Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS

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1 Grundlagen in Mathematik für die. Klassen der HMS und der FMS Einleitung Ø In der Mathematik wird häufig auf bereits Gelerntem und Bekanntem aufgebaut. Wer die Grundlagen nicht beherrscht, hat deshalb oft Mühe und Schwierigkeiten, neue mathematische Themen zu verstehen. Ø Die Erfahrung der letzten Jahre hat gezeigt, dass ein gewisser Prozentsatz der Schüler und Schülerinnen die vorausgesetzten Grundlagen für den Stoff im Fach Mathematik der. Klassen nicht genügend oder gar nicht beherrschen. Ø Schüler und Schülerinnen, welche das Niveau ll in Mathematik besuchten, haben in einigen Teilen Lücken, weil dieser Stoff in der OS nicht Pflichtstoff ist. Deshalb wird mit diesem Script ein Angebot gemacht, um diese Lücken zu schliessen. Ø Für die Erarbeitung dieser Themen steht in der OMS selber wenig Zeit zur Verfügung. Inhalt Ø Im vorliegenden Dossier sind in Kurzform die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst, welche du vor Beginn des Mathematikunterrichtes in der. HMS /. FMS beherrschen solltest. Ø Die Theorie wird in einer knappen Übersicht dargestellt. Ø Das Dossier enthält eine Zusammenstellung verschiedener Aufgaben. Zusätzlich werden im Teil die Lösungswege aufgezeigt. Ø Unter dem Titel Vermischte Übungen findest du weiteres Übungsmaterial. Hier werden die Einzelschritte nicht mehr aufgeführt. Ø Zusätzlich gibt es zahllose Angebote im Internet. Du kannst dieses Dossier selbständig durcharbeiten und dabei kontrollieren, ob du für den Mathematikunterricht in der OMS gerüstet bist oder noch arbeiten und üben solltest. September 06 Oberwalliser Mittelschule St. Ursula Alte Simplonstrasse, 00 BrigGlis Tel. 0/ Fax. 0 / info@omsbrig.ch Internet

2 Theoretische Grundlagen Addition / Subtraktion von Brüchen Gleichnamige Brüche 6 a b a b c c c Die Zähler werden addiert und der gemeinsame Nenner wird beibehalten. Ungleichnamige Brüche 6 Ungleichnamige Brüche müssen zuerst gleichnamig gemacht werden. Multiplikation von Brüchen a b c d 0 ac bd Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Wenn möglich, wird vor dem Multiplizieren gekürzt. Division von Brüchen a c b d a b d c 8 a d bc Man dividiert einen Bruch, indem man mit seinem reziproken Wert (Kehrwert) multipliziert. Rechnen mit rationalen Zahlen (Q) Addition (a) (b) a b ( a) (b) a b (a) ( b) a b ( a) ( b) a b Klammern auflösen ein vor der Klammer a (b c) a b c a (b c) a b c ein vor der Klammer a (b c) a b c a (b c) a b c.. Seite von 8.

3 PunktvorStrichRegel 6 0 Regel Zuerst wird multipliziert und dividiert und dann erst addiert und subtrahiert. ExponentvorPunktvorStrichRegel Regel Zuerst wird potenziert, dann multipliziert und dividiert, dann erst addiert und subtrahiert. 6 6 Distributivgesetz (ausmultiplizieren) allgemeine Form a (b c) a b a c (a b) c a c b c (a b)(c d) ac ad bc bd Doppelte Anwendung des Gesetzes. Kommutativgesetz a b b a a b b a Kommutativgesetz a b b a a b b a Summanden dürfen beliebig vertauscht werden. Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden. Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation, nicht aber für die Subtraktion und Divisiosn. Assoziativgesetz (a b) c a (b c) a b c (a b) c a (b c) a b c Assoziativgesetz Klammern können bei Summen und Produkten beliebig gesetzt oder weggelassen werden. Das Assoziativgesetz gilt für die Subtraktion und die Division nicht. Binomische Formeln (a b) (a b)(a b) a ab ab b a ab b (a b) (a b)(a b) a ab ab b a ab b (a b)(a b) a ab ab b a b (a b) a ab b (a b) a ab b (a b)(a b) a b.. Seite von 8

4 Aufgaben Einfache Terme Klammerregeln a) x y (x y ) x y (x y ) x y x y x 0y b) a b (a b ) a b (a b ) a b a b a b 6 c) z (z ) (z ) z (z ) (z ) z z z z d) (u v) (u v) (v u) (u v) (u v) (v u) u v u v v u u e) m (n m ) ( n m) m (n m ) ( n m) m n m n m m 6n a) (x y) (x ) (y ) (x y ) (x y) (x ) (y ) (x y ) x y x y x y x b) a (b c) (c a) (b a c) a (b c) (c a) (b a c) a b c c a b a c) a 6b c c) [ (x y ) (y x)] [ (x y ) (y x)] [ x y y x] x y y x x y a) (x y) (x y) (y x) (x y) (x y) (y x) 6x y x y y x x y b) a b (a b) (a b) a b (a b) (a b) a b a 0b a b) a b.. Seite von 8.

