Das zweites Gesetz von Newton in einem rotierenden Bezugssystem Geostropische Bewegung Druckkoordinaten

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1 Näcster Abscnitt => Das zweites Gesetz von Newton in einem rotierenden Bezugssystem Geostropisce Bewegung Druckkoordinaten Matematisce Herleitung der Coriolisbescleunigung Darstellung eines beliebigen Vektors A(t) k inertiales Bezugssystem rotierendes Bezugssystem i k i j j A(t) = A 1 (t)i + A 2 (t)j + A 3 (t)k A(t) = A 1 (t)i + A 2 (t)j + A 3 (t)k

2 Die zeitlice Änderung eines beliebigen Vektors A(t) Die Ableitung von A(t) nac der Zeit da A da da da = i + j + k der Index a soll daran erinnern, daß sic die Ableitung auf das Inertialsystem beziet im rotierenden Bezugssystem daa da1 di = i + A da1 A 1 ( i )... = i + + d = + ( A 1i+...) da b θ a + da a Eineitsvektor senkrect zu und a da = a sinθ b = a

3 A(t) = Ortsvektor r(t) O u a (t) = die absolute Gescwindigkeit eines Luftpakets = d r a Die relative Gescwindigkeit in einem rotierenden Bezugssystem betrage dr dr1 dr2 dr3 u = = i + j + k und ua = u+ r Beispiel ua = u+ r V R e Erdradius Dieser Luftkörper startet relativ zur Erde nur mit einer Gescwindigkeit V in Rictung Pol in Er startet relativ zum Weltraum mit einer zusätzlicen Gescwindigkeitskomponente R e nac Osten.

4 Um die Bewegung eines Luftpakets mit dem Gesetz von Newton bescreiben zu können, muß man die absolute Bescleunigung kennen da u a Aus den Messungen auf der Erde nur die relative Windgescwindigkeit u und damit die relative Bescleunigung bekannt ist Mit A = u a dau a d u du du = + u a a a du = + 2 u+ ( r) a ua = u+ r absolute Bescleunigung dau a du = + 2 u+ ( r) relative Bescleunigung Coriolis- Bescleunigung Zentripetal- Bescleunigung wirkt senkrect zum Rotationsvektor und senkrect zur Bewegungsrictung und ist direkt proportional zum Betrag von u und. 2 u u

5 Zentripetalbescleunigung Ortsvektor r wird zerlegt r = ( r. ) + R R R ( r) = ( R) = 2 R r r r Die Zentripetalbescleunigung ist nac innen, zur Rotationsacse in, gerictet und at den Betrag 2 R Das zweites Gesetz von Newton in einem rotierenden Bezugssystem In inertialen Bezugssystem: ρ d au a = F Dicte Kraft pro Eineitsmasse In rotierenden Bezugssystem: du ρ + 2 u+ ( r) = F Entsprict ρa' + ρa'' = F

6 Alternative Screibweise du ρ = F 2 ρ u ρ ( r) Corioliskraft Zentrifugalkraft Effektive Scwerkraft Wäre die Erde eine nict-rotierende ideale Kugel, würde nac dem Newton scen Gravitationsgesetz nur die Gravitationskraft g* pro Masseneineit wirken. Wäre die Erde eine rotierende ideale Kugel, würde sic die effektive Scwerkraft g aus der Vektoraddition der Gravitationskraft g* und der Zentrifugalkraft 2 R ergeben g = g * + 2 R

7 g stet überall senkrect zur Erdoberfläce R g* g 2 R g* R g 2 R effektive Scwerkraft g auf einer kugel-förmigen Erde effektive Scwerkraft auf einer leict abgeplatteten Erde: Sei die Gesamtkraft F = g* + F zerlegt du ρ = F + g* 2 ρ u ρ ( r) Mit g = g * + 2 R ( r) = 2 R d ρ u = F + ρ g 2 ρ u Die Zentrifugalkraft infolge der Erdrotation ersceint in der Gleicung nict mer explizit; sie ist in der effektiven Scwerkraft entalten.

8 Wenn Reibungskräfte vernaclässigt werden können, wirkt auf ein Luftpaket neben der Scwerkraft vor allem die Druckgradientkraft F = p pro Volumeneineit d ρ u = F + ρ g 2 ρ u d u 1 = p + g 2 ρ u pro Masseneineit In dieser Form bescreibt das 2. Newton sce Gesetz die reibungsfreie Bewegung eines Luftpakets in einem Bezugssystem auf der rotierende Erde. Koordinaten auf die Erde φ j k i Äquator

9 φ cosφ j sin φ k φ = cos j + sin φ k 2 u = cos φ j u + sin φ k u 2 u = 2 cos φ j u + 2 sin φ k u Für Luftbewegungen in Zusammenang mit den Tiefdruckund Hocdruckgebieten der mittleren Breiten zeigt eine Abscätzung, daß nur dieser Term von Bedeutung ist. (Siee z. B. Holton, 1979, Kapitel 2,4) In guter Näerung gilt daer 2 u = 2 sin φ k u = f u f = 2 sinφ f = f k Coriolisparameter

