Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I"

Transkript

1 Technische Universität München WS 00/0 Institut für Informatik Aufgabenblatt 10 Prof. Dr. J. Csirik 7. Januar 00 randt & Stein Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I Abgabetermin: Tutorübungen am 16. und 17. Januar Aufgabe 6 Rekursion zweiten Grades T/H) Eine homogene, lineare Rekursionsgleichung zweiten Grades hat folgende Form. x = a x + a x n und x = b, x = b a) T) Seien α und β zwei Lösungen der Gleichung t a t a = 0. Zeigen Sie, dass gilt: { x = A wenn α β An + )α sonst mit A = { wenn α β sonst = { b sonst wenn α β b) H) Stellen Sie eine Rekursionsgleichung für die Anzahl der perfekten Matchings in einem n-gittergraphen auf und lösen Sie diese mit der oben bewiesenen Lösungsformel. c) H) n Personen Informatikstudenten, Mathematikstudenten oder Professoren) rutschen hintereinander in einer der Rutschen im FMI-Gebäude. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn nicht zwei Professoren hintereinander rutschen dürfen? Hinweis: Stellen Sie eine Rekursionsgleichung auf und lösen Sie diese mit der Lösungsformel. Aufgabe 6 Lösungsvorschlag) Rekursion zweiten Grades a) eweis durch Induktion. Zunächst gilt für α und β: α = a + a + 4a, β = a a + 4a Damit gilt α = β = a genau dann, wenn a = 4a.. Induktionsanfang: α = β: x = 0 A + )α = b x = A + )α = b αb + αb = b.

2 x = Aα β = b b β b b α α β: x = A = b b β Induktionsschritt: = b = b b b α α β = b = b α = β: Einsetzen liefert mit α = a und a = 4a ): x = a x + a x = a An + )α + a An 1) + )α = a Anα + a α + a Anα a Aα + a α na ) = α + na a a ) ) A + α α α + a α ) α ) ) = n + 4na 4a A + + 4a α a a a = n n + 1) A + 1) ) α = n + 1)A + ) α α β: Einsetzen liefert: x = a x + a x = a A ) + a Aα β ) = a α + a α )A a β + a β ) = a α + a )α A a β + a )β a + ) a + 4a = a + a α A a a a + 4a + a ) β = α α A β β = α A β b) Sei p die Anzahl der perfekten Matchings in einem n-gittergraphen. In einem 1-Gittergraphen gibt es ein perfektes Matching p = 1). ei der Hinzunahme von zwei Knoten zu einem bestehenden n 1)-Gitter, ergeben sich zwei Möglichkeiten. Entweder die beiden neuen Knoten bilden eine Kante des Matchings oder die beiden neuen Knoten sind mit den jeweils links daneben liegenden Knoten verbunden bei einem horizontalen Gitter). Im ersten Fall gibt es p Möglichkeiten für die verbleibenden Matching-Kanten, im zweiten p. Insgesamt ergibt sich p = p + p und p = 1. Dies sind die um ein Glied verschobenen Fibonaccizahlen. Um die Lösungsformel anwenden zu können, muss man die Lösung der Gleichung t t 1 = 0 bestimmen. α = β = A = 1 = 1 + = 1 = 1

3 p = ) 1 c) Man kann die Rutschsequenzen als Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {a, b, c} Professoren, Informatiker und Mathematiker), die keine zwei aufeinanderfolgenden a s enthalten, auffassen. Sei r die Anzahl solcher Zeichenketten mit Länge n. Es gilt offensichtlich r = a, b und c). etrachten wir nun eine Zeichenkette mit n Zeichen. Ist das letzte Zeichen ein b oder c, dann gibt es r Möglichkeiten für die verbleibenden Zeichen. Sind die letzten beiden Zeichen ba oder ca, so gibt es r Möglichkeiten für die restlichen Zeichen. Insgesamt ergibt sich die Rekursionsgleichung r = r + r und der Startwert r = 1. α = = 1 + β = = 1 A = = + r = ) = 11 + ) 1 + = Aufgabe 7 Lukaszahlen H) Die Lukaszahlen sind durch folgende Rekursionsgleichung definiert. L = L + L n und L = 1, L = a) Zeigen Sie, dass L = F + F gilt, wobei F die Fibonaccizahlen sind. b) Geben Sie eine explizite Darstellung für L an. Aufgabe 7 Lösungsvorschlag) Lukaszahlen a) Sei K = F + F. Dann gilt: K = F + F + F + F = F + F + F + F = K + K Außerdem gilt K = F + F = 1. Aus K = F + F = und K = K + K = 1 + K folgt K =. Also gilt K = L. b) Eine explizite Darstellung erhält man, indem man die explizite Darstellung der Fibonaccizahlen aus Aufgabe 6 b) in die Gleichung L = F + F einsetzt oder indem man die Lösungsformel aus Aufgabe 6 direkt verwendet. In beiden Fällen erhält man: L = 1 + ) +

