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1 $Id: reell.tex,v /10/27 12:59:28 hk Exp $ 1 Die reellen Zahlen Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die normalen Zahlen und man kann sie sich etwa als alle abbrechenden und nicht abbrechenden Dezimalzahlen denken. Wir werden einige der Grundeigenschaften der reellen Zahlen hier herleiten, dies geschieht nicht weil an diesen irgendein Zweifel besteht sondern um die in der Mathematik verwendeten Beweismethoden an einigen einfachen Beispielen vorzuführen. Mathematik ist keine empirische Wissenschaft, man kann mathematische Aussagen nicht durch Versuche oder die Erhebung irgendwelcher Daten begründen, es steht nur ein rein deduktives Vorgehen zur Verfügung. Eine solche deduktive Begründung einer mathematischen Aussage nennt man dann einen Beweis derselben. 1.1 Die Arithmetik der reellen Zahlen Auf den reellen Zahlen sind zwei Grundrechenarten gegeben, zu je zwei reellen Zahlen x, y sind eine Summe x + y und ein Produkt x y definiert. Dabei sind Summe und Produkt selbst wieder reelle Zahlen. Dass bei den Grundrechenarten Subtraktion und Division erst einmal fehlen ist beabsichtigt, diese zählen wir nicht zu den vorgegebenen Grundoperationen sondern wir werden sie definieren. Wie gesagt wollen wir einige Grundrechenregeln der reellen Zahlen beweisen. Es gibt drei verschiedene grundsätzliche Beweismethoden, die wir auch alle kennenlernen werden, und die am häufigsten angewandte Methode ist der sogenannte direkte Beweis. Bei diesem wird eine Kette von Folgerungen hingeschrieben die mit der zu beweisenden Aussage endet. Man kann dabei nicht alle Rechenregeln beweisen, man braucht ja irgendwelche bereits feststehende Tatsachen mit denen die Folgerungskette beginnen kann. Diese Grundannahmen mit denen alles anfängt und deren Wahrheit man von vornherein annimmt, werden in diesem Zusammenhang Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die Axiome der reellen Zahlen. In der Auswahl dieser Axiome liegt eine gewisse Willkür, es gibt aber einen üblichen Satz von Axiomen die wir auch hier verwenden wollen. Sind die Axiome aber einmal gewählt so sind sie auch alles was wir an unbegründeten Tatsachen akzeptieren wollen, alles darüber hinausgehende bedarf eines Beweises. Insgesamt gibt es 16 Axiome für die reellen Zahlen die der Übersichtlichkeit halber in vier Gruppen aufgeteilt werden. Die erste dieser Gruppen sind die Axiome für Addition und Multiplikation und diese werden als die sogenannten Körperaxiome bezeichnet, das Wort Körper hat hier aber nichts mit irgendwelchen geometrischen Objekten zu tun. Wir listen die Körperaxiome jetzt auf: 1-1

2 Die Körperaxiome: (A1) Das Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt (x + y) + z = x + (y + z). (A2) Das Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen x, y gilt x + y = y + x. (A3) Es gibt eine reelle Zahl 0, genannt Null, mit 0 + x = x für jede reelle Zahl x. (A4) Für jede reelle Zahl x gibt es eine reelle Zahl x, genannt das additive Inverse von x, mit ( x) + x = 0. (M1) Das Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt (x y) z = x (y z). (M2) Das Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen x, y gilt x y = y x. (M3) Es gibt eine reelle Zahl 1, genannt Eins, mit 1 0 und 1 x = x für jede reelle Zahl x. (M4) Für jede reelle Zahl x mit x 0 existiert eine reelle Zahl x 1, genannt das multiplikative Inverse von x, mit x 1 x = 