DEMO. Teil 1. Bruchgleichungen die zu linearen Gleichungen führen. Es kommen keine echten quadratischen Gleichungen vor

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1 ALGEBRA Bruchgleichungen Trainingsheft für Schüler Teil Bruchgleichungen die zu linearen Gleichungen führen Es kommen keine echten quadratischen Gleichungen vor und auch kleine Gleichungen mit Parametern. Datei Nr. Friedrich W. Buckel Stand: 7. Januar 08 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort: Dieser Text ist ein Trainingsheft für Schüler. Er beinhaltet Methoden zum Lösen von Bruchgleichungen, die auf Endgleichungen führen, die nicht quadratisch sind, denn die Lösungsformeln für quadratische Gleichungen stehen in der Regel in Klasse 8 noch nicht zur Verfügung. Bruchgleichungen, die auf quadratische Endgleichungen führen, werden in 0 vorgestellt. Bruchgleichungen mit Formvariablen (Parametern) gibt es unter der Nummer 6. Zum Inhalt: Im. Abschnitt werden von Seite 7 bis die Methoden besprochen, mit denen man Bruchgleichungen löst. Die Voraussetzungen dazu stehen in den Texten 0 und (Bruchterme: Definitionsbereiche, Faktorisieren usw.) Dann folgen 0 Mustergleichungen, in denen alles gezeigt wird, was vorkommt. Anschließend gibt es Trainingsgleichungen, an denen man sich selbst erproben kann. Diese sind ein wenig kürzer gehalten, was die Lösungen betrifft, denn in den zahlreichen Beispielen zuvor wurden ja alle Verfahren gründlich erklärt. Als Grundmenge für die Zahlen wird in der Regel die Menge aller rationalen Zahlen (Bruchzahlen) verwendet, denn bis Klasse 8 steht die den Schülern zur Verfügung. Die Texte zum Thema Bruchterme sind: 0 Bruchterme (Definitionsbereich, Kürzen, Erweitern) Bruchterme (Addition, Subtraktion) Bruchterme Trainingsaufgaben aus diesen zwei Dateien Bruchgleichungen (ohne quadratische Gleichungen) 6 Bruchgleichungen (mit Paramatern) 0 Bruchgleichungen (die auf quadratische Gleichungen führen)

3 Inhalt Übersicht 6 Grundlagen und Methodenübersicht 7. Mit welchen Methoden löst man Bruchgleichungen? 7 Liste der Äquivalenzumformungen 7 Verbotene Umformungen: 8. Welche Lösungen kommen zu einer Gleichung dazu, wenn man sie mit einem Term multipliziert? 0 Wozu benötigt man den Definitionsbereich einer Bruchgleichung? Faktorisierung der Nenner und kleinster gemeinsamer Nenner 9 Fälle mit Musterbeispielen Übungsteil: Mustergleichungen, die nicht zu quadratischen Endgleichungen führen. Keine echten Bruchgleichungen (also ohne x im Nenner) B: B: x x x x6 x 6. Einfache Bruchgleichungen mit linearen Nennertermen 7 B: B: B: B6: x 7 0 x 8 9 x 6x 9 x 0 B7: y y B8: B9: x 6 x x x 6 x x Trainingsgleichungen bis 8

4 . Etwas schwierigere Bruchgleichungen B0: B: B: x 6 6 x 6x x x x 6 7 B: B: B: B6: B7: x x x x x 0 x7 x7 x x6 6x x 6 x und x x 7 x !!!! und x 6 x x x B8: x x 9 B9: x x 6x x0 x 6 B0: 0 x 8 x 6 B: x x x 7 6 x x x Trainingsgleichungen 9 bis 6 7

5 . Schwierige Bruchgleichungen 8 B: B: x x x x x x6 x 8 9 Einschub: Simulation dieser Umformungen mit TI Nspire 0 B: B: B6: B7: B8: B9: B0: 0 x x x x x x x x x x x x 9 x x x 60 x x x x x x x x x x x x 0 x x x x x 6 x x x 7x Abschließender Hinweis auf Bruchgleichungen, die auf 8 eine quadratische Endgleichung führen wie x x. x Trainingsgleichungen 7 bis 9 Lösungen aller Trainingsgleichungen

6 Bruchgleichungen 6 Übersicht Als (echte) Bruchgleichungen bezeichnet man in der Regel Gleichungen, bei denen x im Nenner eines Bruches vorkommt: x x oder x x x Dagegen ist Die Gleichung x x keine echte Bruchgleichung. Sie enthält zwar Brüche, aber im Nenner steht kein x. x bezeichnet man nicht als Bruchgleichung sondern als Wurzelgleichung, weil die Quadratwurzel darin höhere Anforderungen stellt. Beim Lösen von Bruchgleichungen sind zwei Fähigkeiten von großer Bedeutung: Das Aufstellen des Definitionsbereichs Dies wird sehr ausführlich im Text (Grundlagen für Bruchterme) gezeigt. Das Ermitteln des gemeinsamen Nenners der Bruchterme in der Gleichung. Dazu wiederum ist es notwendig, dass man weiß, wie man Terme faktorisiert. Auch dies wurde in bei der Bestimmung des Definitionsbereichs gezeigt. Den Einsatz dieser Methoden sieht man im folgenden Theorieabschnitt, in dem erklärt wie, nach welchen Methoden man Bruchgleichungen löst.

7 Bruchgleichungen 7. Grundlagen und Methodenübersicht. Mit welchen Methoden löste man Bruchgleichungen? WICHTIG Eine Gleichung löst man, indem man mit bestimmten Umformungen aus komplizierten Gleichungen neue, einfachere Gleichungen erstellt. Diese Umformungen müssen aber garantieren, dass die vereinfachte Gleichung dieselben Lösungszahlen besitzt. Dies macht man so lange, bis am Ende eine so einfache Gleichung übrig bleibt, der man die Lösungszahl(en) ansieht. Diese gelten dann auch für die Anfangsgleichung! Merke: Gleichungen, welche dieselbe Lösungsmenge besitzen, heißen äquivalent (gleichwertig). Eine Umformung, die eine Gleichung in eine äquivalente Gleichung umformt, heißt eine Äquivalenzumformung! Liste der Äquivalenzumformungen (die man also anwenden darf). Addition oder Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung. Beispiel: x 0x () Addition von auf beiden Seiten erzeugt: x 0x also x 0x () Die Zahl ist Lösung von () und von (), was die folgende Probe zeigt: Die Zahl ist Lösung von (): Die Zahl ist Lösung von (): Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten einer Gleichung. Wir gehen von Gleichung () aus: x 0x () und subtrahieren beidseitig 0x: x () Die Zahl ist auch Lösung von ():. Multiplikation oder Division mit einer Zahl ungleich 0 auf beiden Seiten. Wir gehen von Gleichung () aus: x () und dividieren die Gleichung durch : x () Die Zahl ist auch Lösung von (): Kennt man die Lösung der Endgleichung () (es ist die Zahl ), dann weiß man, dass auch die Anfangsgleichung () die Lösungszahl hat.. Zusammenfassen der Terme auf jeder Seite Selbstverständlich ändert sich die Lösungsmenge auch nicht, wenn man innerhalb einer Seite der Gleichung Zusammenfassungen vornimmt, wie Addition usw.

