Skript zur Vorlesung Analytische Geometrie im Wintersemester 2016/2017. Robert Labus, Universität Kassel, 2016 Wintersemester 2016/2017

Transkript

1 Skript zur Vorlesung Analytische Geometrie im Wintersemester 6/7 Robert Labus, Universität Kassel, 6 Wintersemester 6/7

2 Inhaltsverzeichnis Vektoren im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum. Vektoren in der Ebene Kartesisches Koordinatensystem und Vektorbegriff Rechnen mit Vektoren Norm, Skalarprodukt und Winkel Darstellungsformen für Geraden in der Ebene Anwendungen zum Skalarprodukt Vektoren im dreidimensionalen Raum Kartesisches Koordinatensystem, Skalar-, Vektor- und Spatprodukt Lineare Abhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basen Geraden- und Ebenendarstellung im dreidimensionalen Raum, Abstandsformeln 46 ii

3 Kapitel Vektoren im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum. Vektoren in der Ebene.. Kartesisches Koordinatensystem und Vektorbegriff Ein kartesisches Koordinatensystem in der Ebene ist durch zwei mit einer Skala versehenen Geraden gegeben, die sich rechtwinklig schneiden. Der Kreuzungspunkt heißt Nullpunkt oder Ursprung des Koordinatensystems..Achse (Ordinate) P = (,).Achse (Abszisse) Abbildung.: zweidimensionales Koordinatensystem Punkte: Jedem Punkt P der Ebene wird eineindeutig ein Zahlenpaar (x, x ) R zugeordnet, d. h. x, x heißen kartesische Koordinaten. Oft wird auch P = (p ; p ) verwendet. P = (x ; x ).

4 Bemerkung: Wir haben soeben für die Koordinaten eines Punktes die Variablen x, x verwendet. Die Koordinatenachsen werden dann auch als x -Achse bzw. x -Achse bezeichnet. Werden die Variablen x, y verwendet, dann werden die Koordinatenachsen als x -Achse bzw. y -Achse bezeichnet. Für die Koordinaten eines Punktes P wird dann auch die Bezeichnung P = (p x, p y ) verwendet. Vektoren: Eine Parallelverschiebung der Ebene nennen wie einen Vektor. Vektoren werden mit unterstrichenen B v A B v A Abbildung.: Vektor als Parallelverschiebung Kleinbuchstaben bezeichnet, z.b. v, x,y. Zu je zwei Punkten A und B der Ebene gibt es genau eine Parallelverschiebung, die den Punkt A in den Punkt B verschiebt. Dieser Vektor v wird mit v = AB bezeichnet. Wird ein Punkt A durch diese Parallelverschiebung v in den Punkt B verschoben, dann gilt: Darstellung von Vektoren mit Koordinaten v = AB = A B Ist v ein Vektor und sind A = (a, a ) und B = (b, b ) zwei Punkte mit v = AB, dann ordnen wir v die Koordinatendarstellung v b a v = = v b a Die Koordinatendarstellung von Vektoren hat die Form einer Spalte, während die Koordinatendarstellung von Punkten in Form einer Zeile erfolgt. Verschiebt ein Vektor v den Nullpunkt O = (; ) in den Punkt P = (p ; p ), gilt also v = OP, dann wird v als Ortsvektor von P bezeichnet. In diesem Fall gilt für die Koordinaten von v: v = p, v = p d.h. zu. v p = v p

5 Wir werden daher künftig die Ortsvektoren von Punkten A, B,... mit den entsprechenden Kleinbuchstaben a, b,... bezeichnen. Der Vektor = wird als Nullvektor bezeichnet. Beispiel. Vektoren und Punkte (a) Auf welchen Punkt Q wird der Punkt P = ( ; ) durch den Vektor v = 4 Q = v(p) = (p + v ; p + v ) = ( + ; + ( 4)) = (; ) oder alternativ über die Berechnung des Ortsvektors von Q: OQ = OP + v = + = Q = (; ). 4 (b) Vergleiche die Verschiebungen AB und A B (siehe Abb..). verschoben? AB = A B denn v = AB = A = (,), B = (,4) A = (5,5), B = (4,8) 4 = = = v. D. h. die Vektoren sind identisch. (c) Vergleiche die Verschiebungen AB und A B (siehe Abb..). A = (,), B = (, 6) A = (4,4), B = (4,5) Es gilt v = AB = v = A B =. Die Vektoren v, v sind somit verschieden. Die Geraden AB und A B sind jedoch parallel. Diese Eigenschaft bedeutet für die Vektoren, dass sie Vielfache voneinander sind: v = v und v = v Solche Vektoren werden als kollinear bezeichnet... Rechnen mit Vektoren Wir kommen nun zur Rechenarithmetik im R.

