3. Ganze Zahlen int unsigned int

Transkript

1 Ganze Zahlen Auswertung arithmetischer Ausdrücke, Assoziativität und Präzedenz, arithmetische Operatoren, Wertebereich der Typen int, unsigned int

2 Celsius to Fahrenheit // Program: fahrenheit.cpp // Convert temperatures from Celsius to Fahrenheit. #include <iostream> int main() { // Input std::cout << "Temperature in degrees Celsius =? "; int celsius; std::cin >> celsius; } // Computation and output std::cout << celsius << " degrees Celsius are " << 9 * celsius / << " degrees Fahrenheit.\n"; return 0; 111

3 Celsius to Fahrenheit // Program: fahrenheit.cpp // Convert temperatures from Celsius to Fahrenheit. #include <iostream> int main() { // Input std::cout << "Temperature in degrees Celsius =? "; int celsius; std::cin >> celsius; } // Computation and output std::cout << celsius << " degrees Celsius are " << 9 * celsius / << " degrees Fahrenheit.\n"; return 0; 111

4 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck,

5 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck, drei Literale, eine Variable, drei Operatorsymbole

8 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck, drei Literale, eine Variable, drei Operatorsymbole Wie ist der Ausdruck geklammert?

9 Präzedenz 113 Punkt vor Strichrechnung 9 * celsius / bedeutet (9 * celsius / 5) + 32

10 Präzedenz 113 Regel 1: Präzedenz Multiplikative Operatoren (*, /, %) haben höhere Präzedenz ("binden stärker") als additive Operatoren (+, -)

11 Assoziativität 114 Von links nach rechts 9 * celsius / bedeutet ((9 * celsius) / 5) + 32

12 Assoziativität 114 Regel 2: Assoziativität Arithmetische Operatoren (*, /, %, +, -) sind linksassoziativ: bei gleicher Präzedenz erfolgt Auswertung von links nach rechts

13 Stelligkeit 115 Regel 3: Stelligkeit Unäre Operatoren +, - vor binären +, bedeutet (-3) - 4

14 Klammerung 116 Jeder Ausdruck kann mit Hilfe der Assoziativitäten Präzedenzen Stelligkeiten der beteiligten Operatoren eindeutig geklammert werden.

15 Ausdrucksbäume 117 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

16 Ausdrucksbäume 117 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum (9 * celsius) / celsius 5 32 * / +

17 Ausdrucksbäume 117 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum ((9 * celsius) / 5) celsius 5 32 * / +

18 Ausdrucksbäume 117 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum (((9 * celsius) / 5) + 32) 9 celsius 5 32 * / +

19 Auswertungsreihenfolge 118 "Von oben nach unten" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

27 Auswertungsreihenfolge 119 Reihenfolge nicht eindeutig bestimmt: 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

35 Ausdrucksbäume Notation 120 Üblichere Notation: Wurzel oben 9 * celsius / / 32 * 5 9 celsius

36 Auswertungsreihenfolge formaler 121 Gültige Reihenfolge: Jeder Knoten wird erst nach seinen Kindern E ausgewertet. K 1 K 2

37 Auswertungsreihenfolge formaler 121 Gültige Reihenfolge: Jeder Knoten wird erst nach seinen Kindern ausgewertet. E K 1 K 2 C++: anzuwendende gültige Reihenfolge nicht spezifiziert.

41 Auswertungsreihenfolge formaler 121 E K 1 K 2 Reihenfolge nicht spezifiziert. C++: anzuwendende gültige "Guter Ausdruck": jede gültige Reihenfolge führt zum gleichen Ergebnis.

42 Auswertungsreihenfolge formaler 121 E K 1 K 2 Reihenfolge nicht spezifiziert. C++: anzuwendende gültige Beispiel für "schlechten Ausdruck": (a+b)*(a++)

43 Auswertungsreihenfolge 122 Richtlinie Vermeide das Verändern von Variablen, welche im selben Ausdruck noch einmal verwendet werden!

