie P(A B) = P(B) P(A B) Durch Gleichsetzen dieser beiden Ausdrücke erhält man mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit den Satz von Bayes: P(A B) = P(A) P(B A) P(B) = P(A) P(B A) P(A) P(B A) + P(A) P(B A), bzw. bei einer Zerlegung Ω = A 1... A n P(A k B) = P(A k) P(B A k ) n i=1 P(A i) P(B A i ). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 14

15 Anwendung: Bayes'scher Spamlter Im letzten Beispiel: P(S) = 0, 25 (25% SpamMails), P(G S) = 0, 19 (19% davon enthalten das Wort Gewinn) P(G S) = 0, 01 (1% der übrigen Mails enthalten das Wort Gewinn) Dann folgt P(S G) = = P(S) P(G S) P(S) P(G S) + P(S) P(G S) 0, 25 0, 19 0, 864, 0, 25 0, , 75 0, 01 d. h. eine Mail mit dem Wort Gewinn ist zu 86, 4% Spam. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 15

16 Zuvallsvariablen (Teschl/Teschl Kap. 27) Eine (reellwertige) Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) ist eine Abbildung X : Ω R, d. h. jedem Elementarereignis ω Ω wird eine reelle Zahl X (ω) zugeordnet. Damit ist jeder Teilmenge A R eine Wahrscheinlichkeit P(X A) = P({ω Ω : X (ω) A}) zugeordnet. Man spricht von von der Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder kurz Verteilung) von X. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 16

17 Ereignisse Ein Ereignis entspricht jetzt einer Teilmenge A R, der die Wahrscheinlichkeit P(X A) zugeordnet wird. Ist A = [a, b] ein Intervall, so schreibt man P(X [a, b]) = P(a X b). Beispiel Augensumme von zwei Würfeln Gegeben Ω = {1,..., 6} {1,..., 6} = {(i, j) : 1 i, j 6} mit P(i, j) = 1 für alle (i, j) (Gleichverteilung). 36 Die Augensumme wird beschrieben durch die Zuvallsvariable X (i, j) = i + j für alle (i, j) Ω. Mit A : Augensumme 10 ist dann z. B. P(X A) = P(X 10) = P{ω : X (ω) 10} = P{(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 36 = 1 6 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 17

18 Bemerkungen In Anwendungen beschreiben Zufallsvariablen in der Regel beobachtete bzw. zu untersuchende Zufallsgröÿen, während der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum im Hintergrund den Mechanismus modelliert, der die Wahrscheinlichkeiten festlegt. In der Praxis werden oft nur Zufallsvariablen und ihre Verteilung betrachtet, ohne dass dazu ein Wahrscheinlichkeitsraum explizit angegeben wird. Die Verteilung einer Zufallsvariable X entspricht einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P mit R als Wahrscheinlichkeitsraum, die Teilmengen A R Wahrscheinlichkeiten P(A) = P(X A) zuordnet, welche den KolmogorovAxiomen genügen. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 18

19 Diskrete Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable heiÿt diskret, wenn sie nur endlich oder abzählbar viele Werte x 1, x 2, x 3,... annimmt mit p i = P(X = x i ) > 0 und P(X = x i ) = 1 i (im Fall von abzählbar unendlich vielen Werten handelt es sich bei der Summe formal um eine unendliche Reihe). Die Verteilung von X ist durch die p i = P(X = x i ) eindeutig festgelegt. Beispiel Die Augenzahl X eines fairen Würfels nimmt die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 an mit P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = P(X = 6) = 1 6. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 19

20 Weitere Beispiele Die Augensumme von zwei Würfeln ist eine diskrete Zufallsvariable mit Werten 2, 3,..., 12. Z. B. ist P(X = 2) = 1 36 und P(X = 7) = 6 36 = 1 6. Man würfelt mit einem Würfel so lange, bis die erste Sechs fällt. Gibt X die benötigte Zahl der Würfe an, so ist p i = P(X = i) = 1 ( ) i für i 1 6 Begründung: X = i bedeutet dass die ersten i 1 Würfe keine Sechs sind,wofür die Wahrscheinlichkeit ( 5 i 1 6) ist, und im iten Wurf dann eine Sechs fällt, wofür die Wahrscheinlichkeit 1 ist. Unter der Annahme, dass die 6 einzelnen Augenzahlen unabhängig sind, erhält man die Gesamtwahrscheinlichkeit als Produkt. Man spricht von einer geometrischen Verteilung. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 20