6 5 B A v B ṽ Ã 5 Abbildung.: Definition.. Es seien u = u x u y, v = v x v y R, dann gelten Addition: Subtraktion: u + v := u v := u x + v x u y + v y u x v x u y v y Multiplikation mit einem Skalar: λ u := λ u x λ u y für λ R. Es gelte zudem: u λ := λu für λ R. Der zu u negative Vektor ist durch u := ( )u = u x u y. Beispiel. Seien u =, v = 5, 4

7 dann gilt u + v = + = = 5 5 u v = 8 u v = 4 = = y 5 u v v v u v u v -5 5 x v v -5 u + v Abbildung.4: Beispiel. 5

8 Satz.4. (Rechenregeln) Für alle u, v, w R und λ, µ R gilt (I) (u + v) + w = u + (v + w) Assoziativgesetz für +, (II) u + v = v + u Kommutativgesetz für +, (III) Zu jedem u, v R gibt es stets ein z R mit u + z = v, nämlich, z = v u, (IV) (λ µ) u = λ (µ u) Assoziativgesetz für Skalarmultiplikation, (V ) λ(u + v) = λ u + λ v (V I) (λ + µ) u = λ u + µ u) Distributivgesetze, (VII) u = u. Beweis: Beispielhaft für (VI) erhalten wir (λ + µ) u = (λ + µ) u x u y (λ + µ) u x = (λ + µ) u y = Distributivgesetz in R λ u x + µ u x λ u x µ u x = + λ u x + µ u y λ u y µ u y = λ u x u y + µ u x u y = λ u + µ u... Norm, Skalarprodukt und Winkel Längenmessung: Zur Längenmessung in kartesischen Koordinaten nutzen wir den Satz des Pythagoras. Bezeichne v die Länge des Vektors v, so erhalten wir v heißt auch Norm oder Betrag des Vektors. v = v x + v y. 6

9 v v y v x Abbildung.5: Vektorlängen und der Satz des Pythagoras Folgerung.5. (Rechenregeln für die Norm) Für alle u, v R und alle λ R gilt (a) (b) (c) (d) Beweis: λu = λ u u = u = u + v u + v u v u u. (Dreiecksungleichung) (a) λu = (λ u x ) + (λ u y ) = λ (u x + u y) = λ u (b) u = = u x + u y u x = u y = u x = u y = u =. (c) Aus der Skizze ( Abb..6) wird der Sachverhalt ersichtlich, da in der euklidischen Geometrie die gerade Linie die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist. u + v = u + v gilt zudem genau dann, wenn u = λ v mit λ R + gilt. (d) Zu zeigen ist: u v u v und u v ( ) ( u v ) Wir erhalten mit (c) 7

10 v u u + v Abbildung.6: Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten u v + v u v + v = u, d. h. u v u v. Analog gilt v u + u v u + u = v >, d. h. v u v u und somit u v = ( )(v u) = v u = v u v u = ( u v ). Zusammengefasst folgt u v u v. Beispiel.6 Seien u = 4, v = 6, dann gilt u = + ( 4) = 5 = 5 v = 6 + = 47 > u + v = = < 5 + = u + v. 8

11 Winkel zwischen Vektoren Sind u, v zwei Vektoren, A ein fester Punkt der Ebene und B bzw. C die Punkte, auf die A durch v C φ u B A Abbildung.7: Winkel zwischen den Vektoren u und v u bzw. v verschoben wird. Die beiden Pfeile von A nach B und von A nach C bilden dann zwei Winkel: Einen Winkel φ aus dem Intervall ; π und einen Winkel aus dem Intervall π; π, der φ zum Vollwinkel ergänzt. Der kleinere Winkel φ wird als der Winkel zwischen den Vektoren u und v bezeichnet. φ = (u, v) ; π Flächeninhalt eines Parallelogramms Der Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von zwei Vektoren w und v aufgespannt wird, ergibt sich aus dem Produkt der Grundseite und der Höhe. Wir benötigen daher Hoehe u v w Grundflaeche Abbildung.8: Von w und v aufgespanntes Parallelogramm (a) die Länge w von w als Grundseite (b) Die Länge der Projektion von v auf einen Vektor u, der senkrecht auf w steht. (u w ) Orthogonale Projektion eines Vektors v auf einen Vektor u Betrachten wir die drei Fälle, dass der Winkel φ zwischen den Vektoren gleich, kleiner bzw. größer als π ist. 9

12 v v φ p u p φ u Abbildung.9: φ = (u; v) so erkennen wir für die Höhe h des Parallelogramms h = p = v cos φ, falls h = p φ, π = v π cos φ, falls φ, π. Bezeichnen wir den Winkel zwischen w und v mit ψ = (w, v), dann gilt im Fall φ, π (wie in Abb..8): φ + ψ = π cos φ = sin ψ π im Fall φ ; π : φ ψ = π cos φ = sin ψ (Anwendung der Additionstheoreme) Insgesamt ergibt sich für den Flächeninhalt A des Parallegramms: A = w h = w v sin ψ Definition.7. (Skalarprodukt, Inneres Produkt) Das Skalarprodukt (Innere Produkt) zweier Vektoren u, v R ist gegeben durch u v := u v cos φ mit φ = (u, v), wobei φ, π den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel darstellt. Folgerung.8. Für u, v R mit u + v gilt u v >, falls φ = (u, v), π u v =, falls φ = (u, v) = π u v <, falls π φ = (u, v), π. Offensichtlich gilt daher u v u v =.