8 Bruchgleichungen 8 Folgende Umformungen sind KEINE Äquivalenzumformungen. Multiplikation einer Gleichung mit 0 - ist verboten Wir betrachten die Gleichung x 8 () sie hat die Lösungszahl : 8 Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn man diese Gleichung mit 0 multipliziert: Also: 0 x 0 8 Oder kürzer: 0 x 0. (6) Diese Gleichung ist allgemeingültig, denn jede Zahl löst sie: Etwa die Zahl 7: ist aber keine Lösung von (): 7 8 ist falsch. Man erkennt, dass die Multiplikation mit 0 keine Äquivalenzumformung ist, denn dann entstehen Lösungen, die nicht für die Anfangsgleichung () gelten.. Multiplikation mit einem Term, der x enthält, ist oft keine Äquivalenzumformung. Ein sehr aussagekräftiges Beispiel dazu: Anfangsgleichung: x x 6 - und - x (7) Ergibt die Endgleichung x (8) Die Endgleichung und Anfangsgleichung haben also nur die Lösung. Ich multipliziere jetzt diese Gleichung beidseitig mit dem Term x, dann entsteht: oder ausmultipliziert: führt auf und dann auf x x x 6x (8) x 8x x x x 6x x x x x x 7x 0. (9) Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen und, wie man durch eine Probe nachweisen kann: bzw Beobachtung: Durch die Multiplikation der Gleichung (7) mit dem Term x ist dessen Nullstelle, also die Zahl zur Lösungsmenge der Endgleichung (9) dazu gekommen. Wir werden dies auf der übernächsten Seite allgemein betrachten.

9 Bruchgleichungen 9. Division mit einem Term, der x enthält, ist oft keine Äquivalenzumformung. Merke: Hinweis: Wir betrachten dazu das Beispiel: x x -x + () Es folgt: x () () und () haben die Lösungszahl. Nun beschreite ich einen anderen Lösungsweg und klammere auf beiden Seiten aus: x x () In einem Anfall von Freude erkenne ich, dass man ja durch die Klammer x dividieren kann: x x Und somit bleibt übrig: () Diese Gleichung hat keine Lösung mehr. Durch die Division durch x ist unsere Lösung verloren gegangen! Dividiert man eine Gleichung durch einen Term, der x enthält, kann es passieren, dass man eine Lösungszahl verliert. Diesen Fehler begehen viele Schüler, wenn sie eine Gleichung dieser Art lösen: x 8x 0 Falscher Lösungsweg: Da jeder Summand den Faktor x enthält, dividieren manche Schüler diese Gleichung durch x, worauf die neue Gleichung so heißt: x8 0 Aus ihr erhält man x 8. L 8 Lösungsmenge: Richtiger Lösungsweg: Da jeder Summand den Faktor x enthält, kann man x ausklammern worauf die neue Gleichung so heißt: x x 8 0 Diese Gleichung stellt ein Nullprodukt dar. Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird:. Faktor: x 0 Erste Lösung: x = 0. Faktor: x8 0 Zweite Lösung: x 8 Lösungsmenge; L 0; 8 Beobachtung: Die Division durch den Term x hatte zur Folge, dass dessen Nullstelle x = 0 als Lösung verloren geht.

10 Bruchgleichungen 0. Welche Lösungen kommen zu einer Gleichung dazu, wenn man sie mit einem Term multipliziert? Allgemeine Betrachtung: Eine Gleichung hat allgemein diese Form: TL TR T R ist dabei der links stehende Term und T R der rechts stehende Term. Was passiert, wenn man diese Gleichung mit dem Term (x - a) multipliziert?. Dann entsteht diese Gleichung: T x a T x a Nun alles nach links: TxaT x a 0 Jetzt wird x a ausgeklammert: TTx a 0. Diese Gleichung ist ein sogenanntes NULLPRODUKT WISSEN: Ein Produkt ist nur dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Das heißt: Aus TTx a 0 folgen diese beiden Möglichkeiten:. Möglichkeit: TT 0. Möglichkeit: x a 0 Daraus folgen: T T x a Zusatzlösung Anfangsgleichung Wir haben also nach wie vor die Anfangsgleichung T T noch die Lösung x = a für die Endgleichung. der Endgleichung dazu gekommen. MERKE: Wird eine Gleichung mit einem Term T multipliziert, beeindruckender ist.. (*) mit ihren Lösungen, aber zusätzlich Also ist die Nullstelle des Terms (x - a) durch diese Multiplikation für die Lösung dann erweitert sich die Lösungsmenge um die Nullstelle dieses Terms. Man kann dies übrigens abkürzen und durch Einsetzen zeigen, dass auch schon (*) die zusätzliche Lösung a hat. Ich finde persönlich nur, dass die gezeigt Methode

11 Bruchgleichungen Beispiel a Folgerungen für Bruchgleichungen x Die Gleichung hat die Lösungszahl, was man durch eine Probe bestätigen kann: ist eine wahre Aussage. Zur Übung multiplizieren wir die Gleichung jetzt mit dem Term (x - ) und führen die weitere Rechnung exakt so durch wie dies allgemein auf der Seite zuvor gezeigt worden ist. x x x () Alles nach links bringen: x Ergibt: x x 0 x () x ausklammern: x 0 x () Diese Gleichung ist ein Nullprodukt. Es wird dann 0, wenn einer der Faktoren Null wird: Der. Faktor ist Der. Faktor ist 0 x bzw. x. (). Dies ist die gegebene Gleichung, von der wir wissen, dass sie die Lösungszahl x = hat x 0 was zur Lösungszahl x = führt. Die Gleichungen (), () und () haben also die Lösungszahlen und, aber die Anfangsgleichung () hat nur die Lösungszahl. ist eine falsche Aussage, denn die linke Seite hat den Wert, und. Man kann auch mit einer Probe sehen, dass keine Lösungszahl von () ist: Beobachtung: Durch Multiplikation der Gleichung () mit dem Term x kommt die Zahl, welche Nullstelle dieses Terms ist, zur Lösungszahl der Endgleichung dazu. Die Multiplikation mit x hat also die Lösungsmenge unzulässig vergrößert. Man muss also nachträglich die Lösungszahl für die Anfangsgleichung ausschließen.