21 Bemerkung zur geometrischen Verteilung ) i 1 mit P(X = i) = 1 ( X kann beliebige Werte i N annehmen, es handelt sich somit um eine diskrete Verteilung mit abzählbar unendlich vielen Werten. Betrachtet man die Summe über alle Einzelwahrscheinlichkeiten, so erhält man die aus unendlich vielen Summanden bestehende Summe (Reihe) P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) +... = ( ) ( ) +... [ = ( ) ( ] ) +... wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 21

22 Fortsetzung geometrische Verteilung Beim Ausdruck in eckigen Klammern handelt es sich um eine geometrische Reihe der Form k=0 qk = 1 + q + q = lim n (1 + q + q q n ) = lim n 1 q n+1 1 q = 1 1 q mit q = 5 (die vorletzte Gleichheit kann durch vollständige 6 Induktion nach n bewiesen werden). Es folgt, dass der Klammerausdruck den Wert hat = 1 1/6 = 6 Die Gesamtsumme der Wahrscheinlichkeiten beträgt somit 1 6 = 1, womit gezeigt ist, dass es sich tatsächlich um eine 6 Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 22

23 Graphische Darstellung Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable kann graphisch in einem Stabdiagramm dargestellt werden. Verteilung der Augensumme zweier Würfel. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 23

24 Geometrische Verteilung Verteilung der Anzahl X der bis zur ersten Sechs benötigten Würfe. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 24

25 Bemerkung Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable deniert eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf der endlichen (oder abzählbaren) Menge M = {x 1, x 2, x 3,...} R. In den meisten Anwendungen ist M eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Für eine beliebige Teilmenge A R gilt dann P(X A) = P(A M) = x i A P(X = x i), wobei die Summe über diejenigen i gebildet wird, für die x i A liegt. Beispiel: Ist X die Augenzahl eines (fairen) Würfels, so gilt für das Intervall A = ( 2; 3) P(X A) = P( 2 < X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = = 1 3. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 25

26 Stetige Zufallsvariablen In vielen Anwendungen (z. B. bei der Modellierung zufälliger Zeiten, Längen etc.) ist es sinnvoll, Zufallsgröÿen zu betrachten, die beliebige Werte in einem reellen Intervall annehmen können. In solchen Fällen kann die Verteilung nicht mehr durch die Wahrscheinlichkeit P(X = x i ) einzelner Punkte festgelegt werden. Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen X, wenn einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit Null haben, d. h. P(X = x) = 0 für alle x R gilt. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 26

27 Beispiel Die Gleichverteilung im Intervall [0, 1] ist dadurch charakterisiert, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert in einem Teilintervall annmimmt, gleich der Länge dieses Teilintervalls ist: P(X [a, b]) = b a für alle a, b mit 0 a b 1. So ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine in [0; 1] gleichverteilte Zufallsvariable X einen Wert zwischen 0,25 und 0,4 annimmt, gleich 0, 15 = 15%. (15% aller reellen Zahlen zwischen aus dem Intervall [0; 1] liegen zwischen 0,25 und 0,4.) wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 27

28 Dichten Bei stetigen Zufallsvariablen X kann die Wahrscheinlichkeit eines Teilintervalls oft als Fläche unter einem Funktionsgraphen f (x) interpretiert werden. Eine solche Funktion f heiÿt Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Denition Eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Funktion f : R R mit folgenden Eigenschaften: f : R R ist stückweise stetig f (x) 0 f ist auf (, ) uneigentlich integrierbar mit f (x) dx = 1. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 28

29 Dichte einer Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X hat die Dichte f, wenn für alle a, b R mit a b gilt Beispiel P(X [a, b]) = P(a X b) = b a f (x) dx. Die auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable X hat die Dichte { 1 für 0 x 1 f (x) =. 0 sonst Bemerkung Hat X die Dichte f, so folgt P(X = a) = a f (x) dx = 0 für a alle a R, d. h. nur stetige Zufallsvariablen können eine Dichte haben. Auÿerdem folgt P(X [a, b]) = P(X (a, b)) = P(a < x < b) für alle a < b. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 29

30 Beispiel Gleichverteilung Die Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b] hat die Dichte f (x) = { 1 b a für a < x < b 0 für x < a und für x > b Der Funktionswert von f an den Unstetigkeitsstellen x = a und x = b kann dabei beliebig deniert werden. Beispiel Normalverteilung Die StandardNormalverteilung hat die Dichte f (x) = 1 2π e x 2 /2 für x R (Gauÿsche Glockenkurve) wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 30

