Differentialformen in Natur und Technik. Geometrie Hamiltonscher Systeme

Transkript

1 Differentialformen in Natur und Technik. Geometrie Hamiltonscher Systeme Florian Krämer

2 Anwendungen in der Physik Phasen- und Zustandsraum Hamiltonsche Systeme Integralinvarianten

3 Anwendungen in der Physik Phasen- und Zustandsraum Hamiltonsche Systeme Integralinvarianten

4 Ziel des Vortrags Ziel: Formulierung der Geometrie eines holonomen, stoßfreien, mechanischen Systems mit endlich vielen Freiheitsgraden.

5 Orts- und Phasenraum Der Ortsraum ist eine n-dim. Mannigfaltigkeit M. Sei U M mit lokalen Koordinaten q 1,..., q n Am Punkt P U ist der kovariante Vektor eine 1-Form ( p i dq i ) mit den reellen Komponenten p 1,..., p n Sei q 1,..., q n ein anderes in P gültiges Koordinatensystem, so sind die Komponenten desselben kovarianten Vektors in diesem Koordinatensystem gegeben durch p i = p j q j q i Die Gesamtheit aller kovarianten Vektoren an allen Punkten von M nennt man den (2n)-dimensionalen Phasenraum.

6 Beispiel eines Phasenraumportraits

7 Volumenelement auf P Zu jeder Koordinatenumgebung U auf M mit lokalen Koordinaten q 1,..., q n gehört die Koordinatenumgebung U E n mit lokalen Koordinaten q 1,..., q n, p 1,..., p n. Es gibt eine 1-Form an P,die unabh. von lokalen Koordinaten ist: α = p i dq i dα = dp i dq i Es folgt ist eine 2n-Form. ±(dα) n = (n!)(dp 1...dp n dq 1...dq n ) Dies liefert uns das Volumenelement dp 1...dp n dq 1...dq n auf P.

8 Koordinatentransformationen Auf einer Überlappung lokaler Koordinatenumgebungen U und Ū gilt: { q i = q i (q 1,, q n ) p i = q p j (i = 1,, n) j q i Sei q = (q 1,, q n ) und p = p 1. p n sowie entsprechend definierte q und p. Aus q = q(q) folgt ( ) q j d q = dqa, A = A(q) = q i Jacobi-Matrix Da α = dq p = d q p p = A p und p = Āp, Ā = A 1 Und es folgt p i / p j = Ā = qj / q i

9 Der Zustandsraum Der Zustandsraum ist das Produkt S = P E 1 mit den Eigenschaften: S (2n+1) dimensional E 1 kann als Zeitachse interpretiert werden lokale Koordinaten von S sind: q 1,, q n, p 1,, p n, t.

10 Anwendungen in der Physik Phasen- und Zustandsraum Hamiltonsche Systeme Integralinvarianten

11 Nun soll für konservative holonome (d.h. das System läßt sich durch n generalisierte Koordinaten beschreiben) dynamische Systeme die Hamiltonmechanik ausgehend vom Lagrange Formalismus betrachtet werden.

12 Generalisierte Koordinaten Generalisierte Koordinaten legen den Ort unter Ausnutzung von Zwangsbedingungen eindeutig fest. Beispiel: Kugel im Rohr Generalisierte Koordinate: Länge der krummen Linie entlang des Rohres

13 Generalisierte Koordinaten Für jede Zeit wird die Position des Systems durch (q 1 (t),, q n (t)) beschrieben. Dies nennt man die Trajektorie. Die kinetische Energie ist definiert als T = T (q 1,, q n, q 1,, q n ) = 1 2 m v 2 (q 1,, q n, q 1,, q n ), die potentielle Energie als V = V (q 1,, q n, t) und die Lagrange-Funktion als. L = T V

14 Euler-Lagrange-Gleichung Setzt man die Lagrange Funktion in ( ) d L dt q i L q i = 0 Euler-Lagrange-Gl. ein, so erhält man ein System von n gewöhnlichen DGLen 2. Ordnung, dessen Lösung die Bewegungsgleichungen q i (t) des Systems sind. Man definiert weiterhin generalisierte Impulse :. p i = L q i = T q i

15 Beispiel: Teilchen reibungsfrei im Kreiskegel

16 Hamiltonfunktion Durch Ersetzen der q i in L durch die p i und Ausführen der Legendre-Transformation von L erhält man die Hamiltonfunktion H = H(q 1,, q n, p 1,, p n, t) = p i q i L Mit 2T = p i q i = H + L = H + T V H = T + V H entspricht also der Gesamtenergie des Systems!

