Übungsaufgaben zu Mathematik 2

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1 Ü F-Studiengng Angewndte lektronik SS 8 Üungsufgen zu Mthemtik Vektor- und Mtrizenrechnung 9 Die ckpunkte des Dreiecks ABC seien durch ihre Ortsvektoren OA ( ) OB (7) und OC (8) gegeen Berechnen Sie die Koordinten des Mittelpunkts der Strecke AB mit ilfe der Formel von ABC mit ilfe der Formel C im Verhältnis : teilt ds heißt dss O OA OB und die Koordinten des Schwerpunkts S OS OA OB OC eigen Sie dss S die Strecke SC S gilt 9 Für die Vektoren = () und = () erechne mn die Linerkomintion ( ) + ( + ) die Längen sowie den Winkel zwischen und 9 Mn zeige: () Die Vektoren () () () () des sind liner hängig () Die Vektoren () () () des sind liner unhängig 9 Für welchen Wert des Prmeters stehen die Vektoren = (8) und = () ufeinnder norml? 96 Mn leite die Formel her x y cos für den Winkel zwischen zwei Vektoren x und y x y (Anleitung: Mn etrchte ds Dreieck mit den Seitenvektoren x y x y und wende druf den Cosinusstz n: x y x y x y cos ) 97 Gegeen seien die Mtrizen 6 A B () Mn erechne A T A B A B () Welche Mtrix X erfüllt die Gleichung A + X = B T? 98 u den Mtrizen A A A

2 Ü ilde mn lle Produkte AiAj (i j = ) welche definiert sind 99 Bestimmen Sie eine -Mtrix A sodss f ( ) und f ( ) woei f ( x ) Ax für lle x gilt Sei B eine -Mtrix und g ( x ) Bx und ( g f )( x) g( f ( x)) für lle x eigen Sie dss dnn ( g f )( x) ( BA) x für lle x in Produzent verreite die ohstoffe Der Verruch der ohstoffe während vier Wochen eines Monts sei wie folgt gegeen: Woche / ohstoff Woche 8 Woche 6 Woche 7 8 Woche 7 9 Diese ohstoffe sollen ei einem von zwei Liefernten L L ezogen werden woei die ohstoffpreise in nchstehender Telle ngegeen sind: ohstoff / Liefernt L L Mn vergleiche die ohstoffkosten für lle vier Wochen Soll der Produzent eim Liefernten L oder L estellen? cos x sin x cos x sin x Sei A Mn zeige dss dnn A gilt und dss die sin x cos x sin x cos x cos x sin x zu A inverse Mtrix durch A gegeen ist (dh dss AA gilt) sin x cos x Jede qudrtische Mtrix A knn ls Summe einer symmetrischen Mtrix B (dh B = B T ) und einer schiefsymmetrischen Mtrix C (dh C = C T ) geschrieen werden knn Dzu wählt mn B = (/)(A + A T ) und C = A B Wie sieht diese erlegung konkret für die Mtrix us? A in Produktionsprozess in den die Produkte eingeunden sind werde durch die folgende Gozintomtrix D eschrieen:

3 Ü 7 D Mn zeichne den zugehörigen Gozintogrphen Ferner estimme mn die Mtrix D und interpretiere deren lemente rechnerisch und grphisch Dem nchstehend geildeten Gozintogrphen entnehme mn die Gozintomtrix D und erechne drus (mit ilfe von MATLAB) die Gesmtedrfsmtrix G Welche Mengen der ohstoffe und enötigt mn insgesmt für die erstellung von inheiten inheiten und inheiten? 6 6 in Produktionsschem zur Fertigung von ndprodukten us den ohstoffen sei durch die untenstehende Gozintomtrix D gegeen Mn estimme die hl jener wischenschritte die ein ohstoff mximl durchläuft ehe er indirekt für ein ndprodukt verwendet wird und erechne den ohstoffedrf für die Produktion von inheiten inheiten und 7 inheiten (Mn rechne mit MATLAB)

