DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN

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1 Skrium zum Fach Mechanik 5Jahrgang HTL-Eisensad DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN DilIngDrGüner Hackmüller 5 DilIngDrGüner Hackmüller Alle Reche vorbehalen

2 Die lineare Differenialgleichung Ordnung mi konsanen Koeffizienen Die allgemeine lineare Differenialgleichung zweier Ordnung mi konsanen Koeffizienen ha die Gesal & + δ + ω f () mi der Dämfungskonsane δ und der Eigenfrequenz ω Die Inhomogeniä f () häng von der unabhängigen Veränderlichen ab Im Fall einer Schwingung is der Or des schwingenden Körers und is die Zei Es is dann & die Geschwindigkei und && die Beschleunigung des Körers Die Inhomogeniä sell eine erregende Kraf oder ein erregendes Momen dar Die Lösung einer derarigen Differenialgleichung zweier Ordnung erforder zwei Inegraionen Die allgemeine Lösung enhäl demgemäß zwei Inegraionskonsane Dies bedeue umgekehr, dass eine wie immer gefundene Lösung der Differenialgleichung auch schon die allgemeine Lösung der Differenialgleichung is, wenn sie zwei unabhängige Konsane enhäl Wie bei linearen Differenialgleichungen erser Ordnung wird zunächs die homogene Differenialgleichung && + δ + ω gelös Wie weier unen gezeig werden soll, lassen sich durch einen geeigneen Lösungsansaz zwei linear unabhängige Lösungen und finden Zwei Lösungen sind linear unabhängig, wenn c + c nur für c c erfüll is Man nenn solche Lösungen auch Fundamenallösungen der Differenialgleichung, weil man durch Linearkombinaion die allgemeine Lösung c h + c der homogenen Differenialgleichung erhäl Ausgehend von den beiden Fundamenallösungen kann mi der Mehode der Variaion der Konsanen eine arikuläre Lösung der inhomogenen Differenialgleichung gefunden werden In manchen Fällen geling es, auch eine derarige arikuläre Lösung zu erraen Addier man zu der gefundenen arikulären Lösung der inhomogenen Differenialgleichung eine beliebige Lösung der homogenen Differenialgleichung, erhäl man eine neue Lösung der inhomogenen Differenialgleichung c + c + Daran, dass diese Lösung zwei unabhängige Konsane c und c enhäl, erkenn man, dass es sich bei ihr um die gesuche allgemeine Lösung der inhomogenen Differenialgleichung handel Die Were der beiden unbesimm gebliebenen Inegraionskonsanen werden ers durch zwei zusäzliche Bedingungen fesgeleg Bei Schwingungsroblemen is der Or und Geschwindigkei & v zu einem Anfangszeiunk bekann Solche Bedingungen ( ) und & v & ( ) heißen Anfangsbedingungen Man srich daher dann von einem Anfangswerrobleme

3 Neben Anfangswerroblemen sielen bei Differenialgleichungen auch noch Randwerrobleme eine wichige Rolle Bei diesen sind an zwei verschiedenen Sellen und, den Rändern eines Bereiches, Randbedingungen vorgegeben Zu solchen Problemen gehör ewa das Knicken eines gelenkig eingesannen Sabes, bei dem definiionsgemäß die Posiion der beiden Enden des Sabes fiier is Lösung der homogenen Differenialgleichung Zur Lösung der homogenen Differenialgleichung && + δ + ω mach man λ einen Lösungsansaz e mi unbesimmem λ Nach Einsezen in die homogene Differenialgleichung erhäl man die Bedingung λ ( + δ λ + ω ) e λ, die nur dann erfüll is, wenn λ der charakerisischen Gleichung λ + δ λ+ ω genüg Diese Gleichung ha die beiden Lösungen λ δ± δ ω Wie bei jeder quadraische Gleichung lassen sich die folgenden drei Fälle unerscheiden: a Sark gedämfe Schwingung δ > ω : Die charakerisische Gleichung ha zwei verschiedene reelle Lösungen Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung laue e c e δ ω + c e δ ω Wie man sieh gil lim () Dämfung δ > die Gleichgewichslage ein Nach genügend langer Zei sell sich bei osiiver b Schwach gedämfe Schwingung δ < ω : Beide Wurzeln sind konjugier komle Sez man δ ω i ω δ i ω erhäl man die Lösung e iω iω ( c e + c e ) die sich mi Hilfe der Eulerschen Formel e, iϕ [( c + c ) cos( ω ) + i ( c c ) sin( ω ) ] e cosϕ + i sin ϕ in die Gesal bringen läss Die allgemeine Lösung läss sich daher in der Form [ c cos( ω ) + c sin( ω ) ] e