5 c) (m n ) (n m ) (m n) (m n ) (n m ) (m n) m n n m 6 m n m 6n 0 d) 6(x y z) (x y z) 6(x y z) (x y z) x 0y 6z 6x y z 8x y 8z e) (a b) (b a) (a b) (a b) (b a) (a b) a 6b b a 6a b 0a b a) x(x ) x(x ) x(x ) x(x ) 6x x x x x x b) a (a ) (a a ) a (a ) (a a ) a 0a a 8a a 0a 8a Produkte von Summen a) (x y)(z ) (x y)(z ) xz x yz y b) (x )(y ) (x )(y ) x y x y 6xy x y c) (u )(v ) (u )(v ) uv u 6v d) (m n)(m n) (m n)(m n) m mn n e) (z )(x ) (z )(x ) xz x 8z 0 f) (a b)(c d) (a b)(c d) ac ad 6bc bd g) (u v)(r s) (u v)(r s) 8ru 8rv su sv h) (m n)(k l) (m n)(k l) km kn lm ln i) (r s)(x z) (r s)(x z) rx rz sx 0sz.. Seite von 8

6 k) (6a b)(c d) (6a b)(c d) ac 6ad 0bc bd a) (a b)(a ab ) (a b)(a ab ) a a b ab a b b) (x y)(x y ) (x y)(x y ) 6x xy x y y Binomische Formeln a) (x y) (x y) x xy y b) (m n) (m n) m mn n c) (a ) (a ) a a d) (z ) (z ) z 6z e) (u v)(u v) (u v)(u v) u v f) (x )(x ) (x )(x ) x 6 g) (r s)(s r) (r s)(s r) r s h) ( b)(b ) ( b)(b ) b i) (x )(x ) (x )(x ) x k) (a b)(a b) (a b)(a b) a b a) (x y) (x y) x xy y b) (x y) (x y) x 0xy 6y c) (6m n) (6m n) 6m mn n.. Seite 6 von 8.

7 d) (a b) (a b) a 8ab b e) (u v) (u v) u 66uv v f) (s t) (s t) 6s st 8t g) (a 8b)(a 8b) (a 8b)(a 8b) 6a 6b h) (z )(z ) (z )(z ) z 6 i) (y z)(z y) (y z)(z y) 6y z k) (r 8t)(8t r) (r 8t)(8t r) r 6t a) (a b) (a b) a 0ab 6b b) (u v) (u v) u 8uv v c) (abc ) (abc ) a b c abc d) (6x ) (6x ) 6x 60x e) (xy z) (xy z) x y xyz z f) (r ) (r ) 8r r 6 a) (x y) (x y)(x y) (x y) (x y)(x y) x xy y x y x xy b) (a b) (a b) (a b) (a b) a 0ab b (6a 8ab b ) a 0ab b 6a 8ab b a 8ab 8b.. Seite von 8

8 a) x(x ) (x ) x(x ) (x ) 6x 8x (x x ) 6x 8x x x 6x x b) (x y) (x y)(y x) (x y) (x y)(y x) (x xy y ) ( x y 6xy) x xy y x 6y xy x xy y Lineare Gleichungen a) x 8 0 x x TU x 8 x b) x x x 6 x c) x x x 6 x ( ) d) z 6 8 z z z 6 e) 6 x 6 x 6 x 0 x ( ) f) x x x x g) x 6 x 6 x 6 x h) x 8 x 8 x x i) x 6 x 6 x x.. Seite 8 von 8.

9 k) 6 6x 6 6x 6 6x x 6 ( 6) a) x 8 x x x x 8 x x x TU x x x x x x b) x x 6 x x x x x 6 x x x TU x x x x 0 x 0 x c) x ( x) x ( x) x ( x) x ( x) TU x x x x x x TU x x x x d) (6 x) (x 6) (6 x) (x 6) TU 6 x x 6 6 x x TU x 6 x 6 x x e) (x ) x ( x) (x ) x ( x) TU x x x TU 6 x x x 6 6x 8 6x 6 x.. Seite von 8

10 f) 6 (x ) x (x ) 6 (x ) x (x ) TU 6 x x x TU x 6x x x x x 6 a) (x ) (x ) (x ) (x ) TU x x 6 x x 6 x x b) (x ) (x ) 0 (x ) (x ) 0 TU x x 8 0 TU 6x 0 6x 6 x 6 c) (x ) (x ) 0 (x ) (x ) 0 TU x x 0 TU x 0 x d) 8x (x ) x 6 8x (x ) x 6 TU x 8x 0x x 6 TU x 6 e) 6 (x ) (x ) ( x) 6 (x ) (x ) ( x) TU x 6 x 0 6x 6 x TU x x x x x x.. Seite 0 von 8.