31 Dichte der StandardNormalverteilung Die gelbe Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert zwischen a und b annimmt. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 31

32 Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung mit Parameter k > 0 hat die Dichte { ke f (x) = kx für für x < 0 Dichte f (x) mit Parameter k = 3, die markierte Fläche 2 entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable mit Dichte f (x) einen Wert zwischen 1 und 2 annimmt. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 32

33 Beispiel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten Ist die Zufallsvariable X exponentialverteilt mit Parameter k = 3, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert 2 zwischen 1 und 2 annimmt P(1 X 2) = P(1 < X < 2) = 2 1 f (x) dx = 2 = e 3 x 2 2 = e 3 + e 3/2 0, , 22 = 17% e x 2 dx (Stammfunktion mit linearer Substitution). Analog erhält man P(X 2) = 2 Bemerkung 3 2 e 3 x 2 dx = e 3 x 2 2 = 0 + e 3 5% Durch die Exponentialverteilung kann die Lebensdauer von Bauteilen modelliert werden, die keinem Verschleiÿ unterliegen. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 33

34 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X ist deniert als µ = EX = E(X ) = x i P(X = x i ), i d. h. die Summe wird gebildet über alle möglichen Werte der Zufallsvariablen, die mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit multipliziert werden. Interpretation: Der Erwartungswert entspricht dem durchschnittlichen Wert, den eine Zufallsgröÿe annimmt. Beispiele Erwartungswert der Augenzahl eines Würfels: EX = = 3 1 2, Augensumme zweier Würfel: EX = = wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 34

35 Bemerkung Im Fall einer diskreten Zufallsvariablen mit unendlich vielen Werten führt die Berechnung des Erwartungswertes auf eine unendliche Reihe, d. h. eine Summe mit unendlich vielen Summanden, die als Grenzwert deniert ist. Dieser Grenzwert existiert nicht in allen Fällen. Somit ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable nur dann deniert, wenn der entsprechende Grenzwert existiert (die Reihe konvergiert). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 35

36 Beispiel Wie oft muss man durchschnittlich würfeln, bis die erste 6 fällt? Antwort: 6 mal, denn: Für die Anzahl X der benötigten Würfe gilt P(X = i) = 1 6 ( 5 6) i 1 für i = 1, 2, 3,... Für den Erwartungswert folgt EX = 1 1 ( ) ( = i=1 i 1 6 ( 5 6 ) ( 5 ) i 1 = 1 6 i=1 i ( 5 6) i 1 6) = 1 36 = 6. 6 Dabei wurde benutzt, dass für jede reelle Zahl x mit x < 1 gilt i=1 i x i 1 = lim n (1 + 2x + 3x (n 1) x n ) = 1 (1 x) 2 Diese Identität kann mit durch Betrachtung von Potenzreihen hergeleitet werden. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 36

37 Erwartungswert einer Zufallsvariable mit Dichte Hat X die Dichte f, so ist der Erwartungswert deniert als µ = EX = E(X ) = falls das uneigentliche Integral existiert. Beispiel x f (x) dx, Ist X gleichverteilt in [0; 1], so erhält man mit der Dichte f (x) = 1 für 0 x 1 und f (x) = 0 sonst EX = x f (x) dx = 1 0 x 1 dx = 1 2 x = = 1 2 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 37

38 Bemerkung Nicht jede Zufallsvariable hat einen Erwartungswert. Voraussetzung dafür ist, dass die entsprechende Reihe bzw. das uneigentliche Integral konvergiert. Beispiel Wegen dx = arctan x 1+x 2 = π 2 π 2 = π ist f (x) = 1 1 eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Eine π 1+x 2 Zufallsvariable X mit der Dichte f (x) heiÿt Cauchyverteilt. Da das Integral x f (x) dx = x dx = 1 1+x ln(1 + x 2 ) 2 2 divergiert, ist der Erwartungswert einer Cauchyverteilten Zufallsvariable nicht deniert. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 38

39 Beispiel: Erwartungswert der Exponentialverteilung Ist X exponentialverteilt mit Parameter k = 1, so liefert die 5 Dichte f (x) = 1 5 e x/5 für x 0 sowie f (x) = 0 für x < 0 mit partieller Integration EX = x f (x) dx = 1 5 = 1 x 5 ( 5e x/5 ) 0 0 x e x/5 dx ( 0 e x/5 dx ) = 0 + ( 5e x/5) = = 5 Allgemeiner 0 Ist X exponentialverteilt mit Parameter k, so ist EX = 0 x ke kx dx = lim b ( xe kx 1k e kx ) b 0 = 1 k wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 39