4 Aufgabe 8 Sortierverfahren T) Gegeben sei ein Array A[1... n]. Hugo Hacker schlägt folgendes Sortierverfahren SLOWSORT vor, das mit SLOWSORTA, 1, n) aufgerufen wird: SLOWSORTA,i,j) if i = j then return * Terminierungsfall, Array der Länge 1 *) else if i + 1 = j then * Terminierungsfall, Array der Länge *) if A[i] > A[j] then exchange A[i] A[j] endif; return else k := j i + 1)/ ; * Drittel der Länge berechnen und abrunden *) SLOWSORTA, i, j k); * Erste zwei Drittel sortieren *) SLOWSORTA, i + k, j); * Hintere zwei Drittel sortieren *) SLOWSORTA, i, j k) * Nochmal erste zwei Drittel sortieren *) endif; a) Zeigen Sie durch Induktion über die Länge des Arrays, dass der Algorithmus SLOWSORT ein Array aufsteigend sortiert. eweisen Sie dazu, dass aus der Korrektheit des Algorithmus für Teil-)Arrays der Länge m n die Korrektheit des Algorithmus für Teil-)Arrays der Länge n + 1 folgt. Hinweis: Machen Sie sich klar, dass nach dem zweiten rekursiven Aufruf von SLOWSORT die k größten Elemente des Arrays bereits an ihrem korrekten Platz im letzten Drittel des Arrays sind. b) estimmen Sie eine Rekursionsgleichung, die die Anzahl Vn) der Vergleiche von Array-Elementen beim Ablauf des Algorithmus SLOWSORT auf einem Array der Länge n beschreibt. estimmen Sie eine Funktion fn), so dass Vn) Ofn)). Aufgabe 8 Lösungsvorschlag) Sortierverfahren a) Die Korrektheit von SLOWSORT wird durch Induktion über die Länge des sortierten Teilarrays, d.h. über die Differenz j i + 1 gezeigt. Länge kleiner gleich : Hier handelt es sich um den Terminierungsfall. ei Länge 1 ist der Array in jedem Fall korrekt sortiert, bei Länge zwei werden gegebenenfalls beide Elemente ausgetauscht und der Array ist ebenfalls korrekt sortiert. Länge n > : Man nimmt nach Induktionsvoraussetzung an, dass SLOWSORT für alle Teilarrays der Länge m < n korrekt ist. Sei k = j i + 1)/. Man betrachtet nun die k größten Elemente des Arrays A[i... j]. Davon befinden sich l k in den ersten zwei Dritteln des Arrays und sind dort die l größten Elemente dieses Teilarrays. Nach dem ersten rekursiven Aufruf, der, nach Induktionsvoraussetzung, den Teilarray korrekt sortiert, befinden sich diese l Elemente im Teilarray A[j k l j k], wobei j k l + 1 i + k gilt. Das mittlere Drittel besteht immer aus mindestens k Elementen, so dass, auch wenn alle k größten Elemente sich ursprünglich in den unteren zwei 4

5 Dritteln befinden, diese alle im mittleren Drittel Platz haben. Demnach befinden sich die k größten Elemente zwischen den Indizes i + k und j, was bedeutet, dass sie sich nach dem zweiten rekursiven Aufruf korrekt sortiert im letzten Drittel des Arrays befinden. Die restlichen Elemente, die alle kleiner gleich den k größten Elementen sind, werden nun noch im letzten rekursiven Aufruf korrekt sortiert. b) Aus dem Algorithmus SLOWSORT läßt sich leicht folgende Rekursionsgleichung für die Anzahl der Vergleiche Vn) in Abhängigkeite der Länge des Arrays ablesen: Vn) = V n ), wobei die Anfangsbedinungen V1) = 0 und V) = 1 gelten. Dies kann dadurch begründet werden, dass es drei Aufrufe, bei denen jeweils aller Elemente bearbeitet werden. Weil im Algorithmus für k die unteren Gaußklammern verwendet werden und k abgezogen wird, stehen in der Rekursionsgleichung die oberen Gaußklammern. Um eine Abschätzung für Vn) zu erhalten, bestimmen wir den Exponenten k für den gilt: ) n =. Daraus ergibt sich = ) und deshalb k = log = log n log. }{{} Daher gilt Vn) = V) = log = log. Es gilt also Vn) = O log Diesen Ausdruck kann man mit der eziehung a log = c log noch umformen. Diese eziehung kann man beispielsweise folgendermaßen zeigen: a log = a log log c log = = log = ) log log log log log = log log Damit ergibt sich Vn) = On log }{{}). Da es sogar Sortierverfahren mit Laufzeit On log n) gibt, hat SLOWSORT daher seinen Namen verdient. Mit Hilfe des Master-Theorems erhält man die gleiche Lösung wie oben. log ). Aufgabe 9 Zahlenmengen H) Geben Sie eine Rekursionsgleichung an, die die Anzahl aller Teilmengen der Menge {1,,..., n}, die keine drei aufeinander folgenden Zahlen enthalten, beschreibt. Aufgabe 9 Lösungsvorschlag) Zahlenmengen Sei a die Anzahl der gesuchten Teilmengen aus {1,,..., n}. Es gibt zwei Teilmengen von {1}, die keine drei aufeinander folgende Zahlen enthalten: {1} und {} a = ). Mit der gleichen Argumentation gilt: a = = 4 und a = = 1. Es gibt a Mengen, die n nicht enthalten und die gegebene Eigenschaft haben. Weiterhin gibt es a Mengen, die n enthalten, aber n 1 nicht enthalten und a Mengen, die n und n 1, aber nicht n enthalten. Es ergibt sich die Rekursionsgleichung a = a + a + a.

