Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Lineare Abbildungen. Eigenwerte

2 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte ii Modul für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Sommer 00 Probeausgabe Sommer 00 Änderungen. Straffung Sommer 00 Kleine Ergänzungen. Fehlerkorrekturen Sommer 006 Fehlerkorrekturen. Formel-Editor revidiert. Straffung Sommer 007 Neue Moduleinteilung. Kürzungen. MathType. Zusammenfassung Frühjahr 008 Geändertes Layout Frühjahr 009 Erweiterung Frühjahr 00 Grafische Überarbeitung Frühjahr 0 Grafische Überarbeitung Frühjahr 0 Erweiterung Frühjahr 0 Kürzung last modified: 6. Oktober 0 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 0 Basel Inhalt Lineare Abbildungen... Beispiele in der Ebene.... Erstes Beispiel.... Zweites Beispiel: Zentrische Streckung.... Drittes Beispiel.... Viertes Beispiel: Drehung.... Fünftes Beispiel: Scherung... Beispiele im Raum.... Zentrische Streckung.... Weiteres Beispiel Drehungen im Raum Drehung um die dritte Achse Drehung um die erste Achse Drehung um die zweite Achse Drehung um eine Achse in Bodenebene Drehung um eine beliebige Achse... 0 Fixrichtungen.... Wann ist es gleich spät?..... Fixpunkte..... Fixrichtungen durch den Ursprung.... Weitere Beispiele..... Identische Abbildung..... Strecken und Stauchen..... Sichtbare Fixrichtungen... 6 Eigenvektor und Eigenwert Definition... 7

3 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte iii. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel Allgemein.... Beispiel im Raum... 6 Symmetrische Matrix Die Matrix Die Abbildung Eigenwerte und Eigenvektoren Eine Diagonalmatrix Noch eine Matrix Eine Drehmatrix Orthogonale Matrix Zusammensetzung von Abbildungen Vorgehen mit Matrizen Zusammenfassung Lineare Abbildungen Drehungen Eigenvektoren und Eigenwerte Symmetrische Matrix Orthogonale Matrix... 9

4 e Ae Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Lineare Abbildungen Wir untersuchen (einmal mehr) Abbildungen von der Form v = Au. v a, a, a,n u = v m a m, a m, a m,n u n Bild Beispiele in der Ebene Urbild. Erstes Beispiel Abbildungsgleichungen: v v = u u v = u + u v = u u Bilder der Einheitsvektoren: e = 0 e = 0 e Ae Bilder der Einheitsvektoren

5 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte A = Ae Ae Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren. 0 Bild des Einheitsquadrates Die Determinante der Abbildungsmatrix ist der Flächenmaßstab Bild eines Quadratrasters Im Raster können wir grafisch verifizieren, dass zum Beispiel: 8 =

6 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Statt einzelner Punkte können wir eine ganze Figur abbilden: Urbild und Bild. Zweites Beispiel: Zentrische Streckung 8 A = Zentrische Streckung

7 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte. Drittes Beispiel A = Viertes Beispiel: Drehung Bild der Einheitsvektoren: Unterschiedliche Streckungen A = cos φ sin φ ( ) sin( φ) ( ) cos( φ) Ae e Ae e Drehung: Bild der Einheitsvektoren Raster mit Gesicht

8 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte. Fünftes Beispiel: Scherung A = 0 6 Beispiele im Raum. Zentrische Streckung Scherung A = Zentrische Streckung

9 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 6. Weiteres Beispiel A = Drehungen im Raum.. Drehung um die dritte Achse Urbild und Bild ( ) sin( φ) 0 cos φ R e,φ = sin( φ) cos( φ) Drehung um die dritte Achse um φ = +0

10 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 7.. Drehung um die erste Achse 0 0 R e,φ = 0 cos φ 0 sin φ ( ) sin( φ) ( ) cos( φ).. Drehung um die zweite Achse Drehung um die erste Achse um φ = +0 ( ) 0 sin( φ) cos φ R e,φ = 0 0 sin φ ( ) 0 cos( φ) Drehung um die zweite Achse um φ = +0

