Analysis I. Wintersemester 2002/03. W. Ebeling

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1 Anlysis I Wintersemester 2002/03 W. Ebeling

2 Zhlensysteme Zhlensysteme Die Anlysis befsst sich mit Funktionen von reellen Zhlen. Zunächst wird eine Übersicht über Zhlensysteme gegeben. Zum Abzählen bedient mn sich der ntürlichen Zhlen: N = {0,, 2,... } bezeichnet die Menge der ntürlichen Zhlen. (Mn bechte, dss wir die Null mit hinzunehmen!) Von L. Kronecker (823-89) stmmt der Ausspruch: Die ntürlichen Zhlen sind vom lieben Gott gemcht, lles ndere ist Menschenwerk. Ds Dezimlsystem, in dem wir die ntürlichen Zhlen ufschreiben {0,, 2,..., 0,, 2,..., 00, 0, 02,... }, wurde in Indien in der Zeit 300 v. 600 n. Chr. eingeführt. Der Hindu- Mthemtiker Brhmgupt rechnete 628 bereits mit den gnzen Zhlen: Z = {..., 2,, 0,, 2,... } bezeichnet die Menge der gnzen Zhlen. Aus den gnzen Zhlen lssen sich die rtionlen Zhlen konstruieren: { } p Q = q p, q Z, q 0 ist die Menge der rtionlen Zhlen. Schließlich ht mn noch die Menge der reellen Zhlen R, deren Elemente in eineindeutiger Weise den Punkten einer Gerden entsprechen. Zwischen den bisher gennnten Mengen ht mn die folgenden Teilmengenbeziehungen: N Z Q R. Wie erhält mn nun die eineindeutige Korrespondenz zwischen den reellen Zhlen R und einer Gerden? Dzu wählen wir zunächst zwei Punkte 0 und uf der Gerden und trgen dnn äquidistnt die übrigen gnzen Zhlen b Um nun einen Punkt für die rtionle Zhl p q, p, q Z, q > 0, festzulegen, teilt mn die Strecke 0p uf der Gerden in q gleiche Teile. Der m dichtesten bei 0 gelegene Teilpunkt steht dnn für p q.

3 Zhlensysteme 2 q = 5 gleiche Teile p = 4 p q = Mn sieht dnn ein, dss die rtionlen Zhlen dicht uf der Gerden liegen. Ds heißt, in jeder noch so kleinen Umgebung eines jeden Punktes der Gerden findet mn eine rtionle Zhl (genuer gesgt, einen Punkt, der eine rtionle Zhl repräsentiert). Um einen solchen Punkt zu finden, muss mn q genügend groß und p pssend wählen. Allerdings ht mn bisher keineswegs lle Punkte der Gerden erwischt. Die Digonle des Einheitsqudrts ht die Länge Stz. Die Zhl 2 ist irrtionl (d.h. nicht rtionl). Beweis. Dieser Beweis ist ein Beispiel für einen indirekten Beweis. Wir nehmen n, dss 2 rtionl ist, und leiten drus einen Widerspruch her. Wir nehmen lso n p 2 =, p, q Z, q 0. q Ohne Einschränkung können wir zusätzlich nnehmen, dss dieser Bruch bereits gekürzt ist. Insbesondere können wir nnehmen, dss p und q nicht beide gerde sind. Aus 2 = p q folgt ber 2q 2 = p 2. Drus folgt p 2 gerde. D ber Qudrte ungerder Zhlen wieder ungerde sind, muss lso schon p gerde sein, d.h. p = 2p für ein p Z. Setzen wir dies für p in die obige Gleichung ein, so folgt 2q 2 = 4(p ) 2. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 2, so erhlten wir q 2 = 2(p ) 2. Drus folgt nun ber, dss uch q 2 und dmit q gerde sein muss. Dies ist ber ein Widerspruch zu unserer Annhme. Also wr unsere Annhme, dss 2 rtionl ist, flsch.

4 Zhlensysteme 3 Wie schreibt mn nun reelle Zhlen hin? Mn knn eine reelle Zhl durch eine periodische oder nicht periodische Dezimlentwicklung drstellen, z.b. 2 =, Diese Drstellung ist noch gr nicht so lt. Rheticus stellte 550 eine Sinus-Tbelle uf. D ds Komm erst 660 erfunden wurde, behlf sich Rheticus ddurch, dss er 0 0 sin ϕ nstelle von sin ϕ ngb. Rheticus berechnete den Sinus uf 0 Stellen genu. Insbesondere htte er lso uch 2 = 2 sin 45 gut pproximiert. Ein weiteres Beispiel einer reellen Zhl ist die Zhl π. Ein Kreis vom Durchmesser d ht den Umfng π d. Die Zhl π ist eine sogennnte trnszendente Zhl. Eine Zhl r R heißt lgebrisch genu dnn, wenn r Nullstelle irgendeines Polynoms n x n + n x n + + x + 0 mit gnzzhligen Koeffizienten n, n,..., 0 und n 0 ist. Eine Zhl r R heißt trnszendent genu dnn, wenn r nicht lgebrisch ist. Z. B. sind lle rtionlen Zhlen p q, p, q wie oben, lgebrisch, d p q Nullstelle von qx p ist. Die Zhl 2 ist lgebrisch, d sie Nullstelle von x 2 2 ist. Für π zeigte F. v. Lindemnn ( 852 Hnnover, 939) 882, dss π trnszendent ist. Die Trnszendenz von π hängt mit der Qudrtur des Kreises insofern zusmmen, ls sich mit Zirkel und Linel nur lgebrische Zhlen konstruieren lssen. Deswegen ist die Qudrtur des Kreises unmöglich. Genueres lernt mn in der Vorlesung Algebr I. Die reellen Zhlen sind grundlegend für die Anlysis. Wie führt mn die reellen Zhlen streng mthemtisch ein? Unsere bisherigen Betrchtungen wren nämlich nur heuristisch. Die Zhlengerde hben wir nicht präzise definiert. Dzu müssten wir genu erklären, ws wir unter einer Gerden, einem Punkt und dem Abstnd von zwei Punkten verstehen. Eine ndere Möglichkeit wäre, die reellen Zhlen direkt durch Dezimlentwicklungen einzuführen. Dbei ergeben sich ber folgende Probleme: Die Bedeutung von... müsste erklärt werden. Summe und Produkt von Dezimlentwicklungen müssten erklärt werden. Die Zhl 0 ist us mthemtischer Sicht nicht usgezeichnet. Wir gehen deshlb folgenden Weg, der chrkteristisch für die Mthemtik ist: Wir stellen ein System von Gesetzen zusmmen, die von den reellen Zhlen - ws immer ds sein mg - erfüllt werden und uf die llein bei Beweisen zurückgegriffen wird. Die usgewählten Gesetze nennt mn Axiome.

5 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 4 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) Die Menge der reellen Zhlen R ht zwei Verknüpfungen + und, d.h., b R ist eindeutig zugeordnet + b R (Summe), b R (Produkt). Diese Verknüpfungen erfüllen die folgenden Axiome: Axiome der Addition: (A) Für lle, b R gilt + b = b + (Kommuttivgesetz). (A2) Für lle, b, c R gilt + (b + c) = ( + b) + c (Assozitivgesetz). (A3) Es gibt (mindestens) ein Element 0 R, so dss für lle R gilt (Existenz der Null). + 0 = (A4) Zu jedem R existiert (mindestens) ein R, so dss gilt (Existenz des Negtiven). + = 0 Wir wollen nun zeigen, wie us diesen Axiomen einige beknnte Aussgen forml hergeleitet werden können. Stz 2. Es gibt nur eine 0. Genuer: Wenn + 0 = und + 0 = für lle R gilt, dnn ist 0 = 0. Beweis. 0 Vor. = (A) = Vor. = 0. Stz 2.2 Zu jedem R gibt es nur ein Gegenelement.

