6.5 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension

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1 6.5. Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v 1,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v 1,...,v n, nämlich { n } lin(v 1,...,v n ) := α k v k α k K bildet einen linearen Unterraum von V. Und zwar ist es der kleinste Unterraum von V, der die vorgegebenen Vektoren enthält. Man nennt ihn den von v 1,...,v n erzeugten Unterraum oder auch die lineare Hülle oder den Spann dieser Vektoren. Denn sind u,v lin(v 1,...,v n ) der Form u = α 1 v 1 + +α n v n und v = β 1 v 1 + +β n v n, so folgt u+v = (α 1 +β 1 )v 1 + +(α n +β n )v n und λ u = (λα 1 )v (λα n )v n. Also sind auch u+v und λ u (für alle λ K) wieder von der behaupteten Form Beispiele (a) Die eben diskutierte Gerade g v = {λv λ R} R 2 wird von dem fest gewählten Vektor v R 2 erzeugt. (b) Die Vektoren e 1 = 1 0 und e 2 = 0 k= erzeugen die x-y-ebene in R 3. (c) Hier ist ein Beispiel einer weiteren Ebene in R 3 erzeugt von zwei Vektoren: E = lin 0 1, 1 0 = α 0 1 +β α,β R. Also ist E = β α β α,β R. Auch ohne Verwendung von Koordinaten können wir folgendes einsehen: Bemerkung Sind u, v 0 zwei linear unabhängige Vektoren in der Ebene, dann erzeugen sie bereits ganz V: V = {αu+βv α,β R}. Beweis. Jeder Vektor w V kann auf eindeutige Art in Komponenten in Richtung von u bzw. v zerlegt werden, wie man das von Kräftediagrammen kennt. Dazu stellt man u,v,w als Ortsvektoren dar. Sei P der Endpunkt des Ortsvektors, der w repräsentiert. Schneidet man die zu v parallele Gerade durch P mit der Geraden durch u, erhält man die Komponente αu von w in Richtung von u, und schneidet man die zu u parallele Gerade durch P mit der Geraden durch v, so erhält man die Komponente βv von w in Richtung von v. Weil nach Konstruktion αu, βv und w ein Parallelogramm bilden, gilt w = αu+βv.

2 124 Kapitel 6. Lineare Algebra βv v w u αu Die Zahlen α, β sind durch w eindeutig festgelegt. Denn angenommen, wir hätten eine weitere Zerlegung w = α 1 u+β 1 v. Dann folgt durch Anwendung der Rechenregeln: (α α 1 )u = (β 1 β)v. Weil u und v linear unabhängig sind, müssen bereits α = α 1 und β = β 1 sein. q.e.d Definition Eine Menge von Vektoren {v 1,...,v n } V (n N) heisst linear abhängig, falls es Zahlen α 1,...,α n K gibt, die nicht alle gleichzeitig Null sind, so dass gilt: α 1 v 1 + +α n v n = 0. Andernfalls heisst die Menge von Vektoren linear unabhängig. Eine andere Möglichkeit, den Begriff zu formulieren ist folgende: Bemerkung Eine Menge, die nur aus einem Vektor v besteht, ist genau dann linear abhängig, wenn v der Nullvektor ist. Eine Menge {v,w} aus zwei Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn w = αv für ein α K oder wenn v = 0 ist. Und für n > 2 schliesslich gilt: die Menge {v 1,...,v n } ist genau dann linear abhängig, wenn sich einer der v j als Linearkombination der anderen v i (i j) schreiben lässt Beispiel Zwei Vektoren in R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie auf einer Gerade liegen. Drei Vektoren in R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen. Im komplexen Vektorraum C 2 sind die Vektoren v = linear abhängig, denn w = i v. ( ) 1 i und w = ( ) i Definition Eine(endliche oder unendliche) Teilmenge M eines Vektorraums V wird als Erzeugendensystem von V bezeichnet, falls sich jedes Element von V als Linearkombination einer passenden Auswahl endlich vieler Vektoren aus M schreiben lässt, das heisst { n } V = lin(m) := α k v k α k K,v k M,n N. k=1 Unter einer Basis von V versteht man eine geordnete Menge B von Elementen von V, die ein Erzeugendensystem von V bilden und zusätzlich linear unabhängig sind.

