PLANIMETRIE. Ähnlichkeit. Strahlensätze

Transkript

1 PLNIETRIE Winkel Nebenwinkel betrgen zusmmen 80. Sheitelwinkel sind einnder gleih. Komplementwinkel betrgen zusmmen 90. Supplementwinkel betrgen zusmmen 80. Winkelmße: ltgrd ( ) Neugrd oder Gon ( g ) Bogenmß, Rdint (rd) rd g rd = rd 6,6698 g rd g 0.0 g rd g 0.9 Symmetrie Eine ebene Figur heißt xilsymmetrish, wenn sie durh eine Gerde in zwei Teile zerlegt werden knn, die sih durh Umklppen um diese Gerde (Symmetriehse) um 80 zur Dekung bringen lssen. Eine ebene Figur heißt zentrlsymmetrish, wenn sie sih nh Drehung um 80 um einen bestimmten Punkt (Symmetriezentrum) mit der ursprünglihen Lge dekt. Strhlensätze. Strhlenstz: Werden die Strhlen eines Strhlenbüshels von Prllelen geshnitten, so verhlten sih die bshnitte uf einem Strhl wie die gleihliegenden bshnitte uf jedem nderen Strhl. S : S S : : S : SB : SB SC : SC SB SC : SB : SC : B B : C C : B : C C B. Strhlenstz: Werden die Strhlen eines Strhlenbüshels von Prllelen geshnitten, so verhlten sih die bshnitte uf den Prllelen wie die entsprehenden Sheitelstreken uf irgendeinem Strhl. B : B : B S : S : S BC : BC usw. : B C SC Ähnlihkeit : SC : SC Ebene Vieleke, die in der Form übereinstimmen, heißen ähnlih. (~) Ähnlihkeitssätze Zwei Dreieke sind ähnlih, wenn sie übereinstimmen in zwei Winkeln oder im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeshlossenen Winkel oder im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite oder im Verhältnis der drei Seiten. Ähnlihe Dreieke werden durh entsprehende Höhen oder Winkelhlbierenden oder Seitenhlbierenden in ähnlihe Dreieke zerlegt. In ähnlihen Dreieken verhlten sih entsprehende Höhen, Winkelhlbierenden und Seitenhlbierenden wie ein Pr entsprehender Seiten. Die Umfänge ähnliher Dreieke verhlten sih wie ein Pr entsprehender Streken (Seiten, Höhen, Seitenhlbierenden usw.): : u : b : b : k u (Ähnlihkeitsverhältnis, Linervergrößerung) Die Fläheninhlte ähnliher Dreieke verhlten sih wie die Qudrte zweier

2 entsprehender Streken (Seiten, Höhen, Seitenhlbierenden usw.). : : b : b : k (k siehe oben!) Vieleke sind ähnlih, wenn sie im Verhältnis entsprehender Seiten oder in den entsprehenden Winkeln übereinstimmen. Ähnlihkeitslge Ähnlihe Vieleke sind in Ähnlihkeitslge, wenn entsprehende Seiten prllel sind und entsprehende Punkte uf Strhlen eines Strhlenbüshels liegen. Der Sheitel S des Strhlenbüshels heißt Ähnlihkeitspunkt. Stz des Thles Jeder Peripheriewinkel im Hlbkreis ist ein rehter. KNGRUENZ Vieleke, die niht nur in der Form, sondern uh in der Größe homologer Stüke übereinstimmen, heißen kongruent. Kongruenzsätze Dreieke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in einer Seite und zwei Winkeln oder in zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel oder in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel oder in den drei Seiten. Der Kreis Der Stz vom Sehnentngentenwinkel Der Sehnentngentenwinkel ist hlb so groß wie der Zentriwinkel über demselben Bogen, folglih gleih dem Peripheriewinkel über demselben Bogen. Kreisumfng: u = r Kreisbogen: r b für in ltgrd 80 b r für im Bogenmß Kreisflähe: r Kreisusshnitt (Kreissektor): Der Stz vom Zentri- und Peripheriewinkel Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie jeder beliebige Peripheriewinkel über demselben Bogen (über derselben Sehne). r für in ltgrd 60 r für im Bogenmß b r

3 Kreisbshnitt (Kreissegment): = Kreissektor B Kreisring: R r Sinusstz: : b : sin : sin : sin oder: b r sin sin sin Cosinusstz: b b b b os os b os Rehtwinkliges Dreiek: Ds Dreiek Bezeihnungen: h Höhe zur Seite (h b, h nlog) r Umkreisrdius Inkreisrdius u b s Dreieksungleihungen: + b > b + > + > b 80 Formeln für den Fläheninhlt: h b hb h b r s s s b s s b sin b sin (Formel von Heron) sin Bezeihnungen:, b Ktheten Hypotenuse h Höhe, b Hypotenusenbshnitte h b Pythgoräisher Lehrstz Ds Qudrt über der Hypotenuse eines rehtwinkligen Dreieks ist gleih der Summe der beiden Qudrte über den Ktheten: b Der Kthetenstz (Euklid) Ds Qudrt über der Kthete eines rehtwinkligen Dreieks ist flähengleih dem Rehtek, gebildet us Hypotenuse und nliegendem Hypotenusenbshnitt: b b Der Höhenstz (Euklid) Ds Qudrt über der Höhe eines rehtwinkligen Dreieks ist flähengleih dem Rehtek, gebildet us den beiden Hypotenusenbshnitten: h b uh die Shreibweise Pythgoreisher Lehrstz ist rihtig.