12 Bruchgleichungen Beispiel b x Diese Gleichung hat den Definitionsbereich D \ (). Jetzt tun wir das, was sinnvoll und üblich ist: Wir multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nennerterm x. x Dies führt zu x x () Ziel dieser Aktion ist es, den Nennerterm wegkürzen zu können: x x x Es bleibt: x 6 x x Bitte Mitdenken: Wir erkennen die Lösungszahl. In a wurde die Gleichung mit dem Term x multipliziert, was zur Folge hatte, dass die Zahl (die Nullstelle des Terms) zur Lösung dazu gekommen ist. Man muss sie also nachträglich wieder ausschließen. In b wurde die Gleichung mit dem Term x multipliziert, was dann eigentlich zur Folge haben müsste, dass die Zahl zur Lösung dazu gekommen ist. Warum ist dies aber nicht passiert? Die Erklärung ist einfach: Diese Lösung ist wieder verschwunden, als wir durch x gekürzt haben! Man hätte nämlich diese Gleichung auch ohne Kürzen umformen können, und zwar so: x x Das führt zu: x x x Alles nach links: x x 0 x Und jetzt x ausklammern: x 0 x Und jetzt erkennt man, dass es auch die Lösung x = gibt. Man sieht also: Wenn man nicht kürzt, kommt die Nullstelle des Terms dazu, mit dem man die Gleichung multipliziert. Weil wir aber mit dem Nennerterm multipliziert haben, ist die verbotene Nullstelle des Nenners dazu gekommen, die aber bereits oben im Definitionsbereich ausgeschlossen worden ist. Das bedeutet, dass man mit einem Blick auf den Definitionsbereich klarstellt, dass die Lösungszahl der Endgleichung nicht zur Anfangsgleichung gehört.

13 Bruchgleichungen Beispiel Beispiel Folgendes Lösungsverfahren wird also angestrebt:. Bestimme den Definitionsbereich der Gleichung.. Beseitige den Nenner, indem man mit dem Nennerterm multipliziert, und anschließend kürzt.. Durch diese Multiplikation kommen die Nullstelle des Nennerterms zu den Lösungen der Endgleichung dazu. In der Regel fallen sie durch Kürzen wieder heraus. In besonderen Fällen aber nicht.. Daher überprüft man am Ende stets, ob die Lösungszahlen der Endgleichungen zum Definitionsbereich der Gleichung gehören. Denn dort werden ja gerade die Nullstellen der Nenner ausgeschlossen! Diese Gleichung hat den Definitionsbereich Multiplikation mit dem Nennerterm x () 0 D. x x x x x Durch x kürzen: x : x Diese Endgleichung hat die Lösungszahl, die dem Definitionsbereich abgehört. Daher löst auch die Anfangsgleichung (). Lösungsmenge: Multiplikation mit dem Nennerterm x L x x x x D \ Definitionsbereich: Kürzen x x x x : x x x x x x x x x x Zusammenfassen: x x Die Endgleichung ist allgemeingültig, also ist jede Zahl der Grundmenge x x x bzw. Lösung. Jetzt ist die Nullstelle des Nennerterms, mit dem wir multipliziert haben, nicht durch Kürzen herausgefallen. Daher muss man sie selbst ausschließen und folgern: Die Lösungsmenge ist der Definitionsbereich der Gleichung: L D 0

14 Bruchgleichungen Zusammenfassung: Bruchgleichungen werden dadurch gelöst, dass man außer Äquivalenzumformungen auch die Multiplikation der Gleichung mit dem Nennerterm durchführt. Dies bewirkt, dass man den betreffenden Nenner wegkürzen kann Dabei kann es passieren, dass eine Nullstelle des Nennerterms als Lösung dazukommt. Sollte dies der Fall sein, erkennt man es daran, dass diese Lösung als verbotene Zahl nicht zum Definitionsbereich gehört. Man wird sie nachträglich wieder von der Lösungsmenge ausschließen! Dazu benötigt man den Definitionsbereich einer Bruchgleichung. Also sollte man damit beginnen, den Definitionsbereich zu ermitteln Übungen dazu findet man im Text.

15 Bruchgleichungen Faktorisierung der Nenner und kleinster gemeinsamer Nenner Für die Vereinfachung von Bruchgleichungen wird man wie zuvor angesprochen die Gleichungen mit dem Hauptnennerterm multiplizieren, so dass man anschließend alle Nenner wegkürzen kann. Das Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Nenners ist also neben der Bestimmung des Definitionsbereichs die erste Beschäftigung zum Lösen der Bruchgleichung. Ich habe die wichtigsten Fälle zusammengestellt und erläutere sie an Beispielen:. Fall: Gleichungen ohne x im Nenner: x x Beispiel : Seite 6 6. Fall: Zahlenfaktor in Nenner ausklammern: Beispiel : Seite 7 x 0 x. Fall: Vertauschte Differenzen erkennen: Beispiel : Seite 8 x x. Fall: x ausklammern: Beispiel : x x x x. Fall: Die. Binomische Formel anwenden: a -b a ba-b 6 x Beispiel : x 6 x 6. Fall: Die. binomische Formel anwenden: a abb a b Beispiel 6: x 6 x 0x x 7. Fall: Die. binomische Formel anwenden: a - abb a b Beispiel 7: x x0 x 0x Fall: Quadratische Terme anders zerlegen: ax bx c a x - x x - x Beispiel 8: x x x x x6 x 9. Fall: Nicht jeder quadratische Term lässt sich faktorisieren x Beispiel 9: x 9 x Seite 9 Seite 0 Seite Seite Seite Seite WICHTIG: Hier geht es darum, dass man einer Gleichung ein Merkmal ansehen kann. Kennt man die zugehörige Methode, kann man schnell weiterrechnen.

16 Bruchgleichungen 6. Fall: Gleichungen ohne x im Nenner. Beispiel : x x 6 Der gemeinsame Nenner von und 6 ist nicht 6 sondern. Man erkennt dies, wenn man die Nenner faktorisiert:. Nenner:. Nenner: 6 Hauptnenner: Der gemeinsame Nenner muss Faktoren und den Faktor enthalten. In ihm sind beide Nenner enthalten, und es ist der kleinste gemeinsame Nenner: Hauptnenner. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner ergibt: x x 6 Kürzen: x x x x Zusammenfassen: x - x 0 : x Die Endgleichung hat die Lösungszahl. Weil die Anfangsgleichung den Definitionsbereich D hat, ist darin enthalten. Somit ist auch Lösung der Anfangsgleichung: L

17 Bruchgleichungen 7. Fall: Zahlenfaktor in Nenner ausklammern Beispiel : x 0 x Man muss erkennen, dass jeder Nenner einen Faktor enthält, den man ausklammern kann.. Nenner x 0 x. Nenner: x x Gemeinsamer Nenner: x (Hauptnenner) Man erkennt jetzt auch, dass der Nenner nur dann 0 werden kann, wenn die Klammer Null wird, also für x = -. Daher kennen wir den Definitionsbereich der Gleichung: D \ Nun muss man den Nenner faktorisieren: x x Jetzt mit dem Hauptnenner multiplizieren und kürzen: x x x Dies kann man auch gleich so aufschreiben: x : x x : 7 x Die Endgleichung hat die Lösungszahl 7. x x x Weil sie zum Definitionsbereich gehört, bildet sie die Lösungsmenge: L 7

