Übungsaufgaben. 1. Ein topologischer Raum T ist genau dann noethersch und hausdorffsch, wenn T eine endliche Menge mit der diskreten Topologie ist.

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1 Prof. Dr. Annette Werner Algebraische Geometrie I (alias Algebra II) SS 05 Übungsaufgaben. Ein topologischer Raum T ist genau dann noethersch und hausdorffsch, wenn T eine endliche Menge mit der diskreten Topologie ist. 2. Es sei K ein Körper und A = K[x, y, z]/(x 2 yz, xz x). Bestimmen Sie die irreduziblen Komponenten von Spec(A). 3. Es sei A ein Ring. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass für g A die Menge D(g) = {p Spec(A) : g / p} offen ist, und dass die Teilmengen D(g) eine Basis der Zariski Topologie auf Spec(A) bilden. Zeigen Sie: i) D(g) = genau dann, wenn g (0) = Nil(A). ii) D(g) = Spec(A) genau dann, wenn g A. 4. Es sei ϕ : A B ein Ringhomomorphismus und f : Spec(B) Spec(A) die zugehörige stetige Abbildung. Zeigen Sie: i) Für alle g A ist f (D(g)) = D ϕ(g). ii) Ist ϕ injektiv, so ist f dominant, d.h. der Abschluss von Bild(f) ist Spec(A). 5. Es sei ϕ : F G ein Homomorphismus von Prägarben abelscher Gruppen auf dem topologischen Raum T. Zeigen Sie, dass ϕ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn alle ϕ U : F(U) G(U) Isomorphismen sind. 6. Für alle n N betrachten wir die abelsche Gruppe Z = {a/n : a Z} Q. n Falls m ein Teiler von n ist, so sei µ mn : Z Z die Inklusion. Zeigen Sie, m n dass lim Z = Q ist. n 7. Es sei F eine Prägarbe abelscher Gruppen auf dem topologischen Raum T. Ferner seien U und W zwei offene Umgebungen von x T und s F(U) sowie t F(W ) zwei Schnitte. Zeigen Sie, dass die Keime s x F x und t x F x genau dann gleich sind, wenn es eine offene Umgebung V um x mit V U W gibt, so dass res UV (s) = res W V (t) ist.

2 8. Es sei F eine Prägarbe abelscher Gruppen auf dem topologischen Raum T. Die zu F assoziierte Garbe haben wir in der Vorlesung wie folgt definiert: F + (U) = {s : U x U F x, so das gilt: s(x) F x für alle x U, und für alle x U gibt es eine Umgebung V U und ein t F(V ), so dass Zeigen Sie: i) F + ist eine Garbe. s(y) = t y für alle y V.} ii) Der natürliche Morphismus ϕ : F F +, der t F(U) auf die Funktion s(x) = t x abbildet, vermittelt einen Isomorphismus auf allen Halmen. iii) Ist F eine Garbe, so ist ϕ : F F + ein Isomorphismus. 9. Es sei F eine Garbe auf dem topologischen Raum T, und s F(U) ein Schnitt über der offenen Menge U. Der Träger von s ist definiert als die Menge Supp(s) = {x U : s x 0}, wobei s x der Keim von s in x, also das Bild von s unter der natürlichen Abbildung F(U) F x ist. Zeigen Sie, dass Supp(s) eine abgeschlossene Teilmenge von U ist. 0. Es seien F und G Garben abelscher Gruppen auf T. Zeigen Sie, dass die direkte Summe F G, definiert durch (F G)(U) = F(U) G(U), ebenfalls eine Garbe auf T ist.. Es sei ϕ : F G ein Morphismus von Garben abelscher Gruppen auf T. Zeigen Sie, dass für alle x T gilt: i) (Kernϕ) x = Kern(ϕ x ) ii) (Bildϕ) x = Bild(ϕ x ). 2. Zeigen Sie, dass ein Morphismus ϕ : F G von Garben abelscher Gruppen auf einem topologischen Raum T genau dann injektiv (bzw. surjektiv) ist, wenn für alle x T der induzierte Homomorphismus auf den Halmen ϕ x : F x G x injektiv (bzw. surjektiv) ist. 3. Es sei f : S T eine stetige Abbildung topologischer Räume und G eine Garbe auf T. Zeigen Sie, dass für alle x S gilt: (f G) x = G f(x). 4. Es sei A ein Ring und S eine multiplikative Teilmenge von A. Für jedes Ideal a in A sei S a definiert als S a = {a/s : a a, s S} Hier ist a/s wie in der Vorlesung die durch das Paar (a, s) definierte Äquivalenzklasse in A S. 2