13 Das Zeichen entspricht steht senkrecht auf oder ist orthogonal zu. Satz.9. (Rechenregeln für das Skalarprodukt) Für alle u, v, w R und alle λ R gilt I) u v = v u (Kommutativgesetz) II) (u + v) w = u w +v w (Distributivgesetz) III) λ(u v) = (λu) v = u (λ v) (Assoziativgesetz) IV) u = u u = u. Problem: Zur Berechnung des Skalarproduktes in der Form muss zunächst der Winkel φ ermittelt werden. u v = u v cos φ Lösung: Für die Koordinateneinheitsvektoren i =, j = gilt offensichtlich i j, d. h. i j =. Mit u = v = u x u y v x v y = u x + = v x i + v y j u y = u x i + u y j erhalten wir aus den Rechenregeln u v = (u x i + i y j) (v x i + v y j) = u x v x i i + u x v y i j + u y v x j i + u y v y j j = = = = = u x v x + u y v y.

14 Wir erhalten die Folgerung.. Für u = u x u y, v = v x v y R gilt u v = u x v x + u y v y. Beispiel. Seien u = 4, v =, w =, dann gilt u v = 4 + ( ) = 8 (u, v), π u w = 4 ( ) + = u w v w = ( ) + ( ) = 7 (v, w) π, π. w u v Abbildung.: Beispiel. Anwendung: Zwischenwinkelberechnung Wir erhalten aus u v cos φ = u v = ux v x + u y v y direkt φ = arccos u v u v = arccos u x v x + u y v y. (u x + u y)(vx + vy)

15 y y π π π x π arccos cos x Abbildung.: Cosinus und Arcuscosinus Beispiel. (a) Für die Vektoren gemäß Beispiel (.) gilt φ = arccos φ = arccos u v u v = arccos v w v w = arccos 8,5π Grad(φ) 6,6 7 5,8π Grad(φ) 5,6. (b) Gegeben seien die Punkte A = (, ), B = (5, ), C = (, 6). Berechne die Innenwinkel bei A im zugehörigen Dreieck ( ABC). ( ) bx a x u = = b y a y ( ) cx a x v = = c y a y u v 5 φ = arccos u v = arccos, φ 5,86. ( ) 7 ( ) 7 Bemerkung: Man setzt das Quadrat eines Vektors zu v = v = v v.

16 Andere Potenzen von v sind nicht erklärt. Hiermit gilt (u + v) = u + u v + v, (u v)(u + v) = u v...4 Darstellungsformen für Geraden in der Ebene Idee: Ist P ein Punkt der Ebene mit dem Ortsvektor p und s R \ {} ein Vektor, dann liegen alle Punkte P mit dem Ortsvektor r OP = r = r + λs für ein λ R auf einer Geraden g. Der Vektor s gibt die Richtung der Geraden an und wird daher Richtungsvektor genannt. Der vorgegebene Punkt P auf der Gerade wird als Aufpunktpunkt bezeichnet. s P = (x,y ) r P = (x,y) r Abbildung.: Punkt-Richtungsform für eine Gerade g Mit r = x y, r = x y, s = s x s y folgt die Parameterform (genauer Punkt-Richtungsform) in Vektordarstellung g : r = r + λs, λ R und in Koordinatendarstellung x = x + λs x y = y + λs y }, λ R. 4

17 Die Gerade g kann auch gemäß als Menge aufgeschrieben werden. g = {r r = r + λs, λ R}. s r r Abbildung.: Zwei-Punkte-Form Bei Vorgabe zweier Ortsvektoren r, r zu Punkten der Geraden erhalten wir den Richtungsvektor s = r r und damit die Zweipunkteform r = r + λ(r r ), λ R. resp. mit r = x y, r = x y auch die zugehörige Koordinatenform x = x + λ (x x ) y = y + λ (y y ) }, λ R. Beispiel. Gegeben: r =, r = r = r + λ(r r ) = + λ, λ R 5

18 oder x = λ y = λ }, λ R. y r r g - x - Abbildung.4: zum Beispiel. Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer gegebenen Geraden? Sei ρ und n senkrecht zur Geraden g, wobei n = gilt und ρn ein Ortsvektor zur Geraden ist. Aufgrund der Eigenschaften des Skalarproduktes gilt r n = n r cos φ = n ρ n Länge der orthogonalen Projektion von r auf n = ρ n = = ρ ρ genau dann, wenn r ein Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden ist. Die Hessesche Normalenform (HNF) lautet: r n = ρ mit ρ, n =. Hierbei stellt wegen ρn = ρ die rechte Seite den Abstand der Geraden zum Ursprung dar. Mit r = x y und n = n x n y erhält die HNF die Gestalt xn x + yn y = ρ. Für die Abstandsberechnungen von Punkten zu Geraden ordnen wir der HNF die Abstandsfunktion 6