11 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 8.. Drehung um eine Achse in Bodenebene e e Achse a e Situation der Drehachse a e e Achse a e Situation der Drehachse a in der Äquatorebene In dieser Situation ist: R a,φ = R e,α R e,φ R e, α Im Klartext heißt das: ( ) sin( α ) 0 cos α R a,φ = sin( α ) cos( α ) cos φ 0 sin φ Beispiel: α = 60 (Position der Achse a) φ = 0 (Drehwinkel) ( ) sin( φ) ( ) cos( φ) ( ) sin( α ) 0 cos α sin( α ) cos( α ) 0 0 0

12 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 9 Es ist dann: R e,α = , R e,φ = und R e, α = Daraus ergibt sich (mit CAS): R a,φ = R e,α R e,φ R e, α = Die Figur zeigt, dass das richtig ist: Drehung um eine Achse a in Bodenebene

13 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 0... Konjugation R a,φ = R e,α R e,φ R e, α R e, R a, R e, R e, Konjugation.. Drehung um eine beliebige Achse In einem Schrägbild kann die Position der Achse b nicht eindeutig angegeben werden. e Achse b e e Lage der Achse b unklar Mit geografischen Koordinaten kann das präzisiert werden.

14 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte e Achse b e e Geografie der Achse b Zur Festlegung der Achse b verwenden wir in der Nord-Süd-Richtung die so genannte Poldistanz θ, die vom Nordpol aus gemessen wird. Die Poldistanz ist der Komplementwinkel der üblichen geografischen Breite. In der Ost-West-Richtung verwenden wir die übliche geografische Länge λ. Die Rotation um die Achse b um den Winkel φ kann jetzt wie folgt zusammengesetzt werden: R b,φ = R e,λ R e,θ R e,φ R e, θ R e, λ... Beispiel Wir drehen einen Würfel um eine Körperdiagonale um φ = 60. e e e Drehung um eine Körperdiagonale Was ist nun die Geografie der Drehachse b, also der Körperdiagonalen des Würfels?

15 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Körperdiagonale und Orientierungskugel Offensichtlich ist die geografische Länge λ =. Dies zeigt die Sicht von oben. Zur Bestimmung des Winkels θ sehen wir die Sache von einer geeigneten Seite an. Es ist tan( θ) =. Sicht von oben und von der Seite Es ist also φ = π = 60, λ = π Maple liefert damit die Abbildungsmatrix: =, θ = arctan ( ).76. R b,φ = Die Drehmatrix R b,φ hat einige bemerkenswerte Eigenschaften. So hat jeder Spaltenvektor und auch jeder Zeilenvektor die Länge. Zwei verschiedene Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal, ebenso zwei verschiedene Zeilenvektoren. Ferner ist, R b,φ = t Rb,φ Matrizen. und det R b,φ ( ) =. Matrizen mit diesen Eigenschaften heißen orthogonale Im folgenden Bild sehen wir den Würfel und sein Drehbild bei einer Drehung um die Körperdiagonale um 60.

16 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Urbildwürfel und Bildwürfel... Die Bastelstunde Diese Würfelkonfiguration kann als Steckmodell hergestellt werden. Wir brauchen dazu Quadrate (6 in der einen und 6 in der anderen Farbe) aus Halbkarton mit Nuten. Das Modell kann dann ohne weitere Bindemittel zusammengesteckt werden. Schnittmuster für das Steckmodell

17 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Fixrichtungen Wann hat der Schattenzeiger einer Sonnenuhr dieselbe Richtung wir der Stundenzeiger einer normalen Uhr?. Wann ist es gleich spät? Wir betrachten lineare Abbildungen, also Abbildungen von der Form v = Au. Mit der Abbildungsmatrix wird die Standarduhr wie folgt verzerrt: A = Uhr und ihr Bild Wann ist es nun auf beiden Uhren gleich spät? (Nur Stundenzeiger beachten.).. Fixpunkte Gesucht sind Punkte u mit Au = u... Fixrichtungen durch den Ursprung Gesucht sind Vektoren u mit Au = λu.