11 a) b) c) d) e) x x x x x x TU (gleichnamig) 6 6 x x x 0 x 6 x x x x x 8 6 x x x x x x x x x 6 x x 6 x ( ) x x x TU (gleichnamig) 0 x x x x x x 6 x 8x 6 x 6 8 ( 8) x x x TU (gleichnamig) 6 0x x 6x 0 x x 6x 6x x x ( ) x x x TU (gleichnamig) x x 0x 0 x x 0x x 0 x x x x x TU (gleichnamig) 0x x x 8 0 x x x 8 x 0x 8 0 x Seite von 8

12 Ausklammern a) p q p q (p q) b) x y x y (x y) c) 8a 8b 8a 8b 8(a b) d) x y x y (x y) e) ax bx ax bx x(a b) f) mx my mx my m(x y) g) a a (a ) h) x x (x ) i) u u (u ) k) az a az a a(z ) a) 8a a 8a a a(a ) b) a 6a a 6a a( a) a( a ) c) 8a 6a 8a 6a a (a ) d) 0x x 0x x x(x ) e) 6z 8z 6z 8z z(z ) f) y y y y y(y ) g) n n n n n (n ) h) 8a b 6ab 8a b 6ab ab(a b).. Seite von 8.

13 a) 6x y z 6x y z (x y z) b) x y x y (x y ) c) x 6y 8z x 6y 8z (x y z) d) x 6y z x 6y z (x y z) e) x 0y z x 0y z (x 8y z) f) a b 8c a b 8c (a b c) g) 6x y 6x y (x y ) h) ax bx 8cx ax bx 8cx x(a b c) a) b) c) Addition und Subtraktion von Brüchen x 6y x 6x x x 6x 6x 0 6x y y 6y y y y y a a a a a a x 0 0 6x x 8 y y a 0a a a d) b b b b b b 8 8 b 0b 6b b.. Seite von 8

14 .. Seite von 8. e) c c c c c c c 0 c 0 8c 0 80c 0 c f) 8z z 6 z 8z z 6 z 8z 8z 8z 8z 0 g) 6y y y 6y y y 8y 8y 8y 8 8y h) u 8 u 6 u u 8 u 6 u u u u 0u i) b b b b b b b b 0b 0b b k) a 0a a a 0a a 0a 0a 0a 0a

15 Multiplikation und Division von Brüchen a) 8 z 8 z z z b) k c) p q p p 8 z z 8 z k k k k k p q p p k (p q) p p 0z k pq 6k d) x y 0x x x y x 0x ( x y) x x y 0x x a) b) c) d) a x a x x a x a ab x ab x x a x a a x x a ab x b x a a x a x x x x 8b a x a x bx x bx 8b x 8b bx x 8b.. Seite von 8

16 .. Seite 6 von 8. a) x x x x 8 x x x x b) 6x x 6x x 8x 6x x 6x x c) a a a a a a a a a d) y x y x y x y x x y x y y x y x y x e) y x 6xy y x 6xy xy y x 6xy y x 6xy

17 Vermischte Übungen Variablenterme umformen a) x x x x x b) x x x x x c) x x x 0 0 d) 8x 6x x 6x e) x 0x ( x) x f) x x x 60x g) x y z 60xyz h) (x y z) x y z i) k) l) a x b x c x 6 a b c x y z y z 0 f) a ( 0a a) a Produkte von Summen binomische Formeln a) (x z) x xz z b) (a b) a ab b c) (x y) x xy y d) (u v) 6u 86u v v e) (x y)(a b) ax bx ay by f) (q )(q ) q q g) (a b)(b a) a b h) (x )(x ) x x 8 i) (x )(x ) x x x k) (x )(x ) x x l) (0.x )(0. 0x) x.8x. p) (x y) x xy y q) (y z) y yz z r) (x y) x xy y.. Seite von 8

18 a) (6c d)(d 6c) 6c 6d b) (m ) 8m m c) (a )(a ) a 6 d) (uv v ) u v uv v e) (x y z)(x y z) x y z f) (x y 6) x y x y 6 g) (a b) (a b)(a b) ab b h) (x y) (x y) 0 i) ( x y)( X y) x y 6 k) (m )(m ) (m ) m 8 l) (x y) (x 6) 8x 8xy x 6y m) (z )(z ) (z )(z ) z z n) (z 8) (z )(z ) z 80z o) (a )( a ) a a a 8 Internet Zusätzliches Übungsmaterial, findest du im Internet. Mit den Suchbegriffen Termumformungen, Brüche, Gleichungen findest du viele Links. Zum Beispiel auf der Homepage des OS Lehrmittels http// Sites/MathematikSekundarstufeI/AufdemWegzurBerufsschule/tabid/8/language/deCH/Default.aspx Oder Band Kapitel 8a und 8b http// /tabid//language/dech/default.aspx Band Kapitel a, b und c http// /tabid//language/dech/default.aspx Viel Erfolg beim Durcharbeiten dieses Skripts! Falls dir Fehler (und solche hat es sicher drin ) auffallen, bitten wir um ein kurzes Feedback. Brig im September 06.. Seite 8 von 8.