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1 Grundwissen 9. Klasse Quadratwurzel a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: ( a ) a Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. eispiele: 6 ; 0 0 Merke: ( )². Gib das Ergebnis an: a) 6 b) c), 69 d) e) 0, 0 f) 6. erechne a) b) ( 9 ) c) 00 d) e) 6 f) ( 0,9) Reelle Zahlen IN: Menge der natürlichen Zahlen {;;;...} IN 0 : Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0;;;;...} Z: Menge der ganzen Zahlen {...-;-;-;0;;;;...} R Q N Z Q: Menge der rationalen Zahlen Das sind Zahlen die als ruch dargestellt werden können. die ganzen Zahlen, denn

2 689. endliche Dezimalbrüche, denn 0, Periodische Dezimalbrüche, denn 0, und natürlich die rüche selbst IR: Menge der reellen Zahlen IR Q I I : Menge der irrationalen Zahlen eispiele: 0, aber auch Wurzeln: ; ; ;... in der 8. Klasse π, weiteres eispiel e, Rechenregeln für Wurzeln Eine Wurzel darf nicht auf die einzelnen Glieder einer Summe oder einer Differenz verteilt werden: , aber 6 + 6, Dafür gelten nun Produkt- bzw. Quotientenregel a b a b und a b Anwendung der Rechenregel a b Produkt von Wurzeln Teilweise Radizieren 8 Nenner rational. Nenner rational machen a) a b) b c) 0 8 d) erechne a) 6 e f

3 b) d + 8d + 6 c) ( y) d) ( y) e) ( a )( a + ) +. Radiziere teilweise und fasse gegebenenfalls zusammen a) 00 b) inomische Formeln. (a + b)² a² + ab + b². (a - b)² a² - ab + b². (a + b) (a b) a² - b² erechne und verwende die binomischen Formeln: a) s a t b b) ( ) c) ( ) d) e) xy + 6y + x p 0,8q Quadratische Funktionen Allgemeine Grundlagen Eine Funktion der Form f ( x) ax² + bx + c mit a 0 heißt quadratische Funktion. Ihren Graphen nennt man Parabel. f (x) ax² + bx + c Quadratisches Glied lineares Glied konstantes Glied a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet

4 a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet Die Parabel mit dem Parameter a heißt Normalparabel. a > a < Die Parabel ist schlanker als die NP Die Parabel ist breiter als die NP A heißt daher Streckfaktor Der tiefste bzw. höchste Punkt heißt Scheitel, die Schnittpunkte mit den Achsen heißen Nullstellen der Parabel Darstellungsformen Quadratischer Funktionen ) Scheitelform: f(x) a(x x s )² + y s Scheitel S (x s / y s ) Man findet aus der Normalenform f (x) ax² + bx + c die Scheitelform durch quadratisches Ergänzen. eispiel Gegeben ist die Funktion f (x) x² x + Scheitelbestimmung Skizze: f (x) x² x + [x² + x ] Streckfaktor ausklammern ( ) ( ) ] [x² + x + quadratische Ergänzung [(x + ) ] ausmultiplizieren (x + ) Scheitel S( / ) + Nullstellen, d.h. f(x) y 0 ) Faktorisierte Form: f(x) a(x x ) (x x ) x und x sind die Nullstellen der quadratischen Funktion. Löst man die quadratische Gleichung ax ² + bx + c 0, erhält man die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion f (x) ax² + bx + c. Diese Gleichung kann zwei, eine oder keine Lösung haben. Lösung einer quadratischen Gleichung Lösungsformel für quadratische Gleichungen ( Mitternachtsformel )

5 x / b ± b a ac ist b 0, kann man auch nach x² auflösen eispiel: x² x² 8 : x² 6 x - und x ist c 0, kann man faktorisieren eispiel x² - 8 x 0 x (x ) 0 x 0 und x TIPP: Die x Koordinate des Scheitels liegt in der Mitte zwischen x und x. b b D. h. x s ; und mit f( ) hat man die Koordinaten des Scheitels und erspart sich somit die a a quadratische Ergänzung. Löse folgende Gleichungen a) x² x + 0 b) x² + x 0 c) x² + x 6 0 b) x² 0x 99 0 Satz des Pythagoras ei einem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über den Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse: b² A C a² a² + b² c² c² Aufgabe: erechne die fehlenden Stücke a) Im rechtwinkligen Dreieck ( γ 90 ) a b c A I) II) 8 8 III) 8 IV) 60 0 b) Im gleichseitigen Dreieck a h A I) 6 c) Im gleichschenkligen Dreieck (a b) a c h a h c A I) II) 0 III)