19 hnf zu: hnf (r) = hnf (x,y) = r n ρ = xn x + yn y ρ Im Fall n y (d. h. n nicht parallel zur x-achse und folglich g nicht parallel zur y-achse) ergibt sich durch y n y = x n x + ρ die explizite Normalenform y = n x + ρ = m x + b. n y n y =: m =: b Zur Ermittlung des Abstandes dist(q; g) eines beliebigen Punktes Q zur Geraden g verfahren wir wie folgt: ) Betrachte eine Gerade g durch Q parallel zu g. ) Ist g in der Form r n = ρ gegeben und stellt q den Ortsvektor zu Q dar, so ergibt sich die Gerade g in der Form r n = q n =: ρ. Q g ρ g n ρ Abbildung.5: Abstandsberechnung Somit folgt für den Abstand von Q zu g dist(q; g) = ρ ρ = q n ρ = hnf(q). Aufgabe: Gegeben: s R \ {} 7

20 Gesucht: n R \ {} mit n s, d.h. n s =. g ρ n r n Abbildung.6: Normalenvektor n einer Geraden Satz und Definition.4. Zu gegebenem Vektor v = v x v y heißt der Vektor v R = v y v x das rechtwinklige Komplement. Es gilt v R v =. Beweis: v R v = v y v x + v x v y =. Beispiel.5 Sei dann folgt v = v R = ( ), ( ). v R geht aus v durch eine Drehung um 9 gegen den Uhrzeigersinn hervor. Umwandlung der Parameterform in Hessesche Normalenform 8

21 v R y v - x - Abbildung.7: rechtwinkliges Komplement Sei die Parameterform r = r + λs, s = s x s y, λ R gegeben. Ablauf: ) Berechne s R = s y s R ) Berechne ) Ermittle sowie n = sr s R, ρ = r n ρ = ρ n, falls ρ n = n, falls ρ < r n = ρ ist die Hessesche Normalenform. Beispiel.6 Sei s R = 4 r = = r + λ = s, λ R 9

22 n = sr s R = ρ = r n = 4 ( ) + ( ) = 4 ρ = ρ = 4 n = n =. Die HNF lautet somit x y = 4 und die zugeordnete Abstandsfunktion hnf(x,y) = x + y 4 Abstand der Geraden g vom Ursprung ist dist(o; g) = hnf(,) = 4 =. Für P = (, ) folgt der Abstand g 5 P = (4,,) P = (,) -5 n n s 5-5 Abbildung.8: + 4 dist(p ; g) = hnf(,) = =.

23 Für P = (4,) folgt dist(p ; g) = hnf(4,) = =. Umwandlung der Hesseschen Normalenform in die Parameterform Aus der Hesseschen Normalenform r n = ρ erhält man aufgrund der Eigenschaft, dass der Ortsvektor ρ n auf die Gerade führt, direkt die Parameterform r = ρ n + λ n R. n R ρn Abbildung.9: Beispiel.7 (a) Gegeben sei r = n =. = ρ Dann gilt die Parameterform r = = λ + λ , λ R.

24 (b) Wie groß ist der Abstand des Punktes P = ( 8, 5) von der Geraden g mit der Gleichung g : y = x? Hessesche Normalenform folgt gemäß +( ) = x y =. Die Abstandsfunktion zu dieser HNF ist x y = hnf (x,y) = x y = x y. Damit folgt dist(p,g) = hnf( 8,5) = 4 5 = = Anwendungen zum Skalarprodukt Satz.8. (Flächeninhalt eines Parallelogramms) Seien a a = x und b = a y zwei Vektoren des R, so stellt b x b y F = a R b = a x b y a y b x den Flächeninhalt des durch a und b aufgespannten Parallelogramms dar. Beweis: Aus folgt F = a b = a = a R = a y a x a R b = a R b b = b cos (a R, b) b x b y = a xb y a y b x

25 a R b b a Abbildung.: Flächeninhalt eines Parallelogramms Beispiel.9 Seien so folgt a =, b =, F = a x b y a y b x = 4 = 6 = 6 a R y a F b x Abbildung.: Beispiel.9 Satz.. (Flächeninhalt und Schwerpunkt eines Dreiecks) Sind die Ecken eines Dreiecks durch die Ortsvektoren r, r, r R gegeben, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks F = (r r ) R (r r ).

26 Der Schwerpunkt des Dreiecks ist durch gegeben. Beweis: s = (r + r + (r ) Die Aussage über den Flächeninhalt folgt direkt aus dem Satz.8. r b a r r Abbildung.: Schwerpunkt eines Dreiecks Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis :. Wir erhalten für g die Darstellung ( ) t = r + λ (r + r ) r und somit ( (r + r ) r ) s = r + = (r + r + r ). r r s g (r + r ) r Abbildung.: Schwerpunkt eines Dreiecks 4

27 Beispiel. Seien r =, r =, r =. r r s r Abbildung.4: Beispiel. (r r ) R = (r r ) = R = F = und (r r ) R (r r ) = + = s = (r + r + r ) =. Als Erweiterung des Satzes von Pythagoras gilt der Cosinus-Satz. Satz.. Cosinus-Satz Im Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b, c und dem Winkel γ bei C gilt c = a + b ab cos γ. Beweis: Die Pfeile CA, CB, AB seien durch die Vektoren b, a, c repräsentiert. Für die zugehörigen Längen 5