44 Arithmetische Operatoren 123 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Unäres rechts Negation rechts Multiplikation * 2 14 links Division / 2 14 links Modulus % 2 14 links Addition links Subtraktion links

45 Arithmetische Operatoren 123 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Unäres rechts Negation rechts Multiplikation * 2 14 links -a : R-Wert R-Wert Division / 2 14 links Modulus % 2 14 links Addition links Subtraktion links

46 Arithmetische Operatoren 123 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Unäres rechts Negation rechts Multiplikation * 2 14 links Division / 2 14 links Modulus % 2 14 links Addition links Subtraktion links

47 Arithmetische Operatoren 123 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Unäres rechts Negation rechts Multiplikation * 2 14 links a+b : R-Wert R-Wert R-Wert Division / 2 14 links Modulus % 2 14 links Addition links Subtraktion links

48 Arithmetische Operatoren 123 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Unäres rechts Negation rechts Multiplikation * 2 14 links -a+b+c = ((-a) + b) + c R-Wert R-Wert R-Wert R-Wert Division / 2 14 links Modulus % 2 14 links Addition links Subtraktion links

51 Zuweisungsausdruck nun genauer 124 Bereits bekannt: a = b bedeutet Zuweisung von b (R-Wert) an a (L-Wert). Rückgabe: L-Wert

52 Zuweisungsausdruck nun genauer 124 Bereits bekannt: a = b bedeutet Zuweisung von b (R-Wert) an a (L-Wert). Rückgabe: L-Wert Was bedeutet a = b = c?

53 Zuweisungsausdruck nun genauer 124 Bereits bekannt: a = b bedeutet Zuweisung von b (R-Wert) an a (L-Wert). Rückgabe: L-Wert Was bedeutet a = b = c? Antwort: Zuweisung rechtsassoziativ, also a = b = c a = (b = c)

54 Zuweisungsausdruck nun genauer 124 a = b = c a = (b = c) Beispiel Mehrfachzuweisung: a = b = 0 = b=0; a=0

55 Division und Modulus 125 Operator / realisiert ganzzahlige Division 5 / 2 hat Wert 2

56 Division und Modulus 125 Operator / realisiert ganzzahlige Division 5 / 2 hat Wert 2 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit

57 Division und Modulus 125 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit

58 Division und Modulus 125 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit Mathematisch äquivalent... 9 / 5 * celsius + 32

59 Division und Modulus 125 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit Mathematisch äquivalent... 1 * celsius + 32

60 Division und Modulus 125 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit Mathematisch äquivalent

61 Division und Modulus 125 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit Mathematisch äquivalent... 47

62 Division und Modulus 125 In fahrenheit.cpp 9 * celsius / degrees Celsius are 59 degrees Fahrenheit Mathematisch äquivalent... aber nicht in C++! 9 / 5 * celsius degrees Celsius are 47 degrees Fahrenheit

63 Division und Modulus 126 Modulus-Operator berechnet Rest der ganzzahligen Division 5 / 2 hat Wert 2, 5 % 2 hat Wert 1.

64 Division und Modulus 126 Modulus-Operator berechnet Rest der ganzzahligen Division 5 / 2 hat Wert 2, 5 % 2 hat Wert 1. Es gilt immer: (a / b) * b + a % b hat den Wert von a.

65 127 Inkrement und Dekrement Erhöhen / Erniedrigen einer Zahl um 1 ist eine häufige Operation geht für einen L-Wert so: expr = expr + 1.

66 Inkrement und Dekrement 127 expr = expr + 1. Nachteile

67 127 Inkrement und Dekrement expr = expr + 1. Nachteile relativ lang expr wird zweimal ausgewertet (Effekte!)