4 schreiben Nach bekannen Formeln der Trigonomerie is dies äquivalen zu ( ω + ϕ ) C e cos mi C c + c und gϕ c c ω Kreisfrequenz der Schwingung ϕ Phasenwinkel Es handel sich um eine Schwingung deren Amliude nach einer Eonenialfunkion abkling Man kann zeigen, dass das Verhälnis zweier aufeinander folgender Maimalausschläge konsan is c Aeriodischer Grenzfall δ ω : Die charakerisische Gleichung ha eine Doelwurzel λ δ In diesem Fall is neben e auch e eine Fundamenallösung der homogenen Differenialgleichung Die allgemeine Lösung laue daher ( c + c ) e Lösung der inhomogenen Differenialgleichung durch Variaion der Konsanen Hier soll gezeig werden, wie nach der Mehode der Variaion der Konsanen eine arikuläre Lösung der inhomogenen linearen Differenialgleichung gefunden werden kann Wie schon gezeig wurde, ergib sich die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenialgleichung dann durch Addiion einer beliebigen Linearkombinaion c + c der Fundamenallösungen und der homogenen Differenialgleichung Der Voreil der Mehode der Variaion der Konsanen beseh darin, daß sie auch noch bei linearen Differenialgleichungen zum Ziel führ, deren Koeffizienen nich konsan sind Bei der Mehode der Variaion der Konsanen wird die Parikulärlösung als eine Linearkombinaion der Fundamenallösungen mi zwei zu besimmenden Koeffizienenfunkionen c () und c () angesez: () c () ( ) + c ( ) ( ) Die beiden Funkionen c () und c ( ) werden durch Einsezen in die Differenialgleichung besimm Durch Differenzieren erhäl man & + + c + c Um sich die weiere Rechnung zu vereinfachen wird von den beiden Funkionen noch geforder, dass sie die Bedingung + erfüllen Dadurch wird zwar die Allgemeinhei der Lösung beschränk Es komm aber an dieser Selle nur darauf an irgendeine arikuläre Lösung zu besimmen Für die erse Ableiung der arikulären Lösung gil dann & c + c

5 Für die zweie Ableiung der arikulären Lösung erhäl man dann && + + c && + c && Diese Zwischenergebnisse werden in die inhomogene Differenialgleichung eingesez ( c + c ) + ω ( c + c ) f ( ) + + c && + c && + δ und anschließend die Terme neu zusammengefass: (& + + ω ) + c (&& + δ + ω ) + + f () c δ Da und Lösungen der homogenen Differenialgleichung sind fallen die beiden Klammerausdrücke weg und die Gleichung nimm die Form + f () an Zusammen mi der oben geforderen Bedingung ha man nun ein Gleichungssysem + & + c f () für &c und &c Durch Auflösen ergeben sich die Gleichungen f () () f ( ) () & & W W () und c mi W für die beiden gesuchen Funkionen, die durch eine einfache Inegraion gelös werden können c ( ξ ) f ( ξ ) W( ξ ) () () ( ξ ) f ( ξ ) W( ξ ) dξ und c dξ Die Inegraionskonsanen wurden so gewähl, dass c ( ) und ( ) c zum Zeiunk gleich Null sind W handel es sich um die Deerminane des Gleichungssysems Sie wird als Wronkskideerminane bezeichne Bei der zum Zwecke der Abkürzung eingeführen Funkion ( ) Durch Einsezen in den Lösungsansaz erhäl man schließlich die gesuche arikuläre Lösung: () [ ( ξ ) ( ) ( ) ( ξ )] [ ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ )] & dξ Da an keiner Selle der Herleiung von der Konsanz der Koeffizienen der Differenialgleichung Gebrauch gemach wurde gil diese Ergebnis auch im allgemeineren Fall einer linearen Differenialgleichung mi nich konsanen Koeffizienen

6 Bei der homogenen linearen Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen waren drei Fälle zu unerscheiden In jedem dieser drei Fälle ha man andere Fundamenallösungen, sodass diese Fallunerscheidung auch für das Aufsuchen eines arikulären Inegrals der inhomogenen Differenialgleichung wesenlich is a Sark gedämfe Schwingung δ > ω : Die beiden Fundamenallösungen lauen ( ) Das arikuläre Inegral is dann e λ mi λ δ± δ ω [ ] f ( ξ ) dξ λ( ξ ) λ ( ξ ) () λ λ e e b Schwach gedämfe Schwingung δ < ω : Hier lauen die beiden Fundamenallösungen () e cos( ω ) und () e sin( ω ) Als Parikulärlösung ergib sich dann ω ( ξ ) () e sin( ω ( ξ )) f ( ξ ) dξ c Aeriodischer Grenzfall δ ω : Mi den beiden Fundamenallösungen () δ und () erhäl man für das Parikulärinegral e e ( ξ ) () e ( ξ ) f ( ξ ) dξ

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