28 C γ b a A c B Abbildung.5: zum Cosinus-Satz gilt somit c = c = (a b) = a + b a b = a + b a b cos γ Skalarprodukt = a + b ab cos γ. Satz.. (Parallelogrammgleichung) Sind a, b die Längen zweier aneinanderliegenden Seiten eines Parallelogramms und d, d Längen der Diagonalen, so gilt a + b = d + d. die b d a d Abbildung.6: Parallelogrammgleichung Beweis: Mit d = a + b, d = a b folgt d + d = (a + b) + (a b) = a + a b + b + a a b + b 6

29 = a + b = (a + b ). 7

30 . Vektoren im dreidimensionalen Raum.. Kartesisches Koordinatensystem, Skalar-, Vektor- und Spatprodukt Kartesisches Koordinatensystem z-achse P=(x,y,z) y-achse x-achse Es besteht aus drei Geraden, die sich paarweise senkrecht schneiden. z R O y Q P x Punkte: P = (p x, p y, p z ) resp. P = (x, y, z). Vektoren: Parallelverschiebungen des Raums werden wieder als Vektoren bezeichnet. v = AB bezeichnet wiederum die Verschiebung, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet. 8

31 v = v x v y v z := b x a x b y a y b z a z R = heißt Nullvektor. Bemerkung.4. Die Definition der Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation verläuft analog zum R. Beispiel.5 u = 7, v = 4 9 u + v = ( ) = 7 6, u v = Die Länge (Norm) ist wegen zu u = v eines Vektors 9 v =, v = v x v y v z R 4 9. ṽ v = + v z = vx + v y + v z. Bemerkung.6. Für den R gelten alle Rechenregeln gemäß Satz (.4) und für die Norm (Länge) alle Regeln gemäß Folgerung (.5) 9

32 z v z v v y y v x x ṽ = v x v y Abbildung.7: Berechnung der Länge mit dem Satz des Pythagoras Beispiel.7 Seien u = 7 4 4, v =, dann gelten u = = = 8 = 9 v = + + = u + v = Auch für das Skalarprodukt gilt 8 7 = = > = u + v. u v = u v cos φ mit φ = (u, v). Somit gilt und somit für i = u v u v =, j =, k =

33 direkt i i = j j = k k =, i j = j k = k i = und u v = (u x i + u y j + u z k) (v x i + v y j + v z k) = u x v x + u y v y + u z v z. Für den eingeschlossenen Winkel ergibt sich daher φ = arccos u x v x + u y v y + u z v z u x + u y + u z v x + v y + v z. Beispiel.8 u = 7 4 4, v = 4. u v = = 7 u = 8 = 9 v = 5 = 5 φ = (u, v) = arccos u v u v = arccos 7 45,655 d.h. Grad(φ) 4,7. Bemerkung.9. Einen Vektor e R mit e = nennt man Einheitsvektor (Richtung). Mit e = e x e y e z = e x i + e y j + e z k ergibt sich durch Skalarmultiplikation bezogen auf die Abbildung e x = e i = e i cos (e, i) = cos α = = = α e y = e j = cos β e z = e k = cos γ.

34 Abbildung.8: Einheitsvektoren Wegen e = folgt = = e = e x + e y + e z = cos α + cos β + cos γ. Für a R \ {} gilt a a und e = a ist ein zu a gehörender Einheitsvektor. Wir sehen, dass jeder Vektor a R \ {} durch seine Länge a und seine Richtung e = a a gemäß a = a e festgelegt ist. Projektion eines Vektors in eine gegebene Richtung Sei e R ein Einheitsvektor (Richtung), d. h. dann gilt für ein v R, dass e =, v e = v e cos (v, e) = α:= = v cos α die vorzeichenbehaftete Länge der Projektion von v auf die Richtung e (d. h. die durch e gegebene

35 Gerade). Somit stellt v = (v e) e die Projektion von v auf die Richtung e dar. (a) (b) v v α e v (v e) Fall : cos α > α e v (v e) Fall : cos α < Abbildung.9: Orthogonal-Projektion Rechtssystem Das Tripel (a, b, p) mit a, b, p R wird Rechtssystem genannt, wenn die Vektoren in der aufgeführten Reihenfolge der Rechte-Hand-Regel genügen. Abbildung.: Rechtssystem Beispiel. (i, j, k) stellt ein Rechtssystem dar. k (Mittelfinger) (Daumen) i j (Zeigefinger)