6 II) III) Anwendungen: Diagonale im Quadrat der Seitenlänge a: d a Höhe im gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge a h Höhensatz a (estätige diese Aussagen!) ei einem rechtwinkligem Dreieck hat das Quadrat über die Höhe den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus dem beiden Hypotenusenabschnitte: h² p h q h q q p Kathetensatz ei einem rechtwinkligem Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus dem anliegenden Hypotenusenabschnitte und der Hypotenuse: a² p c und b² q c b² C a² A q p c² erechne die fehlenden Stücke des rechtwinkligen Dreiecks AC C AC A HC AH H Inhalt A a) b) c) d), e) 8, C A C H Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Ankathete Gegenkathete Tangens Gegenkathete Ankathete A α

7 Sinus Gegenkathete Hypotenuse Ko sin us Ankathete Hypotenuse Zusammenhänge: cos(90 - α) sin α (sin α)²+ (cos α)² tanα sinα cosα Aufgaben:. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck AC ( γ 90 ). erechne die fehlenden Seiten und Winkel. (TIPP: Kleine Skizze ist oft hilfreich!) a b Hypotenuse c α β a) 8 b) 6, 6 c) d) 0 6 e). Vervollständige folgende Tabelle sin α cos α tan α sin α cos α Mehrstufige Zufallsexperimente Pfadregeln Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören. eispiel: Aus einer Urne mit zwei roten und fünf grünen Kugeln werden zwei Kugeln gezogen, ohne diese zurückzulegen. Ω { rr; gr; rg; gg} P(rr) 6 P(gg) 6 0 P(verschiedene Kugeln) P(rg) + P(gr)

8 Aufgaben: eim Tennisspielen Johanna und ernhard bestreiten ein Tennismatch. Sieger ist, wer zuerst zwei Sätze gewonnen hat. Johanna gewinnt dabei erfahrungsgemäß einen Satz gegen ernhard mit 60% Wahrscheinlichkeit. a) Zeichne ein passendes aumdiagramm! b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Johanna das Tennismatch? Die n-te Wurzel n a aus der nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt: ( n a ) n a eispiele: a), b) 6 Potenzgleichungen: Die Gleichung x n a hat mit geradem Exponenten n entweder keine, eine oder zwei Lösungen a) x² b) x 6 c) x 6 - d) x - ungeradem Exponenten genau eine Lösung a) x 8 b) x c) x - d) x - Gib die Lösungen folgender Gleichungen exakt an! a) x³ 0,06 b) x - 6 c) x - 0 d) 0,x - e) x³ f) - x 0 a) x 0, b) nicht lösbar c) x ± d) x - 0 e) x f) x ± Potenzen mit rationalen Exponenten a n n m a a ( n a ) m n Rechnen mit Potenzen: Multiplizieren: Exponenten addieren: Dividieren: Exponenten subtrahieren: :

9 Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren: Potenzieren eines Produkts: Exponenten verteilen: ( ) : Potenzieren einer Summe: Exponenten NICHT verteilen: ( + ) (z.. inomische Formel) Addieren und Subtrahieren: Nur bei gleichartigen Termen möglich: - ( - ) - Aufgaben:. Schreibe die Potenzen als Wurzeln und die Wurzeln als Potenzen! ; ; a ; ; 0, ; x 0, ; a ³ ;. Kreuz und quer rechne mit Potenzen! a) b) + c) : d) e) : 6 f) ( 0) g) a : 6 a h) b b i) c 6 j) ( a + b )² k) 0, 0, ( 0, 0,0 ) 0 l) ( ) ( )