18 Bruchgleichungen 8. Fall: Vertauschte Differenzen erkennen Beispiel : x x Diese Nenner haben ein Merkmal, das auffallen muss. Der zweite Nenner die vertausche Differenz des ersten Nenners. Zwischen solchen Termen gilt eine einfache Beziehung: x x Beweis: Man kann das Minuszeichen vor der Klammer als Faktor - betrachten und dann in die Klammer multiplizieren, dann entsteht der Term der linken Seite. Mit diesem Ausklammertrick des Minuszeichens verändert man die Anfangsgleichung: x x Das Minuszeichen im Nenner darf man vor den Bruch ziehen, dann erhält man x x Zusammenfassen: x Hier erkennt man am schnellsten den Definitionsbereich der Gleichung: D \Division durch ergibt: x Endgleichung: 6 x x x + Da die Lösungszahl 6 der Endgleichung zu D gehört, ist sie auch Lösung der Anfangsgleichung: 6 L

19 Bruchgleichungen 9. Fall: x ausklammern Beispiel : x x x x Der erste Nenner hat ein Merkmal, das auffallen muss. Jeder Summand dieses Nenners enthält x. Daher kann man x ausklammern. Und schon ist dieser Nenner faktorisiert worden:. Nenner: x x xx. Nenner. x Gemeinsamer Nenner: xx (Hauptnenner) Definitionsbereich: 0; D \Beseitigung der Brüche durch Multiplikation mit dem Hauptnenner: x x x x und kürzen: xx xx oder gleich so: x x xx x x xx x x xx Daraus folgt: x x8 x x - x und x 8 x x Da dem Definitionsbereich angehört, gilt: L

20 Bruchgleichungen 0. Fall: Die. binomische Formel anwenden: a -b = a+ba-b 6 x Beispiel : x 6 x Der. Nenner hat ein Merkmal, das auffallen muss: Er kann durch die. binomische Formel faktorisiert werden: x 6 xx Der erste Nenner enthält auch den zweiten Nenner als Faktor, weshalb er Hauptnenner ist Definitionsbereich: D \ Multiplikation der Gleichung mit x x und kürzen: 6 x 6 x x x x Oder gleich so: 6 xx x x 6 x x x 6-6 und x x : x Da - zum Definitionsbereich gehört folgt: L x x x x

21 Bruchgleichungen a +ab +b = a b 6. Fall: Die. binomische Formel anwenden: Beispiel 6: x 6 x 0x x Der. Nenner hat ein Merkmal, das auffallen muss: Er kann durch die. binomische Formel faktorisiert werden: x 0x x. Nenner: x x ausklammern Damit lautet die Gleichung: x 6 x x Man konnte den. Bruch noch kürzen, was die Arbeit erleichtert. Definitionsbereich: D \ Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner x und kürzen: x x x Oder gleich so: Das heißt: x x x x x x 0 x 0x x x - x x 0 0x +x - Alles nach rechts: x : x Da diese Lösungszahl zum Definitionsbereich gehört, folgt: L

22 Bruchgleichungen a ab +b = a b 7. Fall: Die. binomische Formel anwenden: Beispiel 7: x x0 x 0x 00 Der. Nenner hat ein Merkmal, das auffallen muss: Er kann durch die. binomische Formel faktorisiert werden: x 0x 00 x 0. Nenner: x 0 lässt sich nicht faktorisieren Hauptnenner: x 0. Der erste Nenner ist im zweiten enthalten. Damit lautet die Gleichung: x x0 x 0 D \0 Definitionsbereich: Multiplikation der Gleichung mit x 0 und kürzen: x x 0 x0 x0 bzw. gleich so: xx0 x 0 Ausführlicher: x 0x x 0x 00 Da 99 x 0x x 0x 00 x0 x 0 - x 0x 0x 99 +0x - 0x x 0 zum Definitionsbereich gehört folgt: 99 L 0 0

23 Bruchgleichungen 8. Fall: Quadratische Terme anders zerlegen: ax +bx +c = a x - xx - x Beispiel 8: x x x x x6 x Faktorisieren der Nenner:. Nenner: x lässt sich nicht faktorisieren. Nenner: x lässt sich nicht faktorisieren. Nenner: Hinweis: Damit lautet die Gleichung: x x 6? Sehr oft sind für Schüler die Aufgaben dahingehend vereinfacht, dass der quadratische Term das Produkt der beiden anderen ist. Dies überprüft man so: x x x xx6 x x 6 x x x x x x Definitionsbereich: D \; Kleinster gemeinsamer Nenner: x x. Der erste und der dritte Nenner sind im zweiten enthalten. Multiplikation der Gleichung mit x x und kürzen: x x x x xx x x bzw. gleich so: x x x x Ausmultiplizieren: Alles nach rechts: 0x Da x x x 6x x zum Definitionsbereich gehört: x x x x -x + x L

24 Bruchgleichungen 9. Fall: Nicht jeder quadratische Term lässt sich faktorisieren x Beispiel 9: x 9 x Keiner der Nenner lässt sich faktorisieren. Beim Nenner Aus werden können. x 9 erkennt man das daran, dass er keine Nullstelle besitzt. x 9 0 folgt nämlich Definitionsbereich: D \ Hauptnenner: x 9x x 9, was nicht möglich ist, weil Quadrate nie negativ x x x 9 x x 9 x 9 x x x x 9 x 9x x 7 x 9 x -x 9x 7 :9 x Da zum Definitionsbereich gehört: L x x 9 x

25 Bruchgleichungen Übungsteil Mustergleichungen, die nicht zu quadratischen Endgleichungen führen. Keine echten Bruchgleichungen (also ohne x im Nenner) Beispiel x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Weil x nicht im Nenner vorkommt, sind alle Zahlen erlaubt: D oder für Schüler ab Klasse 8/9 aufwärts: D. (Bis Klasse 8 kennt man meist nur die rationalen Zahlen.). Schritt: Hauptnenner bestimmen Als Nenner kommen vor:, und. Der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ist das kgv der Einzelnenner, also hier die Zahl 0.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x 0 x x Nach den Regeln des Bruchrechnen ist a a c c b b. Man kann daher die Zahlen b und c eventuell kürzen: x 0 x Und die Nenner sind weg! 0x 60 x +60 Jetzt weiter vereinfachen 0x x 7 x x links isolieren. x 7 : 7 x Der rote Pfeil soll anzeigen, dass gute Kopfrechner durch Überspringen der nächsten Zeilen die Rechnung abkürzen können! WISSEN: Wir haben jetzt die gegebene Gleichung durch Äquivalenzumformungen in einfachere Gleichungen umgewandelt, die folglich alle dieselbe Lösungsmenge haben. 7 Die letzte Gleichung ist so einfach, dass man ihre Lösungszahl erkennt. Daher hat auch die gegebene Gleichung diese Lösungszahl 7 L und damit die Lösungsmenge:

26 Bruchgleichungen 6 Beispiel x x6 x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Weil x nicht im Nenner vorkommt, sind alle Zahlen erlaubt: oder für Schüler ab Klasse 8/9 aufwärts: (Bis Klasse 8 kennt man meist nur die rationalen Zahlen Q.) D D.. Schritt: Hauptnenner bestimmen Als Nenner kommen vor: und. Der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ist das kgv der Einzelnenner, also hier die Zahl.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x6 x x x x 6 (x ) 60x (x 6) Jetzt weiter vereinfachen: x 0 60x 9x 8 x 0 69x 8 +8 x 8 69x -x x rechts isolieren! 8 6x Seiten vertauschen (wenn man will) 6x 8 :6 x 8 Weil nur Äquivalenzumformungen angewandt worden sind, hat die Endgleichung dieselbe Lösungsmenge wie die Anfangsgleichung. Lösungsmenge: L 8 Der rote Pfeil soll anzeigen, dass gute Kopfrechner durch Überspringen der nächsten Zeilen die Rechnung abkürzen können!