17 kanonische Bewegungsgleichungen Mit H = p i q i L gilt H q i = Man nennt H p i = q i + n j=1 n j=1 p j q j p i p j q j q i L q i H q i = ṗ i n j=1 n j=1 L q j q j = q i p i L q j q j q j = L q i = ṗ i und H p i = q i die kanonischen Bewegungsgleichungen. Man erhält also 2n gewöhnliche DGLen 1. Ordnung und nennt den Raum, der durch die p j und q j aufgespannt wird, den Phasenraum.

18 Beispiel - freies Teilchen in Polarkoordinaten L = m 2 (ṙ 2 + r 2 ϕ 2 ) p r = L ṙ = mṙ p ϕ = L ϕ = mr 2 ϕ H = ( p i q i L = mṙ 2 +mr 2 ϕ 2 m pr 2 2 m 2 + r ) 2 pϕ 2 m 2 r 4 = p2 r 2m + p2 ϕ 2mr 2 kanonische Bewegungsgleichungen: p r = H r q r = H = p r p r m = p2 ϕ mr 3 p ϕ = H ϕ = 0 q ϕ = H p ϕ = p ϕ mr 2

19 Globale Hamilton Funktion Drückt man die kinetische Energie wie folgt aus: T = 1 2 aij (q) q i q j, wobei (a ij (q)) = (b ij (q)) 1 eine symmetrisch positiv definite Matrix der Positionsvariablen q ist, erhält man was wir zu p i = T q i = a ij q j, q i = b ik p k invertieren, um T = 1 aij b ik b jl p k p l = 1 b jl p j p l 2 2 zu erhalten.

20 Nun lässt sich die Hamilton-Funktion als H(q, p, t) = 1 b ij p i p j + V (q, t) 2 darstellen. Seien H = T + V und H = T + V zwei HF, die auf zwei sich schneidenden Regionen U und Ū definiert sind. Mit den Koordinatentransformationen aus dem 1. Kapitel folgt: bij p j = H p i = q i = q i q k qk = q i q k H p k = q i q k bkl p l und T = 1 2 pi bij p j = 1 2 pi q i q k bkl p l = 1 2 T = T H H = V V pk b kl p l = T

21 Mit der Symmetrierelation p i q k + p k q i = 0 folgt H q i = p i = p i q j q j + p i p k ṗ k = p j H q i q k H p j q i q k = H q i Also H q i = H q i q i ( V V ) = 0 V V ist nur eine Funktion von t V = V + f (t) H = H + f (t) Dies gilt auf dem Schnitt von U und Ū.

22 Bedeutung eines globalen Hamilton schen Systems Ausgehend vom Ortsraum M erhalten wir den Phasenraum P und den Zustandsraum S. Wir bekommen eine positiv definite quadratische Form T = 1 2 b ij (q)p i p j. Hier sind (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) die abgeleiteten, über U liegenden Koordinaten auf der Umgebung U E n. Seien nun U α, U β,... lokale Koordinatenumgebungen auf M. Für jedes dieser U α existiert eine auf U α E 1 definierte Funktion V α = V α (q, t).

23 Überschneidet U α U β, dann gilt auf dem Schnitt V α V β = f αβ (t), also eine Funktion die nur von t abhängt. Auf dem Teil des Zustandsraumes, der über U α liegt, setzen wir H α = T + V α Nun werden die Bewegungsgleichungen durch die kanonischen Gleichungen q i = H p i und ṗ i = H q i, wobei q i lokale Koordinaten auf U α sind, gegeben. Die Bewegungsgleichungen sind unabhängig vom lokalen Koordinatensystem und definieren eine Bewegung auf ganz S, die sich vorwärts in der Zeitrichtung bewegt.

24 Anwendungen in der Physik Phasen- und Zustandsraum Hamiltonsche Systeme Integralinvarianten

25 Angenommen, wir haben auf einem Teil von S eine r-parametrige Familie von Lösungen der Bewegungsgleichungen (x 1,, x r ). Dies bedeutet φ auf einer Region W des (t, x)-raumes, mit einem Zylinder in t-richtung und Deckel und Boden durch geschlossene r-ketten begrenzt. W (x 1,, x r, t) Φ S f x1,,x r (t)

26 In lokalen Koordinaten gilt: q i = f i (t, x 1,, x r ) φ : p i = g i (t, x 1,, x r ) t = t Dies repräsentiert für jedes (x i ) eine Trajektorie und folglich gilt { f i t = H g i t p i (f, g, t) = H (f, g, t) q i φ soll stetig und injektiv sein. Eine (r+1) dimensionale Region in S ist mit diesen Trajektorien gefüllt.