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #6 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 26.02.2017 Heute: Master-Theorem Phillip Keldenich, Arne Schmidt Große Übung 2 Vorbetrachtungen Wir betrachten rekursive Gleichungen

Mehr

Aufgabe 8. 1 Arbeitsweise illustrieren. 2 Korrektheitsbeweis führen. 3 Laufzeitanalyse durchführen.

Aufgabe 8. 1 Arbeitsweise illustrieren. 2 Korrektheitsbeweis führen. 3 Laufzeitanalyse durchführen. Aufgabe 8 Betrachten Sie den folgenden Algorithmus namens Bubble-Sort. Bubble-Sort(A[1..n]): 1 for i 1 to length(a) 1 2 do for j length(a) downto i + 1 3 do if A[j 1] > A[j] 4 then A[j 1] A[j] 1 Arbeitsweise

Mehr

5. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016

5. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Dennis Hofheinz Lukas Barth, Lisa Kohl 5. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016 https://crypto.iti.kit.edu/index.php?id=algo-sose16

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) WS 2011/12 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ws/ds/uebung/ 18. Januar 2012 ZÜ DS ZÜ XII

Mehr

Hausaufgaben. zur Vorlesung. Vollständige Induktion. 1. Beweist folgende Formeln (zu beweisen ist nur die Gleichheit mit dem. i=1 (4 + i)!

Hausaufgaben. zur Vorlesung. Vollständige Induktion. 1. Beweist folgende Formeln (zu beweisen ist nur die Gleichheit mit dem. i=1 (4 + i)! WS 015/1 Hausaufgaben zur Vorlesung Vollständige Induktion 1. Beweist folgende Formeln zu beweisen ist nur die Gleichheit mit dem! -Zeichen : a 5 + + 7 + 8 + + 4 + n n 4 + i! nn+9 b 1 + + 9 + + n 1 n 1

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Tobias Lieber Sommersemester 2011 Übungsblatt 1 16. September 2011 Grundlagen: Algorithmen und

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Musterlösungen zu Datenstrukturen und Algorithmen SS 2005 Blatt 2, Aufgabe 3 Wir schreiben zunächst alle Funktionen zur Basis 2.

Musterlösungen zu Datenstrukturen und Algorithmen SS 2005 Blatt 2, Aufgabe 3 Wir schreiben zunächst alle Funktionen zur Basis 2. Prof. Dr. Johannes Blömer Paderborn, den. August 005 Musterlösungen zu Datenstrukturen und Algorithmen SS 005 Blatt, Aufgabe 3 Wir schreiben zunächst alle Funktionen zur Basis. Dann erhalten wir 3 n log(n)

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)

Mehr

Das Suchproblem. Gegeben Menge von Datensätzen. Beispiele Telefonverzeichnis, Wörterbuch, Symboltabelle

Das Suchproblem. Gegeben Menge von Datensätzen. Beispiele Telefonverzeichnis, Wörterbuch, Symboltabelle 122 4. Suchen Lineare Suche, Binäre Suche, Interpolationssuche, Untere Schranken [Ottman/Widmayer, Kap. 3.2, Cormen et al, Kap. 2: Problems 2.1-3,2.2-3,2.3-5] 123 Das Suchproblem Gegeben Menge von Datensätzen.

Mehr

15. September 2010 Prof. Dr. W. Bley. Universität Kassel Klausur SS 2010 Diskrete Strukturen I (Informatik) Name:... Matr.-Nr.:... Viel Erfolg!