36 (i, j, k) ist kein Rechtssystem. Definition.. (Vektorprodukt, Kreuzprodukt) Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren a, b R ist ein Vektor p R, kurz p = a b, I) dessen Länge p = a b sin φ mit φ = (a, b) ist, II) rechtwinklig auf a und b steht, III) der mit a, b im Fall p durch (a, b, p) ein Rechtssystem bildet. Abbildung.: Kreuzprodukt Eigenschaften des Vektorproduktes Betrachten wir Vektoren a, b R Parallelogramms und sei φ = (a, b), dann gilt für die Fläche des b F φ h = b sin φ a offensichtlich F = a h = a b sin φ = a b. Das heißt, die Länge des Vektorproduktes a b entspricht der Fläche des durch die Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Satz.. Für alle a, b, c R und λ R gilt: (a) a b = b a (Antikommutativgesetz), (b) a (b + c) = a b + a + c (Distributivgesetz), (c) λ(a b) = λa b = a (λb) (Assoziativgesetz), (d) a a =, (e) a b = a b (a b). 4

37 Beweis: (a) Wegen φ = (a, b) = (b, a) =: φ folgt a b = a b sin φ = b a sin( φ) = b a sin φ = b a (c) Für λ = ist die Aussage offensichtlich. Für λ gilt I) II) λ > φ := (a, b) = (λa, b) = (a, λb) λ < φ := (a, b) = (λa, b) = (a, λb) und somit λ(a b) = λ a b sin φ λa b sin φ = a λb sin φ, falls λ > = λa b sin( φ) = a λb sin( φ), falls λ <. (d) Wegen φ (a, a) = folgt a a = a sin φ. = (e) a b = a b sin φ = a b ( cos φ) = a b a b cos φ = a b (a b) a = a a = a. (b). Fall: c = λa mit λ R, dann sehen wir, dass die Höhe h über a unabhängig von c ist. c b b + c F b + c a 5

38 Folglich gilt und damit. Fall: a b = F = a (b + λa). a (b + λa) = a b + a λa. a b, a c, a =. Aufgrund der Orthogonalität bewirkt das Vektorprodukt mit a eine Drehung des durch b und c aufgespannten Parallelogramms um 9. Wir sehen a (b + c) = a b + a c unmittelbar aus der Abbildung.. Fall: a, b, c R beliebig. (a) a = a (b + c) = a b + c sin (a, b + c) = = a b = a b sin (a, b) = = a c = a c sin (a, c) = = a (b + c) = a b + a c. (b) a. Wähle λ = a, dann gilt a = λ a erfüllt a = 6

39 und mit folgt für µ = a b, λ = a c b = b µa, c = c λa direkt a b = a (b µa ) = a b µ a a = = a c = a (c γa ) = a c ν a a =, = d. h. Somit gilt a b und a c. a (b + c) = λa (b + c + µa + νa )..Fall = λa (b + c ).Fall = λa b + γa c.fall = a b + a c. Wie berechnet man das Vektorprodukt konkret? Folgerung.. Für die Vektoren gilt a = a x a y a z a b =, b = b x b y b z a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x R. Beweis: 7

40 Aufgrund der Definition des Vektorproduktes gilt für die Koordinateneinheitsvektoren direkt i =, j = k und k = i j i j = k, k i = j, j k = i. a b = (a x i + a y j + a z k) (b x i + b y j + b z k) = a x b y i j = k + a y b z j k = i + a x b z i k + a y b x j i = k = k + a z b x k i + a z b y k j = j = i = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k. Beispiel.4 (a) Seien A = (, 6, ), B = ( 6,, 4), C = (,, 9) die Eckpunkte eines Dreiecks im R. b C a A c B Dann ergibt sich mit a = =

41 und b = 6 9 = 7 die Fläche des Dreiecks gemäß F = a b = = 5 9 = (b) Für a = a x a y, b = ergibt sich die Fläche des erzeugten Parallelogramms zu F = a b =. a x b y a y b x Vergleiche Satz (.8). b x b y Definition.5. (Spatprodukt) Für je drei Vektoren a, b, c R ist das Spatprodukt durch a, b, c := (a b) c definiert. Geometrische Interpretation Abbildung.: Spat 9

42 Für das Volumen des Spates gilt mit (a b) c = a b c cos (a b, c) = h direkt V = F h = a b h = (a b) c = a, b, c. Beispiel.6 (a) Für i, j, k stellt das Spat einen Würfel mit Kantenlänge dar und wir erhalten i,j, k = (i j) k = k k =. = k (b) Wegen (a b) a und (a b) b gilt stets a, b,a = (a b) a = = (a b) b = a, b,b. Weitere Ziele: Festlegung von Geraden und Ebenen im R Messung von Abständen zwischen zwei Geraden und von einem Punkt zu einer Ebene etc. Wichtige Begriffe: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Linearkombination von Vektoren Basis des R und R... Lineare Abhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basen Mit den Einheitsvektoren lässt sich der Vektor i =, j = v = 4 4, k = 4

43 in der Form v = 4i + j + 4k schreiben. Betrachten wir die Vektoren a =, b =, c =, so erhalten wir v = 4 = Dagegen existieren für = a + b + c. x =, y = scheinbar keine reellen Zahlen γ, µ, ν R mit, z = v = γx + µy + νz und für gilt p =, q =, r = v = p + q + r = p + q + r = ( ) β p + ( ) β q + β r für alle β R. Wann lässt sich ein Vektor als Kombination gegebener Vektoren darstellen? Wann ist die Darstellung eindeutig? Definition.7. (a) Eine Summe der Form λ a + λ a λ m a m 4