6 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 5 Beweis. Es seien, R mit + = 0, + = 0. Dnn gilt (A3) = + 0 Vor. = + ( + ) (A2) = ( + ) + (A) = ( + ) + Vor. = 0 + (A) = + 0 (A3) = Ds eindeutig bestimmte mit + = 0 wird mit bezeich- Nottion net. Stz 2.3 Für jedes R gilt ( ) =. Beweis. Nch Definition des Negtiven von gilt ( ) + ( ( )) = 0. Andererseits gilt ( ) + (A) = + ( ) (A4) = 0. Aus der Eindeutigkeit des Negtiven folgt nun ( ) =. Stz 2.4 Die Gleichung + x = b ht eine eindeutig bestimmte Lösung x = b + ( ). (Eindeutige Lösbrkeit von Differenzufgben) Nottion b := b + ( ). Beweis. () Wir zeigen zunächst, dss x = b die Gleichung löst: + (b ) = + (b + ( )) (Def.) = + (( ) + b) (A) = ( + ( )) + b (A2) = 0 + b (A4) = b (A3) (b) Wir zeigen jetzt die Eindeutigkeit der Lösung: Aus + x = b, + y = b

7 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 6 folgt x (A3,A4) = (( ) + ) + x (A2) = ( ) + ( + x) (Vor.) = ( ) + ( + y) (A2) = (( ) + ) + y (A3,A4) = y. Mn knn noch zhllose ndere Folgerungen us den Axiomen ziehen, z.b. (b c) = ( b) + c. Stz 2.5 Für lle, b R gilt ( + b) = b. Beweis. Übung! Axiome der Multipliktion: (M) Für lle, b R gilt b = b (Kommuttivgesetz). (M2) Für lle, b, c R gilt (b c) = ( b) c (Assozitivgesetz). (M3) Es gibt (mindestens) ein Element 0 in R, so dss für lle R gilt = (Existenz der Eins). (M4) Zu jedem R mit 0 existiert (mindestens) ein R, so dss gilt = (Existenz des Inversen). Wie oben knn mn beweisen: Stz 2.6 Ist = für lle R und = für lle R, so ist =. (Eindeutigkeit der )

8 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 7 Stz 2.7 Ist 0 ein Element von R und = und =, so ist =. (Eindeutigkeit des Inversen) Nottion Mn bezeichnet ds zu 0 eindeutig bestimmte multipliktive Gegenelement oder, es ist von Null verschieden. Zur Verbindung von + und ht mn noch ds Distributivgesetz ls Axiom. Distributivgesetz (D) Für lle, b, c R gilt Stz 2.8 Für lle, b, c R gilt (b + c) = b + c. ( + b) c = c + b c. Beweis. ( + b) c (M) = c ( + b) (D) = c + c b (M) = c + b c. Stz = 0 für lle R. Beweis. Es gilt 0 = (0 + 0) (A3) = (D). Die Zhl 0 ist dher Lösung der Differenzufgbe 0 + x = 0. Aber uch 0 ist eine Lösung dieser Aufgbe. Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt 0 = 0. Stz 2.0 Für, b R gilt b = 0 genu dnn, wenn = 0 oder b = 0. Bemerkung 2. Hier müssen wir eine Bemerkung zum Gebruch des Wortes oder in der Mthemtik mchen. Ds Wort oder ist in der Mthemtik nie usschließend gemeint im Sinne von entweder/oder, sondern schließt mit ein, dss beide Aussgen gelten. Sind lso A und B Aussgen wie z.b. = 0 und b = 0, so bedeutet A oder B, dss A oder B gilt oder beide Aussgen A und B gelten. In unserem Fll bedeutet lso = 0 oder b = 0, dss = 0 oder b = 0 oder = b = 0 gilt.

9 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 8 Beweis. Wir müssen zwei Aussgen beweisen: () Wenn b = 0 gilt, dnn ist = 0 oder b = 0. (b) Wenn = 0 oder b = 0 gilt, dnn ist b = 0. Zu (): Es sei b = 0. Angenommen, es ist 0. Dnn gilt 0 = b (Vor.) = ( b) (Stz 2.9) = ( ) b (M2) = b (M4) = b (M3). Also ist wenigstens eine der beiden Zhlen oder b gleich 0. Zu (b): Dies folgt us Stz 2.9 und (M). Stz 2. Für lle, b R gilt ( ) b = ( b). Beweis. Behuptet wird lso, dss ( ) b ds Gegenelement zu b ist, d.h. b + ( ) b = 0. Aber ds stimmt ntürlich: b + ( ) b = ( + ( )) b (Stz 2.8) Stz 2.2 Für lle, b, c R gilt = 0 b (A4) = 0 (M, Stz 2.9). (b c) = b c. Beweis. Behuptet wird lso, dss (b c) Lösung der Differenzufgbe c + x = b ist. Aber c + (b c) = (c + b + ( c)) (D) = (b + c + ( c)) (A) = (b + 0) (A4) = b (A3). Genu wie oben folgen die drei nächsten Sätze:

10 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 9 Stz 2.3 Für lle R mit 0 gilt ( ) =. Stz 2.4 Für 0 und b us R existiert genu ein Element x mit x = b. (Eindeutige Lösbrkeit von Divisionsufgben) Nottion Dieses Element wird mn b nennen: Stz 2.5 Für lle, b R gilt b := b = b. ( b) = b. Abschweifung in die bstrkte Algebr Durch die bisher gennnten Axiome (A) (A4), (M) (M4), (D) sind die reellen Zhlen noch nicht eindeutig festgelegt. Jede beliebige Menge M mit zwei Verknüpfungen, die diese Axiome erfüllt, nennt mn einen Körper. Beispiele für Körper sind R und Q, jedoch ist Z kein Körper, d ds Axiom von der Existenz des Inversen verletzt ist (z.b. besitzt die Zhl 2 Z in Z kein Inverses). Erstunlicherweise gibt es Körper mit endlich vielen Elementen. Zum Beipiel einen mit 2 Elementen: Teilt mn nämlich die ntürlichen Zhlen in die zwei Klssen ger der gerden und ung der ungerden Zhlen ein und ddiert und multipliziert sie, wie ihre Elemente es tun würden, nämlich ger + ger = ger ger + ung = ung ung + ger = ung ung + ung = ger ger ger = ger ger ung = ger ung ger = ger ung ung = ung, so ensteht ein Körper mit 2 Elementen, in dem ger der 0 und ung der entspricht. Hier ist lso insbesondere + = 0, d.h. =. Diesen Körper bezeichnet mn mit F 2. Zu weiteren Axiomen der reellen Zhlen gehören die Ordnungsxiome, die die reellen Zhlen llerdings immer noch nicht chrkterisieren. Der Zweck dieser Axiome ist es, die positiven Zhlen zu chrkterisieren. Ordnungsxiome Es ist eine Menge P R usgezeichnet, die Menge der positiven Zhlen. Sie erfüllt (Ord) Für jedes R ist genu eine der drei Aussgen P, P, = 0 whr. (Trichotomiegesetz)

11 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 0 (Ord2) Aus P und b P folgt + b P. (Ord3) Aus P und b P folgt b P. Wir können nun definieren: Definition > b genu dnn, wenn b P, < b genu dnn, wenn b P. Anschulich bedeutet dies: Auf der Zhlengerden sind diejenigen Zhlen positiv, die rechts von 0 liegen. Es gilt b > genu dnn, wenn b rechts von liegt. 0 P < b Merke > 0 P < 0 P Von den drei Auusgen > 0, < 0, = 0 ist für R jeweils eine whr. Stz 2.6 Für, b R ist von den drei Aussgen > b, < b, = b genu eine erfüllt. Beweis. Setze c := b. Dnn gilt < b b P c P > b b P c P = b b = 0 c = 0 Aus (Ord) folgt die Behuptung. Stz 2.7 (Trnsitivität der Kleiner-Reltion) Für, b, c R gilt: < b und b < c < c. Beweis. < b und b < c b P und c b P (Def.) c = (c b) + (b ) P (Ord2)

12 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) Stz 2.8 Für, b, c R gilt () < b + c < b + c. (b) < b und c > 0 c < b c. (c) < b und c < 0 c > b c. Beweis. () (b + c) ( + c) = b > 0 nch Vorussetzung. Dher ist + c < b + c. (b) (c) < b und c > 0 b P und c P (Def.) (b ) c P (Ord3) b c c P (Stz 2.2, M) c < b c (Def.) < b und c < 0 b P und c P (Def.) (b ) ( c) P (Ord3) c b c P (Stz 2.2, M, Stz 2.) c > b c (Def.) Stz 2.9 Für lle R gilt 0 2 := > 0. Beweis. Flls > 0, folgt die Behuptung us (Ord3). Andernflls ist > 0 und ( ) ( ) = 2 > 0 (Ord3). Stz 2.20 Für lle R gilt > 0 = > 0 < 0 = < 0 Beweis. Es gilt = ( ) 2 > 0 flls > 0 wegen (Ord3) und dem vorherigen Stz.