27 Definition: Integralinvariante (hist. Bezeichnung) Eine Differentialform α vom Grad s auf dem Zustandsraum S nennt man (absolute) Integralinvariante, wenn für jede r-parametrige Familie von Trajektorien, die durch solch eine Abbildung φ, φ (α) gegeben ist, diese eine s-form im x-raum ist (unabh. von t oder dt) und dα = 0 gilt. Alle dω, (dω) 2,, (dω) n sind Integralinvarianten. Für d(dω) s = 0 und φ (dω) s = [φ (dω)] s = [ A jk (x)dx j dx k ] s ist sie unabhängig von t und dt.

28 Integralinvarianten-Beispiel Betrachte nun ein kleines Volumen c 3 in S, welches durch eine 2-parametrige Familie von Trajektorien erzeugt wird: φ : { q i = q i (t, y, z) p i = p i (t, y, z) mit { a(y, z) t b(y, z) (y, z) in Bereich D Mit c 3 = Σ 1 Σ 0 + c 2, wobei Σ 0 und Σ 1 Anfangs- und Endflächen und c 2 die durch die einparametrige Familie von Trajektorien (korrespondierend zum Parameterpunkt (y,z) und D) aufgespannten Seitenflächen sind.

29 Mit dω = d(dω) = 0 und c 3 c 3 dω = dω Σ 1 Σ 0 c 2 dω = 0 Bedeutung: Sei α eine Integralinvariante vom Grad r auf S und c r eine r-kette auf S, welche transversal zu den Trajektorien ist. Ist c r eine zweite solche r-kette, sodass Punkte von c r und c r injektiv aufeinander abbildbar auf der gleichen Trajektorie sind. Dann gilt: α = α c r c r

30 relative Integralinvarianten (r.i.) Eine r-form α ist relative Integralinvariante,wenn dα Integralinvariante ist. Seien b r sowie b r zwei r-dim Ränder auf gleicher Trajektorie, welche injektiv aufeinander abbildbar sind, so gilt Wählt man (r+1) Ketten c r+1, c r+1 mit b r = c r+1 und b r = c r+1, so dass c r+1 und c r+1 auf der gleichen Trajektorie injektiv aufeinander abbilden, dann gilt: α = α = dα = dα = α = α c r+1 c r+1 b r b r c r+1 c r+1

31 Spezielle Differentialform als Integralinvariante Die lokal definierte Differentialform ω = p i dq i Hdt ist, wo definiert, eine relative Integralinvariante vom Grad 1. Folglich auch die Formen ωdω, ω(dω) 2,, ω(dω) n, da gilt: d[ω(dω) r ] = (dω) r+1

32 Betrachten wir nur Ketten, die an einem bestimmten Zeitpunkt existieren. Sei α eine r-form und c eine r-kette in S, die in einer Hyperebene mit t=konstant liegt. Dann gilt: α = Wendet man dies speziell auf an, so gilt: c α dt=0 c ω = p i dq i Hdt dω = p i dq i H p i dp i dt H q i dqi dt 0 dω dt=0 = dp i dq i

33 Das Liouville Theorem Sei Σ 0 2-Kette in S bei t = t 0 und Σ 1 eine 2-Kette, die man durch Bewegung von Σ 0 entlang seiner Trajektorie zur Zeit t = t 1 erhält. Dann gilt: dpi dq i = dpi dq i Σ 0 Σ 1

34 Angewandt auf (dω) n = ±n!(dp 1 dp n dq 1 dq n ) + λdt erhält man die Phasendichte µ = dp 1 dp n dq 1 dq n Liouville-Theorem: Wenn sich eine 2n-dim Region D 0 im Phasenraum zur Zeit t 0 zu einer Region D 1 zur Zeit t 1 bewegt, gilt: µ = µ D 1 D 0

35 Veranschaulichung des Theorems von Liouville Anschaulich bedeutet das Liouville-Theorem also: Das Volumen irgendeines beliebigen Gebietes des Phasenraums bleibt erhalten, wenn sich die Punkte seiner Begrenzung entsprechend den kanonischen Gleichungen bewegen. Die Dichte der Punkte im Phasenraum in der Umgebung eines mitbewegten Punktes ist konstant.

36 Bedeutung der Integralinvarianten für die Mechanik Es zeigt sich, dass die Integralinvariante dω die Bewegungsgleichungen vollständig bestimmt, was ein wichtiges Prinzip der Mechanik darstellt. Sei { q i = A i (t, q, p) ṗ i = B i (t, q, p) ein Gleichungssystem auf einem Teil des Zustandsraums S, welches dω = dp i dq i dhdt als Integralinvariante hat. Dann gilt: A i = H p i, B i = H q i

37 Vielen Dank!