1. (D) Das Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt x (y + z) = x y + x z. Im Distributivgesetz, und natürlich auch sonst, verwenden wir hier die übliche Konvention Punkt vor Strich. Diese ist allerdings kein Axiom, ja nicht einmal eine mathematische Aussage, sondern nur eine Frage der Notation. Auch Multiplikationszeichen werden wir im Folgenden meist weglassen. Im Axiom (M3) ist es übrigens wirklich notwendig 1 0 zu fordern, lassen wir diese Bedingung weg, so könnte Null die einzige reelle Zahl sein. Aus den Körperaxiomen kann man alle arithmetischen Rechenregeln folgern, wenn man so will beschreiben die Körperaxiome genau das normale Rechnen. Die Körperaxiome sind auch weitgehend minimal, d.h. man kann, mit einer Ausnahme, keines dieser Axiome aus den anderen Axiomen herleiten. Die einzige Ausnahme ist das Kommutativgesetz der Addition, dieses folgt aus den restlichen Axiomen. Wir werden hier exemplarisch einige Rechenregeln für die reellen Zahlen beweisen, und beginnen mit der für jede reelle Zahl x gültigen Regel ( x) = x. 1-2

3 Beachte das wir hier kein x bestimmen müssen, dies ist keine Gleichung die es aufzulösen gilt. Gemeint ist das wann immer wir für x eine reelle Zahl einsetzen so entsteht eine wahre Aussage, es gelten also beispielsweise ( 1) = 1, ( 127, 53) = 127, 53 und so weiter. Wir behaupten also: (F1) Für jede reelle Zahl x gilt ( x) = x. Das F1 soll dabei für Folgerung 1 stehen, dies ist keine feststehende Bezeichnung dieser Aussage sondern nur ein temporärer Name für die Zwecke dieses Abschnitts. Wie schon gesagt bedarf jede mathematische Aussage eines Beweises, und einen solchen wollen wir nun vorführen. Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Dann ist ( x) (A3) = 0 + ( ( x)) (A2) = ( ( x)) + 0 (A4) = ( ( x)) + (( x) + x) (A1) = (( ( x)) + ( x)) + x (A4) = 0 + x (A3) = x. Wir wollen diesen Beweis jetzt noch etwas kommentieren und zunächst die Verwendung von Variablen erläutern. Im normalen Sprachgebrauch ist eine Variable eine Größe deren Wert sich im Laufe der Zeit oder in Abhängigkeit anderer Größen ändert, aber in der Mathematik wird das Wort Variable in einem etwas anderen Sinne verwendet. Nehmen wir etwa die Variable x im Lemma. Diese wurde mit Sei x eine reelle Zahl eingeführt, und dies meint das wir uns eine reelle Zahl nehmen und dieser den Namen x geben. Diese Zahl ändert sich dann im folgenden nicht, der Wert von x ist nicht etwas variables und es ist beispielsweise völlig sinnlos so etwas wie Sei x := 3 sagen zu wollen, man könnte allerhöchstens den Fall betrachten das x gleich 3 ist. Variablen in der Mathematik sind nur Namen für mathematische Objekte und keine sich ändernden Größen, die Namensgebung Variable kommt daher das etwa unsere Variable x ein Name für eine völlig beliebige reelle Zahl ist, die Variabilität liegt in den potentiell möglichen Werten für x aber eben nicht im gewählten Wert selbst. Dies weicht vom üblichen Sprachgebrauch etwas ab, aber daran muss man sich letztlich gewöhnen. Es gibt einige, wenige Ausnahmen zum oben gesagten, beispielsweise die Integrationsvariable in einem bestimmten Integral wie 1 0 x 2 dx. Das Symbol x ist hier eine echte Variable, man spricht hier auch von einer formalen Variablen. Derartige Variablen treten immer nur in gebundener Form auf, beispielsweise gibt es das x im obigen Integral nur innerhalb des Integranden, Formeln wie x 2 /2 = 1 x dx sind weder wahr noch falsch sondern nur unsinnig. Ein weiteres 0 1-3