18 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte. Weitere Beispiele.. Identische Abbildung 0 A = E = Strecken und Stauchen Identität: Urbilduhr und Bilduhr 0 A = Eigenwerte, Eigenvektoren? Urbilduhr und Bilduhr

19 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 6... Erster Eigenvektor, erster Eigenwert = 0... Zweiter Eigenvektor, zweiter Eigenwert = 0 Eigenvektor Eigenwert Eigen- vektor Eigenvektor Eigenwert Eigenvektor.. Sichtbare Fixrichtungen A = Urbilduhr und Bilduhr... Erster Eigenvektor, erster Eigenwert Auf Grund der Figur vermuten wir: u gehört zu ein Uhr, also: Kontrolle: 9 cos ( 60 ) u = sin( 60 ) = = und λ =.

20 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 7... Zweiter Eigenvektor, zweiter Eigenwert Auf Grund der Figur vermuten wir: u gehört zu zwei Uhr, also: Kontrolle: 9 ( ) cos 0 u = sin( 0 ) = = und λ = Eigenvektor und Eigenwert. Definition Falls heißt und Au = λu u Eigenvektor der Matrix A λ Eigenwert der Matrix A. Bemerkung: Mit u ist auch ein Vielfaches von u Eigenvektor.. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.. Beispiel Wir verwenden das uns schon bekannte Beispiel: A = Uhr und ihr Bild

21 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 8 Die Bedingung Au = λu führt auf: λ Es ist det λ = λ λ 6. Dies ist das charakteristische Polynom der Matrix A. Die gesuchten Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms: λ λ 6 = 0 Wir erhalten λ = und λ =. Die zugehörigen Eigenvektoren finden wir wie folgt: Erster Eigenwert λ = Wir erhalten u =. Selbstverständlich ist auch jedes Vielfache von u ein Eigenvektor zu λ =. Zweiter Eigenwert λ = Wir erhalten u =. Auch jedes Vielfache von u ist ein Eigenvektor zu λ =.

22 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Eigenvektoren... Link mit Differenzialgleichungen Wir suchen Funktionen y t ( ) und y ( t) so dass: y = y + y y = y y Wir haben somit ein System homogener linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung. Mit den Schreibweisen ( ) = y ( t) y ( t) Y t können wir das in der kompakten Form Y und A = ( t) = AY t schreiben. Das erinnert formal an die gewöhnliche Differenzialgleichung y = ay mit der Lösung y t ( ) ( ) = be at. Wir versuchen daher folgenden Ansatz: y ( t) = c e λt y ( t) = c e λt Wir haben also in den beiden Funktionen zwar verschiedene Konstante Faktoren c und c, aber dasselbe λ. Mit dem Vektor C = c c können wir den Ansatz kompakt schreiben: ( ) = y ( t) y ( t) Y t Y ( t) = Ce λt = c eλt c e λt = c c eλt = Ce λt

23 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 0 Ableiten ergibt: ( ) Y ( t) = y t y ( t) = c λt λe c λe λt = c c λeλt = Cλe λt Y ( t) = Cλe λt Wir sehen hier, dass es wichtig ist, dass wir in beiden Funktionen dasselbe λ haben. Einsetzen in das Differenzialgleichungssystem Y t Cλe λt = ACe λt ( ) = AY ( t) liefert: Den Anteil e λt können wir wegdividieren. Den Vektor C können wir aber nicht weglassen, weil man nicht durch einen Vektor dividieren kann. Wir erhalten Cλ = AC oder AC = λc Wir sehen, dass C ein Eigenvektor und λ der zugehörige Eigenwert für die Matrix A sein muss. Für die Matrix A = ergeben sich die Eigenwerte λ = und λ = mit passenden Eigenvektoren: u = und u = Da mit einem Eigenvektor auch ein Vielfaches davon Eigenvektor ist, erhalten wir ( ) = b Y t et und Y t ( ) = b e t mit beliebigen Koeffizienten b und b, und daraus die allgemeine Lösung für den homogenen Fall oder detailliert: ( ) = b Y t et + b y ( t) = b e t + b e t y ( t) = b e t b e t e t

