Perkolation (WS 2014) Übungsblatt 2

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1 Istitut für Stochasti Prof. Dr. G. Last Dipl.-Math. S. Ziesche Perolatio WS 04 Übugsblatt Aufgabe Zeige Sie für T, dass θ 0 p ud χ 0 p stetig auf [0, ] sid, we ma als Wertebereich R + { } zulässt. Lösug: Wir betrachte zuächst θ 0 p. Dies ist ach Theorem.4 auf dem Itervall [0, /] ostat ull ud demach stetig. Um die Rechtstetigeit i p c / zu zeige, betrachte wir de Fall p + ε / mit ε > 0. Sei wie im Beweis vo Theorem.4 ft pt. Wir hatte auch gezeigt, dass θ 0 p dem größte Fiput vo f im Itervall [0, ] etsprach. Es gilt fε ε + ε ε ε + oε 3 < ε, für ε lei geug. Wir wisse, f ist oav ud streg mooto steiged, daher muss der Fiput leier als ε sei ud somit θ 0 p 0, we p /. Für die Listetigeit i werde wir eie adere Techi verwede, auch we die ebe geutzte gleichfalls zum Ziel führe würde. Wir wisse, dass θ 0 p mooto steiged ist, daher eistiert lim p θ 0 p c. Nehme wir a, c <. Schreibe wir θ 0 p als Fiput vo f ud bilde wir auf beide Seite de Limes erhalte wir θ 0 p pθ 0 p c c. Dies führt sofort zu eiem Widerspruch, da c < ageomme wurde. Es bleibt die Stetigeit auf /, zu prüfe. Hier öe wir de Satz über implizit defiierte Futioe awede. Sei dazu F p, θ 0 θ 0 + θ 0 0. Wir bereche F θ 0 p pθ 0. Es ist zu läre, wa dieser Ausdruc ugleich 0 ist. Setze wir die beide Gleichuge ieiader ei, erhalte wir F 0 p θ 0 0 θ 0 p θ 0 pθ 0 p. Dies öe wir wiederum i F eisetze ud omme zu p p + p p 0 p p. Ma rechet leicht ach, dass p p ei Maimum bei / besitzt ud im Itervall [/, ] eie weitere Etrema eistiere. Die letzte Gleichug a also ur für p / gelte, damit ist für alle Werte vo p i /, die Ableitug ugleich 0 ud θ 0 lässt sich loal als stetige Futio vo p darstelle. Wede wir us χ 0 p zu. Dieses hatte wir i der Vorlesug bereits eplizit berechet als

2 χ 0 Diese Futio ist offesichtlich stetig. p 0 { p p p < Aufgabe Bereche Sie die beide ritische Epoete β ud γ für die erwartete Clustergröße E p C 0 ud die Perolatioswahrscheilicheit P p [ C 0 ] des Wurzelotes vo T. Sollte Sie bei θp icht zum Ziel omme beschräe Sie sich auf de Fall. Lösug: Für die erwartete Clustergröße gilt logχ 0 p γ lim p pc logp c p lim log p logp c p + logp c lim. p p c logp c p p pc logp c p Um für de ritische Epoete vo θ 0 auf eie Idee zu omme, betrachte wir de Fall. Hier öe wir θ 0 eplizit bestimme als größte Fiput vo { 0 p < t pt t pt + p t θ 0 p p. p Damit ist logθ 0 p β lim p pc logp p c lim logp logp logp p c + log logp lim. p p c logp p c p pc logp p c Jetzt versuche wir θ 0 im Fall > für p / ebefalls darzustelle, als p /rp,, wobei r möglichst gege eie feste Wert overgiert, we p gege p c strebt. Dazu multipliziere wir die Fiputgleichug aus ud erhalte für p > p c θ 0 p pθ 0 p θ 0 p pθ 0 p p θ 0 p p p θ 0 p. Hier sehe wir jetzt scho usere gewüschte Term p der us i beide adere Fälle ebefalls zum Ziel geführt hat. Wir öe u auf der rechte Seite och eimal θ 0 auslammer. Der Term der übrig bleibt overgiert gege p c. Es gilt also p θ 0 p p c + o. Damit führt die selbe Rechug wie scho für de Fall auf das Ergebis β. Aufgabe 3 Zeige Sie, dass jede Kateperolatio auf eiem Graphe G eier Koteperolatio auf eiem geeigete Graphe G etspricht. Das heißt, dass auf G geau da ei uedlicher Cluster eistiert, we auf G ei uedlicher Cluster eistiert..

