Fachbereich I Management, Controlling, Health Care. Mathematikvorkurs. Wintersemester 2017/2018. Elizaveta Buch

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1 Fachbereich I Management, Controlling, Health Care Mathematikvorkurs Wintersemester 2017/2018 Elizaveta Buch

2 Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Prozentrechnung Dienstag Binomische Formeln Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen- und Produktzeichen Folgen und Reihen Mittwoch Lineare Gleichungen Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen Definitions- und Wertemenge Lineare Funktionen Donnerstag Quadratische Gleichungen lösen Freitag Quadratischen Funktionen/ Scheitelpunktsform Umkehrfunktion Grenzwert

3 Zahlenmengen N Z Q R C Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Komplexe Zahlen

4 Grundrechenarten 1) Addition Summand + Summand = Summe Beispiel: = 8 2) Subtraktion Minuend Subtrahend = Differenz 6 2 = 4 3) Multiplikation Faktor Faktor = Produkt 6 2 = 12 4) Division Dividend : Divisor = Quotient 6 : 2 = 3

5 Rechenregeln 1) Punkt- vor Strichrechnung Beispiel: = = 30 2) Klammern zuerst berechnen Beispiel: = 5 3 = 15 Bei geschachtelten Klammern von innen nach außen rechnen: Beispiel: = = = 3

6 Rechenregeln 3) Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Beispiel: (x 4) x + 2 = 0 (x 4) = 0 und (x + 2) = 0 x = 4 x = 2 4) Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt!

7 Grundregeln der Multiplikation 1) Kommutativgesetz a b = b a 2) Assoziativgesetz Beispiel: 2 4 = 4 2 a b c = a (b c) Beispiel: = 2 (3 4) (6) 4 = = 24 3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern) a b + c = a b + a c a + b c + d = a c + a d + b c + b d Beispiel: Beispiel: = = = = = = 28

8 Faktorisieren Eine Summe durch Ausklammern zu einem Produkt umformen. Beispiel: x 2 + 3x = 0 x (x + 3) = 0 x = 0 und (x + 3) = 0 x = 0 x = 3

9 Bruchrechnung Zähler Nenner 1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch Dabei gilt: 2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl c 0 multipliziert. a b a c b c a b b a = 1 Beispiel: 2 3 = = ) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c 0 dividiert. a c b c = a b Beispiel: 8 12 = = 2 3

10 Bruchrechnung 4) Strichrechnung: Brüche mit gleichem Nenner a c ± b a ± b = c c Brüche mit unterschiedlichen Nennern a b ± c d = a d b d ± c b d b = a c ± c b b d Beispiel: Beispiel: = = = ) Punktrechnung: Multiplikation: Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler a b c d = a c b d Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren. a b : c d = a b d c = a d b c a b c = a b c

11 Bruchrechnung 6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden. a b c d = a b : c d = a d b c Beispiel: = 2 9 : 4 3 = = 6 36 = 1 6 7) Kein Kürzen in Differenzen und Summen 4x 2x 2 2x 2 = 2x (2 x) 2x x = 2 x x 8) Gemischte Brüche Schreibweise irreführend, daher umformen in unechten Bruch! Beispiel: = = 19 6

12 Bruchrechnung: Sonderfall Hundertstel = ein Hundertstel = eins vom Hundert = Prozent = % Grundwert: der Wert, der 100% entspricht Prozentwert: der Wert, der x% entspricht Prozentsatz: der Wert, der vor dem %-Zeichen steht Beispiel: Ein Auto kostet 1350,00. Wie hoch ist die Ersparnis, wenn der Rabatt 3% beträgt? Gegeben: Grundwert = 1350,00 Prozentsatz = 3% Gesucht: Prozentwert Rechnung: 1350,00 3% = 1350, = 1350,00 0,03 = 40,50

13 Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b) 2 = a + b a + b = a a + a b + b a + b b = a a b + b 2 (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a b)² = a² 2ab + b² (a b) 2 = a b a b = a a a b b a + b b = a 2 2 a b + b 2 3. Binomische Formel: (a + b)(a b) = a² b² a + b a b = a a a b + b a b b = a 2 b 2

14 Potenzgesetze 1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem man die Exponenten addiert bzw. subtrahiert und die Basis beibehält: a n a m = a n+m a n am = an m 2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert, indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert a n b n = (a b) n a n b n = a b n

15 Potenzgesetze 3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält (a n ) m = a n m 4) Sinnvolle Festlegungen bei a 0 : a 0 = 1 5) Negative Exponenten a n = 1 a n Beispiel: a 2 = 1 a 2 6) Die n -te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem Exponenten n negativ: 1 n = 1, n gerade 1, n ungerade

16 Zusammenfassung Potenzgesetze Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der Term nicht vereinfachen! Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!

