Algorithmen zur Visualisierung von Graphen
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- Jürgen Falk
- vor 6 Jahren
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1 Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Kombinatorische Optimierung mittels Flussmethoden II Vorlesung im Wintersemester 2011/
2 Orthogonale Zeichnungen II letztes Mal: Satz G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettung Orthogonale Zeichnung von G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet werden.
3 Orthogonale Zeichnungen II letztes Mal: Satz G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettung Orthogonale Zeichnung von G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet werden. Durch Erweiterung des Flußnetzwerks ebenfalls lösbar: Gegeben Funktion flex : E N 0, finde Zeichnung mit minimaler Knickzahl, sodass Kante e höchstens flex(e) Knicke hat.
4 Orthogonale Zeichnungen II letztes Mal: Satz G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettung Orthogonale Zeichnung von G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet werden. Durch Erweiterung des Flußnetzwerks ebenfalls lösbar: Gegeben Funktion flex : E N 0, finde Zeichnung mit minimaler Knickzahl, sodass Kante e höchstens flex(e) Knicke hat. heute: Satz G Maxgrad-4-Graph mit variabler Einbettung Entscheiden, ob G orthogonale Zeichnung ohne Knicke besitzt ist NP-schwer.
5 Schwierigkeit bei 0-Knick-Zeichenbarkeit Es gibt starre Konstruktionen v u u v 4 6 Linksknicke 4 6 Rechtsknicke
6 Schwierigkeit bei 0-Knick-Zeichenbarkeit Es gibt starre Konstruktionen v u T 1 u v 4 6 Linksknicke 4 6 Rechtsknicke Tendril T k : Konstruktion mit 4k bis 4k + 2 Links- oder Rechsknicken u v u v
7 Zwei Gadgets Tendrils T k 4k + 1 Knicke u v u v Wiggles W k 0 bis 4k Knicke u v Pfad der Länge 4k + 1
8 Ein neues Flußproblem Problem (Switch-Flow Network) Eingabe: ungerichtetes Netzwerk N = (V, E) für jede Kante einen Kapazitätsbereichs [c c ] schreibe [c] für [c c] Gültiger Fluß: Orientierung der Kanten Flußzuweisung an jede Kante gemäß Kapazitätsbereich Flußerhaltung gilt in jedem Knoten Existiert ein gültiger Fluß?
9 Ein neues Flußproblem Problem (Switch-Flow Network) Eingabe: ungerichtetes Netzwerk N = (V, E) für jede Kante einen Kapazitätsbereichs [c c ] schreibe [c] für [c c] Gültiger Fluß: Orientierung der Kanten Flußzuweisung an jede Kante gemäß Kapazitätsbereich Flußerhaltung gilt in jedem Knoten Existiert ein gültiger Fluß? Satz Switch-Flow Network ist NP-schwer, sogar wenn N planar und 3-fach zusammenhängend ist.
10 Not-All-Equal 3SAT Problem Not-All-Equal 3SAT: Gegeben: 3SAT-Formel Φ Gesucht: Variablenbelegung, sodass in keiner Klausel alle Literale gleich belegt sind Beispiel: Φ = ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) x 1 = true, x 2 = false, x 3 = true ist erfüllend x 1 = true, x 2 = true, x 3 = true ist nicht erfüllend
11 Not-All-Equal 3SAT Problem Not-All-Equal 3SAT: Gegeben: 3SAT-Formel Φ Gesucht: Variablenbelegung, sodass in keiner Klausel alle Literale gleich belegt sind Beispiel: Φ = ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) x 1 = true, x 2 = false, x 3 = true ist erfüllend x 1 = true, x 2 = true, x 3 = true ist nicht erfüllend Satz Not-All-Equal 3SAT ist NP-schwer. Achtung: Planares Not-All-Equal 3SAT ist polynomiell lösbar. (Äquivalent zu MAXCUT auf planaren Graphen, vgl. Vorlesung Algorithmen für planare Graphen )
12 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m
13 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 Literalkanten [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ]
14 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
15 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
16 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