40 Linearität des Erwartungswertes Sind X und Y Zufallsvariablen und ist c R, so gilt E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) sowie E(cX ) = ce(x ). Beispiel zwei Würfel: Stellen X und Y die Augenzahl jeweils eines Würfels dar, so gilt für die Augensumme E(X + Y ) = EX + EY = 3, 5 + 3, 5 = 7. Verallgemeinerung E(c 1 X c n X n ) = c 1 EX c n EX n für Zufallsvariablen X 1,..., X n und c 1,..., c n R. Monotonie des Erwartungswertes X Y EX EY. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 40

41 Satz Ist X eine Zufallsvariable und g : R R eine (stetige) Funktion, so ist durch g(x ) = g X : Ω R wieder eine Zufallsvariable deniert. Für deren Erwartungswert gilt { i Eg(X ) = g(x i) P(X = x i ), g(x) f (x) dx, falls X diskret ist, falls X die Dichte f hat Beispiel: (1) Ist X die Augenzahl eines Würfels, so gilt E (X 2 ) = = 91 = 15, (2) Ist X gleichverteilt in [0; 1], so ist EX 3 = 1 0 x 3 dx = 1 4 x = 1 4 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 41

42 Varianz Die Varianz (mittlere quadratische Abweichung) Var(X ) = V (X ) = σ 2 einer Zufallsvariable X ist ein Maÿ für die Streuung der Werte von X um dem Erwartungswert µ = E(X ). Sie ist deniert als σ 2 = σ 2 X = Var(X ) = E(X µ) 2 = E ( X 2) (EX ) 2 0. Die Standardabweichung ist deniert als σ = σ X = Var(X ). Bemerkung Die Varianz σ 2 einer diskreten Zufallsvariable mit Erwartungswert µ kann auf zweierlei Weise berechnet werden: [ ] σ 2 = E(X 2 ) µ 2 = i P(X = x i) xi 2 µ 2 oder σ 2 = E(X µ) 2 = i P(X = x i) (x i µ) 2 Beide Rechnungen liefern (natürlich) das selbe Ergebnis. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 42

43 Beispiel Für die Varianz der Augenzahl eines fairen Würfels erhält man σ 2 = E(X 2 ) (EX ) 2 ) 1 ( ( ) = = = 35 = 2, σ 2 = E(X µ) 2 = ( i P(X = x i) (x i µ) 2 = 1 (1 3, 5) 2 + (2 3, 5) 2 + (3 3, 5) 2 6 ) + (4 3, 5) 2 + (5 3, 5) 2 + (6 3, 5) 2 = 1 6 = 1 6 (6, , , , , , 25) 17, 5 = Die Standardabweichung wird dann in jedem Fall als σ = σ 2 und hat den Wert σ = σ 2 1, 708. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 43

44 Weiteres Beispiel Beim Werfen eines Würfels betrage der Gewinn 6 Euro bei einer gewürfelten 6 und 2 Euro, falls die gewürfelte Augenzahl ungerade (d. h. 1, 3 oder 5) ist. Bei einer 2 oder 4 ist der Gewinn Null. Ist X die Zufallsvariable, die den Gewinn beschreibt, so kann X die Werte 0, 2 und 6 annehmen mit P(X = 6) = 1 6, P(X = 2) = 3 6 = 1 2 und P(X = 0) = 2 6 = 1 3. Es folgt µ = EX = = 2 Der Erwartungswert des Gewinns entspricht einem fairen Einsatz, bei dem keiner der beteiligten Spieler einen strukturellen Vorteil hätte. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 44

45 Fortsetzung Beispiel Zur Berechnung der Varianz σ 2 des Gewinns kann zunächst E(X 2 ) berechnet werden: E(X 2 ) = = = 8 σ 2 = E(X 2 ) µ 2 = = 4. Alternativ kann gerechnet werden σ 2 = E(X µ) 2 = 1(0 3 2)2 + 1(2 2 2)2 + 1 (6 2)2 6 = = 12 3 = 4 Für die Standardabweichung gilt σ = 4 = 2. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 45