10 Prisma Zylinder V Prisma G h O Zylinder π r² + π r h V Zylinder G h π r² h Pyramide Kegel V Pyramide G h µ m r 60 O Zylinder π r² + π r m V Zylinder G h π r² h (m² h² + r²)

11 Lösungen zu den Aufgaben Quadratwurzeln. a) 6 b) c), 69, d) e) 0, 0 0, f) 6 ³ ². erechne a) b) ( ), 9 9 c) 00 0 d) e) ,9, 0 f) ( 0,9) Rechenregeln für Wurzeln Nenner rational. a) c) a ab 8 8( 8 + ) b) 8 + b b ( + )( - 6 ) d) a) 6 e f 8 e f² b) d + 8d + 6 (d²+)² c) ( y) y d) ( a )( a + ) + a. a) 00 0 b)

12 inomische Formeln a) s 9 t s² st + t² 9 b) ( a b) a² + ab + b² c) ( xy + 6y ) 96x²y² + 6xy³ + 6y 8 00 d) + x + x + x² e) p 0,8q p² pq + 0,6q² 6 Quadratische Gleichungen Löse folgende Gleichungen a) x² x + 0 b) x² + x 0 c) x² + x 6 0 b) x² 0x 99 0 a) x² x + 0 D ( )² < 0 keine Lösung b) x² + x 0 x / ± + c) x² + x 6 0 x 0 + d) x² 0x 99 0 x, 8 x 6, 0 x, 8 Satz des Pythagoras erechne die fehlenden Stücke a) Im rechtwinkligen Dreieck ( γ 90 ) a b c A I) 8 II) III) 8 60 IV)

13 b) Im gleichseitigen Dreieck a h A I) 6 9 II) III) c) Im gleichschenkligen Dreieck (a b) a c h a h c A I), II) 0 6 III) 6, 60 6 Höhen und Kathetensatz erechne die fehlenden Stücke des rechtwinkligen Dreiecks AC C AC A HC AH H Inhalt A a) 6,,0,96 8 b) c), 8,,,88 6,6 d) 6,,,, 6, e),06 8, 8, 8 0, 8, Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck AC ( γ 90 ). erechne die fehlenden Seiten und Winkel. (TIPP: Kleine Skizze ist oft hilfreich!) a b Hypotenuse c α β a),9 6, 8 b) 6, 9,6,6 6 c) 6,6 8, 8 d) 8,09, e),,99 8. Vervollständige folgende Tabelle sin α cos α tan α sin α 0 n.d. cos α

14 Mehrstufige Zufallsexperimente eim Tennisspielen a) Zeichne ein passendes aumdiagramm! 0,6 J 0,6 J 0,6 J 0, 0, 0, 0,6 0, J 0,6 0, J b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Johanna das Tennismatch? P( Johanna gewinnt ) 0,6 0,6 + 0,6 0, 0,6 + 0, 0,6 0,6 6,8% Die n-te Wurzel Gib die Lösungen folgender Gleichungen exakt an! a) x³ 0,06 b) x - 6 c) x - 0 d) 0,x - e) x³ f) - x 0 a) x 0, b) nicht lösbar c) x ± d) x - 0 e) x f) x ± Potenzen mit rationalen Exponenten. ; ; a ³ a 0, ; ² a ² a ; ; 0, 0, ; x ; x. a) b) kann nicht vereinfacht c) werden

15 d) e) g) 0, a h) b f) i) c j) a + a + k) 0,00 l) 00 b b Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel. Aus dem MT 00 Ein Pflasterstein hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist 0 cm hoch. a) erechne den Inhalt seiner Grundfläche. Entnimm die notwendigen Maße der Skizze (Maßstab : 6). b) erechne das Volumen des Pflastersteins. a) G 6 cm² b) V 60 cm³ 9,cm. Höhe h cm; r V, cm³, l π cm Höhe 9, cm; r V 0, cm³,0 l π. V V Kegel + V Zylinder + (V Zylinder V Kegel ) 0 π cm³; O 9,6 cm². erechne die fehlenden Stücke einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide. a in cm s in cm h in cm M in cm² O in cm² V in cm³ a) 6 0 8, 6, b) , 98,6 0 c) 0,9 0, ,8 668,

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