13 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 2 Stz 2.2 Für lle, b R gilt Beweis. 0 < < b 0 < b <. > 0 und b > 0 b > 0 (Ord3) ( b) = b > 0 (Stz 2.5, Stz 2.20) Deswegen drf mn nch Stz 2.8 die Ungleichung < b mit b multiplizieren und erhält Stz 2.22 Es gilt > 0. b = ( b ) < b ( b ) =. Beweis. Aus 0 folgt nch Stz > 0. Wegen 2 = (M3) folgt drus > 0. Exkurs über Qudrtwurzeln Es sei R. Frge: Gibt es dnn ein x R, so dss x 2 =? Ds ist ein Problem, denn die bisherigen Axiome werden uch von der Menge Q der rtionlen Zhlen erfüllt, und wir wissen bereits, dss z.b. die Gleichung x 2 = 2 keine Lösung in Q besitzt. Stz 2.23 () Flls < 0, dnn gibt es keine Lösung von x 2 =. (b) Flls = 0, dnn gibt es genu die Lösung x = 0 von x 2 = und keine ndere. (c) Flls > 0, dnn gibt es keine Lösung von x 2 = oder genu zwei. Beweis. () Aus Stz 2.9 folgt: Qudrte sind nicht negtiv. (b) Dss x = 0 eine Lösung von x 2 = 0 ist, ist klr; dss es keine ndere gibt, folgt uch us Stz 2.9. (c) Angenommen, es gibt mindestens zwei Lösungen x, x 2 von x 2 =. Dnn gilt = x 2 = x = x 2 x 2 2 = (x x 2 ) (x + x 2 ) x = x 2 oder x = x 2 (Stz 2.0) Wenn es lso eine Lösung x von x 2 = gibt, dnn ist x uch eine Lösung und es gibt keine weiteren.

14 2 Die Axiome der reellen Zhlen (. Teil) 3 Welche Alterntive von (c) nun gilt, werden wir später sehen. Wir führen noch eine neue Bezeichnung ein: Definition Mn setzt b, flls < b oder = b gilt. Für diese Reltion gelten (ls Folgerungen obiger Regeln) zhllose weitere, wie z.b. b und c 0 c b c, 0 und b 0 und b 2 b 2. Wir führen nun den Absolutbetrg ein. Definition Für R setzt mn { flls 0, := flls < 0. Wegen (Ord) ht mn für lle R definiert. Wir geben nun einige Eigenschften des Absolutbetrgs n. Stz 2.24 Es gilt stets 0 und = 0 genu dnn, wenn = 0. Stz 2.25 Für lle R gilt Stz 2.26 Für lle, b R gilt =. b = b. Beweis. Dies beweist mn durch direkte Verifiktion in jedem der vier möglichen Fälle () 0, b 0 (2) 0, b < 0 (3) < 0, b 0 (4) < 0, b < 0. Stz 2.27 (Dreiecksungleichung) Für lle, b R gilt + b + b. Beweis. Es gilt und b b. Dher folgt (mit obigen Sätzen) + b + b. Andererseits gilt und b b und dher ( + b) = b + b.

15 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 4 Insgesmt ergibt sich lso Korollr 2. Für lle, b R gilt + b + b. + b b. Beweis. Es sei c := + b und d := b. Nch der Dreiecksungleichung gilt d.h. c + d c + d, + b + b = + b + b. Addition von b uf beiden Seiten der Ungleichung ergibt die Behuptung. Mit Hilfe der Anordnung werden die Intervlle definiert. Definition Es sei < b. [, b] := {x R x b} bgeschlossenes Intervll, [, b) := {x R x < b} hlboffenes Intervll, (, b] := {x R < x b} hlboffenes Intervll, (, b) := {x R < x < b} offenes Intervll. Die Zhl b bezeichnet mn ls die Länge des Intervlls. Ebenso definiert mn die uneigentlichen Intervlle: [, ) := {x R x }, (, ) := {x R x > }, (, ] := {x R x }, (, ) := {x R x < }. 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik Die ntürlichen Zhlen sind durch den Zählprozeß 0,, +, + +,... definiert. In dem von uns betrchteten Körper R gibt es 0,, lso uch +, + +, usw. Diese Zhlen sind im Körper uch lle verschieden. (Diese

16 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 5 Bemerkung müssen wir mchen, d im Körper mit 2 Elementen + = 0 gilt, dies lso nicht stimmt.) Dies folgt us den Ordnungsxiomen: Aus 0 < folgt 0 + < +, drus wiederum + < + +, usw. In diesem Sinne ist lso N in R eingebettet, d.h. N R. Diese Einbettung ht mn gerde so gewonnen, dss mn lles nimmt, ws sich us 0 und durch Addition gewinnen lässt. Nimmt mn sogr lles zu 0 und hinzu, ws sich durch Addition und Subtrktion herstellen lässt, so erhält mn eine Einbettung von Z in R. Nimmt mn schließlich zu 0 und lles hinzu, ws sich durch +,,, : gewinnen lässt, so erhält mn die Einbettung Q R. Mit den ntürlichen Zhlen hängt ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion zusmmen, ds wir nun drstellen wollen. Es sei A(n) eine Aussge, die von der ntürlichen Zhl n bhängt, z.b. die Aussge n(n + ) n =, 2 in Worten: Die Summe der ersten n + ntürlichen Zhlen ist n(n+) 2. Wir wollen zeigen, dss diese Aussge für lle ntürlichen Zhlen n richtig ist. Dzu ist zu zeigen: () Induktionsnfng: A(0) ist richtig. (2) Induktionsschritt: Für jede Zhl n N gilt: Ist A(n) richtig, so uch A(n + ). Gelingt dies zu zeigen, dnn ist A(n) für jede ntürliche Zhl n richtig. Anschulich ist ds klr: Mn beweist zuerst A(0). Nch dem Induktionsschritt ist dnn uch A() whr, lso uch A(2), lso A(3), usw. Vrinte: Anstelle von 0 knn eine beliebige ndere ntürliche Zhl n 0 ls Anfngszhl treten. Die Behuptung folgt mit obiger Beweismethode dnn ntürlich nur für A(n) mit n n 0. Wir geben nun einige Beispiele zur Einübung der vollständigen Induktion. Hierzu ist es zweckmäßig, ds Summen- und Produktzeichen einzuführen. Es seien m n gnze Zhlen. Für jede gnze Zhl k mit m k n sei k R. Dnn setzt mn n k := m + m+ + + n, k=m n k := m m+... n. k=m Stz 3. Für lle ntürlichen Zhlen n gilt: n n(n + ) k =. 2

17 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 6 Beweis (durch vollständige Induktion nch n). () Induktionsnfng: Für n = 0 gilt 0 k = 0 = 0(0 + ). 2 (2) Induktionsschritt n n + : Induktionsvorussetzung: Es gelte Es ist zu zeigen: Dies sieht mn so ein: n+ k = = = n k = n+ k = n k + (n + ) n(n + ). 2 (n + )(n + 2). 2 n(n + ) + (n + ) (Induktionsvorussetzung) 2 (n + )(n + 2). 2 Dieser Stz erinnert n die beknnte Geschichte über C. F. Guß. Als Sechsjähriger sollte er die Zhlen von bis 00 ufddieren dmit sein Lehrer Ruhe htte. Guß wr schnell fertig ohne vollständige Induktion: 00 k = = Wie ist Guß uf diese Zhl gekommen? Er schrieb die Zhlen nebeneinnder und ddierte von ußen nch innen: 00 k = ( + 00) + (2 + 99) + + (50 + 5) = 50 0 = Stz 3.2 Für lle ntürliche Zhlen n gilt: n (2k ) = n 2. k=

18 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 7 Beweis (durch vollständige Induktion nch n). () Induktionsnfng: n = : = (2) Induktionsschritt n n + : Induktionsvorussetzung: n (2k ) = n 2. Es ist zu zeigen: Dies sieht mn so ein: n+ (2k ) = k= k= n+ (2k ) = (n + ) 2. k= n (2k ) + (2(n + ) ) k= = n 2 + 2n + (Induktionsvorussetzung) = (n + ) 2. Definition Für eine ntürliche Zhl n setzen wir n n! := 2... n = k n Fkultät, 0! :=. k= Bemerkung 3. Eine lterntive Definition ist eine rekursive Definition von n!: 0! :=, n! := n (n )! für n. Stz 3.3 Die Anzhl der möglichen Anordnungen einer n-elementigen Menge {A,..., A n } (n ) ist gleich n!. Beweis (durch vollständige Induktion nch n). () Induktionsnfng n = : Die einelementige Menge besitzt nur eine Anordnung ihrer Elemente. Andererseits ist! =. (2) Induktionsschritt: Die Behuptung gelte für n-elementige Mengen. Mögliche Anordnungen der (n + )-elementigen Menge {A,..., A n+ }: Anordnungen mit A n erster Stelle: n!.. Anordnungen mit A n+ n erster Stelle: n! insgesmt (n + )n! = (n + )!