24 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte CAS liefert: y(t) = C*exp(-*t) + C*exp(*t) y(t) = /*C*exp(*t) - C*exp(-*t) Setzt man C = b und C =b, erhalten wir unsere Lösung. Zur Kontrolle (wer dem Computer nicht traut) setzen wir in die Differenzialgleichungen y = y + y ein: y = y y b e t b e t =? ( b e t + b e t ) + ( b e t b e t ) b e t ( )b e t =? ( b e t + b e t ) ( b e t b e t ) o.k... Allgemein Wir erhalten: a A = c b d Charakteristisches Polynom: a λ det c b d λ = λ ( a + d) λ + ad bc =det( A) in der Hauptdiagonalen ( )

25 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte. Beispiel im Raum 0 0 A = Wie wirkt sich diese Abbildung auf einen Vektor u = 0 0 Au = x x x = x x x aus? Wir erhalten also eine zyklische Vertauschung der Koordinaten: x x x Zyklische Vertauschung Wenn drei Designer einen Computer, eine Seife und einen Kaktus bearbeiten, sieht nachher der Computer aus wie eine Seife, die Seife wie ein Kaktus und der Kaktus wie ein Computer. Und alle drei waren kreativ. Berechnung der Eigenwerte:

26 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Wir erhalten die charakteristische Gleichung λ = mit der einzigen (reellen) Lösung λ =. Berechnung des zugehörigen Eigenvektors: Wir erhalten den Eigenvektor u =. Die Abbildung ist geometrisch eine Drehung um die durch diesen Eigenvektor gegebene Achse um 0. 6 Symmetrische Matrix Drehung um Diagonale um 0 6. Die Matrix Wir arbeiten mit der symmetrischen Matrix: A = 6 Eine symmetrische Matrix ist gleich ihrer transponierten Matrix: A t = A

27 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 6. Die Abbildung Wir verwenden die Matrix A als Abbildungsmatrix und bilden den Einheitskreis ab Bild des Einheitskreises Der Kreis wird zu einer schrägen Ellipse verzerrt. Wir sehen etwas mehr, wenn wir den Einheitskreis durch den Smiley ersetzen Smiley 6. Eigenwerte und Eigenvektoren Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der symmetrischen Matrix A: Wir erhalten die charakteristische Gleichung λ 9λ + = 0 mit den beiden Lösungen λ = 7 und λ =. Dies sind die Eigenwerte der Matrix A. Für die Eigenvektoren erhalten wir zum Beispiel:

28 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte u = und u = Die beiden Eigenvektoren sind orthogonal. Allgemein gilt (ohne Beweis): Eine symmetrische Matrix hat reelle Eigenwerte. Die Eigenvektoren sind orthogonal. Die Abbildung zeigt die beiden Eigenvektoren. y u Eigenvektoren Wir vermuten, dass der Eigenvektor u die Richtung der langen Hauptachse (lange Symmetrieachse) der obigen Verzerrungsellipse hat. Der Eigenvektor u hat die Richtung der kurzen Hauptachse (kurze Symmetrieachse) der Verzerrungsellipse. Für den eingezeichneten Winkel φ ergibt sich: 6. Eine Diagonalmatrix Die Matrix u cos( φ) =, sin( φ) =, φ = arccos A = x ( ) 6. enthält die Eigenwerte der Matrix A in der Diagonalen und sonst nichts. Die zugehörige Abbildung ist eine Streckung in der x-richtung um den Faktor 7 und in der y-richtung um den Faktor. Der Einheitskreis wird zu einer Ellipse mit den Hauptachsen 7 und verzerrt.