10 Geostropisce Bewegung du 1 = p + g f u ρ u = (u,v,w) u = (u,v,0) du 1 = p f ρ u dies ist relativ klein für großräumige Luftbewegung in der Atmospäre 1 In erster Näerung gilt 0 = p f u ρ Die vertikale Komponent der Bewegungsgleicung ist dw 1 p = ρ z g dies ist auc klein für großräumige Luftbewegung in der Atmospäre 1 p 0 = ρg ρ z ydrostatisces Gleicgewict errsct

11 1 0 = p f u ρ Für den Fall einer großräumigen, reibungsfreien Luftströmung, bestet ein Gleicgewict zwiscen der orizontalen Druckgradientkraft und der Corioliskraft Die Luftströmung befindet sic im geostropiscen Gleicgewict. Geostropisce Gleicgewict Druckgradientkraft 1 ρ p Tief Isobaren u Horizontalwind Hoc Corioliskraft f u

12 Lösung für den geostropiscen Wind 1 fk u = p ρ Man bildet auf beiden Seiten das Vektorprodukt mit k 1 fk ( k u ) = k ρ Für dreiface Vektorprodukte a ( b c) = ( a c) b ( a b) c fk ( k u ) = f( k u ) k f( k k) u u 1 = k ρ f p p = 0 = fu u 1 1 = k p = ρf ρf L NM 1 u = p ρ f p p,, 0 y x O QP Zwiscen dem geostropiscen Wind u und dem Druckgradienten bestet eine lineare Abängigkeit Ein Blick auf eine Wetterkarte bestätigt dieses Ergebnis: je kleiner der Isobarenabstand, desto stärker der Wind. Die geostropisce Windgescwindigkeit ängt durc f von der geograpiscen Breite ab.

13 In niederen Breiten ist bei gleicem Druckgradienten der Wind stärker als in öeren Breiten. niederen Breiten öeren Breiten p p V V p + p + fv fv Ein Beispiel

14 Direkt am Äquator, wo f null wird, wäre die Gescwindigkeit des geostropiscen Windes unendlic groß. In Äquatornäe kann man die geostropisce Näerung nict anwenden. die Luftströmung in diesen Gebieten ist nict parallel sondern quer zu den Isobaren vom öeren zum tieferen Druck gerictet. p p + Äquatornäe fv V p p + öeren Breiten fv V Im Recenbeispiel, daß wir von ein paar Wocen angescaut aben, ergab sic bei einem Druckgradienten von 10 mb/1000 km und ρ = 1 kg/m 3 eine Bescleunigung von 10 3 m s 2. Daraus ergibt sic für ein Luftpaket nac einem Tag (10 5 s) die viel zu große Gescwindigkeit von 100 m s 1. Nimmt man dagegen geostropisces Gleicgewict bei φ = 45 (f = 10 4 s 1 ) an, errecnet sic eine Windgescwindigkeit von 10 m s 1. Dieser Wert stimmt ungefär mit der beobacteten Windstärke überein.

15 Der Druck als vertikale Koordinate Auf Wetterkarten für die freie Atmospäre analysiert man nict die Druckverteilung auf bestimmten Niveaufläce (z. B. Meeresniveau) sondern man stellt die Höenverteilung auf ausgewälten Druckfläcen (z. B. 300 mb) dar. Diese Druckfläcen sind naezu orizontal. Die Frage ist: wie soll man das Newton sce Gesetz anwenden, wenn definitionsgemäß auf einer Druckfläce kein Druck-gradient bestet? Transformation von Höenkoordinaten (x, y, z) auf Druckkoordinaten (x, y, p) C p z A Δ z B p + Δ p p x ρg I = KJ z= const. lim p B Δ x p Δx A = lim Δx 0 Δx 0 Δz 0 F p z z = ρg H G I z K J F H G I x K J F = H G I x K J p B p Δz C Δz weil pc = p Δx x= const. p= const. p= const. A

16 Es gibt also die Bezieung 1 F H G pi K J F = H G zi g K J ρ x x z= const. p= const. bei der Transformation von Höenkoordinaten (x,y,z) auf Druckkoordinaten (x,y,p), der Druckgradient in der Bezugsöe z überget in einen quasi-orizontalen Gradienten der geopotentiellen Höe auf der jeweiligen Druckfläce. Beim Übergang von Höenkoordinaten auf Druckkoordinaten muß man den orizontalen Druckgradient pro Masseneineit durc die Neigung der Druckfläce, multipliziert mit g, ersetzen. Die geostropisce Gleicung in Druckkoordinaten fk V = g z p Ableitung bei konstantem p z x = lim Δx 0 z c z Δx A V g = k f p z z A C Δ z B p p + Δ p Δ x

17 V g = k f p z der geostropisce Wind im p-system bläst parallel zu den Isoypsen. z z + dz V die niedrigeren Geopotentialwerte auf der Nordalbkugel liegen in Strömungsrictung geseen links Ein Beispiel 500 mb

18 Zusammenfassung 1 1. Reibungsfrei Bewegungsgleicung d u 1 = p + g 2 ρ 2. Geostropisce Bewegung u pro Masseneineit 1 fk u = p ρ 1 p 0 = ρg ρ z 3. Lösung u 1 = k ρ f p Zusammenfassung 2 4. Geostropisce Gleicung in Druckkoordinaten fk V = g z p 5. Lösung V g = k f p z

19 Ende