4 Beispiel für formale Variablen kommt in unserer Behauptung Für jede reelle Zahl x ist ( x) = x vor, das x ist hier in der Allaussage gebunden. Jede Variable muss eingeführt werden, insbesondere müssen wir in unserem Beweis die Variable x einführen und dies geschieht mit dem einleitenden Satz Sei x eine reelle Zahl. Die eigentliche Rechnung im Beweis ist dann nur eine Abfolge von Anwendungen der Axiome. Dass wir dabei bei jedem Schritt angeben welches Axiom jeweils verwendet wird ist eher unüblich, dies ist jetzt nur als Hilfestellung zum Anfang gedacht, später wird dann etwas mehr eigenes Mitdenken erwartet. Nicht alle mathematischen Aussagen sind einfach Gleichungen, häufiger sind Implikationen also Aussagen des Typs wenn irgendetwas gilt, so gilt auch etwas anderes. Als ein Beispiel für eine solche Aussage nehmen wir: (F2) Seien x, y, z drei reelle Zahlen mit x + z = y + z. Dann ist auch x = y. Beweis: Seien also x, y, z drei reelle Zahlen und es gelte x + z = y + z. Dann folgt auch x (A3) = 0 + x (A2) = x + 0 (A4) = x + (( z) + z) (A2) = x + (z + ( z)) (A1) = (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z) (A1) = y + (z + ( z)) (A2) = y + (( z) + z) (A4) = y + 0 (A2) = 0 + y (A3) = y. Auch hier sind wieder einige Kommentare angebracht. Wir haben den Beweis wieder mit Seien x, y, z... begonnen, da Variablen nun einmal eingeführt werden müssen. Andererseits werden x, y, z auch in der Formulierung von (F2) eingeführt, diese beginnt ja ebenfalls mit Seien x, y, z drei reelle Zahlen, und es ist eine übliche Konvention in solchen Fällen die Variablen stillschweigend aus der Formulierung der zu beweisenden Aussage zu übernehmen. Selbiges trifft auch auf die sonstigen Annahmen, bei (F2) ist dies x + z = y + z, zu, man kann den Beweis also verkürzen und den ersten Satz einfach weglassen. In den allermeisten Fällen werden wir im Folgenden dieser Konvention folgen. Dies werden wir aber nicht tun wenn die Aussage explizit als Allaussage formuliert ist, wenn also (F2) beispielsweise in der Form Für alle reellen Zahlen x, y, z mit x + z = y + z ist auch x = y formuliert wäre, dann denken wir uns x, y, z in der Aussage gebunden und müssten sie dann im Beweis wieder einführen. Weiter sehen wir an diesem Beweis das es allmählich lästig wird immer wieder alles auf die Axiome zurückzuführen, einige Argumente wiederholen sich dabei ständig, wie etwa oder (F3) Für jede reelle Zahl x ist x + 0 = x (F4) Für jede reelle Zahl x ist x + ( x) =

5 Benutzt man diese Hilfsaussagen anstelle der Axiome selbst, so kann man den obigen Beweis zu x = x+0 = x+(z+( z)) = (x+z)+( z) = (y+z)+( z) = y+(z+( z)) = y+0 = y verkürzen. Eine weitere Verkürzung ergibt sich indem das Assoziativgesetz (A1) in Notation umgesetzt wird, das Axiom besagt ja das die Klammerung bei Addition keine Rolle spielt, und wenn sie keine Rolle spielt kann man sie auch gleich weglassen, man schreibt also x+y+z statt (x+y)+z, und entsprechend für vier und mehr Summanden. Mit dieser Konvention kann man den Beweis noch etwas einfacher schreiben x = x + 0 = x + z + ( z) = y + z + ( z) = y + 0 = y. Entsprechendes gilt für die Multiplikation, es kommen allerdings einige kleine Komplikationen hinzu da die Null kein multiplikatives Inverses hat. Klar oder analog zu (F2) sind (F5) Für jede reelle Zahl x ist x 1 = x. (F6) Für jede reelle Zahl x mit x 0 ist x x 1 = 