17 Wurzeln Suche nach der Basis einer Potenz: x n = a n a = x Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung x n = a. Beispiel: x 2 = 16 ± 2 16 = ±4 zweideutiger Rechenausdruck

18 Wurzeln Für das Rechnen mit Wurzeln gilt: n x m = a m n n a = a 1 n n m a = n m a n a n = a 1 n n = a a = 2 a = a 1 2 n n a b = n a n b a n b = a n b a 2 b = a b a a = a 2 = a n a m = n a m

19 Logarithmus Suche nach dem Exponenten einer Potenz: a x = n log a n = x Der Logarithmus einer Zahl n zur Basis a ist die Zahl x, mit der man a potenzieren muss, um n zu erhalten. log a xy log a x y = log a x + log a y = log a x log a y log a x k = k log a x a log a x = x log a (a x ) = x Dabei gilt: Das Argument des Logarithmus muss immer positiv sein! Für jedes a gilt log a 1 = 0,da a 0 = 1.

20 Natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus Die eulersche Zahl e 2, Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus e n = x n = log e x = ln x Der Logarithmus zur Basis 10 heißt Zehnerlogarithmus 10 n = x n = log 10 x = lg x Wichtige Umformung: log b x = log a x log a b

21 Überblick: Potenz, Wurzel, Logarithmus Potenzgleichung: x n = a Basis gesucht: x n = a n a = x Exponenten gesucht: a x = n log a n = x

22 Summenzeichen Summiere alle Ausdrücke q i auf, wobei der Parameter i alle natürlichen Zahlen von 0 bis n durchläuft. n i=0 q i = q 0 + q 1 + q 2 + q q n 1 + q n Dabei gilt: n n n n n (a i ± b i ) = a i ± b i c a i = c a i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0

23 Produktzeichen Analog bietet das Produktzeichen die Möglichkeit, ein Produkt vereinfacht darzustellen: n i=1 a i = a 1 a 2 a 3 a n Multipliziere alle Ausdrücke a i, wobei der Parameter i alle natürlichen Zahlen von 1 bis n durchläuft.

24 Folgen Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h. die erste Zahl) der Folge heißt a 1,das zweite a 2,..., das n-te Glied heißt a n. Beispiel: (1, 7, 4, 21, 16, ), wobei a 1 = 1; a 2 = 7; a 3 = 4; Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder unmöglich. Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, ) Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: a n = 2 n 1 für n 1

25 Folgen und Reihen Gegeben sei eine Zahlenfolge (a n ) n N. Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit bezeichnet: s n = i=0 n a i. Die Zahlenfolge (s n ) n N heißt nun die (endliche) Reihe zu a n. Die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge (s n ) n N bestehen also aus Summen über Folgenglieder der Zahlenfolge (a n ) n N. Beispiel: n a n s n

26 Geometrische Folge / Reihe Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form charakterisiert: a n = a o q n Beispiel: Für a o = 2 und q = 3 ergibt sich: a 1 = = 2 3 = 6 a 2 = = 2 9 = 18 a 3 = = 2 27 = 54 Für die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt sich: s n = a 0 qn+1 1 q 1 Die Folge der s n nennt man geometrische Reihe. Für a 0 = 1 ergibt sich: n i=0 q i = qn+1 1 q 1

27 Geometrische Reihe Herleitung der Formel für n = 3: S 3 = 3 q i i=0 S = 1 + q 1 + q 2 + q 3 S q = q + q 2 + q 3 + q 4 q S S q S = q + q 2 + q 3 + q 4 S mit S =1 + q 1 + q 2 + q 3 S q S = q + q 2 + q 3 + q 4 (1 + q 1 + q 2 + q 3 ) Auflösen der Klammer S q S = q + q 2 + q 3 + q 4 1 q 1 q 2 q 3 S q 1 = q 4 1 : (q 1) S 3 = q4 1 q 1 3 i=0 q i = q3+1 1 q 1

28 Lineare Gleichungen 1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Beispiel: 10x 2 9x + 7 = 2 (2 x) 10x 18x 14 = 4 + 2x 8x 14 = 4 + 2x 8x 14 = 4 + 2x +8x 14 = x = 10x : 10 1 = x Variable isoliert wird

29 Lineare Gleichungen Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten der Gleichung angewendet werden. 3 mögliche Fälle: 1. Unendlich viele Lösungen, falls eine Nullzeile 0 = 0 das Ergebnis ist (d.h. Gleichung gilt für alle x R) 2. Nicht lösbar bei Widerspruch, z.b. 1 = 2 3. Eindeutige Lösung mit x = a.

30 Überblick: Lineare Gleichungen lösen Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung: 1) Auf beiden Seiten Klammern und Brüche auflösen. 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen. 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können. 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.

31 Funktionsbegriff Eine Funktion f x ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen. Dabei wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der Wertemenge W zugeordnet. Mögliche Darstellungen von Funktionen: 1) Funktionsgleichung f x 2) Graph im Koordinatensystem 3) Wertetabelle 4) Pfeildiagramm

32 Darstellung von Funktionen Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente, kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden. Beispiel: D = {1,2,3,4} Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:

33 Definitions- und Wertebereich Die Definitionsmenge D enthält dürfen. alle Zahlen, die für x eingesetzt werden Überlegungen zur Definitionsmenge: 1) Nenner 0 2) Argument der Wurzel 0 3) Argument des Logarithmus > 0 Die Wertemenge W beinhaltet alle Zahlen, die y annehmen kann.