27 Bruchgleichungen 7. Einfache Bruchgleichungen mit linearen Nennertermen Beispiel : (Siehe Seite ) x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen x = 0 ist verboten: D 0. Schritt: Hauptnenner bestimmen Einziger Nenner ist x.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x kürzen! x x : x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit x multipliziert, sonst sind nur Äquivalenzumformungen angewandt worden. Bei dieser Multiplikation mit x hätte sich die Lösungsmenge um die Zahl 0 vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. Die Lösungszahl gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L

28 Bruchgleichungen 8 Beispiel : 0 () x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen x = 0 ist verboten: D 0. Schritt: Hauptnenner bestimmen. Nenner: x. Nenner: Hauptnenner: x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren 0 x x x x 0 x x 0x 0x :0 x 0 8. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? 8 Hier wurde mit x multipliziert, sonst sind nur Äquivalenzumformungen angewandt worden. Bei dieser Multiplikation mit x hätte sich die Lösungsmenge um die Zahl 0 vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. 8 gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L Wir machen einmal die Probe: ist eine wahre Aussage.

29 Bruchgleichungen 9 Beispiel : x 6x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen x = 0 ist verboten: D 0. Schritt: Hauptnenner bestimmen. Nenner: x. Nenner: 6x Hauptnenner: 6x (nicht x)!. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren 6x x 6x 6x 6x 6x x 6x 9 0x ^ 0x : x 0. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit 6x multipliziert, sonst sind nur Äquivalenzumformungen angewandt worden. Bei dieser Multiplikation mit 6x hätte sich die Lösungsmenge um die 0 vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. 0 gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L 0

30 Bruchgleichungen 0 Beispiel 6: 9 x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen x = ist verboten, denn sonst wird der. Nenner Null! D. Schritt: Hauptnenner bestimmen. Nenner: x. Nenner: Hauptnenner: x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x 6 9 x 9 x 6 9x x :9 x 9. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit x multipliziert, sonst sind nur Äquivalenzumformungen angewandt worden. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstelle des Terms vergrößern können, also um. Aber dies ist nicht der Fall. gehört zum Definitionsbereich der Gleichung, daher gilt: Lösungsmenge: L

31 Bruchgleichungen Beispiel 7: y y. Schritt: Definitionsbereich bestimmen y = - ist verboten, denn sonst werden beide Nenner Null! D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Gemeinsamer Nenner ist y. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren y y y y y y y und kürzen = Man kann die Zwischenzeile überspringen! Diese Umformung führt zu einem Widerspruch, zu einer falschen Aussage. Die letzte Gleichung ist unlösbar, also auch die gegebene Gleichung. Lösungsmenge: L

32 Bruchgleichungen Beispiel 8: x 6 x x (). Schritt: Definitionsbereich bestimmen x = - ist verboten, denn sonst werden beide Nenner Null! D ACHTUNG:. Schritt: Hauptnenner bestimmen Gemeinsamer Nenner ist x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x 6 x x x x und kürzen x 6 x x x x x 6 x6 x 6 () x Eine weitere Umformung erübrigt sich. Die Endgleichung () liefert für jede Zahl eine wahre Aussage, sie ist also allgemeingültig. Ihre Lösungsmenge ist folglich L. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Oben wurde jedoch die Gleichung () mit (x+) multipliziert. Damit kam - als Lösung dazu, die aber verboten ist, denn D Q. diese Zahl gehört nicht zum Definitionsbereich Q Also hat die gegebene Gleichung () nicht dieselbe Lösungsmenge wie (), sondern: Lösungsmenge: L Q

33 Bruchgleichungen Beispiel 9: x 6 x x (). Schritt: Definitionsbereich bestimmen x = ist verboten, denn sonst werden beide Nenner Null! D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Gemeinsamer Nenner ist x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x 6 x x x 6 x x x x 6 x x6 x 6 +6 x x -x x () x und kürzen x x Diese Endgleichung hat die Lösungsmenge. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? L Doch weil die Zahl nicht zum Definitionsbereich der Ausgangsgleichung () gehört, kann sie auch nicht Lösung von () sein: Lösungsmenge: L Der Grund sollte jetzt klar sein: Die Gleichung () wurde mit dem Term (x - ) multipliziert. Dies ist keine Äquivalenzumformung. In diesem Fall ist dadurch die Nullstelle dieses Terms, also die Zahl als Lösung dazu gekommen. Wer darauf nicht achtet,..

34 Bruchgleichungen Trainingsgleichungen (Teil ) Bestimme die Lösungsmenge nach folgendem Schema:. Schritt: Bestimme den Definitionsbereich der Gleichung.. Schritt: Mache die Gleichung durch Multiplikation mit einem geeigneten Term bruchfrei. Schritt: Führe Äquivalenzumformen durch bis eine einfache Endgleichung erreicht ist, deren Lösung man erkennt.. Schritt: Überprüfe, ob die Lösungen der Endgleichungen zum Definitionsbereich der Anfangsgleichung gehören.. Schritt: Gib die Lösungsmenge der Anfangsgleichung an. 7 6 x x 8 x x x x8 x 0 x6 x6 6 6 x x 8 0 x x x 8 x x 0 x x

35 Bruchgleichungen. Etwas schwierigere Bruchgleichungen Beispiel 0: x 6 6 x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann wird der Nenner 0? Wann gilt also x 0? Umstellen nach x liefert: x : Also: x. Daher ist - auszuschließen: D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Es gibt nur den Nenner x +.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x 6 6 x x und links kürzen x 6 x x x x nach links: -x x 6 x +6 9x 0 :(-9) x 9 9. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit x multipliziert. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstelle des Terms, also um vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. 0 gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. 0 Lösungsmenge: L

36 Bruchgleichungen 6 Beispiel : 6x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann wird der Nenner 0? Wann gilt also x 0? Umstellen nach x liefert: x : Also: x. Daher ist auszuschließen:. Schritt: Hauptnenner bestimmen D Es gibt nur den Nenner x.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren 6x x 6x x x x x 6x x -x und - x 8 : x und links kürzen. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit x multipliziert. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstelle des Terms, also um vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. - gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L

37 Bruchgleichungen 7 Beispiel : x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann wird der Nenner 0? Wann gilt also x 0? Umstellen nach x liefert: x : Also: x. Daher ist auszuschließen:. Schritt: Hauptnenner bestimmen D Es gibt nur den Nenner x.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x x - x und links kürzen Dieser Widerspruch besagt, dass die Gleichung unlösbar ist. Lösungsmenge: L