46 Varianz von Zufallsvariablen mit Dichte f (x) Auch hier gibt es analog zwei Rechenwege: σ 2 = E(X 2 ) (EX ) 2 = x 2 f (x) dx µ 2 oder σ 2 = E(X µ) 2 = (x µ)2 f (x) dx Beispiel Gleichverteilung Ist X die Gleichverteilung { im Intervall [0; 10], so hat X die 1, falls 0 x 10, Dichte f (x) = 10 0, falls x < 0 oder x > 10 Es folgt µ = EX = 10 0 x 0, 1 dx = 1 20 x = 5 0 = 5. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 46

47 Berechnung der Varianz im Beispiel Mit E(X 2 ) = erhält man 10 0 x 2 0, 1 dx = x 3 10 = = 33, 3 σ 2 = V (X ) = E(X 2 ) µ 2 = 33, = 25 3 Alternativ rechnet man (mit linearer Substitution) σ 2 = E(X µ) 2 = 10 0 = 8, 3. (x 5) dx = 1 30 (x 5)3 10 = ( 53 ) = = Die Standardabweichung ist σ = = , wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 47

48 Weiteres Beispiel Ist X exponentialverteilt mit Parameter k = 1, so ist EX = 1 k = 1 und E(X 2 ) = 0 x 2 e x dx = (x 2 + 2x + 2) e x = 0 ( 2) = 2 (mit zweimaliger partieller Integration) Es folgt V (X ) = E(X 2 ) (EX ) 2 = 2 1 = 1 Bemerkung Ebenso wie nicht jede Zufallsvariable einen Erwartungswert hat, hat auch nicht jede Zufallsvariable eine endliche Varianz. Die Varianz ist nur deniert, wenn der Erwartungswert µ = EX deniert ist und EX 2 endlich ist, d. h. die zugehörige Summe bzw. das uneigentliche Integral konvergiert. 0 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 48

49 Varianz transformierter Zufallsvariablen Für eine Zufallsvariable X und eine Konstante d R gilt V (X + d) = V (X ), d. h. eine Verschiebung ändert die Varianz nicht. Weiter gilt für c R V (c X ) = c 2 V (X ), d. h. eine Skalierung um den Faktor c wirkt sich quadratisch auf die Varianz aus, die Standardabweichung ändert sich entsprechend um den Faktor c. Allgemein gilt damit V (c X + d) = c 2 V (X ) für c, d, R. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 49

50 Beispiel Ist X die Augenzahl eines Würfels und beträgt der Gewinn G = 5X 18 die fünache Augenzahl minus einem Einsatz von 18 Euro, so ist die Varianz des Gewinns V (G) = V (5X 18) = 5 2 V (X ) = , 9, 12 die Standardabweichung ist σ = V (X ) 8, 54. Dabei hat der Einsatz keinen Einuss auf Varianz und Standardabweichung. Standardisierung Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert EX = µ und Varianz V (X ) = σ 2, so hat die standardisierte Zufallsvariable Z = X µ σ Erwartungswert 0 und Varianz 1. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 50

51 Weiteres Beispiel Ist X gleichverteilt in [0; 1], so ist EX = 1 2 und E(X 2 ) = 1 0 x 2 dx = 1 3 V (X ) = 1 3 ( 1 2) 2 = Für beliebige a, b R ist die Zufallsvariable Y = a + (b a) X gleichverteilt im Intervall [a, b], Es ist EY = a + (b a) 1 2 = b a 2 und V (Y ) = (b a)2 12. Insbesondere ist für b = a = 3 die im Intervall [ 3; 3] gleichverteilte Zufallsvariable Z = X 1 2 = 12 X 1 1/ = X standardisiert. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 51

52 Unabhängigkeit Zwei Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn für beliebige Teilmengen A, B R gilt P(X A und Y B) = P(X A) P(Y B). Satz X und Y sind genau dann unabhängig, wenn für alle x, y R gilt P(X x und Y y) = P(X x) P(Y y). Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y sind genau dann unabhängig, wenn für alle x, y gilt P(X = x und Y = y) = P(X = x) P(Y = y). Sind X und Y unabhängig, so auch g(x ) und h(y ) für Funktionen g und h. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 52

53 Bemerkung In Anwendungen muss die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen in der Regel nicht nachgerechnet werden, sondern ist eine Konsequenz von Modellannahmen. Wenn aus dem Modell hervorgeht, dass der Wert einer Zufallsvariable X keinen Einuss auf die Verteilung einer anderen Zufallsvariablen Y hat, so werden X und Y als unabhängig angenommen. Beispiel Bezeichnen X und Y die jeweiligen Augenzahlen zweier Würfel, so werden sie (in der Regel) als unabhängig vorausgesetzt. Unter dieser Annahme lassen sich dann weitere Wahrscheinlichkeiten wie z. B. die Verteilung der Augensumme X + Y berechnen. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 53