34 Lineare Funktionen Dies ist eine Zuordnung, bei der jedem x das dazugehörige y zugeordnet wird. Das heißt: Zu jedem beliebigen x -Wert lässt sich der y -Wert ermitteln und man bekommt einen Punkt P(x y) des Graphen der Funktion.

35 Lineare Funktionen Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch: 1) Gleichung: y = ax + b 2) 2 Punkte: P 1 x 1 y 1 und P 2 (x 2 y 2 ) ax 1 + b = y 1 ax 2 + b = y 2 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten legen a und b eindeutig fest 3) Steigung a und einen Punkt P x 1 y 1 : ax 1 + b = y 1 Gleichung nach b auflösen Schnittpunkte mit den Achsen: Schnittpunkte mit der y -Achse: x = 0 Schnittpunkte mit der x-achse: y = 0 Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach x auflösen. Für Schnittpunkt: x-wert in eine Geradengleichung einsetzen und y -Wert berechnen

36 Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen können unterschiedliche Formen annehmen: ax 2 = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0 ax 2 + bx + c = 0

37 Reinquadratische Gleichungen ax 2 + c = 0 Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in: x 2 = c a c a > 0 c a = 0 c a < 0 keine Lösung, da x 2 nicht negativ werden kann genau eine Lösung x = 0 zwei Lösungen x = ± c a Beispiel: x 2 81 = 0 x 2 = 81 x 1 = 9 x 2 = 9 Die Lösungsmenge ist also L= 9; 9

38 Spezielle quadratische Gleichungen ax 2 + bx = 0 Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in: x (ax + b) = 0 Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist! x 1 = 0 ; x 2 = b a Beispiel: 5x 2 + 3x = 0 x (5x + 3) = 0 x 1 = 0 x 2 = 3 5

39 Allgemeine quadratische Gleichungen ax 2 + bx + c = 0 Die allgemeine quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst: x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x = c a x 2 + b a x + b 2a x + b 2a 2 2 = c a + b 2a = c a + b 2a 2 2 Quadratische Ergänzung Binomische Formel x 1/2 = ± c a + b 2a 2 b 2a

40 Mitternachtsformel Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/ abc-formel, mit der allgemeine quadratische Gleichungen gelöst werden können: x 1/2 = ± c a + b 2a 2 b 2a x 1/2 = b 2a ± c a + b2 4a 2 x 1/2 = b 2a ± c 4a + b2 4a 2 x 1/2 = b ± b2 4ac 2a

41 Übersicht: Quadratische Gleichungen lösen Für b = 0 : ax 2 + c = 0 Wurzel ziehen x 1/2 = ± c a Für c = 0 : ax 2 + bx = 0 Faktorisieren x 1 = 0 x 2 = b a Allgemein : ax 2 + bx + c = 0 Mitternachtsformel x 1/2 = b ± b2 4ac 2a

42 pq-formel Zur Lösung von ax 2 + bx + c = 0 kann, falls a = 1 ist oder durch die Umformung alternativ zur abc-formel die pq-formel angewendet werden: x 1/2 = p 2 ± p 2 2 q

43 Quadratische Funktionen nach oben geöffnet nach unten geöffnet a < 1 breiter (gestaucht) a > 1 schmaler (gestreckt)

44 Scheitelpunktsform Scheitelpunktsform mithilfe der quadratischen Ergänzung: y = a x 2 + b a x + c a y = a x 2 + b a x + b 2a 2 b 2a 2 + c a y = a x + b 2a 2 b2 4a 2 + c a y = a x + b 2a 2 b2 4a + c f x = (x + x s ) 2 +y s x s = b 2a y s = b2 4a + c Scheitelpunkt S ( x s y s )

45 Quadratische Funktionen

46 Umkehrfunktion Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y -Wert genau ein x -Wert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f 1 x bezeichnet. Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die Gleichung y = f x nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht. Die Graphen der Funktion y = f x und ihrer Umkehrfunktion y = f 1 x liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

47 Abschnittsweise definierte Funktionen Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken) in ganz R definiert. Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sein: f x = x + 2, x < 1 2, 1 x < 3 3x 7, x 3

48 Grenzwert Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. denjenigen Wert, Interessante Stellen sind: Verhalten Richtung Verhalten Richtung Verhalten an Definitionslücken Wertetabelle spiegelt Kurvenverlauf wider. Betrachtung durch Einsetzen naheliegender Werte für x.

49 Betrag und Betragsfunktion Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch: f x = x, x 0 x, x < 0 Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man vereinfacht durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null. Verlauf der Betragsfunktion y = x in R:

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