38 Bruchgleichungen 8 Beispiel : x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: Für x = 0.. Nenner: Für x =. Daher sind 0 und auszuschließen: D 0;. Schritt: Hauptnenner bestimmen In diesem Fall ist der Hauptnenner das Produkt beider Nenner: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x xx und kürzen x x xx Kann ausgelassen werden! x x (x ) x x 8 x -x 8 x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit xx multipliziert. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstellen des Terms, also um 0 oder vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. -8 gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L 8

39 Bruchgleichungen 9 Beispiel : x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: Für x =.. Nenner: Für x =. Daher sind und auszuschließen: D ;. Schritt: Hauptnenner bestimmen In diesem Fall ist der Hauptnenner das Produkt beider Nenner: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x ( x) (x ) x x x x x 6x x 0 -x und -6 7x 6 (-7) x 6 7. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit x x und kürzen multipliziert. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstellen des Terms, also um oder vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. 6 7 gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. 6 Lösungsmenge: L 7

40 Bruchgleichungen 0 Beispiel : a) x 0 x7 x7 b) x x 7 x 7. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0? Alle Nenner für x = 7. Daher ist 7 auszuschließen:. Schritt: Hauptnenner bestimmen D Es gibt nur den Nenner x 7.. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x 0 x 7 x 7 Kürzen: x 0 x 7 x 7 x 7 x 7 a) x7 x7 7 x x 7 x 7 b) x 7 x 7 x x 7 x 7 x 7 x 7 x 0 : x : x 0 x 7. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Hier wurde mit (x 7) multipliziert. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstelle des Terms, 7 vergrößern können. In a) dies ist nicht der Fall, denn 0 gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. In b) ist dies jedoch der Fall: 7 gehört nicht zum Definitionsbereich der Gleichung, kann also nicht Lösung der Anfangsgleichung sein! Lösungsmengen: a) L 0 b) L

41 Bruchgleichungen Beispiel 6: x x6 6x WICHTIGES BEISPIEL mit Sonderfall!. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0? Beide Nenner haben die Nullstelle x = 6. Daher ist 6 auszuschließen!. Schritt: Hauptnenner bestimmen D 6 MERKE: Hier liegt ein Sonderfall vor, den man sich merken muss: x6 6 6 x Man beachte diese Rechnung: x Dies bestätigt folgende Regel: Vertauscht man in einer Differenz die beiden Zahlen. dann ändert sich das Gesamtvorzeichen der Differenz. Beispiel: 7 aber 7 Also: ab b a x x oder 6 x (x 6) oder: Konsequenz: Wenn die Nenner wie hier Differenzen mit vertauschen Vorzeichen sind, ersetze man einen Nenner wie gezeigt: x x x x 6 6 x x 6 (x 6) x 6 x 6 Nach dieser Erkenntnis, lautet der Hauptnenner (x - 6). Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x6 x6 x x6 x 6 x 6 x 6 x : x x 6 und kürzen MERKE. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? - gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L

42 Bruchgleichungen Beispiel 7: a) x 6 x WICHTIGES BEISPIEL mit Sonderfall!. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x 6 0 x 6 x. Nenner: x 0 x Daher ist auszuschließen:. Schritt: Hauptnenner bestimmen D Hier liegt eine Besonderheit vor, die man erkennen sollte: Im. Nenner kann man den Faktor ausklammern, im. Nenner vertauscht man die Zahlen und erhält x (x ) Damit ändert sich die Gleichung in: x (x) Nun kürzt man links durch, rechts zieht man das Minuszeichen vor den Bruch: x (x) Der Hauptnenner ist natürlich x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren und kürzen x x x (x ) Es bleibt: Dieser Widerspruch zeigt, dass die Endgleichung, und damit auch die Anfangsgleichung, keine Lösungszahl besitzen. Lösungsmenge: L Zusatz: b) x 6 x Diese leicht veränderte Gleichung führt nach derselben Methode zu: bzw. x x x x Diese Endgleichung wird von allen Zahlen des Definitionsbereichs gelöst. Da aber D folgt: Lösungsmenge: L D

43 Bruchgleichungen Beispiel 8: x x x x 9 WICHTIGES BEISPIEL mit Faktorisieren!. Schritt : Beide Nenner lassen sich durch Ausklammern faktorisieren :. Nenner: x x. Nenner: x 9 x. Damit sieht die Gleichung so aus: x x x x Dadurch werden die nächsten Schritte wesentlich erleichtert.. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner:. Nenner: x 0 x x 0 x Daher ist - auszuschließen: D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner muss die Faktoren, und die Klammer (x + ) enthalten: HN x Schlimm wäre dieser Vorschlag: HN x x 9!. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x x x x x x x 8x -8x und + 7x 7 : 7 x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? und kürzen! Hier wurde mit x multipliziert. Bei dieser Multiplikation hätte sich die Lösungsmenge um die Nullstellen des Terms, also um - vergrößern können. Aber dies ist nicht der Fall. gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L

44 Bruchgleichungen Beispiel 9: x x 6x x0 WICHTIGES BEISPIEL mit Faktorisieren!. Schritt : Beide Nenner lassen sich durch Ausklammern faktorisieren :. Nenner: 6x x. Nenner: x 0 x. Jetzt muss man noch erkennen, dass in den Klammern zwei Differenzen mit vertauschter Reihenfolge stehen, die man durch Ausklammern von - anpassen kann:. Nenner: x 0 x x Damit sieht die Gleichung so aus: x x x x Dadurch werden die nächsten beiden Schritte wesentlich erleichtert.. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner:. Nenner: x 0 x x x 0 x x Daher ist auszuschließen:. Schritt: Hauptnenner bestimmen D Der gemeinsame Nenner muss die Faktoren, - und die Klammer ( x) HN 0 x enthalten:. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x 0 x 0 x x x x x x 0 x 0 x 0 x x kürzen: x x 8 -x und + 7x 7 : (-7) x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? - gehört zum Definitionsbereich der Gleichung. Lösungsmenge: L

45 Bruchgleichungen Beispiel 0: x 6 0 x 8 x 6 () WICHTIGES BEISPIEL mit Faktorisieren!. Schritt : Beide Nenner lassen sich durch Ausklammern faktorisieren :. Nenner: x 8 x. Nenner: x 6 x. Geänderte Gleichung : x 6 x x 0 Damit werden die nächsten beiden Schritte wesentlich erleichtert.. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x 0 x 0 x. Nenner: x 0 x Daher ist auszuschließen:. Schritt: Hauptnenner bestimmen D Der gemeinsame Nenner ist: HN x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren und kürzen x 6 x x6 0 x x () L x x 0. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? gehört nicht zum Definitionsbereich der Gleichung. Diese Lösung ist durch die Multiplikation mit dem Term (x ) dazu gekommen. Sie ist also keine Lösung der Anfangsgleichung: Lösungsmenge: L