3 6.5. Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 125 (Falls B aus unendlich vielen Elementen besteht, soll das heissen, dass jede endliche Teilmenge von B linear unabhängig ist.) Eine Basis ist also ein minimal gewähltes Erzeugendensystem. ( ) ( ) Beispiele (a) Die Vektoren e 1 := und e 0 2 := bilden eine Basis 1 des R 2. Denn sie sind linear unabhängig und spannen den ganzen Raum auf: ( ) x = x e y 1 +y e 2 lin(e 1,e 2 ) für alle x,y R. Allgemeiner bezeichnet man mit e j (für 1 j n) den Vektor in R n, der an der j-ten Stelle den Eintrag 1 und sonst nur Einträge Null hat. Diese Vektoren sind die sogenannten kanonischen Basisvektoren und (e 1,...,e n ) ist die Standardbasis des R n. (b) Die eben definierten Vektoren e j können wir auch als Elemente des komplexen Vektorraums C n auffassen. Darin bilden sie wiederum eine Basis. (d) Sei n N fest gewählt. Die Menge der reellen Polynome von Höchstgrad n, nämlich P n := {a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a k R} ist ein linearer Unterraum des Vektorraums aller reellen Polynome, und (1,x,x 2,...,x n ) ist eine Basis für P n. Jede Basiswahl liefert ein Koordinatensystem für den betrachteten Vektorraum. Damit ist folgendes gemeint Satz Sei B = (v 1,...,v n ) eine endliche Basis für den K-Vektorraum V (für Skalare K = R oder K = C). Dann lässt sich jeder Vektor v V auf eindeutige Art und Weise als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Also ist die folgende Zuordnung bijektiv: α 1 v = α 1 v 1 + +α n v n V. K n. α n Wir können die Skalare α j als die Koordinaten von v bezogen auf die Basis B auffassen. Die Zuordnung ist sogar additiv und mit der Skalarmultiplikation verträglich. Das heisst: Ist w = u+v, dann erhält man die Koordinaten von w, indem man entsprechende Koordinaten von u und v jeweils addiert. Und ist w = λu, erhält man die Koordinaten von w, indem man sämtliche Koordinaten von u mit λ multipliziert. Beweis. Wir zeigen nur, dass die angegebene Zuordnung bijektiv ist. Weil B ein Erzeugendensystem ist, lässt sich jeder Vektor v als Linearkombination schreiben. Nehmen wir jetzt, es gäbe zwei Darstellungen v = n α j v j = j=1 n β j v j. j=1

4 126 Kapitel 6. Lineare Algebra Dann folgt n j=1 (α j β j )v j = 0. Weil aber die Basis B auch linear unabhängig ist, folgt weiter α j β j = 0 für alle j. Das heisst, die beiden Darstellungen für v waren doch identisch. Schliesslich kommt auch jeder Koordinatenvektor vor. Denn jede beliebige Linearkombination der v j liegt in V. q.e.d. Man kann zeigen, dass sämtliche Vektorräume immer eine Basis haben. Allerdings kann diese Basis aus unendlich vielen Elementen bestehen. Der Raum der Polynome hat eine abzählbare, unendliche Basis, nämlich (x n n N 0 ). Jede Basis des Funktionenraums V = F([0, 1], R) besteht sogar immer aus überabzählbar vielen Elementen. Denn zum Beispiel die Teilmenge der folgenden Funktionen ist linear unabhängig in V: { 1 für x = c f = χ c (x) =,(c [0,1] fest gewählt). 0 sonst Deshalb ist es schwierig, eine Basis explizit anzugeben. Der Begriff der Basis ist für solche überabzählbar-dimensionalen Räume nicht besonders praktisch. Wir werden uns jetzt im folgenden stets auf endlichdimensionale Vektorräume beschränken Hauptsatz Wir bezeichnen den Grundkörper der Skalare, also entweder R oder C wieder mit K. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, das heisst, es gebe eine endliche Teilmenge von Vektoren, die ganz V erzeugen. Dann hat V eine Basis und jede der Basen von V besteht aus gleichvielen Elementen. Diese Anzahl an Elementen einer jeden Basis nennen wir die Dimension von V über K Beispiele Für einige Vektorräume haben wir bereits Basen angegeben. Also können wir die Dimensionen ablesen, nämlich: dim({0}) = 0, dim R (R n ) = n, dim R (P n ) = n+1, (für alle n N). Der Vektorraum der reellen m n-matrizen hat die Dimension m n über R. Weiter gilt dim C (C n ) = n. Ausserdem ist die Dimension jeder Ebene im R 3 gleich 2, wie es der Anschauung entspricht Bemerkung Die Dimension kann davon abhängen, über welchem Grundkörper wir den Vektorraum betrachten. Zum Beispiel ist die Dimension von C, aufgefasst als komplexer Vektorraum, gleich 1. Dagegen ist Dimension von C über R gleich 2, denn die Zahlen 1 und i bilden eine Basis von C über R. Wenden wir diese Aussagen nun auf Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme an. Sei A eine m n-matrix mit Einträgen aus K = R oder K = C und sei L := {x K n Ax = 0}. Dann ist L, wie schon erwähnt, ein linearer Unterraum von K n. Die Dimension von L gibt an, wieviele freie Parameter in der allgemeinen Lösung auftreten, und ist unabhängig davon, welche Beschreibung der Lösungsmenge man gewählt hat. Das bedeutet auch, dass der Rang der Matrix A wohldefiniert ist. Wir können nämlich festsetzen Rang(A) = n diml. Hier ist noch eine andere Art, den Rang einer Matrix zu interpretieren: Bemerkung Sei A eine m n-matrix, und fassen wir die Zeilen von A als Vektoren in R n auf, die darin den Unterraum U, den sogenannten Zeilenraum, erzeugen. Dann ist dim(u) = Rang(A).