68 128 In-/Dekrement Operatoren Post-Inkrement expr++ Wert von expr wird um 1 erhöht, der alte Wert von expr wird (als R-Wert) zurückgegeben

69 128 In-/Dekrement Operatoren Prä-Inkrement ++expr Wert von expr wird um 1 erhöht, der neue Wert von expr wird (als L-Wert) zurückgegeben

70 In-/Dekrement Operatoren 128 Post-Dekrement expr-- Wert von expr wird um 1 verringert, der alte Wert von expr wird (als R-Wert) zurückgegeben

71 In-/Dekrement Operatoren 128 Prä-Dekrement --expr Wert von expr wird um 1 verringert, der neue Wert von expr wird (als L-Wert) zurückgegeben

72 In-/Dekrement Operatoren 130 Beispiel int a = 7; std::cout << ++a << "\n"; std::cout << a++ << "\n"; std::cout << a << "\n";

73 In-/Dekrement Operatoren 130 Beispiel int a = 7; std::cout << ++a << "\n"; // 8 std::cout << a++ << "\n"; std::cout << a << "\n";

74 In-/Dekrement Operatoren 130 Beispiel int a = 7; std::cout << ++a << "\n"; // 8 std::cout << a++ << "\n"; // 8 std::cout << a << "\n";

75 In-/Dekrement Operatoren 130 Beispiel int a = 7; std::cout << ++a << "\n"; // 8 std::cout << a++ << "\n"; // 8 std::cout << a << "\n"; // 9

76 C++ vs. ++C 132 Eigentlich sollte unsere Sprache ++C heissen, denn sie ist eine Weiterentwicklung der Sprache C,

77 C++ vs. ++C 132 Eigentlich sollte unsere Sprache ++C heissen, denn sie ist eine Weiterentwicklung der Sprache C, während C++ ja immer noch das alte C liefert.

78 Arithmetische Zuweisungen 133 a += b a = a + b

79 Arithmetische Zuweisungen 133 a += b a = a + b Analog für -, *, / und %

80 Binäre Zahlendarstellungen 135 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 2 0

81 Binäre Zahlendarstellungen 135 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0

82 Binäre Zahlendarstellungen 135 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel:

83 Binäre Zahlendarstellungen 135 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel: entspricht

84 Binäre Zahlendarstellungen 135 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel: entspricht 43.

85 Binäre Zahlendarstellungen 135 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel: entspricht 43. Höchstes Bit, Most Significant Bit (MSB) Niedrigstes Bit, Least Significant Bit (LSB)

86 Bina re Zahlen: Zahlen der Computer? Wahrheit: Computer rechnen mit Binärzahlen. 136

87 Bina re Zahlen: Zahlen der Computer? Klischee: Computer reden 0/1-Kauderwelsch. 137

88 Binäre Zahlen: Zahlen der Computer? 137 Klischee: Computer reden 0/1-Kauderwelsch.

89 Rechentricks Abschätzung der Grössenordnung von Zweierpotenzen 3 : 2 10 = 1024 = 1Ki = 4 (1024) 3 = 4Gi = 16Ei Dezimal vs. Binäre Einheiten: MB - Megabyte vs. MiB - Megabibyte (etc.) kilo (K, Ki) mega (M, Mi) giga (G, Gi) tera(t, Ti) peta(p, Pi) exa (E, Ei) 138

92 Hexadezimale Zahlen 139 Zahlen zur Basis 16. Darstellung h n h n 1... h 1 h 0 entspricht der Zahl h n 16 n + + h h 0. Schreibweise in C++: vorangestelltes 0x Beispiel: 0xff entspricht 255. Hex Nibbles hex bin dec a b c d e f

93 Wozu Hexadezimalzahlen? 140 Ein Hex-Nibble entspricht genau 4 Bits.

94 140 Wozu Hexadezimalzahlen? Ein Hex-Nibble entspricht genau 4 Bits. Kompakte Darstellung von Binärzahlen.

95 140 Wozu Hexadezimalzahlen? Ein Hex-Nibble entspricht genau 4 Bits. Kompakte Darstellung von Binärzahlen. 32-bit Zahlen: 0x xffffffff. 0x : höchstes Bit einer 32-bit Zahl gesetzt. 0xffffffff: alle Bits einer 32-bit Zahl gesetzt. 0x8a20aaf0 ist eine Addresse in den oberen 2G des 32-bit Addressraumes