46 Bruchgleichungen 6 Beispiel : x x x 7 x x x () WICHTIGES BEISPIEL mit Faktorisieren!. Schritt : Die Nenner lassen sich durch Ausklammern faktorisieren :.und. Nenner: x x Danach sieht die Gleichung so aus: x x x 7 x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Die Nenner werden für 0 für x = - Daher ist - auszuschließen: D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner ist: HN x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x 7 x x x x x x x x x x und kürzen! x 7 x x x x x 7 Die. Klammer nicht vergessen! 6x 8 x x 7 x 7 x 7 () Diese Gleichung ist allgemeingültig, d. h. jede Zahl ist Lösung!. Die Lösungsmenge der Gleichung () ist somit. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? L. - gehört nicht zum Definitionsbereich der Gleichung. Diese Lösung ist durch die Multiplikation mit dem Term (x ) dazu gekommen. Sie gehört also nicht zur Lösung der Anfangsgleichung (): Lösungsmenge: L

47 Bruchgleichungen 7 Trainingsgleichungen (Teil ) Bestimme die Lösungsmenge nach folgendem Schema:. Schritt: Bestimme den Definitionsbereich der Gleichung.. Schritt: Mache die Gleichung durch Multiplikation mit einem geeigneten Term bruchfrei. Schritt: Führe Äquivalenzumformen durch bis eine einfache Endgleichung erreicht ist, deren Lösung man erkennt.. Schritt: Überprüfe, ob die Lösungen der Endgleichungen zum Definitionsbereich der Anfangsgleichung gehören.. Schritt: Gib die Lösungsmenge der Anfangsgleichung an. 9 x 7 x 8 x x x x6 6x x x x x6 0 6 x x x x x x 7 8x 6x x 6 x x

48 Bruchgleichungen 8. Schwierige Bruchgleichungen Beispiel : x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x0 x. Nenner: x 0 x Daher sind - und auszuschließen: D ;. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x x x x x x x 6x x x x x x x und kürzen x x xx x 9x x x 6 - x!!! 9x x 6 + x + x : (-) x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Weil zum Definitionsbereich der Gleichung gehört, ist sie Lösungszahl. Lösungsmenge: L

49 Bruchgleichungen 9 Beispiel : x x x6 x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x6 0 x 6. Nenner: x 0 x Daher sind - und 6 auszuschließen: D ;6. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner: HN x x 6. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x6 x x x x6 x 6 x x x x 6 und kürzen x x 6 xx6 x x x x 6 x x 6 x x 8x 0 x x 6x 6 x x 6x x x 0 x x 6 x x 6 x 8x x x 6 - x 8x x 6 +x + 0x : x 8 0. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? 8 Weil zum Definitionsbereich der Gleichung gehört, ist sie Lösungszahl. Lösungsmenge: L 8 ACHTUNG: Auf der nächsten Seite zeige ich, wie man eine diesen Lösungsweg mit dem CAS-Rechner TI Nspire simulieren kann!

50 Bruchgleichungen 0 Einschub zu Beispiel Simulation dieser Umformungen mit TI Nspire Zuerst die direkte Lösung der Gleichung mit dem Befehl solve. Wir wollen alle Umformungsschritte überprüfen. Also definieren wir die Gleichung als gl. Dann wird die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner x6x multipliziert. Das Ergebnis lassen wir durch expand vereinfachen. Nach wird Ans durch die letzte Anzeige ersetzt und man erhält: Dann lasse ich x subtrahieren. Nach wird Ans ersetzt und man erhält: Schließlich wird geordnet, d.h. x nach links, die reinen Zahlen nach rechts (+x und +): Die Division durch 0 liefert die Endgleichung: 8 Endgleichung: x Solche Ausdrücke wie im letzten Screenshot sind mathematisch gesehen blanker Unsinn. Denn man kann ja keinen Bruch erzeugen, der im Zähler ein Gleichheitszeichen enthält. Aber die linke Seite dieser Darstellungen sind ja nur Rechenbefehle und als solche akzeptiert sie Nspire. Der letzte Befehl lautet: Dividiere die Gleichung 0x = - durch 0. Die Antwort steht dann rechts. Es ist eine Superleistung der Programmierer von Texas Instruments, dass sie diese Möglichkeit geschaffen haben, solche Umformungen durchführen zu können. Der CAS-Rechner ClassPad von CASIO kann das nicht. Da kommt bereits bei der Definition der Variablen gl eine Fehlermeldung, denn dieser Befehl enthält zwei Gleichheitszeichen, was er nicht verarbeiten kann.

51 Bruchgleichungen Beispiel : 0 x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x0 x. Nenner: x0 x. Nenner: x0 x Daher sind -, und auszuschließen: D ;;. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der Hauptnenner ist das Produkt der drei Nenner: HN x x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren 0 x x x x x x x x x x 0 x x x und kürzen Nun werden die Klammern miteinander multipliziert. Für die roten Klammern wendet man die. binomische Formel an! x xxx x xx 0 x xx x x 0 Vorzeichen! Nun fällt glücklicherweise x weg: x 0 x x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Weil Lösungsmenge: x x x x zum Definitionsbereich der Gleichung gehört, ist sie Lösungszahl. L x x x xx x 0 x Die Schwierigkeit besteht bei dieser Rechnung hauptsächlich darin, nach dem Kürzen die Klammern richtig zu multiplizieren und dabei die Vorzeichen richtig zu setzen. Dann muss man korrekt zusammenfassen.

52 Bruchgleichungen Beispiel : x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x 0 x. Nenner: x0 x. Nenner: x0 x Daher sind -, und auszuschließen: D ;;. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der Hauptnenner ist das Produkt der drei Nenner: HN xxx. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x x x x und kürzen x x x xxx x xx x xx x xx x xx8 x x x x x 8x x x 0 x 8x -x!!! x 0 8x + 8x 0 6x (-6) x 7 x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? x x x Weil 7 zum Definitionsbereich der Gleichung gehört, ist sie Lösungszahl Lösungsmenge: L 7

53 Bruchgleichungen Beispiel 6: x x x x x x 9. Schritt : Faktorisieren des Nenners der rechten Seite Man muss erkennen, dass für diese Nenner gilt: x 9 x x Damit sieht die Gleichung so aus: x x x x x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x 0 x. Nenner: x 0 x x x 0 x oder x. Nenner: Daher sind und auszuschließen: D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner ist: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x - x x x 0 9x 0 : 9 x 0 x x und kürzen! x xx xx. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Weil 0 zum Definitionsbereich der Gleichung gehört, kommt sie als Lösung in Frage: Lösungsmenge: L 0

54 Bruchgleichungen Beispiel 7: x x x 60 x x x x (). Schritt : Faktorisieren des Nenners der rechten Seite Merkmal: x xx Damit sieht die Gleichung so aus: x x x 60 x x x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x 0 x. Nenner: x x 0 x oder x. Nenner: x 0 x Daher sind und auszuschließen: D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner ist: x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x 60 x x x x x x x x x60 x x x x xx xx x x x x 60 x x x 0x x x 60 x x x 0 x 7x60 x 7x 60 () und kürzen x x x x Diese Gleichung ergibt für jede eingesetzte Zahl eine wahre Aussage. Sie heißt daher allgemeingültig und hat als Lösungsmenge L.. Schritt: Gehören die Lösungen zum Definitionsbereich? Die Antwort heißt klar Nein. Die Zahlen und gehören nicht zum Definitionsbereich der Gleichung und können daher auch keine Lösung sein. Sie kamen durch die Multiplikation mit dem Term x x dazu. Lösungsmenge: L