15. September 2010 Prof. Dr. W. Bley. Universität Kassel Klausur SS 2010 Diskrete Strukturen I (Informatik) Name:... Matr.-Nr.:... Viel Erfolg! 15. September 010 Prof. Dr. W. Bley Universität Kassel Klausur SS 010 Diskrete Strukturen I (Informatik) 1 3 4 5 6 Name:................................................ Matr.-Nr.:............................................

Mehr

Wir wollen nun die Behauptung beweisen, dass die Laufzeit von SELECT linear ist, also dass T (n) = O(n) gilt.

Wir wollen nun die Behauptung beweisen, dass die Laufzeit von SELECT linear ist, also dass T (n) = O(n) gilt. Abschätzung für die Rekursion von SELECT Wir wollen nun die Behauptung beweisen, dass die Laufzeit von SELECT linear ist, also dass T (n) = O(n) gilt. Wir nehmen erst einmal an, dass eine Konstante d existiert,

Mehr

2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion. 18. April 2017

2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion. 18. April 2017 2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion 18. April 2017 Rekursiver Algorithmus Ein rekursiver Algorithmus löst ein Problem, indem er eine oder mehrere kleinere Instanzen des gleichen Problems löst. Beispiel

Mehr

Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität

Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Übungsblatt 7 26.11.2012 Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe T15 Entwickeln Sie ein

Mehr

Kapitel 8. Rekursionsgleichungen. Landau-Symbole. Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen

Kapitel 8. Rekursionsgleichungen. Landau-Symbole. Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen Rekursionsgleichungen Landau-Symbole Kapitel 8 Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen Kapitel 8 Rekursionsgleichungen p./42 Landau-Symbole () Modellierung

Mehr

Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6

Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Robert Elsässer u.v.a. Paderborn, 29. Mai 2008 Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Aufgabe 1 (6 Punkte): Zunächst sollte klar sein, daß ein vollständiger Binärer

Mehr

Schleifeninvarianten. Dezimal zu Binär

Schleifeninvarianten. Dezimal zu Binär Schleifeninvarianten Mit vollstandiger Induktion lasst sich auch die Korrektheit von Algorithmen nachweisen. Will man die Werte verfolgen, die die Variablen beim Ablauf eines Algorithmus annehmen, dann

Mehr

8. Sortieren II. 8.1 Heapsort. Heapsort. [Max-]Heap 6. Heapsort, Quicksort, Mergesort. Binärer Baum mit folgenden Eigenschaften

8. Sortieren II. 8.1 Heapsort. Heapsort. [Max-]Heap 6. Heapsort, Quicksort, Mergesort. Binärer Baum mit folgenden Eigenschaften Heapsort, Quicksort, Mergesort 8. Sortieren II 8.1 Heapsort [Ottman/Widmayer, Kap. 2.3, Cormen et al, Kap. 6] 9 210 Heapsort [Max-]Heap 6 Inspiration von Selectsort: Schnelles Einfügen Binärer Baum mit

Mehr

Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3)

Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Technische Universität München Motivation: IT gestützte Steuerung, Überwachung, Fertigung, Produktion,. : erfordert effiziente Berechnungsvorschriften

Mehr

8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können.

8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. 8. A & D - Heapsort Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. Genauer werden wir immer wieder benötigte Operationen durch Datenstrukturen unterstützen.

Mehr

Diskrete Strukturen Endterm

Diskrete Strukturen Endterm Technische Universität München Winter 016/17 Prof H J ungartz / Dr M Luttenberger, J räckle, K Röhner H- Diskrete Strukturen Endterm eachten Sie: Soweit nicht anders angegeben, ist stets eine egründung

Mehr

2.2 Allgemeine (vergleichsbasierte) Sortierverfahren

2.2 Allgemeine (vergleichsbasierte) Sortierverfahren . Allgemeine (vergleichsbasierte) Sortierverfahren Vergleichsbaum: Der Aufbau des Verbleichsbaum ist für jeden Algorithmus und jede Eingabelänge n gleich. Jede Permutation der Eingabe, muss zu einem anderen

Mehr

2. Entsprechende Listen P i von Vorgängern von i 3. for i := 1 to n do. (ii) S i = Knoten 2 + 1}

2. Entsprechende Listen P i von Vorgängern von i 3. for i := 1 to n do. (ii) S i = Knoten 2 + 1} 1. Berechne für jeden Knoten i in BFS-Art eine Liste S i von von i aus erreichbaren Knoten, so dass (i) oder (ii) gilt: (i) S i < n 2 + 1 und Si enthält alle von i aus erreichbaren Knoten (ii) S i = n

Mehr

4 Rekursionen. 4.1 Erstes Beispiel

4 Rekursionen. 4.1 Erstes Beispiel 4 Rekursionen Viele Algorithmen besitzen sowohl eine iterative als auch eine rekursive Lösung. Sie unterscheiden sich darin, dass die iterative Version meist einen etwas längeren Kode besitzt, während

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Universität Innsbruck Institut für Informatik Zweite Prüfung 16. Oktober 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Name: Matrikelnr: Die Prüfung besteht aus 8 Aufgaben. Die verfügbaren Punkte für jede Aufgabe

Mehr

Aufgabe (Schreibtischtest, Algorithmenanalyse)

Aufgabe (Schreibtischtest, Algorithmenanalyse) Aufgabe (Schreibtischtest, Algorithmenanalyse) Führen Sie einen Schreibtischtest für den Algorithmus Positionsort für das folgende Eingabe-Array durch. Geben Sie nach jedem Durchlauf der for-schleife mit

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20. Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.