44 mit λ i R, i =,..., m, heißt Linearkombination der Vektoren λ i a,...,a m. (b) Die Vektoren a,...,a m heißen linear abhängig, wenn wenigstens einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen Vektoren dargestellt werden kann, oder wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist. Andernfalls heißen die Vektoren linear unabhängig. Lemma.8. Die Vektoren a,...,a m sind genau dann linear abhängig, wenn reelle Zahlen γ,..., γ m R existieren, die nicht alle Null sind und für die gilt. Beweis: γ a + γ a γ m a m = (.) Sei m : Seien a,... a m linear abhängig, dann gilt für ein i N. Somit gilt a i = λ a λ i a i + λ i+ a i λ m a m = λ a λ i a i + λ i a i + λ i+ a i λ m a m mit λ i =, womit (.) erfüllt ist. Seien λ,..., λ m R mit λ j und = λ a λ m a m, dann gilt mit a j = ζ a ζ j a j + ζ j+ a j ζ m a m ζ k = λ k λ j, κ =,..., j, j +,..., m. Folglich sind die Vektoren laut Definition (.7) linear abhängig. Sonderfall: m = : Heißt: ist der Vektor a linear abhängig, so gilt = a 4

45 und gilt folglich für alle λ R. Existiert ein λ R \ {} mit λ a =, so folgt a = und laut Definition (.7) ist a daher linear abhängig. Geometrische Betrachtung: m = : b a b a Linear unabhaengige Vektoren Linear abhaengige Vektoren Abbildung.: Linear unabhängige Vektoren Linear abhängige Vektoren Zwei linear abhängige Vektoren a, b nennt man kollinear, da wegen a = λb resp. b = µa beide Vektoren (aufgefasst als Ortsvektoren) auf einer Geraden liegen. m = : Drei linear abhängige Vektoren a, b, c R nennt man komplanar, da sie aufgefasst als Ortsvektoren in einer Ebene liegen. Folgerung.9. (a) Drei Vektoren a, b, c R sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in einer Ebene liegen, d. h. wenn für das Spatprodukt a, b, c gilt. (b) Zwei Vektoren a, b R Parallelogramm eine Fläche sind genau dann linear unabhängig, wenn das aufgespannte F = a x b y a y b x aufweist. Satz.4. Cramersche Regel 4

46 (a) Sind a = a x a y, b = b x b y R linear unabhängige Vektoren, dann lässt sich jeder Vektor c = c x c y R aus ihnen linear kombinieren: c = λa + µb mit λ = b yc x b x c y a x b y a y b x, µ = a xc y a y c x a x b y a y b x. (b) Sind a, b, c R linear unabhängige Vektoren, dann lässt sich jeder Vektor d R aus ihnen linear kombinieren: d = λa + µb + νc mit λ = d, b, c a, b, c, µ = a, d, c a, b, c, ν = a, b, d a, b, c. Beweis: (a) Nachrechnen liefert Analog erhalten wir λa y + µb y = c y. λa x + µb x = a xb y c x a x b x c y + b x a x c y b x a y c x a x b y a y b x = a xb y c x b x a y c x a x b y a y b x = c x. (b) Nachweis erfolgt im Abschnitt zu linearen Gleichungssystemen. Bemerkung.4. Satz.4 besagt zudem, dass maximal zwei Vektoren im R und maximal drei Vektoren im R zueinander linear unabhängig sein können. D. h. drei und mehr Vektoren im R sind stets genauso linear abhängig, wie vier und mehr Vektoren im R. Allgemein entspricht die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren eines Raumes stets seiner Dimension. 44

47 Definition.4. (a) Sei d = oder d =. Eine Menge von Vektoren a,..., a m R d jeder Vektor x R d als Linearkombination heißt Erzeugendensystem des R d, wenn sich x = λ a λ m a m darstellen lässt. (b) Ein Erzeugendensystem des R d heißt Basis des R d, wenn die Vektoren a,..., a m linear unabhängig sind. (c) Eine Basis des R d heißt Orthonormalbasis des R d, wenn die Vektoren paarweise orthogonal (senkrecht) sind und die Länge besitzen. Beispiel.4 (a) a =, b =, c =. y b a c - x - Abbildung.4: Erzeugendensystem und Basis Für gilt u = u x u y u y a + b + (u x u y ) c 45

48 = u y +(u x u y ) u y = u x u y = u. D. h. a, b, c ist ein Erzeugendensystem des R. Wegen a b = sind die Vektoren linear abhängig und somit keine Basis. = = c Dagegen stellt jede Zweierkombination (a, b), (a, c) sowie (b, c) eine Basis des R dar. Zudem gilt a b = ( ) + = a b a c = + = a c b c = ( ) + = b c. D. h. mit ã : a =, b = b = liegt eine Basis vor, für die ã b = ã b und ã = ( ) + ( ) = + = = b = gilt, s. d. ã, b eine Orthonormalbasis darstellt. (b) Die Einheitsvektoren wie auch i, j R i, j, k R repräsentieren stets eine Orthonormalbasis... Geraden- und Ebenendarstellung im dreidimensionalen Raum, Abstandsformeln Geradendarstellungen 46