19 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 8 Definition Es seien n, k N, 0 k n. ( ) n n! := Binomilkoeffizient k k!(n k)! Lemm 3. Für k n gilt ( ) n + = k ( ) n + k ( ) n. k Beweis. Durch Nchrechnen: ( ) ( ) n n + = k k = = = = n! (k )!(n k + )! + n! k!(n k)! n!k + n!(n + k) k!(n + k)! n!(k + n + k) k!(n + k)! (n + )! k!(n + k)! ( ) n +. k Beispiel 3. Es gilt ( ) 0 = 0 ( ) = 0 ( ) 3 = 0 ( ) 2 = 0 ( ) 3 = 3 ( ) 2 = 2 ( ) = ( ) 3 = 3 2 ( ) 2 = 2 ( ) 3 = 3 Auf diese Weise entsteht ds Psclsche Dreieck. Ds obige Lemm ist gerde die Regel, nch der ds Psclsche Dreieck sukzessive ufgebut wird. Stz 3.4 Die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge {A,..., A n } ist gleich ( n k). Bemerkung 3.2 Dieser Stz zeigt, dss die Zhlen ( n k) gnz sind, ws us ihrer Definition nicht unmittelbr ersichtlich ist.

20 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 9 Beweis (durch vollständige Induktion nch n). () Induktionsnfng: n = 0. Dnn ist uch k = 0 und ist die einzige Teilmenge von. Andererseits gilt ( 0 0) =. (2) Induktionsschritt n n + : Angenommen, die Behuptung ist richtig für n. k-elementige Teilmengen der (n + )-elementigen Menge {A,..., A n+ }: k = 0: = ( ) n+ 0. k = n + : = ( n+). sonst: Teilmengen, die A n+ nicht enthlten: ( n k) (nch Induktionsnnhme) Teilmengen, die A n+ enthlten: ( n k ) (entsprechen (k )-elementigen Teilmengen von {A,..., A n }) Also insgesmt nch Lemm 3.: ( ) n k + ( ) n = k ( n + Übungsufgbe 3. Wieviele Kombintionen sind beim Lotto 6 us 49 möglich? Antwort: ( ) 49 6 = = k ). Nottion Für eine reelle Zhl setzen wir 0 :=, n := (n Fktoren), n. Stz 3.5 (Binomische Formel) Es seien, b reelle Zhlen. Dnn gilt für lle ntürlichen Zhlen n n ( ) n ( + b) n = n k b k. k Beweis (durch vollständige Induktion nch n). () Induktionsnfng: n = 0 ( + b) 0 = = 0 ( ) 0 0 k b k. k

21 3 Vollständige Induktion, elementre Kombintorik 20 (2) Induktionsschritt n n + : ( + b) n+ = ( + b) n ( + b) ( n ( ) n = ) n k b k ( + b) (Induktionsvorussetzung) k n ( ) n n ( ) n = n+ k b k + n k b k+ k k = n+ + k= n k= ( ) n n+ k b k + k n ( ) n n k b k+ + b n+ k Wir setzen nun in der zweiten Summe für den Summtionsindex k = j ein. n ( ) n n ( ) n = n+ + n+ k b k + n+ j b j + b n+ k j D sich die beiden Summen bis uf die Binomilkoeffizienten nur in der Indizierung unterscheiden, können wir sie zusmmenfssen: j= n (( ) ( )) n n = n+ + + n+ k b k + b n+ k k k= n+ ( ) n + = n+ k b k (nch Lemm 3.). k Stz 3.6 (Geometrische Summenformel) Es sei q. Dnn gilt für lle ntürlichen Zhlen n 0: n q k = qn+. q Beweis (durch vollständige Induktion nch n). () Induktionsnfng n = 0: 0 q k = = q q.

22 4 Die Axiome der reellen Zhlen (Teil 2) 2 (2) Induktionsschritt n n + : n+ q k = n q k + q n+ = qn+ + ( q)q n+ q = qn+ + q n+ q n+2 q = qn+2. q (Induktionsvorussetzung) 4 Die Axiome der reellen Zhlen (Teil 2) Die Menge Q der rtionlen Zhlen erfüllt die Körperxiome und die Anordnungsxiome. Der Körper der reellen Zhlen, den wir xiomtisch kennzeichnen wollen, ist ber umfngreicher ls Q, er soll j z.b. uch 2 enthlten. Wir werden nun ein Axiom formulieren, ds die Vollständigkeit der reellen Zhlen beschreibt. Definition Eine Menge M von reellen Zhlen heißt nch oben beschränkt, wenn es eine reelle Zhl s gibt, so dss gilt x s für lle x M. Eine solche Zhl s heißt dnn eine obere Schrnke von M. Beispiel 4. Beispiele für nch oben beschränkte Mengen sind: [, b], [, b), (, b), (, ), (, ], für nicht nch oben beschränkte Mengen: N, Z, Q. Bemerkung 4. Flls s eine obere Schrnke von M ist und s 2 s, dnn ist uch s 2 eine obere Schrnke von M. Definition Eine Zhl s 0 heißt kleinste obere Schrnke oder Supremum von M (in Zeichen s 0 = sup M) genu dnn, wenn gilt: (i) s 0 ist eine obere Schrnke von M, und (ii) wenn s eine obere Schrnke von M ist, so gilt s 0 s.

23 4 Die Axiome der reellen Zhlen (Teil 2) 22 kleinste obe- Stz 4. (Eindeutigkeit des Supremums) Sind s 0 und s 0 re Schrnken von M, so gilt s 0 = s 0. Beweis. Es gilt s 0 s 0, d s 0 eine obere Schrnke und s 0 eine kleinste obere Schrnke von M ist, und s 0 s 0, d s 0 eine obere Schrnke und s 0 eine kleinste obere Schrnke von M ist. Deshlb folgt s 0 = s 0. Wegen Stz 4. können wir von dem Supremum von M sprechen. Beispiel 4.2 M = {x R x < } = (, ) ist nch oben beschränkt. Wir zeigen s 0 = sup M =. Denn: (i) s 0 = ist obere Schrnke von M. (ii) Angenommen, s 0 <. Dnn gilt 2s 0 < s 0 + < 2 s 0 < s 0 + < 2 s 0 + M 2 Drus folgt, dss s 0 keine obere Schrnke von M ist, ein Widerspruch. (N.B. M besitzt kein größtes Element, denn: x M x < x < x + 2 < x + 2 M.) Die Menge M = {x R x 2 < 2} ist nch oben beschränkt: z.b. ist s = 3 2 eine obere Schrnke von M. (x 3 2 x2 9 4 x2 > 2) Existiert die kleinste obere Schrnke s 0? Flls j, dnn muss s 2 0 = 2 gelten (ds werden wir gleich zeigen), ber 2 Q. Also knn die Existenz einer kleinsten oberen Schrnke in diesem Fll nicht us den Körper- und Ordungsxiomen gefolgert werden. Dher fordern wir die Existenz des Supremums für jede nch oben beschränkte Menge: Vollständigkeitsxiom (V) Jede nicht leere, nch oben beschränkte Menge von reellen Zhlen besitzt ein Supremum.

24 4 Die Axiome der reellen Zhlen (Teil 2) 23 Es gibt uch äquivlente Formulierungen mit Intervllschchtelungen oder Dedekindschen Schnitten. Bemerkung 4.2 s 0 = sup M brucht nicht zu M gehören. Wenn s 0 M gilt, dnn nennen wir s 0 ds Mximum von M oder ds größte Element von M, in Zeichen s 0 = mx M. Beispiel 4.3 Es sei M := {x R x 2 < 2}. Dnn ist M nch oben beschränkt. Ds Vollständigkeitsxiom sichert uns für M die Existenz von s 0 = sup M. Behuptung s 2 0 = 2. Beweis. () Es gilt nicht s 2 0 < 2. Angenommen, s 2 0 < 2. Diese Annhme führen wir zum Widerspruch, indem wir ein h mit 0 < h < so bestimmen, dss s 0 + h M gilt. Es gilt Wegen h < gilt Setze s 0 + h M (s 0 + h) 2 < 2 2hs 0 + h 2 < 2 s hs 0 + h 2 < 2hs 0 + h. 2hs 0 + h = 2 s 2 0, d.h. h := 2 s2 0 2s 0 +. Wegen s 0 > gilt 0 < h < und nch Konstruktion von h gilt s 0 + h M. D s 0 + h M und s 0 + h > s 0, knn s 0 nicht obere Schrnke von M sein, Widerspruch. (2) Es gilt nicht s 2 0 > 2. Angenommen, s 2 0 > 2. Dnn setzen wir Dnn gilt s < s 0 und s 2 = s 2 0 2s 0 s s 0 + Also folgt für jedes x M s := s 0 s s 0. ( s s 0 x 2 < 2 < s 2 ) 2 > s 2 0 (s 2 0 2) = 2. und drus x < s, d.h. s ist obere Schrnke von M, ber s < s 0, Widerspruch.