99 141 Beispiel: Hex-Farben #00FF00 r g b

100 141 Beispiel: Hex-Farben #FFFF00 r g b

101 141 Beispiel: Hex-Farben # r g b

102 141 Beispiel: Hex-Farben #FF0050 r g b

103 Wozu Hexadezimalzahlen? 142 Für Programmierer und Techniker (Bedienungsanleitung Schachcomputer Mephisto II, 1981)

104 Wozu Hexadezimalzahlen? 143 Die NZZ hätte viel Platz sparen können...

105 Wertebereich des Typs int 144 // Program: limits.cpp // Output the smallest and the largest value of type int. #include <iostream> #include <limits> int main() { std::cout << "Minimum int value is " << std::numeric_limits<int>::min() << ".\n" << "Maximum int value is " << std::numeric_limits<int>::max() << ".\n"; return 0; }

106 Wertebereich des Typs int 144 // Program: limits.cpp // Output the smallest and the largest value of type int. #include <iostream> #include <limits> int main() { std::cout << "Minimum int value is " << std::numeric_limits<int>::min() << ".\n" << "Maximum int value is " << std::numeric_limits<int>::max() << ".\n"; return 0; } Zum Beispiel Minimum int value is Maximum int value is

107 Wertebereich des Typs int // Program: limits.cpp // Output the smallest and the largest value of type int. #include <iostream> #include <limits> int main() { std::cout << "Minimum int value is " << std::numeric_limits<int>::min() << ".\n" << "Maximum int value is " << std::numeric_limits<int>::max() << ".\n"; return 0; } Zum Beispiel Minimum int value is Maximum int value is Woher kommen diese Zahlen? 144

108 Wertebereich des Typs int 145 Repräsentation mit B Bits. Wertebereich { 2 B 1,..., 1, 0, 1,..., 2 B 1 2, 2 B 1 1}

109 Wertebereich des Typs int 145 Repräsentation mit B Bits. Wertebereich { 2 B 1,..., 1, 0, 1,..., 2 B 1 2, 2 B 1 1} Auf den meisten Plattformen B = 32 Woher kommt gerade diese Aufteilung?

110 Wertebereich des Typs int 145 Repräsentation mit B Bits. Wertebereich { 2 B 1,..., 1, 0, 1,..., 2 B 1 2, 2 B 1 1} Für den Typ int garantiert C++ B 16 Woher kommt gerade diese Aufteilung?

111 146 Überlauf und Unterlauf Arithmetische Operationen (+,-,*) können aus dem Wertebereich herausführen. Ergebnisse können inkorrekt sein. power8.cpp: 15 8 = power20.cpp: 3 20 = Es gibt keine Fehlermeldung!

112 147 Der Typ unsigned int Wertebereich {0, 1,..., 2 B 1} Alle arithmetischen Operationen gibt es auch für unsigned int. Literale: 1u, 17u...

113 148 Gemischte Ausdrücke Operatoren können Operanden verschiedener Typen haben (z.b. int und unsigned int) u Solche gemischten Ausdrücke sind vom allgemeineren Typ unsigned int. int-operanden werden konvertiert nach unsigned int.

114 Konversion 149 int Wert Vorzeichen unsigned int Wert x 0 x x < 0 x + 2 B

115 Konversion 149 int Wert Vorzeichen unsigned int Wert x 0 x x < 0 x + 2 B Bei Zweierkomplementdarstellung passiert dabei intern gar nichts

116 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 152 Einfache Addition

117 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 152 Einfache Subtraktion

118 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 153 Addition mit Überlauf (1)0000

119 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 153 Negative Zahlen? ( 5)???? 0 (1)0000

120 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 154 Einfacher: ( 1) (1)0000

121 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 154 Nutzen das aus: ? +????

122 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 155 Invertieren! ( 4) = 2 B 1

123 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 155 a a +( a 1) ā = 2 B 1

124 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 156 Negation: Inversion und Addition von 1 a = ā + 1

125 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 156 Wrap-around Semantik (Rechnen modulo 2 B ) a = 2 B a

126 Warum das funktioniert Modulo-Arithmetik: Rechnen im Kreis mod mod 12 = mod 12 4 Die Arithmetik funktioniert auch mit Dezimalzahlen (und auch für die Multiplikation) 157

127 Negative Zahlen (3 Stellen) 158 a a

134 Negative Zahlen (3 Stellen) a a Das höchste Bit entscheidet über das Vorzeichen. 158