17 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
18 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
19 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
20 Reduktion von Not-All-Equal 3SAT Φ Instanz von Not-All-Equal 3SAT Literale: x 1, y 1,..., x n, y n mit y i = x i Klauseln: c 1,..., c m α i := #Vorkommen von x i in Klauseln von Φ β i := #Vorkommen von y i in Klauseln von Φ Beachte: n i=1 (α i + β i ) = 3m Klauselknoten [0] Kapazitäten Literalknoten x1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 Literalkanten [β 1 ] [α 1 ] ( x 1, x 2, x 3 ), ( x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
21 Herstellung von Planarität x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 [β 1 ] [α 1 ] [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
22 Herstellung von Planarität x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 [β 1 ] [α 1 ] [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten
23 Herstellung von Planarität x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 [β 1 ] [α 1 ] [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten Problem:
24 Herstellung von Planarität x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 [β 1 ] [α 1 ] [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten Problem: Lösungsidee: [2] [2]
25 Herstellung von Planarität x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 ] x 3 y 3 [β 1 ] [α 1 ] [β 2 ] [α 1 + β 1 ] [α 2 + β 2 ] [α 3 + β 3 ] [α 3 ] [β 3 ] Dummyknoten Problem: Lösungsidee: [2] [2] Allgemeiner: Verschiedene Flußwerte für verschiedene Literale für x i : γ i := (2i 1)Θ für y i : δ i := 2iΘ
26 Herstellung von Planarität? [α 3 γ 3 ] x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 δ 2 ] x 3 y 3 [β 1 δ 1 ] [δ 3 ] [γ 1 ] [γ 2 ] [α 1 γ 1 ] [β 2 γ 2 ] [β 3 δ 3 ] Dummyknoten [α 1 γ 1 + β 1 δ 1 ] [α 2 γ 2 + β 2 δ 2 ] [α 3 γ 3 + β 3 δ 3 ] Problem: Lösungsidee: [2] [2] Allgemeiner: Verschiedene Flußwerte für verschiedene Literale für x i : γ i := (2i 1)Θ für y i : δ i := 2iΘ
27 Herstellung von Planarität [0 η j 2Θ] [α 3 γ 3 ] x 1 y 1 x 2 y 2 [α 2 δ 2 ] x 3 y 3 [β 1 δ 1 ] [δ 3 ] [γ 1 ] [γ 2 ] [α 1 γ 1 ] [β 2 γ 2 ] [β 3 δ 3 ] Dummyknoten [α 1 γ 1 + β 1 δ 1 ] [α 2 γ 2 + β 2 δ 2 ] [α 3 γ 3 + β 3 δ 3 ] Problem: Lösungsidee: [2] [2] Allgemeiner: Verschiedene Flußwerte für verschiedene Literale für x i : γ i := (2i 1)Θ für y i : δ i := 2iΘ η j := Summe der Kapazitäten inzidenter Literal-Klausel-Kanten für Klausel j
28 Zwischenstand Konstruierter Graph ist 3-fach zusammenhängend Satz Switch-Flow Network ist NP-schwer, sogar wenn N planar und 3-fach zusammenhängend ist. Idee: Konstruiere Graph G mit G besitzt Zeichnung ohne Knicke N lösbar. N hat eindeutige planare Einbettung Verwende Dualgraph von N als Basis Ersetze Kanten des Dualgraphs durch Konstruktionen, die den Fluß modellieren
29 Konstruktion von G
30 Konstruktion von G
31 Konstruktion von G
32 Konstruktion von G Ersetze: Kante mit Kapazität [c] Tendril T c Kante mit Kapazität [0 c] Wiggle W c
33 Konstruktion von G Ersetze: Kante mit Kapazität [c] Tendril T c Kante mit Kapazität [0 c] Wiggle W c Klauselkanten Dummykanten Klauselkanten Klauselkanten Literalkante Kreuzungsknoten Dummykante Wiggle
34 Aufwärtsplanare Zeichnungen
35 Aufwärtsplanarität Definition Ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A) heißt aufwärtsplanar, wenn es eine planare Einbettung von D in die Ebene gibt, bei der alle Kanten aufwärtsgerichtet sind. Beispiel:
36 Aufwärtsplanarität Definition Ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A) heißt aufwärtsplanar, wenn es eine planare Einbettung von D in die Ebene gibt, bei der alle Kanten aufwärtsgerichtet sind. Beispiel: planar! aufwärtsplanar? Nein!