54 Satz Sind X und Y unabhängig, so gilt E(X Y ) = E(X ) E(Y ) sowie V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ). Beispiel Die Augensumme zweier Würfel hat die Varianz und die Standardabweichung σ = 2, (da die Augenzahl eines Würfels Varianz hat). Warnungen = Während E(X + Y ) = EX + EY für beliebige Zufallsvariablen gilt, setzten die Gleichungen E(X Y ) = EX EX und V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) die Unabhängigkeit von X und Y voraus. Da die Standardabweichung mit Hilfe der nichtlinearen Wurzelfunktion berechnet wird, gilt nicht σ X +Y = σ X + σ Y wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 54

55 Erweiterung Sind X 1, X 2,..., X n unabhängige Zufallsvariablen, so gilt V (X 1 + X X n ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) V (X n ) Beispiel Die Augensumme von 12 Würfeln hat Erwartungswert 12 3, 5 = 42, Varianz = 35 und 12 Standardabweichung 35 5, 916. Die Augensumme von 420 Würfeln hat Erwartungswert 1470, Varianz 1225 und Standardabweichung 35. Betrachtet man dagegen die 12fache Augenzahl 12X eines Würfels, so gilt für die Varianz V (12X ) = 12 2 V (X ) = 420 und die Standardabweichung σ 12X = , 49. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 55

56 Beispiel: 2 Würfel Beschreiben X und Y die Augenzahl jeweils eines Würfels, so folgt aus der Unabhängigkeit, dass für das Produkt XY der Augenzahlen gilt E(XY ) = E(X ) E(Y ) = 3, 5 2 = 12, 25 Ist Z die Zufallsvariable mit { 1, falls beide Augenzahlen gerade, Z =, so sind X und Z 0 sonst nicht unabhängig. Es ist EZ = 0 P(Z = 0) + P(Z = 1) = = E(X Z) bestimmt man wie folgt: Mit Wahrscheinlichkeit jeweils 1 ist X Z = 2, 4 bzw. 6 (erster Würfel 2, 4 oder 6 12 und zweiter Würfel gerade), in allen anderen Fällen ist X Z = 0. Es folgt E(X Z) = = 1 E(X ) E(Z) wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 56

57 Die Kovarianz zweier beliebiger Zufallsvariablen X und Y ist deniert als Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X ) E(Y ) Sind X und Y unabhängig, so ist E(XY ) = E(X ) E(Y ) Cov(X, Y ) = 0. Die Umkehrung gilt nicht allgemein, zwei Zufallsvariablen mit Kovarianz 0 müssen nicht unabhängig sein. X und Y heiÿen unkorreliert, falls Cov(X, Y ) = 0, positiv korreliert, falls Cov(X, Y ) > 0 und negativ korreliert, falls Cov(X, Y ) < 0. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 57

58 Satz Für beliebige Zufallsvariablen X und Y gilt V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) 2 V (X ) V (Y ) mit Gleichheit genau dann, wenn eine der beiden Zufallsvariablen konstant ist oder es Konstanten c, d R gibt, sodass Y = cx + d. Der Korrelationskoezient zweier Zufallsvariablen mit X und Y mit Standardabweichungen σ X und σ Y ist deniert als ρ(x, Y ) = ρ XY = Cov(X, Y ) σ X σ Y wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 58

59 Beispiel X und Y bezeichnen die Augenzahlen zweier Würfel, Z die Zufallsvariable mit Z = 1 falls beide Augenzahlen gerade sind und Z = 0 sonst. Dann ist Cov(X, Z) = E(XZ) E(X )E(Z) = = 1 8 Folglich sind X und Z positiv korreliert. Mit V (X ) = und V (Z) = 3 16 folgt weiter = 0, 125. ρ XY = = , 169 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 59

60 Eigenschaften Cov(X, Y ) 2 V (X ) V (Y ) besagt, dass der Korrelationskoezient immer zwischen 1 und 1 liegt. ρ XY = 1 bedeutet eine positive lineare Korrelation der Form Y = cx + d mit c > 0, ρ XY = 1 eine negative lineare Korrelation Y = cx + d mit c < 0. Ein Korrelationskoezient nahe 1 oder 1 bedeutet, dass zwischen X und Y annähernd ein linearer Zusammenhang besteht. Mit den standardisierten Zufallsvariablen ˆX = X EX σ X Ŷ = Y EY ist σ Y ρ XY = Cov( ˆX, Ŷ ) = ρ( ˆX, Ŷ ). und wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 60