29 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Verzerrung Das ist offenbar wieder unsere Verzerrungsellipse, aber um den Winkel φ zurückgedreht. 6. Noch eine Matrix 6.. Eine Drehmatrix Die Drehmatrix T für den Winkel φ ist: T = cos φ sin φ ( ) sin( φ) ( ) cos( φ) Diese Matrix hat folgende Eigenschaften: Die Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal. Die Spaltenvektoren haben die Länge. = Die Spaltenvektoren (und ebenso die Zeilenvektoren) bilden also eine orthonormale Basis. Es ist: T cos φ = sin φ ( ) sin ( φ ) ( ) cos( φ ) = cos φ sin φ ( ) sin( φ) ( ) cos( φ) = = T t Eine Matrix mit diesen Eigenschaften wird als orthogonale Matrix bezeichnet.

30 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte Orthogonale Matrix Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix Q mit folgenden Eigenschaften: Die Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal. Die Spaltenvektoren haben die Länge. Es ist Q t = Q. Wir deine orthogonale Matrix als Abbildungsmatrix verwendet, bleiben Längen und Winkel invariant. Die Abbildung ist also eine Kongruenzabbildung. Die Abbildung ist eine Drehung oder eine Spiegelung. Der entsprechende Begriff bei komplexen Matrizen ist die unitäre Matrix. 6.6 Zusammensetzung von Abbildungen Wir machen nun folgendes: Wir drehen den Smiley um den Winkel φ zurück, dann verzerren wir mit der Matrix A, also in der x-richtung mit dem Faktor 7 und in der y- Richtung mit dem Faktor, und dann drehen wir um den Winkel φ vorwärts. Dann sollten wir dasselbe erhalten wie bei der Direktabbildung mit der Matrix A. Die Figurenfolge zeigt, dass es klappt. Zusammensetzung von Abbildungen

31 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 8 Wir sehen, dass der erste Schritt, also das Zurückdrehen des Smileys um den Winkel φ, wesentlich ist und nicht übersprungen werden kann. 6.7 Vorgehen mit Matrizen Dem Zusammensetzen von Abbildungen entspricht die Multiplikation von Matrizen. Gemäß unseren Überlegungen muss gelten: T A T = A Kontrolle: = 7 = = 6 Die Sache ist also ok. Umgekehrt gilt auch: A = T AT Eine symmetrische Matrix kann also diagonalisiert werden. In der Diagonalen stehen dann die Eigenwerte der Matrix. 7 Zusammenfassung 7. Lineare Abbildungen Allgemein v a, a, a,n u = v m a m, a m, a m,n u n Bild 7. Drehungen Drehung in der Ebene: Drehungen im Raum: A = cos φ sin φ Urbild ( ) sin( φ) ( ) cos( φ) 0 0 Um erste Achse: R e,φ = 0 cos φ 0 sin φ ( ) sin( φ) ( ) cos( φ)

32 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen, Eigenwerte 9 ( ) 0 sin( φ) cos φ Um zweite Achse: R e,φ = 0 0 sin φ Um dritte Achse: ( ) 0 cos( φ) ( ) sin( φ) 0 cos φ R e,φ = sin( φ) cos( φ) Allgemein: Drehung um φ um die Achse mit den geografischen Koordinaten Poldistanz θ und geografische Länge λ: R b,φ = R e,λ R e,θ R e,φ R e, θ R e, λ 7. Eigenvektoren und Eigenwerte Falls Au = λu heißt u Eigenvektor der Matrix A und λ Eigenwert der Matrix A. Mit u ist auch ein Vielfaches von u Eigenvektor. a b Zur Matrix A = finden wir die charakteristische Gleichung: c d a λ det c b d λ = λ ( a + d) λ + ad bc ( ) = 0 =det( A) in der Hauptdiagonalen Ihre Lösungen sind die Eigenwerte. Dann Vektoren u 0 suchen so dass Au = λu. Für -Matrizen analog. 7. Symmetrische Matrix A t = A Eigenwerte reell. Eigenvektoren orthogonal. Eine symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. 7. Orthogonale Matrix Die Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal. Die Spaltenvektoren haben die Länge. Q t = Q Wir deine orthogonale Matrix als Abbildungsmatrix verwendet, bleiben Längen und Winkel invariant. Die Abbildung ist also eine Kongruenzabbildung. Die Abbildung ist eine Drehung oder eine Spiegelung.

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