4 Pythgoräishe Zhlentripel: pq b p q wobei p, q, p > q p q p q b n erhält weitere pythgoräishe Zhlentripel, wenn mn die in obiger Tbelle zusmmengehörenden Werte, b, durh, b, ersetzt (). Ds gleihseitige Dreiek: h Ds Vierek Bei jedem Vierek ist die Summe der Innenwinkel gleih 60. Ds Prllelogrmm = gh (Grundlinie ml zugehörige Höhe) + = + = + = + = 80 Die Digonlen hlbieren einnder. Ds Qudrt = ² e = f = Die Digonlen hlbieren einnder und stehen ufeinnder norml. Ds Trpez h m h Der Rhombus (= die Rute) e f Die Digonlen stehen ufeinnder senkreht, hlbieren einnder und hlbieren uh die Rhombuswinkel. Ds Sehnenvierek s s b s s d u b d wobei s. Ds Tngentenvierek + = b + d = s Ds Rehtek = b e = f = b Die Digonlen hlbieren einnder.

5 Ds Deltoid (Drhenvierek) e f STEREETRIE Hinweis: Die mit einem seitlihen gruen Blken gekennzeihneten Formeln bruhen niht uswendig gekonnt zu werden! Bezeihnungen: V Volumen berflähe h Höhe G Grundflähe D Dekflähe ntel Ds Prinzip von Cvlieri Körper mit inhltsgleihen Grundflähen und gleihen Höhen hben gleihes Volumen, wenn sie in gleihen bständen von der Grundflähe flähengleihe, zur Grundflähe prllele Quershnitte hben. Ds Prism Für gerdes wie shiefes Prism gilt: V h G Der Quder V b Der Würfel G b b V 6 d (d Rumdigonle) Die Pyrmide V G h G Hinweis: Die beiden Formeln gelten niht nur für gerde, sondern uh für shiefe Pyrmiden! Der Pyrmidenstumpf h V G G D D G D Die 5 regelmäßigen Polyeder Bezeihnungen: Seitenknte r Rdius der Umkugel Rdius der Inkugel Ds Tetreder wird von gleihseitigen Dreieken begrenzt. V

6 r 6 6 r Tetreder kteder Ds kteder wird von 8 gleihseitigen Dreieken begrenzt. V r 6 6 Ds Ikoseder wird von 0 gleihseitigen Dreieken begrenzt. 5 5 V 5 r 5 5 Ikoseder 5 Dodekeder Ds Hexeder (Der Würfel) wird von 6 Qudrten begrenzt. V = ³ = 6² r Ds Dodekeder: wird von regelmäßigen Fünfeken begrenzt. V Der Drehzylinder (= der gerde Kreiszylinder) V r h rh r Der shiefe Zylinder V = G h, = us, wobei s die ntellinie und u den Umfng des Quershnittes norml zur ittengerden bedeutet. Der Kegel Für den gerden wie den shiefen Kegel gilt: G h V Der Drehkegel (= der gerde Kreiskegel) r h V rs r Der Drehkegelstumpf h V R Rr r s R r R r (it s ist die ntellinie gemeint.) Die Kugel r V r

7 Der Kugelbshnitt (Ds Kugelsegment) Der Torus V r R r R r eridinkreisrdius R ittenkreisrdius h V r h rh h rh h r h Der Kugelusshnitt (Der Kugelsektor) r h V rh r Die Kugelshiht h V h 6 rh ( Kugelzone ) Ds Rottionsellipsoid V b (bei Rottion um die Hupthse)

8 Trigonometrishe Funktionen os sin B tn CD ot EF B Hypotenuse CD Gegenkthete zu C nkthete zu = 90 e i os i sin os sin Im rehtwinkligen Dreiek gilt: sin os Gegenkthete Hypotenuse nkthete Hypotenuse sin Gegenkthete tn os nkthete os nkthete ot tn sin Gegenkthete Drus ergibt sih: tn ot tn ot os sin Periodizität der Kreisfunktionen: sin und os hben die primitive Periode, tn und ot hben die primitive Periode. Besondere Funktionswerte: sin 0 os tn 0 ot os sin sin os Vorzeihen der Kreisfunktionswerte in den vier Qudrnten (siehe Einheitskreis!): Qudrnt sin os tn ot I II + III + + IV + 0 0