1. (F7) Sind x, y, z reelle Zahlen mit x z = y z und z 0, so ist x = y. Die multiplikative Form von (F1) ist etwas komplizierter, und wir brauchen zu ihrer Behandlung auch noch eine weitere Hilfsaussage: (F8) Für jede reelle Zahl x gilt 0 x = 0. Diese harmlos aussehende Behauptung ist tatsächlich die erste Stelle an der wir das Distributivgesetz benötigen, alle unsere bisherigen Beweise sind mit den ersten acht Axiomen ausgekommen. Der Beweis von (F8) kann beispielsweise folgendermaßen geführt werden: Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Dann gilt x (A3) = 0 x (A3) = (0 + 0) x (D) = 0 x + 0 x, und eine Anwendung von (F2) liefert 0 x = 0. Damit kommen wir zur angekündigten multiplikativen Form von (F1). (F9) Ist x 0 eine reelle Zahl, so ist auch x 1 0 und (x 1 ) 1 = x. Beweis: Sei x eine reelle Zahl mit x 0. Da nach (M4) und (M3) dann x 1 x = 1 0 ist, aber nach (F8) auch 0 x = 0 gilt, muss x 1 0 sein. Weiter ist (x 1 ) 1 x 1 = 1 = x x 1 1-5

6 und mit (F7) folgt (x 1 ) 1 = x. Die Aussage (F8) hat zwei weitere wichtige Konsequenzen, die erste davon ist der Zusammenhang zwischen Multiplikation und dem additiven Inversen, dies meint die wohlbekannte Regel (F10) Für jede reelle Zahl x ist x = ( 1) x. Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Nach (F8) ist dann ( x) + x = 0 = 0 x = (( 1) + 1) x = ( 1) x + 1 x = ( 1) x + x, also haben wir x = ( 1) x nach (F2). Kommen wir zur letzten heute zu behandelnden Aussage der sogenannten Nullteilerfreiheit, d.h. ist ein Produkt zweier reeller Zahlen gleich Null so ist bereits einer der beiden Faktoren gleich Null. Der Beweis dieser Tatsache verwendet eine sogenannte Fallunterscheidung. (F11) Sind x, y zwei reelle Zahlen mit x y = 0, so ist x = 0 oder y = 0. Beweis: Seien also x, y reelle Zahlen mit x y = 0. Ist y = 0, so sind wir bereits fertig. Im anderen Fall nehmen wir dagegen y 0 an, und da nach (F8) auch 0 y = 0 = x y, mit y 0 gilt, liefert (F7) in diesem Fall x = 0. Beachte das das oder in (F11) ein einschließendes oder ist, d.h. es ist auch möglich das x = 0 und y = 0 gelten. Dies ist die in der Mathematik übliche Konvention, das Wort oder steht immer für die einschließende Version, in den erstaunlich seltenen Fällen in denen die ausschließende Version gemeint ist schreibt man explizit entweder... oder. Dies soll an Beispielen für Herleitungen von Rechenregeln erst einmal reichen. Wie schon bemerkt sind Subtraktion und Division keine eigenständigen Rechenoperationen, sondern sie können in Termen von Addition und Multiplikation definiert werden, sind also letztlich nur Schreibweisen. Für reelle Zahlen x, y definieren wir die Differenz von x und y als x y := x + ( y) und im Fall y 0 definieren wir den Quotienten von x durch y als x y := x y

7 Das Symbol := steht dabei für wird definiert als und wird nur der Deutlichkeit halber verwendet, eigentlich ist es überflüssig da wir ja bereits gesagt haben das es sich um Definitionen handelt. Als eine Übungsaufgabe werden Sie zeigen, dass dann die üblichen Bruchrechenregeln gelten. Wie schon bemerkt ergeben sich aus den Körperaxiomen alle Rechenregeln für die Grundrechenarten. Hiermit sind allerdings nur die Gleichheiten gemeint, also Aussagen der Form =, bei Ungleichheiten sieht alles anders aus. Zum Beispiel reichen die Körperaxiome nicht aus um zu beweisen, man kann mit ihnen nicht einmal zeigen, dass es eine von Null und Eins verschiedene reelle Zahl gibt. 1-7