3 Lösug: Wir ostruiere de sogeate Edge Graphe G vo G idem wir V G EG setze ud je zwei Kote e, e beachbart sei lasse, we die etsprechede Kate i EG eie gemeisame Kote habe. Überimmt ma u die Zustäde der Kate, d.h. ei Kote i G ist offe, we die etsprechede Kate i G offe ist, so bleibe uedliche Cluster erhalte. Aufgabe 4 Zeige Sie, dass auf T gilt P p [ C 0 ] p p +. Schlussfolger sie, dass die Clustergröße eie epoetielle tail hat, das heißt, es eistiert ei c > 0 mit P p [ C 0 ] e c. Präzisiere Sie dies idem sie bereche. lim logp p[ C 0 ] Lösug: Sei B die Mege aller gewurzelte Biärbäume mit Kote, so gilt θ 0 p B B P p [C B]. Um die Wahrscheilicheit zu bereche, mit der C B gilt, müsse wir lediglich die Kate zähle, die ierhalb vo B liege ud diejeige, die außerhalb a B agreze. Macht ma sieht leicht a ei paar Beispiele, dass ei Baum mit Kote geau ier Kate ud + äußere Kate besitzt. Dies verifiziere wir via Idutio. Sei, so ist die Behauptug orret. Ei Baum der Größe + erhält ma idem ma zu eiem Baum der Größe eie weitere Kate izufügt. Dabei ommt offesichtlich eie iere Kate hizu außerdem verschwidet eie äußere Kate, aber zwei eue omme hizu, was die Idutio abschließt. Wir erhalte also P p [C B] p p + für B B. Damit bleibt zu zähle, wie viele Elemete die Mege B ethält. Wir überlege us dazu eie Reursio, sei b B. Um eie Baum mit + Elemete zu ostruiere muss der Wurzelote ethalte sei, daach hat ma die Möglicheit eie Baum der Größe a de lie Ast zu häge ud eie Baum der Größe a de rechte Ast. Dies ergibt die Reursio b + b b 0 wobei b 0 gesetzt wird. Ugüstiger Weise fide wit icht ohe weiteres eie eplizite Formel für die Summe, we wir für b eisetze. Es sei agemert, dass b die sogeate Catala-Zahle sid, die vielfältigste ombiatorische Bedeutug besitze Im etsprechede Wiipedia Artiel fidet ma auch eie ombiatorische Beweis für die Formel. Wir werde die Reursio jetzt mithilfe der sogeate Erzeugede Futio löse. Wir defiiere die Potezreihe f : b Ma überprüft mit der Reursiosgleichug idutiv, dass die Schrae b gilt ud somit die Reihe eie positive Kovergezradius besitzt. Eie Möglicheit die Reursiosgleichug weiter zu verwede, 3

4 fide wir, we wir f betrachte. Hier gilt f b b 0 b + + b + + b f. Dies öe wir ach f auflöse ud erhalte die beide Lösuge f ± 4 Hiervo wähle wir die Lösug mit, da f0 b 0 sei soll die Lösug mit + divergiert bei 0. Die Futio f etwicel wir jetzt mithilfe des verallgemeierte Biomische Lehrsatzes wieder i eie Potezreihe. Es gilt Es bleibt zu zeige, dass f 4 gilt. Dies reche wir leicht ach b ! !! +! ! +!!. Mit Hilfe der Stirlig-Formel öe wir approimiere, bevor wir de Limes ausreche. Es gilt 4π e 4 π + o + o. e π 4

5 Also auch lim logp p[ C 0 ] lim p log p + p lim log 4 + op p p + π 4p p. Damit wird lar, dass es für p / ei c > 0 gebe muss. Es wird allerdigs auch lar, dass es im ritische Fall p / ei solches c gibt, soder dass der Tail höchstes wie 3/ fällt. 5

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