61 Verteilungsfunktion Ist X eine Zufallsvariable mit der Dichte f (x), so ist F (x) = x f (ξ) dξ eine Stammfunktion von f (x). Damit gilt für a, b R mit a < b P(a < X < b) = P(a X b) = b a f (x) dx = F (b) F (a). Die oben denierte Funktion F (x) heiÿt Verteilungfunktion der stetigen Zufallsvariale X. Für x R ist F (x) = x f (ξ) dξ = P(X x). Beispiel Eine in [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion 0 für x 0, F (x) = x für 0 < x < 1, 1 für x 1 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 61

62 Verteilungsfunktion F (x) einer im Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsvariable wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 62

63 Weitere Beispiele Eine in [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion F (x) = 0 für x a, x a b a für a < x < x, 1 für x b Eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter k > 0 hat die Verteilungsfunktion F (x) = x 0 ke kξ dξ = 1 e kx für x 0 Für die Verteilungsfunktion Φ(x) = x 1 2π e ξ2 /2 dξ de Standardnormalverteilung lässt sich kein expliziter Ausdruck angeben. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 63

64 Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung F (x) = 1 e kx für k = 5, k = 1 und k = 0, 2. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 64

65 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 65

66 Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable Durch F (x) = P(X x) kann die Verteilungsfunktion für beliebige reellwertige, also auch diskrete, Zufallsvariablen deniert werden. Beispiel Augensumme X zweier Würfel Ist x < 2, so gilt F (x) = P(X x) = 0. Für 2 x < 3 ist F (x) = P(X x) = P(X = 2) = Für 3 x < 4 ist F (x) = P(X x) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 36 = Für x 12 ist F (x) = P(X 12) = 1. Somit hat F (x) an den Stellen x = 2, 3, 4,..., 12 jeweils eine Sprungstelle und ist zwischen diesen Sprungstellen konstant. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 66

67 Verteilungsfunktion Augensumme zweier Würfel F (x) hat Sprungstellen an den Stellen x = 2, 3, 4,..., 12 und ist auf den Intervallen dazwischen jeweils konstant. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 67

68 Eigenschaften von Verteilungsfunktionen F Für die Verteilungsfunktion F (x) einer beliebigen Zufallsvariable X gilt 0 F (x) 1 für alle x R x F (x) ist monoton wachsend. Die rechts- und linksseitigen Grenzwerte lim x x0 + F (x) und lim x x0 F (x) existieren für alle x 0 R und es ist F (x 0 ) = lim x x0 + F (x) (F ist rechtsseitig stetig). lim x F (x) = 0 und lim x F (x) = 1. Bemerkungen Jede Funktion mit den obigen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable. Jede reellwertige Zufallsvariable besitzt eine Verteilungsfunktion. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 68

69 Weitere Eigenschaften Für a < b ist P(X (a, b]) = P(a < X b) = F (b) F (a) (denn P(a < X b) = P(X b) P(X a)) Für alle x 0 R ist P(X = x 0 ) = Folgerung lim F (x) lim F (x) = F (x 0) lim F (x) x x 0 + x x 0 x x 0 F ist genau dann stetig in x 0, wenn P(X = x 0 ) = 0 gilt. Hat F an der Stelle x 0 eine Sprungstelle, so entspricht P(X = x 0 ) der Sprunghöhe. F ist genau dann stetig auf R, wenn P(X = x) = 0 für alle x R. In diesem Fall ist F Verteiungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 69

70 Bemerkungen Nicht jede stetige Zufallsvariable besitzt eine Dichte f (x). Ist die Verteilungsfunktion F (x) von X (eventuell mit Ausnahme endlich vieler Punkte, die dann die Sprungstellen von f sind) dierenzierbar, so ist f (x) = F (x) Dichte von X. Es gibt aber auch Zufallsvariablen, deren Verteilungsfunktionen stetig, aber nicht dierenzierbar sind. Die für Anwendungen wichtigsten Zufallsvariablen sind jedoch entweder diskret oder haben eine Dichte. Ist X stetig, so gilt P(X = x) = 0 für alle x R. Für a < b folgt dann P ( (a, b) ) = P(a < X < b) = P ( [a, b] ) = P(a X b) = P ( (a, b] ) = P ( [a, b) ) = F (b) F (a). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 70