5 6.5. Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 127 Beweis. Bei den elementaren Zeilenumformungen, die man macht, um die Matrix A auf Zeilenstufenform zu bringen, bleibt die lineare Hülle der Zeilen jeweils unverändert. Ist aber A in Zeilenstufenform, dann tragen die Nullzeilen nichts zur linearen Hülle bei, und die insgesamt r Nichtnullzeilen erzeugen offenbar einen linearen Unterraum der Dimension r. q.e.d Beispiel Die Matrix A = hat den Rang 2, denn die entsprechende Zeilenstufenform enthält genau eine Nullzeile. Die Zeilen der Matrix A, aufgefasst als Vektoren u = 2 3, v = 0 1, w = 4 7, erzeugen in R 3 eine Ebene, denn der Vektor w = 2u+v ist von u,v linear abhängig. Daraus ergibt sich für quadratische Matrizen die folgende Beobachtung: Folgerung Eine n n-matrix A hat den Rang n. Die Zeilen von A, aufgefasst als Vektoren in R n, sind linear unabhängig. det(a) 0 det(a T ) 0 Die Spalten von A, aufgefasst als Vektoren im R n, sind linear unabhängig. Beweis. Wie eben bemerkt, ist der Rang von A genau dann gleich n, wenn die Zeilen bereits den ganzen R n aufspannen, also eine Basis des R n bilden. Ein Satz aus n Vektoren in R n ist aber genau dann eine Basis, wenn die n Vektoren linear unabhängig sind. Nun haben wir bereits früher gesehen, dass der Rang von A genau dann gleich n ist, wenn die Determinante von A nicht verschwindet. Ausserdem stimmt die Determinante von A mit der Determinante der transponierten Matrix A T, bei die Zeilen als Spalten geschrieben werden, überein. Deshalb gilt auch die entsprechende Aussage über die Spalten von A. q.e.d. Man kann also mithilfe der Determinante feststellen, ob ein vorgelegter Satz aus n Vektoren im R n linear unabhängig ist und damit eine Basis bildet Beispiel Die Vektoren 1 u = 2,v = ,w = bilden eine Basis des Raumes R 3, denn die Determinante der aus diesen drei Spalten gebildeten Matrix A ist det(a) = 18. Zum Beweis des Hauptsatzes: Die Existenz einer Basis ist nicht schwierig einzusehen. Ist nämlich M = (v 1,...,v n ) irgendein endliches Erzeugendensystem für V, so können wir schrittweise linear abhängige Vektoren darin streichen, bis eine Basis 1 0 3