55 Bruchgleichungen Beispiel 8: x x x x x x x (). Schritt : Faktorisieren der Nenner der linken Seite und x x x x x x Damit sieht die Gleichung so aus: x x x x x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: xx 0 x 0 oder x. Nenner: x 0 x. Nenner: x 0 x 0 Daher sind 0 und auszuschließen: D 0;. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner ist: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x x x x x x x x x x x x x x 6x x x (x ) x 6x x x x x x 0 x x x x 0 x 0 x x x x : x () x x. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? und kürzen! x x x x Die Antwort heißt klar Nein! Die Zahl gehört nicht zum Definitionsbereich der Gleichung und kann daher auch keine Lösung sein. Sie kam durch die Multiplikation mit dem Term x x dazu. Die Lösungsmenge von () ist zwar L Lösungsmenge: L, aber für () gilt:

56 Bruchgleichungen 6 Beispiel 9: x 0 x x x x (). Schritt : Faktorisieren des. Nenners der linken Seite: Merkmal: x x x Damit sieht die Gleichung so aus: x 0 x x x. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x0 x. Nenner: x 0 x x 0 x. Nenner: x0 x Daher sind und auszuschließen: D. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner ist: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x 0 x x x x x x x x x x x x x 0 x x x7 0 x 7 7 x x x 0x 0. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? x x und kürzen! 0 x x x x x 7 Die Zahl gehört zum Definitionsbereich der Gleichung und ist daher auch Lösung der Ausgangsgleichung! 7 Lösungsmenge: L

57 Bruchgleichungen 7 x 6 x x x 7x Beispiel 0: () Diese Gleichung hat zwei Schwierigkeiten aufzuweisen. Zum einen verwirrt der dritte Nenner x 7x. Daher ein Tipp zu Beginn. Oftmals sind solche Aufgaben so gemacht, dass alle Nenner irgendetwas miteinander zu tun haben. Und hier sollte man daher nach gründlichem Hinsehen vermuten, dass vielleicht x x x 7x sein könnte. Und so ist es auch, wie man sofort durch Ausmultiplizieren feststellt!. Schritt : Faktorisieren eines Nenners der linken Seite x 7x x x siehe oben. Damit sieht die Gleichung so aus:. Schritt: Definitionsbereich bestimmen Wann werden die Nenner 0?. Nenner: x 0 x. Nenner: x 0 x. Nenner: x 6 x x x x x x 0 x oder x Daher sind - und auszuschließen: D ;. Schritt: Hauptnenner bestimmen Der gemeinsame Nenner ist: HN x x. Schritt: Nenner beseitigen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x 6 x x x x x x x x x x x 6 x x x x x und kürzen! 6 xx x xx6 6-6 x 6x 0 xx Weil außer 0 keine reine Zahl (ohne x) vorkommt, kann man x ausklammern zu: x x 6 0 Dies ist ein Nullprodukt, das nur dann Null wird, wenn ein Faktor Null wird.. Möglichkeit: x = 0,. Möglichkeit x 6 0 x 6.. Schritt: Gehört die Lösung zum Definitionsbereich? Beide Zahlen gehören zum Definitionsbereich, also folgt 0; 6 L.

58 Bruchgleichungen 8 Abschließender Hinweis Bis auf Beispiel 0 wurden hier nur solche Gleichungen vorgestellt, deren Endgleichungen kein x enthielten. Das ist wichtig, denn wenn dies auftritt, liegt eine quadratische Gleichung vor. Wie man diese löst in der Regel Stoff der Klassenstufe 9. Leicht zu lösen sind quadratische Gleichungen ohne Absolutglied wie zuletzt gesehen: x 6x 0 x x 6 0 und aus deren Faktoren man dann wie gezeigt die Lösungszahlen bekommt.. Hier klammert man x aus und erhält ein Nullprodukt: Andere quadratische Gleichungen löst anders. Hier ein Beispiel aus dem Text Nummer 0 (Bruchgleichungen ) x x x D R \ Definitionsbereich: Hauptnenner: x multiplizieren: Nenner beseitigen: Nach rechts ordnen: Seiten vertauschen: x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 x x x x 0 WISSEN (ab Klasse 9): Die quadratische Gleichung ax bx c 0 hat die b b ac Lösung: x,. a Wendet man diese Formel an, folgt (mit a=, b=- und c=-): x 9 7, Da beide Zahlen dem Definitionsbereich angehören, gilt L ; Solche Aufgaben kann man in 0 üben!

59 Bruchgleichungen 9 Trainingsgleichungen (Teil ) Bestimme die Lösungsmenge nach folgendem Schema:. Schritt: Bestimme den Definitionsbereich der Gleichung.. Schritt: Mache die Gleichung durch Multiplikation mit einem geeigneten Term bruchfrei. Schritt: Führe Äquivalenzumformen durch bis eine einfache Endgleichung erreicht ist, deren Lösung man erkennt.. Schritt: Überprüfe, ob die Lösungen der Endgleichungen zum Definitionsbereich der Anfangsgleichung gehören.. Schritt: Gib die Lösungsmenge der Anfangsgleichung an. 7 9 x x x x 8 0x x x x x x x x x, x x x x 0 x x 8 x 8 x 8 x x x x x 7 x 6x x x x x x x x x x x x x 0 x x 6 x x 8

60 Bruchgleichungen 60. Lösungen aller Trainingsgleichungen in Kurzform 6 x x 6 x x 8 x 8 0 x x x 6 x x x8 x 0 x6 x6 x 7 x x x x x6 6x x x x x6 x x x x 9 8 0x x x x 9 x x x x x, x x x x 0 x 6 x x0 x x x x x x x x 7 8x 6x x 6 x x 8 0 x 8 x 8 x8 x x x x x 7 x 6x x x x x x x x x x x x x 0 x x 6 x x 8

61 Bruchgleichungen 6 6 D 0 x x Mal Hauptnenner: x 6 x x D 0 Mal Hauptnenner: x x x x x 6 x x x 6 x x 8 x 6 x Falsche Aussage x D also L L 7 8 x Mal Nenner: (x-) 8 x x x D 8 0 x Mal Nenner (x+) x 8x 0 x 8 x 0 8x6 0 x 8 8x :(-8) x 9 x 8 D L D L 9 9 x x Mal Nenner: (x+) x x x x D 6 x x Mal Nenner: (x+) x x x -x x 0 Falsche Aussage! Falsche Aussage! L x8 x 0 x6 x6 Mal Nenner (x-6): 6 D 8 x x0 x x Mal Nenner (x+): D D x x L D x8 x 6 x6 x x 6 x6 0 x 6 x (x ) x x 0 (x ) (x ) x x8 x0x 60 x x0x x8 x 8 -x +8 x x 0 0x : Dies wird für alle x Q zu einer x wahren Aussage. D L Wegen D L