25 4 Die Axiome der reellen Zhlen (Teil 2) 24 Aufgrund des Vollständigkeitsxioms ist lso gezeigt (ber nicht konstruktiv!), dss die Gleichung x 2 = 2 eine nichtnegtive reelle Lösung besitzt: 2 := sup{x R x 2 < 2}. Anlog werden definiert: untere Schrnke von M größte untere Schrnke oder Infimum von M: inf M Minimum oder kleinstes Element von M: min M Es gilt der Stz Stz 4.2 Jede nicht leere, nch unten beschränkte Menge M reeller Zhlen ht eine größte untere Schrnke. Beweis. Die Menge M = { x x M} ist nch oben beschränkt, besitzt lso nch dem Vollständigkeitsxiom eine kleinste obere Schrnke s 0. Behuptung inf M = s 0. Beweis () s 0 ist untere Schrnke von M, denn es gilt x M x M x s 0 s 0 x. (b) Ist s eine untere Schrnke von M, dnn gilt s y für lle y M, lso x s für lle x M. Dher gilt s 0 s, lso s s 0. Deshlb ist s 0 größte untere Schrnke von M. Mn knn nun beweisen, dss die reellen Zhlen vollständig durch die gennnten Axiome chrkterisiert sind, d.h. es bis uf Äquivlenz einen und uch nur einen Körper gibt, der lle gennnten Axiome erfüllt. Diesen wohlbestimmten Körper nennt mn R. Auf den Beweis von Existenz und Eindeutigkeit verzichten wir und wenden uns nun weiteren Folgerungen us dem Vollständugkeitsxiom zu. Stz 4.3 Die Menge N der ntürlichen Zhlen ist nicht nch oben beschränkt. Beweis. Angenommen, N ist nch oben beschränkt. D N, gibt es dnn ein Supremum s 0 für N. Es gilt lso Andererseits gibt es ein n 0 N mit n s 0 für lle n N. n 0 > s 0,

26 5 Folgen, Grenzwerte 25 denn sonst wäre s 0 obere Schrnke von N im Widerspruch dzu, dss s 0 die kleinste obere Schrnke von N ist. Für n 0 gilt lso n 0 + > s 0, ein Widerspruch. Stz 4.4 (Stz von Archimedes) Zu jedem R mit > 0 und jedem b R gibt es ein n N, so dss n > b gilt. (Für diesen Schverhlt sgt mn kurz: Der Körper R ist rchimedisch ngeordnet.) Beweis. Andernflls würde für lle n N n b d.h. n b gelten, b wäre lso eine obere Schrnke für N. Stz 4.5 Zu jedem ε > 0 gibt es eine ntürliche Zhl n 0 mit n < ε. Beweis. D < ε nε >, n folgt die Behuptung us dem Stz von Archimedes mit = ε und b =. 5 Folgen, Grenzwerte Wir kommen jetzt zu einem der zentrlen Begriffe der Anlysis, dem des Grenzwertes einer Folge. Seine Bedeutung beruht druf, dss viele Größen nicht durch einen in endlich vielen Schritten exkt berechenbren Ausdruck gegeben werden, sondern nur mit beliebiger Genuigkeit pproximiert werden können. Eine Zhl mit beliebiger Genuigkeit pproximieren heißt sie ls Grenzwert einer Folge drstellen. Definition Unter einer Folge reeller Zhlen versteht mn eine Funktion N R n n. Bezeichnung ( n ) n N oder 0,, 2,.... Bemerkung 5. Es spielt im Prinzip keine Rolle, mit welchem Index mn beginnt. Es sei n 0 Z. Dnn bezeichnet mn ( n ) n n0 oder uch ls Folge. n0, n0 +, n0 +2,...

27 5 Folgen, Grenzwerte 26 Beispiel 5. () Es sei n = für lle n N. Mn erhält die konstnte Folge,,,.... (2) n = n, (n ):, 2, 3, 4,.... (3) n = { n+2 für n ungerde, für n gerde, n (n ) : 3, 2, 5, 4, 7, 6,.... (4) n = ( ) n :,,,,,,.... (5) { n für n ungerde, n = für n gerde, n (n ) :, 2, 3, 4, 5, 6,.... (6) Es sei q R, n = q n :, q, q 2, q 3,.... (7) Fest vorgegeben seien die Zhlen b > 0 und c > 0 sowie ds Rekursionsschem 0 = c, n+ = 2 ( n + b ). n Definition Eine Folge ( n ) n N heißt konvergent gegen R (in Zeichen lim n n = oder n ) genu dnn, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es eine ntürliche Zhl n 0, so dss für lle n n 0 gilt: n < ε. Hier ist es wichtig, sich die logische Struktur klrzumchen. Deswegen schreiben wir diese Definition noch einml in Kurzform (mit Quntoren) hin: lim n n = ε > 0 n 0 N n n 0 n < ε. Eine ndere Formulierung: Es gilt lim n n = genu dnn, wenn gilt: In jeder ε-umgebung (ε > 0) von liegen fst lle Glieder der Folge. Hierbei nennt mn ds Intervll ( ε, + ε) := {x R x < ε} eine ε-umgebung von. Fst lle bedeutet lle bis uf endlich viele. Es gilt lso lim n n = genu dnn, wenn in jedem Intervll ( ε, +ε) (für beliebig kleines ε > 0) unendlich viele, ußerhlb ber höchstens endlich viele Glieder der Folge liegen.

28 5 Folgen, Grenzwerte 27 Definition konvergiert. Forml: Eine Folge heißt divergent, wenn sie gegen keine reelle Zhl ( n ) n N divergent R ε > 0 n 0 N n n 0 n ε. Wir untersuchen nun die Beispiele uf Konvergenz bzw. Divergenz. Beispiel 5. (): Es gilt lim n n =. Beispiel 5. (2): Wir zeigen lim n n = 0. Es sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wir müssen ein n 0 N finden, so dss für lle n n 0 gilt n 0 = n < ε. Es sei n 0 N mit n 0 < ε. Eine solche Zhl existiert nch Stz 4.5. Dnn gilt für lle n n 0 n n 0 < ε. Folgen, die konvergent mit dem Grenzwert 0 sind, heißen uch Nullfolgen. Beispiel 5. (3): Es gilt ebenflls lim n n = 0. Beispiel 5. (4): Wir zeigen, dss die Folge (( ) n ) n N divergent ist. Dzu ist zu zeigen, dss sie gegen kein R konvergiert. Es sei R. Setze ε :=. Ist 0 und n 0 N gegeben, so gilt für ungerde n mit n n 0 n = = +. Ist < 0 und n 0 N gegeben, so gilt für gerde n mit n n 0 n = = + ( ) >. Bevor wir die nderen Beispiele untersuchen, notieren wir einige einfche Sätze. Stz 5. (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Gilt lim n n lim n n = b, so gilt = b. = und Beweis. Angenommen, es wäre b. Es sei ε = b 2. D lim n n =, gibt es ein n N, so dss für lle n n gilt: n < ε. D lim n n = b, gibt es ein n 2 N, so dss für lle n n 2 gilt: n b < ε. Für n 0 := mx(n, n 2 ) und n n 0 gilt dnn b = ( n ) + ( n b) n + n b < 2ε = b, d.h. b < b, ein Widerspruch.