6 128 Kapitel 6. Lineare Algebra übrigbleibt. Genauer gehen wir so vor: Ist die Menge M linear abhängig, so gibt es darin einen Vektor, etwa v j, der bereits in der linearen Hülle der anderen Vektoren aus M enthalten ist. Also ändert sich die lineare Hülle nicht, wenn wir v j aus M streichen. Sind die verbliebenen Vektoren linear unabhängig, so sind wir fertig. Ist das noch nicht der Fall, dann wiederholen wir das Streichen von Vektoren, bis wir schliesslich bei einer Basis angelangt sind. Damit haben wir eigentlich gezeigt, dass jedes Erzeugendensystem eine Basis von V enthält. Der schwierige Teil des Hauptsatzes ist die Aussage, dass alle Basen gleich viele Elemente haben. Wir wollen dies durch einen Widerspruchsbeweis zeigen. Nehmen wir also an, es gebe zwei Basen A = (v 1,...,v n ) und B = (w 1,...,w m ) und es sei n < m. Jetzt werden wir schrittweise die Vektoren in A durch Vektoren aus B ersetzen, ohne dass sich dabei jeweils die lineare Hülle ändert. Nach n Schritten werden nur noch (w 1,...,w m ) aus B übrigbleiben, die sich dann als linear abhängig von (w 1,...,w n ) herausstellen, und damit ist der Widerspruch erreicht. 1. Schritt: Wir schreiben w 1 als Linearkombination der v j in der Form w 1 = α 1 v 1 + +α n v n. Da B linear unabhängig und daher w 1 0, gibt es einen Index j mit α j 0. Nach eventueller Umsortierung der v j können wir annehmen, dass α 1 0. Dann folgt: v 1 = 1 α 1 (w 1 α 2 v 2 α n v n ) lin(w 1,v 2,...,v n ). Also erzeugt A := (w 1,v 2,...,v n ) den ganzen Vektorraum V. 2. Schritt: Jetzt schreiben wir w 2 als Linearkombination von w 1 und v 2,...,v n in der Form: w 2 = β 1 w 1 +β 2 v 2 +β n v n. Da w 1 und w 2 linear unabhängig sind, gibt es einen Index j 2 mit β j 0. Nach eventueller Umnumerierung von v 2,...,v n können wir annehmen, dass β 2 0. Dann folgt: v 2 = 1 β 2 (w 2 β 1 w 1 β 3 v 3 β n v n ) lin(w 1,w 2,v 3...,v n ). Also erzeugt A := (w 1,w 2,v 3...,v n ) ebenfalls den ganzen Vektorraum V. Entsprechend fahren wir fort. Nach n Schritten sind alle v j ausgetauscht, und es folgt, dass die Menge A (n) = (w 1,...,w n ) wiederum den ganzen Vektorraum V erzeugt. Das bedeutet, dass die noch verbleibenden Vektoren w n+1,...,w m aus der Basis B als Linearkombinationen der Vektoren (w 1,...,w n ) geschrieben werden können. Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von B. q.e.d Folgerung (a) Jede linear unabhängige Teilmenge eines endlich erzeugten Vektorraums kann zu einer Basis ergänzt werden. (b) Ist dimv = n, so bildet jede Teilmenge aus n linear unabhängigen Vektoren eine Basis.

7 6.5. Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 129 (c) Ist W ein linearer Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraums V, so ist auch W endlich erzeugt und es gilt dimw dimv. Gleichheit tritt nur genau dann ein, wenn W = V ist. Beweis. (a) Sei B die linear unabhängige Teilmenge und A eine Basis von V. Dann können wir, wie im Beweis des Hauptsatzes gezeigt, in der Basis A schrittweise Elemente durch Vektoren aus B ersetzen, ohne dabei die lineare Hülle zu ändern. Sind alle Vektoren aus B eingefügt, erhalten wir die gewünschte Basis, die B enthält. (b) Dies ergibt sich direkt aus (a). (c) Ist dimv = n, so besteht in V und damit auch in W jede linear unabhängige Teilmenge aus höchstens n Elementen. Eine maximale linear unabhängige Teilmenge von W muss aber bereits ein Erzeugendensystem für W sein. Also hat W eine Basis, diewir nach(a)zueinerbasisvon V ergänzenkönnen. DarausfolgtdieBehauptung. q.e.d.