Teil I Auswahlfragen

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1 UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom Teil I Auswahlfragen Name: Hinweise: Bei den folgenden Auswahlfragen ist immer jeweils genau eine Aussage richtig. Kreuzen Sie die richtige Aussage an. Für jede richtige Anwort erhalten Sie 1 Punkt. Für jede falsche Antwort erhalten Sie 1 Punkt. Kreuzen Sie nichts an, so erhalten Sie 0 Punkte für die Frage. (Ist Ihre Gesamtpunktzahl in Teil I negativ, so wird sie auf 0 gesetzt.) Frage 1 Nach der Gaußschen Summenformel gilt =? Frage Die Menge { 1 n ; n N } ist beschränkt und besitzt Maximum und Minimum. ist beschränkt und besitzt ein Maximum aber kein Minimum. ist nach unten beschränkt, aber nicht nach oben. hat kein Infimum und kein Supremum.

2 ( Frage 3 Was ist der Grenzwert der Folge 0 4 8n n+7 ) n N? Frage 4 Seien (a n ) n und (b n ) n zwei Folgen in R. Welcher der folgenden Grenzwertregeln ist im allgemeinen FALSCH? Gilt lim a n = 4 und lim b a n = 0, so gilt immer lim n n n n bn =. Gilt lim a n = 0 und lim b a n = 4, so gilt immer lim n n n n bn = 0. Gilt lim a n = 4 und lim b a n =, so gilt immer lim n n n n bn = 0. Gilt lim a n = und lim b a n = 4, so gilt immer lim n n n n bn =. Frage 5 Gegeben seien drei Folgen (a n ) n N, (b n ) n N und (x n ) n N in R mit a n x n b n (n N). Welche der folgenden Aussagen ist aufgrund des Einschließungssatzes richtig? Falls (x n ) n konvergiert, so konvergieren auch (a n ) n und (b n ) n. Falls (a n ) n und (b n ) n konvergieren, so konvergiert auch (x n ) n. Falls lim n a n = 0 und lim n b n = 1 gilt, so konvergiert (x n ) n gegen eine Zahl x [0, 1]. Falls lim n a n = 1 und lim n b n = 1 gilt, so gilt auch lim n x n = 1. Frage 6 Eine Reihe a k konvergiert definitionsgemäß genau dann, wenn lim a k existiert. k lim a k = 0 gilt. k ( n ) lim a k existiert. n ( n ) lim a k = 0 gilt. n

3 Frage 7 Gegeben seien die Reihen A = Beide Reihen sind divergent. 1 k und B = Die Reihe A ist konvergent und die Reihe B ist divergent. Die Reihe A ist divergent und die Reihe B ist konvergent. Beide Reihen sind konvergent. 1 k 5. Welche Aussage ist richtig? Frage 8 Gibt es eine natürliche Zahl M N und eine Folge (z k ) k N = M + z k 10 k? mit Ja, die Folge (z k ) k ist dabei eine periodische Folge. Ja, die Folge (z k ) k ist aber nicht periodisch. Nein, denn ist nicht rational. Nein, denn Reihen der Form z k 10 k sind immer divergent. Frage 9 Die Funktion f : R R, f(x) = ist stetig auf ganz R. exp(x), falls x 0 x, falls 0 < x < 1 ln(x), falls 1 x ist stetig an der Stelle 0 und unstetig an der Stelle 1. ist stetig an der Stelle 1 und unstetig an der Stelle 0. ist an den Stellen 0 und 1 unstetig. Frage 10 Eine stetige Funktion f : R \ {0} R erfüllt: f( ) =, f( 1) = 4, f(1) = 1, f() = 1 Wieviele Nullstellen muss die Funktion f wegen des Nullstellensatzes mindestens haben? keine eine zwei drei

4 Frage 11 Der Wertebereich W f = {f(x); x D f } einer stetigen Funktion f : D f R ist gegeben durch W f = (0, ). Welche der Mengen A 1 = [0, 1] und A = (0, 1) kommen als Definitionsbereich D f in Frage? keine der beiden nur A 1 nur A beide Frage 1 Eine differenzierbare Funktion f : [ 1, 1] R erfüllt f( 1) = f(1). Was folgt dann aus dem Satz von Rolle (bzw. dem Mittelwertsatz)? An mindestens einer Stelle x ( 1, 1) hat f eine zur y-achse parallele Tangente. An mindestens einer Stelle x ( 1, 1) hat f eine zur x-achse parallele Tangente. Die Randstellen 1 und +1 können keine globalen Extremstellen von f sein. Mindestens ein globales Extremum von f wird in den Randstellen 1 und 1 angenommen. Frage 13 Sei I R ein offenes Intervall, f : I R eine differenzierbare Funktion und x 0 I. Welche der folgenden Aussage ist richtig? Wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 gilt, dann ist x 0 auf jeden Fall eine lokale Extremstelle von f. Wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 gilt, dann ist x 0 auf keinen Fall eine lokale Extremstelle von f. Wenn f (x 0 ) = 0 gilt, dann ist x 0 auf jeden Fall eine lokale Extremstelle von f. Wenn x 0 eine lokale Extremstelle von f ist, dann gilt auf jeden Fall f (x 0 ) = 0.