71 Zusammenfassung (Berechnung von Wahrscheinlichkeiten) Ist X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F (x), so gilt für a, b R mit a < b: P(X b) = F (b), sowie P(X > a) = 1 F (a). P(a < X b) = F (b) F (a) Ist X stetig, so kann < und > durch und ersetzt werden und umgekehrt. Im allgemeinen Fall ist P(a X b) = F (b) F (a) + P(X = a), P(a < X < b) = F (b) F (a) P(X = b), P(X < b) = F (b) P(X = b) und P(X a) = 1 F (a) + P(X = a). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 71

72 Gesetz der groÿen Zahlen Beispiel Für die Augensumme S n = X X n beim nmaligen Würfeln gilt ES n = n EX i = n 3, 5 und V (S n ) = i=1 n i=1 V (X i ) = n Für die durchschnittliche Augenzahl X = 1 n S n = 1 n (X X n ) folgt EX = 1 n ES n = 3, 5 = EX 1 =... = EX n und V (X ) = 1 n 2 V (S n ) = 1 n Für die Standardabweichung erhält man σ X = V (X ) = 1 35 n 0 für n 12 wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 72

73 Gesetz der groÿen Zahlen Voraussetzungen Sie (X i ) eine Folge unabhängiger identisch verteilter (iid) Zufallsvariablen mit Erwartunswert µ R und Varianz σ 2 <. (d. h. X 1, X 2, X 3,... haben alle die gleiche Verteilung und insbesondere den gleichen Erwartungswert, unabhängig bedeutet P(X 1 A 1 ; X 2 A 2 ;...; X k A x ) = P(X 1 A 1 ) P(X 2 A 2 )... P(X k A k ) für beliebige k und A 1,..., A k R) Das arithmetische Mittel X n = 1 n n X i = 1 n (X 1 + X X n ) i=1 ist dann für alle n 1 eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz σ2 n. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 73

74 Gesetz der groÿen Zahlen Satz Für beliebiges ε > 0 gilt ( ) lim P 1 n n (X 1 + X X n ) µ ε = 0, d. h. die Folge (X n ) konvergiert stochastisch bzw. in Wahrscheinlichkeit gegen µ. Der Beweis erfolgt mit Hilfe der Ungleichung von Tschebysche. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 74

75 Bemerkungen Das Gesetz der groÿen Zahlen gilt auch noch unter schwächeren Voraussetzungen, wo die X i nicht unabhängig und/oder nicht identisch verteilt sind. Das starke Gesetz der groÿen Zahlen besagt lim n X n = µ fast sicher (mit Wahrscheinlichkeit 1), d. h. lim n X n (ω) = µ für alle ω aus einer Teilmenge Ω des zugrundeliegenden ) Wahrscheinlickeitsraumes Ω mit P ( Ω = 1. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 75

76 Bemerkung und Beispiel Eine Zufallsvariable X mit Dichte f (x) = 1 π 1 1+x 2 für x R heiÿt (standard)cauchyverteilt. Sind X 1, X 2,... unabhängig und Cauchyverteilt, so ist für alle n 1 auch X n = 1 n (X X n ) standardcauchyverteilt. Insbesondere gilt das Gesetz der groÿen Zahlen nicht für Cauchyverteilte Zufallsvariablen. Dies liegt daran, dass diese keinen Erwartungswert haben (das entsprechende uneigentliche Integral x f (x) dx divergiert). wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 76

77 Erweiterung: Hauptsatz der Statistik Zu Zufallsvariablen X 1,..., X n ist die empirische Verteilungsfunktion deniert als F n (x) = 1 n mal Anzahl der X i mit X i < x. Für festes x ist F n (x) eine Zufallsvariable. Sie gibt den relativen Anteil der X i wieder, deren Wert x ist. Satz Sind die X i unabhängig und identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x), so gilt für festes x R und ε > 0 lim P ( F n (x) F (x) ) > ε = 0, n d. h. die empirischen Verteilungsfunktionen F n nähern sich für n der erwarteten Verteilungsfunktion F an. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 77

78 Beispiel Empirische Verteilungsfunktion F 5 (x) einer exponentialverteilten Zufallsvariable mit Parameter λ = 1. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 78

79 Hauptsatz der Statistik F 50 (x) und theoretische Verteilungsfunktion F (x) = 1 e x. wahrscheinlichkeit13.pdf, Seite 79