29 5 Folgen, Grenzwerte 28 Stz 5.2 Eine Folge ( n ) n N konvergiert genu dnn gegen ( n ) n N eine Nullfolge ist. Beweis. Dies folgt unmittelbr us der Definition. R, wenn Definition Eine Folge ( n ) n N heißt monoton wchsend, flls n n+ für lle n N gilt. monoton fllend, flls n n+ für lle n N gilt. nch oben beschränkt, flls es eine Zhl M R gibt, so dss n M für lle n N gilt. nch unten beschränkt, flls es eine Zhl m R gibt, so dss m n für lle n N gilt. beschränkt, flls sie nch oben und unten beschränkt ist. Stz 5.3 Jede konvergente Folge ( n ) n N ist beschränkt. Beweis. Es sei lim n n =. Dnn gibt es ein N N, so dss für lle n N gilt n < (ε = gewählt). Drus folgt für lle n N n + n +. Es sei Dnn gilt M := mx{ 0,,..., N, + }. n M für lle n N. Bemerkung 5.2 Die Umkehrung dieses Stzes gilt nicht, siehe Beispiel 5. (4). Beispiel 5. (5): Wegen n = n für n ungerde ist die Folge nicht beschränkt, lso nicht konvergent. Stz 5.4 (Bernoullische Ungleichung) Es sei x. lle n N ( + x) n + nx. Dnn gilt für

30 5 Folgen, Grenzwerte 29 Beweis (durch vollständige Induktion nch n). Induktionsnfng: Die Behuptung ist offensichtlich richtig für n = 0. Induktionsschritt n n + : Es gilt ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) (Induktionsvorussetzung) = + nx + x + nx 2 + (n + )x. Beispiel 5. (6): Ds Konvergenzverhlten der Folge (q n ) n N hängt vom Wert von q b. q > : Dnn q = + h, h > 0. Also folgt us der Bernoullischen Ungleichung q n = q n = ( + h) n + nh. Nch dem Stz von Archimedes ist lso (q n ) nicht beschränkt, lso divergent. q = : lim n q n =. q = : (q n ) divergent. q < : Dnn q >, lso q = + h, h > 0. Für gegebenes ε > 0 findet mn ein n 0, so dss für n n 0 q n + nh > (wie oben), ε lso q n < ε. Also gilt lim n q n = 0. Eine weitere notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge verwendet den Begriff der Teilfolge. Mn erhält eine Teilfolge von ( n ) n N, indem mn us der Folge ( n ) gewisse Glieder wegstreicht, jedoch noch unendlich viele Glieder übriglässt: Definition Eine Teilfolge einer Folge ( n ) ist eine Folge der Form n0, n, n2,..., wobei die n j ntürliche Zhlen mit n 0 < n < n 2 < sind.

31 5 Folgen, Grenzwerte 30 Stz 5.5 Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen denselben Grenzwert. Beweis. Zu gegebenem ε > 0 ist bis uf endlich viele Ausnhmen k < ε, lso uch nk < ε, d n k k. Wir besprechen nun einige Rechenregeln für konvergente Folgen. Stz 5.6 Es sei λ R und es gelte lim n n = und lim n b n = b. Dnn sind die Folgen ( n + b n ) und (λ n ) konvergent und es gilt lim n + b n ) n = + b, lim n n = λ. Beweis. (i) Es sei ε > 0 vorgegeben. Dnn gibt es zu ε 2 > 0 ntürliche Zhlen n 0 und m 0, so dss gilt n < ε 2 b n b < ε 2 für n n 0, für n m 0. Also gilt für n mx(n 0, m 0 ): ( n + b n ) ( + b) n + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. (ii) Für λ = 0 ist die Behuptung klr. Es sei λ 0. Dnn gibt es zu ε λ > 0 ein n 0 N, so dss für lle n n 0 gilt n < ε λ, lso λ n = λ n λ < ε. Stz 5.7 Es sei ( n ) n N Nullfolge und (b n ) n N beschränkt. Dnn ist uch ( n b n ) Nullfolge. Beweis. Es sei ε > 0 vorgegeben und b n c für ein c > 0 für lle n N. Dnn gibt es zu ε c ein n 0 N, so dss für n n 0 n < ε c, lso nb n < n c < ε.

32 5 Folgen, Grenzwerte 3 Stz 5.8 Es sei lim n n = und lim n b n = b. Dnn ist ( n b n ) konvergent und es gilt lim n nb n = b. Beweis. Nch Stz 5.2 ist ( n ) eine Nullfolge und (b n ) ist ls konvergente Folge beschränkt (Stz 5.3). Aus dem vorherigen Stz folgt dher, dss ( n b n b n ) eine Nullfolge ist. Aus Stz 5.6 folgt: lim n b n = b. Schreibe: n b n = ( n b n b n ) + b n. Nochmlige Anwendung der Rechenregeln von Stz 5.6 ergibt: lim nb n = lim ( nb n b n ) + lim b n = 0 + b = b. n n n Stz 5.9 Es sei lim n n = und lim n b n = ( b 0. Dnn gibt es ein n 0 N, so dss b n 0 für n n 0, und die Folge n bn ist konvergent )n n 0 und es gilt n lim = n b n b. Beweis. Wir betrchten zunächst den Spezilfll n = für lle n N. Wir wollen Stz 5.7 nwenden uf b n b = (b b n) (n n 0 ). bb n Dzu ist zu zeigen: ( ) Behuptung bb n ist beschränkt. Beweis. Für fst lle n gilt Hierus folgt Also gilt für fst lle n N b n b < b (=: ε). 2 b n ε = b 2. bb n 2 b 2. Hierus folgt wie im Beweis von Stz 5.3 die Behuptung. Für den llgemeinen Fll betrchten wir und wenden Stz 5.8 n. n b n = n b n

33 5 Folgen, Grenzwerte 32 Stz 5.0 Es sei lim n n =, lim n b n = b und n b n für fst lle n. Dnn gilt b. Wrnung Wenn n < b n für fst lle n gilt, dnn ist nicht notwendig < b! Beispiel: n = 0, b n = n (n ), = b = 0. Beweis. Angenommen, b <. Dnn ist ε := b 2 > 0 und es gibt n 0, m 0 N mit Für n mx(n 0, m 0 ) gilt dnn n < ε für n n 0, b n b < ε für n m 0. n > ε und b n < b + ε. Wegen ε = b + ε folgt drus ber b n < n, ein Widerspruch. Stz 5. (Einzwängungsstz) Für fst lle n gelte n b n c n. Gilt lim n n = und lim n c n =, so gilt uch lim n b n =. Beweis. Es sei ε > 0 gegeben. In der ε-umgebung von liegen fst lle Glieder der Folgen ( n ) und (c n ). Wegen n b n c n gilt dsselbe für die Folge b n. Aus dem Vollständigkeitsxiom knn mn ein wichtiges Konvergenzkriterium bleiten. Stz 5.2 (Ein Konvergenzkriterium) Jede monoton wchsende und nch oben beschränkte Folge ist konvergent. Jede monoton fllende und nch unten beschränkte Folge ist konvergent. Beweis. Wir betrchten den Fll, dss ( n ) n N monoton wchsend und nch oben beschränkt ist. Es sei M := { n n N}. Dnn ist M nicht leer und nch oben beschränkt, besitzt lso nch dem Vollständigkeitsxiom ein Supremum sup M =:. Behuptung lim n n =.

34 5 Folgen, Grenzwerte 33 Beweis. Es sei ε > 0 gegeben. Dnn gibt es ein n 0 N mit ε < n0, denn sonst wäre nicht die kleinste obere Schrnke von M. D ( n ) monoton wchsend ist, gilt lso für lle n n 0 ε < n0 n, lso n < ε. Wir wollen nun Anwendungen dieser Sätze drstellen. Beispiel 5.2 Jeder Dezimlbruch, z.b. stellt eine reelle Zhl dr: Die Folge 0, 9 = 0, , 0; 0, 9; 0, 99; 0, 999; 0, 9999; 0, 99999;... ist monoton wchsend und nch oben beschränkt, konvergiert lso nch Stz 5.2. Der Dezimlbruch bezeichnet gerde den Grenzwert dieser Folge. In unserem Beispiel ist ds die Zhl. Also stellt der unendliche periodische Dezimlbruch 0, 9 die Zhl dr. Beispiel 5. (7): Es seien b, c > 0 vorgegeben. Die Folge ( n ) n N wr rekursiv definiert durch 0 = c, n+ = 2 ( n + b ) n (n 0). Es gilt n+ = 2 ( n + b ) b n = b. n n Somit ist b eine untere Schrnke der Folge ( n ) n ( 0 = c ußer Acht gelssen). Also gilt n b 2 n b b n n n+ = 2 ( n + b ) n n

35 5 Folgen, Grenzwerte 34 Also ist die Folge ( n ) n N monoton fllend und nch unten beschränkt, lso konvergent nch Stz 5.2. Es sei = lim n n. Wir berechnen. Es gilt n b > 0 für lle n, lso folgt us Stz 5.0 > 0. Nch Stz 5.6 und 5.9 gilt somit = lim n+ = lim n n 2 ( n + b ) = ( + b ). n 2 Drus folgt ber = b. Es gilt lso lim n n = b. Dmit hben wir eine Methode gefunden, b pproximtiv zu berechnen. Dieses Verfhren geht schon uf die Bbylonier zurück, es ist zur numerischen Berechnung von Qudrtwurzeln bestens geeignet. Mn probiere es für 2 us! Ds Problem der stetigen Verzinsung Eine lte Aufgbe von Jkob Bernoulli ( ): Ein Kpitl > 0 wird nch einem Jhr mit 00% verzinst. Nch einem Jhr ist ds Kpitl lso 2. Schlägt mn die Zinsen schon nch einem hlben Jhr hinzu, so ist ds Kpitl nch einem Jhr: ( + ) ( + ). 2 2 Schlägt mn die Zinsen schon nch 3 Jhr hinzu, so ist ds Kpitl nch einem Jhr ( + ) ( + ) ( + ) Teilt mn ds Jhr in n Teile und schlägt die Zinsen jeweils nch einem n Jhr hinzu, so ist ds Endkpitl nch einem Jhr ( + n) n. Ws pssiert mit wchsendem n?