37 Problemstellung Problem: Test auf Aufwärtsplanarität Gegeben ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A). Teste, ob D aufwärtsplanar ist. Falls D aufwärtsplanar ist, so konstruiere ein entsprechendes Layout
38 Problemstellung Problem: Test auf Aufwärtsplanarität Gegeben ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A). Teste, ob D aufwärtsplanar ist. Falls D aufwärtsplanar ist, so konstruiere ein entsprechendes Layout Garg & Tamassia: Das Problem ist NP-schwer. ähnliche Konstruktion wie zuvor andere Tendrils und Wiggles s t
39 Trotzdem Charakterisierung Definition: DAG D = (V, A) heißt st-graph, wenn es ex. eindeutige Quelle s in V es ex. eindeutige Senke t in V Kante st ist in A enthalten
40 Trotzdem Charakterisierung Definition: DAG D = (V, A) heißt st-graph, wenn es ex. eindeutige Quelle s in V es ex. eindeutige Senke t in V Kante st ist in A enthalten Satz (Charakterisierung aufwärtsplanarer Graphen) Für einen gerichteten Graphen D = (V, A) sind folgende Aussagen äquivalent: 1. D ist aufwärtsplanar 2. D hat ein geradliniges aufwärtsplanares Layouts 3. D ist aufspannender Subgraph eines planaren st-graphen
41 Trotzdem Charakterisierung Definition: DAG D = (V, A) heißt st-graph, wenn es ex. eindeutige Quelle s in V es ex. eindeutige Senke t in V Kante st ist in A enthalten Satz (Charakterisierung aufwärtsplanarer Graphen) Für einen gerichteten Graphen D = (V, A) sind folgende Aussagen äquivalent: 1. D ist aufwärtsplanar 2. D hat ein geradliniges aufwärtsplanares Layouts 3. D ist aufspannender Subgraph eines planaren st-graphen Beweis: (2) (1) ist klar (3) (1) einfach (3) (2) braucht etwas mehr Arbeit
42 Neue Problemstellung: Feste Einbettung Problem: Test auf Aufwärtsplanarität mit fester Einbettung Gegeben ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A) mit EInbettung F, f 0. Teste, ob D, F, f 0 aufwärtsplanar ist und konstruiere ggf. ein entsprechendes Layout Einbettung ist bimodal ausgehend eingehend
43 Beboachtungen
44 Beboachtungen Bimodalität notwendig (nicht hinreichend)
45 Beboachtungen Bimodalität notwendig (nicht hinreichend) betrachte Winkel zw. zwei ein-/ausgehenden Kanten Winkel α ist groß wenn α > π, klein sonst. L(v) := # große Winkel an Knoten v L(f) := # große Winkel in Facette f. S(v) bzw. S(f): Anzahl kleiner Winkel nur zw. ein- bzw. ausgehenden Kanten!
46 Beboachtungen Bimodalität notwendig (nicht hinreichend) betrachte Winkel zw. zwei ein-/ausgehenden Kanten Winkel α ist groß wenn α > π, klein sonst. L(v) := # große Winkel an Knoten v L(f) := # große Winkel in Facette f. S(v) bzw. S(f): Anzahl kleiner Winkel Lemma: in Aufwärs-Layout von { D gilt: 0 v innerer Knoten (1) v V : L(v) = 1 v Quelle/Senke { 2 f 0 (2) f F : L(f) S(f) = 2 f 0 nur zw. ein- bzw. ausgehenden Kanten!
47 Folgerung A(f) := # Winkel zwischen zwei eingehenden Kanten an f Es gilt stets: L(f) + S(f) = 2A(f) für alle Facetten in Aufwärs-Layout von { D gilt: A(f) 1 f 0 (2) f F : L(f) = A(f) + 1 f 0 Definiert Zuordnung von Quellen/Senken zu inzidenten Facetten Φ : {Q, S} F { Φ : v inzidente Facette Φ 1 A(f) 1 f f 0 (f) = A(f) + 1 f heißt konsistent, wenn gilt 0
48 Beispiel Facettenzuordnung f 4 f 8 f 3 f 1 f 9 f 5 f 6 f 0 f 2 f 7
49 Beispiel Facettenzuordnung L(f 3 ) = 0 A(f 3 ) = 1 f 4 f 3 L(f 4 ) = 1 A(f 4 ) = 2 f 8 L(f 8 ) = 0 A(f 8 ) = 1 f 1 L(f 1 ) = 2 A(f 1 ) = 3 f 5 L(f 5 ) = 1 A(f 5 ) = 2 f 9 L(f 9 ) = 0 f 0 L(f 2 ) = 0 A(f 2 ) = 1 f 6 L(f 7 ) = 1 L(f 6 ) = 0 A(f 6 ) = 1 A(f 9 ) = 1 L(f 0 ) = 4 f 2 A(f 7 ) = 2 A(f 0 ) = 3 f 7