Mehr

Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g:

Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g: TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 2 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]

Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Heapsort / 1 Heap: Ein Array heißt Heap, falls A [i] A [2i] und A[i] A [2i + 1] (für 2i n bzw. 2i + 1 n) gilt. Beispiel: A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Heapsort / 2 Darstellung eines Heaps als

Mehr

lim log 2n n = > 0 Da es einen Limes gibt, gibt es auch einen Limes inferior, der gleich diesem Limes ist.

lim log 2n n = > 0 Da es einen Limes gibt, gibt es auch einen Limes inferior, der gleich diesem Limes ist. Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Christian Dehnert, Jonathan Heinen, Thomas Ströder, Sabrina von Styp Aufgabe 1 (O-Notation): Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (3 + 3 + 4 = 10 Punkte)

Mehr

Übung Algorithmen und Datenstrukturen

Übung Algorithmen und Datenstrukturen Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2016 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin Agenda 1. Vorstellen des vierten Übungsblatts 2. Vorbereitende Aufgaben für das vierte Übungsblatt

Mehr

Diskrete Mathematik 1

Diskrete Mathematik 1 Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 008/09 Blatt

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Tobias Lieber Sommersemester 011 Übungsblatt 30. Mai 011 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

( )= c+t(n-1) n>1. Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3)

( )= c+t(n-1) n>1. Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Motivation: IT gestützte Steuerung, Überwachung, Fertigung, Produktion,. : erfordert effiziente Berechnungsvorschriften Ziel: Methoden kennen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2014/15 3. Vorlesung Laufzeitanalyse Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I 2 Recap: Diskutieren Sie mit Ihrer NachbarIn! 1. 2. 3. Was sind

Mehr

Übersicht. Berechnung der Potenz für zwei ganze Zahlen Klausuraufgabe SS 2010! Berechnung der Cosinus-Funktion Klausuraufgabe WS 2010/2011!

Übersicht. Berechnung der Potenz für zwei ganze Zahlen Klausuraufgabe SS 2010! Berechnung der Cosinus-Funktion Klausuraufgabe WS 2010/2011! Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 8. Vorlesung Algorithmen in Java Jan-Henrik Haunert Lehrstuhl für Informatik I Übersicht Berechnung der Potenz für zwei ganze Zahlen Klausuraufgabe

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / Vorlesung 9, Donnerstag 18.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / Vorlesung 9, Donnerstag 18. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 9, Donnerstag 18. Dezember 2014 (Teile und Herrsche, Mastertheorem) Junior-Prof. Dr.

Mehr

Rekursion. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung

Rekursion. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung Rekursion Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik: http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-12-13/infoeinf WS12/13 Aufgabe 1: Potenzfunktion Schreiben Sie eine Methode, die

Mehr

Übungsblatt 1. f(n) = f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion:

Übungsblatt 1. f(n) = f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion: Übungsblatt 1 Aufgabe 1.1 Beweisen oder widerlegen Sie, dass für die im Folgenden definierte Funktion f(n) die Beziehung f(n) = Θ(n 4 ) gilt. Beachten Sie, dass zu einem vollständigen Beweis gegebenenfalls

Mehr

1 Raumwechsel: Gr. 15 (Do 10-12, F-235) ab sofort in G Studie zum Arbeitsverhalten von Studierenden unter Leitung

1 Raumwechsel: Gr. 15 (Do 10-12, F-235) ab sofort in G Studie zum Arbeitsverhalten von Studierenden unter Leitung Organisatorisches Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 3: Divide & Conquer Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1 Raumwechsel: Gr. 15 (Do 10-12, F-235) ab sofort in G-021. 2 Studie zum

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2013/14 1. Vorlesung Kapitel 1: Sortieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Das Problem Eingabe Gegeben: eine Folge A = a 1, a 2,..., a

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Tobias Lieber Sommersemester 2011 Übungsblatt 5 14. Juni 2011 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 1. Vorlesung Kapitel 1: Sortieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Das Problem Eingabe Gegeben: eine Folge A = a 1, a 2,..., a

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Spezielle Sortierverfahren Autor: Sven Schuierer

Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Spezielle Sortierverfahren Autor: Sven Schuierer Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Spezielle Sortierverfahren Autor: Sven Schuierer Institut für Informatik Georges-Köhler-Allee Albert-Ludwigs-Universität Freiburg 1

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Informatik B Sommersemester Musterlösung zur Klausur vom

Informatik B Sommersemester Musterlösung zur Klausur vom Informatik B Sommersemester 007 Musterlösung zur Klausur vom 0.07.007 Aufgabe : Graphen und Graphalgorithmen + + + () Punkte Für eine beliebige positive, ganze Zahl n definieren wir einen Graphen G n =

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Mehr

7. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04

7. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 7. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 KATHRIN TOFALL Aufgabe 7. (Symmetrischer EEA). (9 Punkte) Ziel dieser Aufgabe ist es zu zeigen, was man gewinnt, wenn man bei der Division mit

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

= =

= = 9. Januar 2007 Arbeitsblatt 9 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 19.12.06 Präsenzaufgaben: 1. Zu Beginn

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Form der Äquivalenzklassen

Form der Äquivalenzklassen Form der Äquivalenzklassen Anmerkung: Es gilt a = a ± m = a ± 2m =... = a + km mod m für alle k Z. Wir schreiben auch {x Z x = a + mk, k Z} = a + mz. Es gibt m verschiedene Äquivalenzklassen modulo m:

Mehr

Komplexität von Algorithmen

Komplexität von Algorithmen Komplexität von Algorithmen Ziel Angabe der Effizienz eines Algorithmus unabhängig von Rechner, Programmiersprache, Compiler. Page 1 Eingabegröße n n Integer, charakterisiert die Größe einer Eingabe, die

Mehr

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme Theoretische Informatik Exkurs Rainer Schrader Exkurs: Komplexität von n Institut für Informatik 13. Mai 2009 1 / 34 2 / 34 Gliederung Entscheidungs- und Approximationen und Gütegarantien zwei Greedy-Strategien

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Kapitel 2: Analyse der Laufzeit von Algorithmen Gliederung

Kapitel 2: Analyse der Laufzeit von Algorithmen Gliederung Gliederung 1. Motivation / Einordnung / Grundlagen 2. Analyse der Laufzeit von Algorithmen 3. Untere Schranken für algorithmische Probleme 4. Sortier- und Selektionsverfahren 5. Paradigmen des Algorithmenentwurfs

Mehr

Übung Algorithmen und Datenstrukturen

Übung Algorithmen und Datenstrukturen Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2016 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin Organisation Vorlesung: Montag 11 13 Uhr Marius Kloft RUD 26, 0 115 Mittwoch 11 13 Uhr Marius Kloft

Mehr

8 Interpolation. 8.1 Problemstellung. Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen. x 0 < x 1 <... < x n.

8 Interpolation. 8.1 Problemstellung. Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen. x 0 < x 1 <... < x n. 8 Interpolation 81 Problemstellung Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen x 0 < x 1 < < x n Eingabedaten: (x 0, f 0 ),(x 1, f 1 ),,(x n, f n ) Gegebene Daten (x j, f j ) Analysis

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Heapsort

Algorithmen und Datenstrukturen Heapsort Algorithmen und Datenstrukturen 2 5 Heapsort In diesem Kapitel wird Heapsort, ein weiterer Sortieralgorithmus, vorgestellt. Dieser besitzt wie MERGE-SORT eine Laufzeit von O(n log n), sortiert jedoch das

Mehr

Übungen zur Vorlesung Datenstrukturen und Algorithmen SS 2006 Blatt 13

Übungen zur Vorlesung Datenstrukturen und Algorithmen SS 2006 Blatt 13 Übungen zur Vorlesung Datenstrukturen und Algorithmen SS 2006 Blatt 13 Sven Grothklags University of Paderborn 10. Juli 2006 Sven Grothklags (University of Paderborn) DuA Übungsblatt 13 10. Juli 2006 1

Mehr

Sortieralgorithmen. Selection Sort

Sortieralgorithmen. Selection Sort intuitivster Suchalgorithmus Sortieralgorithmen Selection Sort In jedem Schritt wird das kleinste Element im noch unsortierten Array gesucht und ans Ende des bisher sortierten Teilarrays gehangen 3 1 4

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik echnische Universität München Fakultät für Informatik Prof. obias Nipkow, Ph.D. ascha öhme, Lars Noschinski ommersemester 2011 Lösungsblatt 5 6. Juni 2011 Einführung in die heoretische Informatik Hinweis:

Mehr

Humboldt-Universität zu Berlin Berlin, den Institut für Informatik

Humboldt-Universität zu Berlin Berlin, den Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin Berlin, den 15.06.2015 Institut für Informatik Prof. Dr. Ulf Leser Übungen zur Vorlesung M. Bux, B. Grußien, J. Sürmeli, S. Wandelt Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt

Mehr

2. Grundlagen. Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten.

2. Grundlagen. Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten. 2. Grundlagen Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten. Laufzeitverhalten beschreiben durch O-Notation. 1 Beispiel Minimum-Suche Eingabe bei Minimum

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

Diskrete Strukturen Endterm

Diskrete Strukturen Endterm Technische Universität München Winter 201/16 Prof. H. J. Bungartz / Dr. M. Luttenberger, J. Bräckle, C. Uphoff Lösung HA-Lösung LÖSUNG Diskrete Strukturen Endterm Beachten Sie: Soweit nicht anders angegeben,

Mehr

JAVA - Suchen - Sortieren

JAVA - Suchen - Sortieren Übungen Informatik I JAVA - Suchen - Sortieren http://www.fbi-lkt.fh-karlsruhe.de/lab/info01/tutorial Übungen Informatik 1 Folie 1 Inhalt Suchen/Sortieren binary search mergesort bubblesort Übungen Informatik

Mehr

Praktische Informatik I - Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2006/ Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen

Praktische Informatik I - Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2006/ Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen 1 Grundlagen 1.1 Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen Ein Algorithmus ist ein mit formalen Mitteln beschreibbares, mechanisch nachvollziehbares Verfahren zur Lösung einer Klasse

Mehr

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs Worst-case-Laufzeit pt (a) Folgender Algorithmus löst das Problem der

Mehr

2. Hausübung Algorithmen und Datenstrukturen

2. Hausübung Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Gerd Stumme, Folke Eisterlehner, Dominik Benz Fachgebiet Wissensverarbeitung 7.4.009. Hausübung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 009 Abgabetermin: Montag, 04.05.009, 10:00 Uhr 1

Mehr

Isomorphismus. Definition Gruppen-Isomorphismus. Seien (G, +) und (G, ) Gruppen. Die Abbildung f : G G heißt Gruppen-Isomorphismus, falls gilt

Isomorphismus. Definition Gruppen-Isomorphismus. Seien (G, +) und (G, ) Gruppen. Die Abbildung f : G G heißt Gruppen-Isomorphismus, falls gilt Isomorphismus Definition Gruppen-Isomorphismus Seien (G, +) und (G, ) Gruppen. Die Abbildung f : G G heißt Gruppen-Isomorphismus, falls gilt 1 f ist bijektiv f (u + v) = f (u) f (v) für alle u, v G, die

Mehr

Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung

Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 0/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Wiederholung. Bäume sind zyklenfrei. Rekursive Definition: Baum = Wurzelknoten + disjunkte Menge von Kindbäumen.

Wiederholung. Bäume sind zyklenfrei. Rekursive Definition: Baum = Wurzelknoten + disjunkte Menge von Kindbäumen. Wiederholung Baum: Gerichteter Graph, der die folgenden drei Bedingungen erfüllt: Es gibt einen Knoten, der nicht Endknoten einer Kante ist. (Dieser Knoten heißt Wurzel des Baums.) Jeder andere Knoten

Mehr

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 17. Vorlesung Nächstes Paar Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Problem: Gegeben: Menge P von n Punkten in der Ebene, jeder Punkt

Mehr

Technische Universität München WS 2012/13 Fakultät für Informatik Lösungsvorschläge zu Blatt 4 Dr. C. Herzog, M. Maalej 12.

Technische Universität München WS 2012/13 Fakultät für Informatik Lösungsvorschläge zu Blatt 4 Dr. C. Herzog, M. Maalej 12. 4/1 Technische Universität München WS 2012/13 Fakultät für Informatik Lösungsvorschläge zu Blatt 4 Dr. C. Herzog, M. Maalej 12. November 2012 Übungen zu Grundlagen der Programmierung Aufgabe 14 (Lösungsvorschlag)

Mehr

Klausur Datenstrukturen und Algorithmen SoSe 2012

Klausur Datenstrukturen und Algorithmen SoSe 2012 Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Christian Dehnert, Jonathan Heinen, Thomas Ströder, Sabrina von Styp Klausur Datenstrukturen und Algorithmen SoSe 2012 Vorname: Nachname: Studiengang (bitte genau einen

Mehr

Kap 7. Funktionen und Arrays

Kap 7. Funktionen und Arrays Kap 7. Funktionen und Arrays Elementare Algorithmen Allgemein Mathematik Text Eingabe ٧ Skalarprodukt wie Allgemein Ausgabe ٧ Länge ersetzen Summation Winkel Laenge Maximum ٧ Polynome berechnen ausschneiden

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Sortieren): Lösung: Datenstrukturen und Algorithmen SS14 Lösung - Übung 4

Tutoraufgabe 1 (Sortieren): Lösung: Datenstrukturen und Algorithmen SS14 Lösung - Übung 4 Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS Lösung - Übung F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe (Sortieren): a) Sortieren Sie das folgende Array durch Anwendung des Selectionsort-Algorithmus.