36 5 Folgen, Grenzwerte 35 Die Folge ( + n) n ist monoton wchsend: ( + n) n = = n n n n=0 ( ) n k n k = n n(n ) (n k + ) k! ) ( n) ( k n k! n k ( monoton wchsend) k! = n! = + ( 2 2 < 3. ) n 2 n (geometrische Summenformel) Also ist die Folge uch beschränkt, lso konvergent. Definition Die Zhl heißt die Eulersche Zhl. ( e := lim + ) n n n Für n = 0 6 ist (, 00000) = 2, Ds ist e uf 5 Stellen genu. Wir bruchen noch ein weiteres Konvergenzkriterium für Folgen reeller Zhlen. Für monotone Folgen ist die Beschränktheit eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz. Für beliebige Zhlenfolgen ist die Beschränktheit jedoch nur eine notwendige Bedingung für die Konvergenz. Allgemein gilt jedoch der folgende Stz, der gnz wesentlich uf dem Vollständigkeitsxiom beruht: Stz 5.3 (Stz von Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Dieser Stz folgt us dem folgenden Lemm: Lemm 5. Jede Folge ( n ) besitzt eine Teilfolge, die entweder monoton wchsend oder monoton fllend ist. Beweis. Wir nennen eine ntürliche Zhl n einen Gipfel der Folge ( n ), wenn m < n für lle m > n gilt.

37 5 Folgen, Grenzwerte 36 Fll. Die Folge ht unendlich viele Gipfel. Wenn n 0 < n < n 2 < die Gipfel sind, so gilt n0 > n > n2 > und n0, n, n2,... ist eine monoton fllende Teilfolge von ( n ). Fll 2. Die Folge ht nur endlich viele Gipfel. In diesem Fll sei n 0 größer ls lle Gipfel. D n 0 kein Gipfel ist, gibt es eine ntürliche Zhl n mit n > n 0 und n n0. D n kein Gipfel ist (n ist größer ls n 0 und dmit größer ls lle Gipfel), gibt es ein n 2 > n mit n2 n. Fhren wir uf diese Weise fort, so erhlten wir eine monoton wchsende Teilfolge n0, n, n2,... von ( n ). Wir führen nun den Begriff der Cuchyfolge ein. Definition Eine Folge ( n ) n N heißt eine Cuchyfolge, flls gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es eine ntürliche Zhl n 0, so dss für lle m, n N mit m, n n 0 gilt: n m < ε. Stz 5.4 (Cuchysches Konvergenzkriterium) Eine Folge ( n ) n N ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchyfolge ist. Beweis. () Wir zeigen zunächst: Jede konvergente Folge ist eine Cuchyfolge. Wenn ( n ) n N gegen konvergiert, so knn mn zu jedem ε > 0 ein n 0 N finden, so dss für jedes n n 0 gilt: n < ε 2. Wenn nun n n 0 und m n 0 ist, so gilt n m = n + m n + m < ε 2 + ε 2 = ε. (b) Wir zeigen nun den schwierigeren Teil: Jede Cuchyfolge ( n ) n N ist konvergent. () Wir zeigen zunächst: Die Folge ( n ) n N ist beschränkt. Dzu wählen wir ε = in der Definition einer Cuchyfolge. Dnn gibt es ein n 0 N so dss für lle m, n n 0 gilt m n <. Dies gilt z.b. uch für n = n 0 und m n 0 : m n0 <. Ds besgt gerde, dss sich für fst lle m (für lle m n 0 ) m um weniger ls von n0 unterscheidet. Die endlich vielen Ausnhmen stören die Beschränktheit nicht. (2) Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß besitzt die Folge ( n ) n N eine konvergente Teilfolge ( nk ) k N mit dem Grenzwert R.

38 6 Reihen 37 (3) Wir zeigen: lim n n =. Es sei ε > 0 gegeben. D lim n nk =, gibt es ein k 0 N, so dss für lle k k 0 gilt: nk < ε 2. D ( n ) n N eine Cuchyfolge ist, gibt es ein n 0, so dss für lle m, n n 0 gilt n m < ε 2. Für lle k mx(k 0, n 0 ) gilt lso wegen n k k k = k nk + nk k nk + nk < ε. Also konvergiert ( n ) n N gegen. Verfolgt mn die Beweiskette zurück, so sieht mn, ds wir ds Cuchysche Konvergenzkriterium us dem Vollständigkeitsxiom bgeleitet hben. Ttsächlich knn mn nstelle des Vollständigkeitsxioms uch ds folgende Axiom in ds Axiomensystem der reellen Zhlen ufnehmen und ds Vollständigkeitsxiom drus bleiten. Axiom Der Körper R ist rchimedisch ngeordnet, und jede Cuchyfolge reeller Zhlen konvergiert in R. Dieses Axiom gilt wieder nicht über Q: Die Folge us Beispiel 5. (7) ist eine Folge rtionler Zhlen, wenn b und c us Q gewählt werden, die in R gegen b konvergiert, lso eine Cuchyfolge. Sie konvergiert ber nicht in Q, wenn z.b. b = 2 ist. Ebenso gilt der Stz von Bolzno-Weierstrß nicht über Q. 6 Reihen Wenn mn eine Folge gegeben ht, so knn mn uch versuchen, eine Summe zu bilden. Wir wollen nun erklären, ws wir drunter verstehen wollen. Zunächst knn mn die Prtilsummen s n = n betrchten. Konvergiert die Folge der Prtilsummen (s n ) n N, so knn mn den Grenzwert ls die unendliche Summe betrchten

39 6 Reihen 38 Definition Es sei ( n ) n N eine Folge reeller Zhlen. Durch s n := n (Prtilsumme) wird eine Folge (s n ) n N definiert, die Reihe gennnt wird und mit k bezeichnet wird. Konvergiert die Folge (s n ) n N, so wird ihr Grenzwert ebenflls mit k bezeichnet. Mn sgt uch k konvergiert. Den Grenzwert nennt mn uch die Summe oder den Wert der Reihe. Ds Symbol k bedeutet lso () die Folge ( n k) n N der Prtilsummen (b) im Flle der Konvergenz den Grenzwert lim n n k. Beispiel 6. Ds wichtigste Beispiel einer Reihe ist die geometrische Reihe q k = + q + q 2 + q 3 + für q R. Die Prtilsumme ist Für q = erhält mn s n = + q + + q n. s n = } + + {{ + } = n +. n+ Für q = konvergiert die Reihe qk dher nicht. Es sei q. Zieht mn die beiden Gleichungen voneinnder b, so erhält mn Für q gilt lso s n = + q + q q n qs n = q + q q n + q n+ ( q)s n = q n+. s n = qn+. q Wir sehen lso, dss die Folge (s n ) n N genu dnn konvergiert, wenn die Folge (q n ) n N konvergiert. Nch Beispiel 5. (6) konvergiert die Folge (q n ) n N ber genu dnn, wenn q < ist, und es gilt für q < lim n qn = 0.

40 6 Reihen 39 Also folgt für q < q k q n+ = lim n q = q. Wir erhlten lso die sehr wichtige Summenformel für die geometrische Reihe q k = für q <. q Insbesondere gilt lso ( ) k = = 2. Beispiel 6.2 Es sei k = k(k+). Wir untersuchen die Reihe Schreibe k= k(k + ). k(k + ) = k k +. Dmit gilt ( s n = ) ( ) ( n ) ( + n n ) n + = n +. Dher gilt k= ( k(k + ) = lim s n = lim ) =. n n n + Die Theorien von Folgen und Reihen sind im folgenden Sinn dsselbe. Es sei (s n ) n N eine beliebig vorgegebene Folge. Diese Folge ist die Prtilsummenfolge der Reihe k mit denn 0 = s 0, k = s k s k, n k = s 0 + (s s 0 ) + (s 2 s ) + + (s n s n ) = s n. Umgekehrt ht mn j zur Reihe k die Prtilsummenfolge (s n ) n N. Auf diese Weise entsprechen sich uch die Konvergenzeigenschften.