49 Punkt-Richtungsform ergibt sich analog zum R gemäß r = r + λs, s R \ {} und λ R. Lot auf eine Gerade: Für einen gegebenen Punkt r R durch wird die kürzeste Verbindung, das sogenannte Lot zu einer r = r + λs, λ R gegebenen Geraden g gesucht. Gesucht: Lotfußpunkt r g zu r. D. h. Finde λ R derart, dass für r = r + λ s die Bedingung r r s erfüllt ist. = (r r ) s = (r + λ s r ) s = (r r ) s + λ s s. = s Somit gilt sowie und der Abstand dist(r,g) von r zu g ist λ = (r r ) s s R r = r + (r r ) s s dist(r,g) = r r. Wird lediglich der Abstand gesucht, kann dieser auch direkt mit der folgenden Formel berechnet werden: dist(r,g) = (r r ) s s = (r r ) s s s Beispiel.44 Sei die Gerade g durch r = = r +λ = s, λ R 47

50 gegeben. Für r = ergibt sich der Lotfußpunkt r = = r + 9 = = und dist(r,g) = r r = = 5 4 = = 5. Für r = = r + s g erhalten wir r = + 9 = + = = r und a = r r = r r =. Abstand zweier Geraden: Gegeben seien die nicht parallelen, windschiefen Geraden g = {r R r = r + λs, λ R} 48

51 g = {r R r = r + µs, µ R}. Gesucht sind damit zwei Punkte u = r + λs g, v = r + µs g derart, dass u v s und u v s gilt. Mit c = s s s s erhalten wir einen auf die Länge normierten Vektor, der auf beiden Geraden senkrecht steht. Der Abstand der Geraden ist somit (r dist(g, g ) = (r r )c = r ) (s s ) s s. Beispiel.45 Seien g : r = + λ g : r = + µ. Wir erhalten s s = = und somit c = 49

52 Es folgt dist(g,g ) = (r r ) c = = = Ebene im dreidimensionalen Raum: Seien a, b R nicht kollinear, d. h. es existieren keine µ, λ R mit a = µb oder b = λa, dann erhalten wir die Parameterform der Ebene durch r = r + λa + µb, λ, µ R. Abbildung.5: Parametrisierung einer Ebene Analog zum R ergibt sich die Hessesche Normalenform r n = ρ durch c = a b a b, ρ = r c, n = c, falls c r c, falls c r <, wobei ρ > den Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung darstellt. Lot auf eine Ebene: Für einen gegebenen Punkt r R wird das Lot zu einer durch r = r + λa + µb, λ, µ R gegebenen Ebene E gesucht. Für den Lotfußpunkt r = r + λ a + µ b E zu r r r E, 5

53 d. h. Somit ergibt sich mit direkt r r a und r r b. c = a b r r = νc, als das Gleichungssystem aus drei Gleichungen r + λ a + µ b r = νc für die drei Unbekannten λ, µ, ν R. Der Abstand dist(r,e) ergibt sich wiederum zu dist(r,e) = r r. Aus der Hesseschen Normalenform der Ebene r n = ρ ergibt sich der Abstand bequemer aus dist(r,e) = r n ρ. Beispiel.46 Gegeben sei die Ebene E gemäß r = = r +λ = a +µ = b und der Punkt r =. Ansatz I: r = r + λ a + µ b c = a b =. 5

54 z r r r y Aus dem vorliegenden Gleichungssystem + λ x + µ } {{ } = r = r = ν = c erhalten wir und folglich r = λ =, µ =, ν = sowie dist(r,e) = r r = =. Ansatz II: Hessesche Normalenform mit c := a b a b = r n = ρ, ρ = r c = Wir erhalten die Hessesche Normalenform n = c, da r c. r = 5

55 und somit dist(r,e) = r n ρ = = =. Schnittgerade zweier Ebenen: Seien zwei Ebene E, E in Hessescher Normalenform E : r n = ρ (.) E : r n = ρ (.) gegeben, wobei n und n nicht kollinear sind. Für den Richtungsvektor s R der Schnittgeraden gilt s n und s n, so dass s = n n festgelegt werden kann. Da wir mit (.) und (.) nur zwei Gleichungen zur Berechnung des für die Parameterform der Schnittgeraden r = r + λs, λ R benötigten Vektors r R zur Verfügung haben, setzen wir eine Komponente r zu Null (ausprobieren) und lösen dann (.) und (.) nach den verbleibenden zwei Größen auf. Beispiel.47 Seien E = r = (.4) E = r =. (.5) 5

56 z E g E y x Abbildung.6: Schnittgerade zweier Ebenen Wir erhalten sowie mit folgt aus (.4) und (.5) s = r = = r y r z r z = r y =, so dass die Schnittgerade g : r = + λ, λ R lautet. Nullsetzen von r y oder r z wäre hier aufgrund des Schnittgeradenverlaufes nicht hilfreich gewesen. 54