3 i) Zeigen Sie, dass S a ein Ideal in S A ist. Ist α : A S A die natürliche Abbildung α(a) = a/, so ist S a das von der Teilmenge α(a) erzeugte Ideal in S A. ii) Zeigen Sie, dass genau dann S a = S A gilt, wenn a S ist. iii) Es sei b ein Ideal in S A und a = α (b) das Urbildideal. Dann ist kein Element aus S ein Nullteiler im Quotienten A/a. Umgekehrt gibt es für jedes Ideal a in A, so dass kein Element aus S ein Nullteiler im Quotienten A/a ist, ein Ideal b in S A mit a = α (b). iv) Zeigen Sie dass die Abbildungen p S p bzw. q α (q) eine bijektive Korrespondenz zwischen den Primidealen in A, die disjunkt zu S sind, und den Primidealen in S A vermitteln. v) Es sei p in Primideal in A. Was sagt iv) angewandt auf die Lokalisierung A p? 5 Es sei a ein Ideal in dem Ring A und S eine multiplikative Teilmenge von A. Es sei ϕ : A A/a die Quotientenabbildung. Zeigen Sie, dass T = ϕ(s) eine multiplikative Teilmenge von A/a ist und dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt. T (A/a) S A/S a 6 Es sei p eine Primzahl und A = Z (p) die Lokalisierung von Z nach dem Primideal (p). Bestimmen Sie das Spektrum (Spec A, O Spec A ). 7 Bestimmen Sie das Spektrum von Z/6Z. Verallgemeinern Sie dieses Resultat auf Z /mz für alle m 2. 8 i) Es sei U eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes T (versehen mit der Relativtopologie) und i : U T die Einbettung. Zeigen Sie: Für jede Garbe F auf T ist i F die Garbe auf U, die einer offenen Teilmenge V U gerade F(V ) zuordnet. Wir bezeichnen sie auch mit F U. ii)es sei A ein Ring und X = SpecA. Zeigen Sie, dass für alle f A der lokal geringte Raum (D(f), O X D(f) ) isomorph zu SpecA f ist. 9. Es sei X ein Schema. Für jedes x X sei m x das maximale Ideal im lokalen Ring O X,x. Der Restklassenkörper von X im Punkt x ist definiert als k(x) = O X,x /m x. i) Bestimmen Sie alle Restklassenkörper des Schemas Spec Z. ii) Es sei K ein beliebiger Körper. Zeigen Sie, dass es eine Bijektion gibt zwischen der Menge aller Schemamorphismen Spec K X und der Menge aller Paare (x, i) mit x X und i : k(x) K ein Körperhomomorphismus. 3

4 20. Es sei K ein Körper und α : X Spec K ein Morphismus von Schemata. Für jedes Schema Y zusammen mit einem Morphismus β : Y Spec K sei Mor K (Y, X) = {ϕ : Y X Morphismus von Schemata, so dass β = α ϕ.}. Zeigen Sie: i) Ist L/K eine galoissche Körpererweiterung und α = β : Spec L Spec K der Morphismus zur Inklusion K L, so können wir Mor K (Spec L, Spec L) mit der Galoisgruppe G(L/K) identifizieren. ii) Es sei A n K Spec K der Morphismus zu der kanonischen Abbildung K K[x,..., x n ]. Für jede Körpererweiterung L von K können wir dann mit L n identifizieren. Mor K (Spec L, A n K) iii) Ist a ein Ideal in K[x,..., x n ] und X das Schema X = Spec K[x,..., x n ]/a versehen mit der kanonischen Abbildung X Spec K, so gibt es für jede Körpererweiterung L/K eine Bijektion zwischen Mor K (Spec L, X) und der Menge {(a,..., a n ) L n : g(a,..., a n ) = 0 für alle g a}. 2 i) Zeigen Sie, dass Summe, Produkt, Schnitt und Radikal von homogenen Idealen in K[x,..., x n ] wieder homogen sind. ii) Ein homogenes Ideal p in K[x,..., x n ] ist genau dann ein Primideal, wenn für alle homogenen Polynome f und g gilt: Ist fg p, so folgt f p oder g p. 22 i) Zeigen Sie, dass für jeden Körper K der nulldimensionale projektive Raum P 0 K isomorph zu Spec K ist. ii) Für alle n > 0 ist der n-dimensionale projektive Raum P n K kein affines Schema. 23 i) Für jeden Ring A sei Nil(A) das Nilradikal. Zeigen Sie, dass für jede multiplikative Teilmenge S von A die Gleichung S Nil(A) = Nil(S A) gilt. ii) Ist X ein Schema, so sei die Garbe N definiert durch N (U) = {s O X (U) : s x Nil(O X,x ) für alle x U.} Für jede offene affine Teilmenge U = Spec(A) von X gilt dann N (U) = Nil(A). iii) Ist X ein Schema, so ist auch X red = (X, O X /N ) ein Schema. Es sei r : X red X der kanonische Morphismus. Für jedes reduzierte Schema Y und jeden Schemamorphismus g : Y X existiert genau ein Morphismus g red : Y X red, so dass g = r g red gilt. 24 Geben Sie ein Beispiel für ein Schema X an, das nicht integer ist, aber die Eigenschaft hat, dass alle lokalen Ringe O X,x Integritätsringe sind. 4

5 25 Es sei X ein Schema und f O X (X). Zeigen Sie, dass die Menge V f = {x X : f x m x } abgeschlossen in X ist. Hier bezeichnet m x das maximale Ideal im lokalen Ring O X,x. 26 i) Zeigen Sie, dass f : X Y genau dann lokal von endlichem Typ bzw. lokal von endlicher Präsentation ist, wenn für jede offene affine Teilmenge U = SpecA von Y das Urbild f (U) eine offene Überdeckung durch Teilmengen der Form Spec(B i ) besitzt, so dass alle B i als A-Algebren von endlichem Typ bzw. von endlicher Präsentation sind. ii) Ein Morphismus f : SpecB SpecA ist genau dann von endlichem Typ bzw. von endlicher Präsentation, wenn B eine A-Algebra von endlichem Typ bzw. von endlicher Präsentation ist. 27 i)ist X ein Schema, das von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, so liegen die abgeschlossenen Punkte dicht in X. ii) Finden Sie ein Schema, in dem die abgeschlossenen Punkte nicht mehr dicht liegen. 28 Ist f : X Y ein Morphismus von endlichem Typ und Y ein noethersches Schema, so ist auch X ein noethersches Schema. 5