4 Ü 6 Die folgenden drei Mtrizen A B C eschreien einen Produktionsprozess ei dem zuerst us den ohstoffen c d die wischenprodukte hergestellt werden us diesen werden dnn die lfertigprodukte hergestellt und us diesen zuletzt die eiden ndprodukte d c A C B Mn ermittle den ohstoffedrf wenn Mengeneinheiten von inheiten von und uf Vorrt je 6 inheiten von produziert werden sollen (Mn führe die Berechnungen mit MATLAB durch) 7 ) Berechnen Sie die Determinnte 6 und vergleichen Sie diese hl mit dem Flächeninhlt des von den Vektoren (6) und () in der ene ufgespnnten Prllelogrmms (zb indem Sie ds echteck mit den ckpunkten () (9) (97) und (7) in ds erwähnte Prllelogrmm und in geeignete echtecke und rechtwinkelige Dreiecke zerlegen) ) Wie knn mn lso mittels der Determinnte der Vektoren ) ( und ) ( feststellen o und liner hängig sind? 8 Mn erechne die Determinnte einml durch ntwicklung nch einer elieigen eile und einml durch ntwicklung nch einer elieigen Splte 9 Mn erechne die folgende Determinnte zuerst mit der nd und üerprüfe nschließend mit dem Computer:

5 Ü Mn wähle eine elieige -Mtrix M und untersuche (mit ilfe von MATLAB) wie sich die Determinnte M ei (i) Vertuschen zweier eilen oder Splten (ii) Multipliktion einer eile oder Splte mit einem konstnten Fktor (iii) Addition eines Vielfchen einer eile oder Splte zu einer nderen eile zw Splte verhält Sei A 7 Mn zeige dss A nichtsingulär ist und erechne A Schließlich ermittle mn AA sowie A A Die in den Aufgen uftretenden lineren Gleichungssysteme sind mit ilfe des Gußschen limintionsverfhrens zu lösen Mn löse ds linere Gleichungssystem: x x x x x x x x x Mn löse ds folgende Gleichungssystem: x x x 7x x x x x x x x 9x 8x x x x Die Nchfrgefunktionen für drei Produkte P P P seien N p p p N p p N p p die entsprechenden Angeotsfunktionen luten A 9p A p A p Mn estimme Preise und Mengen der umgesetzten Güter für den Fll dss lle drei Wren im Gleichgewicht von Angeot und Nchfrge stehen Mn löse ds Gleichungssystem für die Stromverteilung im elektrischen Netzwerk (siehe Vorlesung) uf systemtischem Weg

6 Ü6 6 Gesucht sind sämtliche Lösungen des lineren Gleichungssystems x x x x x x x x x x 7 Lösen Sie mit ilfe der Crmerschen egel: x y z x y z x y z 8 Mn untersuche die Lösrkeit folgender Gleichungssysteme und erechne gegeenenflls lle ihre Lösungen: () x x x x () 7x x x x (c) 6x 9x x x (d) x 8x 9x 6x 8 9 Mn estimme den ng der folgenden Mtrix: A s soll untersucht werden in welcher Weise sich der Preis eines ndprodukts uf die verschiedenen Produktionsfktoren ufteilt: Drei Wren A B C werden unter Verwendung der Produktionsfktoren Boden Areit und Kpitl hergestellt Wie viele inheiten dieser Fktoren in die Produktion je einer inheit der ndprodukte eingehen wird durch die Produktionskoeffizienten in nchstehender Telle ngegeen Die Preise der drei Produkte seien pa= 7 pb = 6 pc = 9 Mn estimme die Preise je einer inheit der drei Fktoren dh Bodenrente Lohnstz und insstz ei dem etrchteten Produktionsprozess ndprodukt A B C Boden Fktor Areit Kpitl

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