Mehr

Klausur Theoretische Informatik I WS 2004/2005

Klausur Theoretische Informatik I WS 2004/2005 Technische Universität Chemnitz Chemnitz, den 22.02.2005 Fakultät für Informatik Prof. Dr. Andreas Goerdt Klausur Theoretische Informatik I WS 2004/2005 Studiengang Mechatronik Aufgabe 1 (2+2+2 Punkte)

Mehr

Konzepte und Methoden der Programmierung Lösungen P. Fierz / FS 2012

Konzepte und Methoden der Programmierung Lösungen P. Fierz / FS 2012 Kapitel 1 Rekursion Alle Programme finden Sie im mitgelieferten zip-file. Aufgabe 1.1 [Fakultät] Für diese Übung brauchen Sie die Klassen Factorial Skelett und MyTimer. n! ist rekursiv folgendermassen

Mehr

Komplexität von Algorithmen:

Komplexität von Algorithmen: Komplexität von Algorithmen: Ansatz: Beschreiben/erfassen der Komplexität über eine Funktion, zur Abschätzung des Rechenaufwandes abhängig von der Größe der Eingabe n Uns interessiert: (1) Wie sieht eine

Mehr

Krawatterätsel - Verbesserung der oberen Schranke

Krawatterätsel - Verbesserung der oberen Schranke Krawatterätsel - Verbesserung der oberen Schranke Felix Kälberer, Matthias Nieser, Ulrich Reitebuch 29. Dezember 2008 Zusammenfassung Die folgenden Seiten beschreiben neue Erkenntnisse im Krawattenrätsel.

Mehr

Voronoi-Diagramme. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

Voronoi-Diagramme. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 29.05.2011 Das Postamt-Problem b(p, q) = {x R 2 : xp = xq } p q h(p, q) h(q, p) = {x :

Mehr

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0 Serie 4. Aufgabe 336 Punkte) Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen durch a n : 0 n, n N b n : n n, n N Bestimmen Sie die Grenzwerte a bzw. b der Folgen a n ) n N bzw. b n ) n N. Geben Sie jeweils zu gegebenem

Mehr

UE Algorithmen und Datenstrukturen 1 UE Praktische Informatik 1. Übung 9. Sortieren

UE Algorithmen und Datenstrukturen 1 UE Praktische Informatik 1. Übung 9. Sortieren UE Algorithmen und Datenstrukturen 1 UE Praktische Informatik 1 Übung 9 Sortieren Institut für Pervasive Computing Johannes Kepler Universität Linz Altenberger Straße 69, A-4040 Linz Sortieren :: Problemstellung

Mehr

Übersicht über Informatik und Softwaresystemtechnik WS 99/00, Prof. Dr. Andreas Schwill

Übersicht über Informatik und Softwaresystemtechnik WS 99/00, Prof. Dr. Andreas Schwill Konvexe Hülle Hierbei handelt es sich um ein klassisches Problem aus der Algorithmischen Geometrie, dem Teilgebiet der Informatik, in dem man für geometrische Probleme effiziente Algorithmen bestimmt.

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Mathematische Beweistechniken Vorkurs Informatik SoSe13 10. April 013 Mathematische Beweistechniken Ziel Mathematische Beweistechniken Ziel beweise, dass eine Aussage A(n) für alle n N gilt. Beispiel Für

Mehr

void bellford ( List adjlst [n], int n, int i, int j){ int d[n] = + inf ; d[i] = 0;

void bellford ( List adjlst [n], int n, int i, int j){ int d[n] = + inf ; d[i] = 0; für Informatik Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen SS5 hristian Dehnert, Friedrich Gretz, enjamin Kaminski, Thomas Ströder Tutoraufgabe (ellman-ford Algorithmus): a) Passen

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

3.3 Laufzeit von Programmen

3.3 Laufzeit von Programmen 3.3 Laufzeit von Programmen Die Laufzeit eines Programmes T(n) messen wir als die Zahl der Befehle, die für die Eingabe n abgearbeitet werden Betrachten wir unser Programm zur Berechnung von Zweierpotenzen,

Mehr

Kapitel 12: Induktive

Kapitel 12: Induktive Kapitel 12: Induktive Datenstrukturen Felix Freiling Lehrstuhl für Praktische Informatik 1 Universität Mannheim Vorlesung Praktische Informatik I im Herbstsemester 2009 Folien nach einer Vorlage von H.-Peter

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 25. Vorlesung Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Klausurvorbereitung Tipp: Schreiben Sie sich alle Fragen

Mehr