50 Beispiel Facettenzuordnung v 9 v 8 L(f 3 ) = 0 A(f 3 ) = 1 f 4 f 0 L(f 0 ) = 4 A(f 0 ) = 3 v 7 L(f 4 ) = 1 f 3 A(f 4 ) = 2 v 6 f 1 v 5 L(f 5 ) = 1 L(f 1 ) = 2 A(f 5 ) = 2 A(f 1 ) = 3 f 5 v f 4 6 L(f 2 ) = 0 L(f 6 ) = 0 A(f 2 ) = 1 A(f 6 ) = 1 L(f 7 ) = 1 f 2 A(f 7 ) = 2 v 3 v 2 f 7 f 8 L(f 8 ) = 0 A(f 8 ) = 1 f 9 L(f 9 ) = 0 A(f 9 ) = 1 v 1
51 Beispiel Facettenzuordnung v 9 L(f 3 ) = 0 f 0 v 7 v 8 A(f 3 ) = 1 f 4 f 3 L(f 4 ) = 1 A(f 4 ) = 2 v 6 f 1 v 5 L(f 5 ) = 1 L(f 1 ) = 2 A(f 5 ) = 2 A(f 1 ) = 3 f 5 v f 4 6 L(f 2 ) = 0 L(f 6 ) = 0 A(f 2 ) = 1 A(f 6 ) = 1 L(f 7 ) = 1 f 8 L(f 8 ) = 0 A(f 8 ) = 1 f 9 L(f 9 ) = 0 A(f 9 ) = 1 Φ(v 1 ) = f 0 Φ(v 2 ) = f 0 Φ(v 3 ) = f 7 Φ(v 4 ) = f 5 Φ(v 5 ) = f 1 Φ(v 6 ) = f 1 Φ(v 7 ) = f 4 Φ(v 8 ) = f 0 Φ(v 9 ) = f 0 L(f 0 ) = 4 f 2 A(f 7 ) = 2 v 3 A(f 0 ) = 3 v 2 f 7 v 1
52 Kernaussage Satz Für einen gerichteten azyklischen Graphen D = (V, A) mit kombinatorischer Einbettung F, f 0 gilt: aufwärtsplanar bimodal und konsistentes Φ
53 Kernaussage Satz Für einen gerichteten azyklischen Graphen D = (V, A) mit kombinatorischer Einbettung F, f 0 gilt: aufwärtsplanar bimodal und konsistentes Φ : soeben hergeleitet
54 Kernaussage Satz Für einen gerichteten azyklischen Graphen D = (V, A) mit kombinatorischer Einbettung F, f 0 gilt: aufwärtsplanar bimodal und konsistentes Φ : soeben hergeleitet : Umkehrung gilt, ist sogar konstruktiv Zunächst: D, F, f 0? Φ konsistent
55 Kernaussage Satz Für einen gerichteten azyklischen Graphen D = (V, A) mit kombinatorischer Einbettung F, f 0 gilt: aufwärtsplanar bimodal und konsistentes Φ : soeben hergeleitet : Umkehrung gilt, ist sogar konstruktiv Zunächst: D, F, f 0? Φ konsistent Flußnetzwerk!
56 Flussnetzwerk zur Konstruktion von Φ Definition Flussnetzwerk N F,f0 (D) = ((W, A N ); l; u; b) W = {v V v ist Quelle oder Senke} F A N = {(v, f) v inzident zu f l(a) = 0 a A N u(a) = 1 a A N 1 q W V b(q) = (A(q) 1) q F \ {f 0 } (A(q) + 1) q = f 0
57 Beispielnetzwerk normaler Knoten Quelle / Senke
58 Beispielnetzwerk normaler Knoten Quelle / Senke Facettenknoten
59 Beispielnetzwerk normaler Knoten Quelle / Senke Facettenknoten 3
60 Beispielnetzwerk normaler Knoten Quelle / Senke Facettenknoten Starte mit Nullfluss Suche erhöhende Wege Geht auch ohne festgelegtes f 0
61 Winkelfolgen an Facetten Betrachte Folge σ f von Winkeln L, S an lokalen Quellen und Senken von f L L S S S f 2 S f 0 S f 3 S S L S S L σ f1 := (S, S, L, S, L, S) σ f2 := (L, S, S, S) σ f3 := (S, S) σ f0 := (L, L, S, L) f 1 S L
62 Algorithmus: Φ, F, f 0 s-t-graph D f f 0 mit σ f 2 enthält L, S, S an x, y, z
63 Algorithmus: Φ, F, f 0 s-t-graph D f f 0 mit σ f 2 enthält L, S, S an x, y, z x Quelle verfeinere mit (z, x) x Senke verfeinere mit (x, z) Ziel: Entferne alle Quellen und Senken y S S x S S f L L L f f f x S S S z y z
64 Algorithmus: Φ, F, f 0 s-t-graph D f f 0 mit σ f 2 enthält L, S, S an x, y, z x Quelle verfeinere mit (z, x) x Senke verfeinere mit (x, z) Ziel: Entferne alle Quellen und Senken y S S x S S f L L L f f f x S S S z y Invarianten: Planarität, Azyklizität, Bimodalität Quellen/Senken von f werden Quellen/Senken von f z Füge zwischen irgendeiner Quelle s und Senke t auf f 0 die Kante (s, t) ein. planarer s-t-graph, der D enthält
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