41 6 Reihen 40 Stz 6. (Rechenregeln für Summen von Reihen) () Ist k und b k konvergent, so ist uch ( k + b k ) konvergent und es gilt ( k + b k ) = k + b k. (2) Ist k konvergent und c R, so ist uch c k konvergent und es gilt c k = c k. (3) Ist k und b k konvergent und k b k, so gilt Beweis. Es sei s n := k b k. n k, t n := n b k. Aus dem Assozitiv- und Kommuttivgesetz der Addition folgt Nch Stz 5.6 gilt s n + t n = n ( k + b k ). ( k + b k ) = lim (s n + t n ) = lim s n + lim n n = k + b k. n t n Die nderen Aussgen werden entsprechend uf Stz 5.6 und 5.0 zurückgeführt. Wir behndeln nun Konvergenzkriterien für Reihen. Stz 6.2 (Cuchysches Konvergenzkriterium) Die Reihe k konvergiert genu dnn, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein n 0 N, so dss für lle n m n 0 gilt: m + + n < ε.

42 6 Reihen 4 Beweis. Es gilt s n s m = m + n. Die ngegebene Bedingung bedeutet lso gerde, dss die Prtilsummenfolge (s n ) n N eine Cuchyfolge ist. Nch Stz 5.4 ist ber (s n ) n N genu dnn konvergent, wenn (s n ) n N eine Cuchyfolge ist. Beispiel 6.3 Wir betrchten die Reihe ( ) k 2k +. Wir zeigen mit dem Cuchyschen Konvergenzkriterium, dss diese Reihe konvergiert. Für n > m gilt n k = 2m + 2m m + 5 k=m ( ) = 2m + 2m + 3 2m + 5 < 2m +. Für n = m gilt n k = k=m 2m +. Wählt mn nun zu vorgegebenem ε > 0 die Zhl n 0 so, dss dnn gilt für lle n m n 0 2n 0 + < ε, n k < ε. k=m Also ist ds Cuchykriterium erfüllt und die Reihe konvergiert. Der Grenzwert ist übrigens π 4, die Reihe wurde schon von G. W. Leibniz (646-76) betrchtet. Korollr 6. Ist k konvergent, so gilt lim n = 0. n Beweis. Mn nehme im Cuchyschen Konvergenzkriterium m = n.

43 6 Reihen 42 Stz 6.3 (Beschränkheitskriterium) Eine Reihe k mit k 0 konvergiert genu dnn, wenn die Prtilsummenfolge (s n ) n N beschränkt ist. Beweis. Die Prtilsummenfolge (s n ) n N einer solchen Reihe ist eine monoton wchsende Folge, die genu dnn konvergiert, wenn sie beschränkt ist (Stz 5.2). Beispiel 6.4 Die hrmonische Reihe konvergiert nicht, denn k= k= k = k = }{{ 4} }{{ 8} }{{ 6} > > > Mn findet lso eine Teilfolge der Prtilsummenfolge, die nicht beschränkt ist und dher nicht konvergiert. Definition Eine Reihe k heißt lternierende Reihe, flls 2j 0 und 2j+ 0 für lle j N (oder umgekehrt). Stz 6.4 (Leibniz-Kriterium) Es sei und es gelte Dnn konvergiert die Reihe lim n = 0. n ( ) n n = n=0 Beweis. Von der Folge (s n ) betrchten wir die beiden Teilfolgen (s 2m ) und (s 2m+ ). Die Teilfolge (s 2m ) ist monoton fllend: s 2m+2 = s 2m 2m+ + 2m+2 s 2m. Die Teilfolge (s 2m+ ) ist monoton wchsend: s 2m+3 = s 2m+ + 2m+2 2m+3 s 2m+.

44 6 Reihen 43 s n n Abbildung : Prtilsummen einer lternierenden Reihe Außerdem gilt wegen s 2m+ s 2m = 2m+ 0 s 2m+ s 2m für lle m N. Die Folge (s 2m ) ist durch s nch unten, (s 2m+ ) durch s 0 nch oben beschränkt. Beide Teilfolgen sind lso konvergent. Es sei s := lim 2m, m s := lim 2m+. m Wir zeigen nun, dss s = s und dss die gesmte Folge (s n ) n N gegen s konvergiert. Zunächst ist s s = lim m (s 2m+ s 2m ) = lim m ( 2m+) = 0. Es sei nun ε > 0 vorgegeben. Dnn gibt es n, n 2 N, so dss Für n n 0 := mx(n, n 2 ) gilt dnn s 2m s < ε für 2m n, s 2m+ s < ε für 2m + n 2. s n s < ε. Aus dem Leibniz-Kriterium folgt sofort, dss die Reihe von Beispiel 6.3 konvergiert.

45 6 Reihen 44 Umordnung von Reihen, bsolute Konvergenz Eine Summe von endlich vielen Zhlen ist unbhängig von der Reihenfolge. Bei einer Reihe knn jedoch ds Umordnen der Glieder zu seltsmen Resultten führen. Beispiel 6.5 Wir betrchten die lternierende Reihe ( ) k k +. Nch dem Leibniz-Kriterium konvergiert diese Reihe gegen eine Zhl. Nch dem Beweis des Leibnizkriteriums gilt Wir ordnen nun die Reihe um: s = 2 s 0 =. = = (uf ein positives Glied folgen stets zwei negtive Glieder) ( = ) ( ) ( ) = = ( ) + = 2. Es gilt lso = 2, und es folgt = 0, ein Widerspruch. Definition Es sei σ : N N bijektiv und b k = σ(k). Dnn heißt die Reihe b k eine Umordnung der Reihe k. Bemerkung 6. Die Reihe k ist dnn uch eine Umordnung der Reihe b k und zwr mit der Bijektion σ : N N und k = b σ (k). Stz 6.5 Es sei k 0 für lle k N und die Reihe k konvergent mit der Summe. Dnn ist uch jede Umordnung σ(k) konvergent mit der Summe.

46 6 Reihen 45 Beweis. Setze s n = s n = n k, m σ(k). Die Folgen (s n ) und (s m) sind monoton wchsend. Wir zeigen, dss mit (s n ) uch die Folge (s m) durch nch oben beschränkt ist. Es sei m gegeben. Setze Dnn gilt n m := mx{σ(0), σ(),..., σ(m)}. s m s nm, d lle Reihenglieder nicht negtiv sind und lle Summnden von s m uch in s nm vorkommen. Die umgeordnete Reihe ist lso konvergent mit einer Summe (Stz 5.0). D die ursprüngliche Reihe eine Umordnung der zweiten Reihe ist, folgt entsprechend. Also =. Auch bei Reihen, in denen es Glieder mit verschiedenen Vorzeichen gibt, knn jede Umordnung wieder zu einer konvergenten Reihe mit derselben Summe führen. Es sind dies genu die bsolut konvergenten Reihen. Definition Eine Reihe k heißt bsolut konvergent, wenn die Reihe k konvergent ist. Stz 6.6 Wenn eine Reihe bsolut konvergent ist, dnn ist sie konvergent. Bemerkung 6.2 Die Umkehrung ist flsch, wie ds Beispiel ( )k zeigt. Beweis. Nch dem Cuchyschen Konvergenzkriterium gibt es zu jedem ε > 0 ein n 0, so dss für lle m, n n 0 gilt k+ n k < ε. k=m Wegen der Dreiecksungleichung ist dnn ber erst recht uch n k < ε. k=m

47 6 Reihen 46 Stz 6.7 (Umordnungsstz) Es sei k bsolut konvergent. Dnn ist uch jede Umordnung σ(k) bsolut konvergent und es gilt k = σ(k). Beweis. Nch Stz 6.5 konvergiert σ(k) ls Umordnung von k. Noch zu zeigen: k = σ(k). (Stz 6.5 liefert nur k = σ(k).) Es sei n gegeben. Es sei k n die kleinste Zhl k N mit Dnn gilt k n n und die Differenz {0,, 2,..., n} {σ(0), σ(),..., σ(k)}. s k n s n (Nottion wie beim Beweis von Stz 6.5) enthält nur solche Glieder, deren Index größer ls n ist. D k bsolut konvergent ist, gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein n 0 N, so dss für lle m, n n 0 n k < ε. k=m Also gilt für lle n n 0 s k n s n < ε, d.h. (s k n s n ) n N ist eine Nullfolge. Wir wissen: (s n) und (s n ) konvergieren beide, d die Folgen bsolut konvergent sind. Drus folgt lim n s n = lim n s n, lso k = σ(k). Bemerkung 6.3 Ist k konvergent, ber nicht bsolut konvergent, dnn knn mn durch Umordnung jede beliebige Zhl s ls Summe erhlten: Setze + k = k + k 2 k = k k 2 { k flls = k > 0, 0 flls k 0, { 0 flls k 0, = k flls k < 0.

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