5 Frage 14 Eine bijektive Funktion f : R R erfüllt f(1) = 4 und f (1) =. Was kann man dann über die Ableitung der Umkehrfunktion sicher sagen? Es gilt ( f 1) (4) =. Es gilt ( f 1) (4) = 1. Es gilt ( f 1) () = 4. Es gilt ( f 1) () = 1 4. Frage 15 Wie lautet das vierte Taylorpolynom p 4 = p (f,0) 4 einer Funktion f : R R mit dem Entwicklungszentrum a = 0. p 4 (x) = f(0) + f (0) x + f (0) x + f (0) 3 x 3 + f (0) 4 x 4 p 4 (x) = f(0) + f (0) x + f (0) x + f (0) 6 x 3 + f (0) 4 x 4 p 4 (x) = f(x) + f (x) x + f (x) x + f (x) 3 x 3 + f (x) 4 x 4 p 4 (x) = f(x) + f (x) x + f (x) x + f (x) 6 x 3 + f (x) 4 x 4

6 UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom Teil II Aufgaben Aufgabe 1 (1+=3 Punkte) Berechnen Sie: ( ) (i 50) und k k 1 i=1 (Falls IN DIESER AUFGABE Ihre Antworten richtig sind, müssen sie nicht begründet werden. Bei einer falschen Antwort KANN Ihnen eine teilweise richtige Begründung aber noch Teilpunkte bringen.) Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Folge (a n ) n N mit a n = n 7 6 gegen + konvergiert. (Benutzen Sie dazu NICHT die Grenzwertsätze sondern NUR die Definition von Folgenkonvergenz. Sie sollten also gemäß dieser Definition zu einem beliebigen R R ein entsprechendes n 0 finden.) Bestimmen Sie anschließend zu R = 500 die kleinstmögliche solche Zahl n 0 N. Aufgabe 3 Die Folge (x n ) n N sei rekursiv durch (1+1,5+1,5+1,5+0,5=6 Punkte) den Startwert x 0 = 0 und die Rekursionsbedingung x n+1 = xn+8 (n N) definiert. (a) Berechnen Sie die Folgenglieder x 1, x und x 3. (b) Welche Zahl x R kommt als einzige als Grenzwert für (x n ) n N in Frage. Begründen Sie Ihre Antwort. (Zur Begründung können Sie eine Gleichung angeben, die x erfüllen muss, und diese nach x auflösen.) (c) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass x n 8 für alle n N gilt. (d) Folgern Sie aus (c), dass die Folge (x n ) n N monoton wachsend ist. (Hinweis: Sie können in der zu zeigenden Ungleichung x n+1 mit Hilfe der Rekursionsbedingung ersetzen und dann äquivalent umformen.) (e) Begründen Sie, dass die Folge (x n ) n N tatsächlich konvergiert. (Geben Sie dazu einfach einen entsprechenden Satz aus der Vorlesung an.)

7 Aufgabe 4 (+4=6 Punkte) (a) Berechnen Sie für n N die Summe n ( 6 ) n 7 mit Hilfe der geometrischen Summen- formel. (Im Ergebnis sollte kein Summenzeichen mehr vorkommen. Achten Sie auf die untere Grenze) Wogegen konvergiert die Reihe ( 6 ) n 7? (b) Überprüfen Sie ZWEI DER DREI nachstehenden Reihen auf Konvergenz. Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der in der Vorlesung behandelten Kriterien. k 1 k + 1 k k! ( 1) k 1 k + k (Nach dem Wert der Reihen ist NICHT gefragt. Überprüfen Sie die Voraussetzungen der benutzten Kriterien.) Aufgabe 5 (+=4 Punkte) (a) Begründen Sie mit einem Satz der Vorlesung, dass die Funktion f : [0, 4] R, f(x) = x 3 x 4 mindestens eine Nullstelle hat. (Nennen Sie den Namen des Satzes und überprüfen Sie ALLE seine Voraussetzungen.) (b) Berechnen Sie mit dem Intervallhalbierungsverfahren, beginnend mit dem Intervall I 0 = [0, 4], zwei weitere Intervalle I 1 und I, die eine Nullstelle von f enthalten. (Zur Erinnerung: Es sollte I 0 I 1 I sowie l(i 1 ) = l(i0) und l(i ) = l(i1) gelten.) Aufgabe 6 (3+=5 Punkte) (a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: lim x x 1, lim x x 1 x 0 x, lim x exp(x + x 3 ) (Falls IN DIESEM AUFGABENTEIL Ihre Antworten richtig sind, müssen sie nicht begründet werden. Bei einer falschen Antwort KANN Ihnen eine teilweise richtige Begründung aber noch Teilpunkte bringen.) ln x (b) Bestimmen Sie den Grenzwert lim. Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe des x 1 x 1 Satzes von l Hospital. (Überprüfen Sie ALLE Voraussetzungen des Satzes.) Aufgabe 7 Berechnen Sie die Ableitung f (a) für: (3 Punkte) f : R R, f(x) = x 3 + x + x + 1 und a = 1 (Verwenden Sie dabei zunächst NUR die Definition der Ableitung und NICHT die Ableitungsregeln. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis anschließend mit Hilfe der Ableitungsregeln.)

8 Aufgabe 8 (1++=5 Punkte) (a) Begründen Sie mit einem Satz der Vorlesung, dass die Funktion f : [0, 4] R, f(x) = exp(x) (x 15) Minimum und Maximum annimmt. (Nennen Sie den Namen des Satzes und überprüfen Sie ALLE seine Voraussetzungen.) (b) Berechnen Sie die Ableitung von f und bestimmen Sie alle Nullstellen von f. (Sie können die Stelle(n), die nicht im Definitionsbereich von f liegen, ausschließen.) (c) Bestimmen Sie das globale Minimum und das globale Maximum von f. Geben Sie dazu zunächst alle Stellen an, die nach (c) als globale Extremstellen in Frage kommen.