Ableitung der Umkehrfunktion
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- Edmund Hartmann
- vor 6 Jahren
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1 Ableitung der Umkehrfunktion Ist eine Funktion y = f (x) stetig differenzierbar mit f (x) 0, so ist f in einer Umgebung von x invertierbar, und für die Umkehrfunktion f 1 gilt (f 1 ) (y) = f (x) 1, bzw. dx/dy = (dy/dx) 1 ; die Steigungen von f und f 1 sind reziprok. y (f 1 ) (y) 1 f (x) f(a) 1 a x Ableitung der Umkehrfunktion 1-1
2 Beweis: f (x) 0 = strikte Monotonie von f in einer Umgebung von x und damit lokale Invertierbarkeit Ableitung der Umkehrfunktion 2-1
3 Beweis: f (x) 0 = strikte Monotonie von f in einer Umgebung von x und damit lokale Invertierbarkeit setze g = f 1 Ableitung der Umkehrfunktion 2-2
4 Beweis: f (x) 0 = strikte Monotonie von f in einer Umgebung von x und damit lokale Invertierbarkeit setze g = f 1 Definition der Umkehrfunktion = x = g(f (x)) Ableitung der Umkehrfunktion 2-3
5 Beweis: f (x) 0 = strikte Monotonie von f in einer Umgebung von x und damit lokale Invertierbarkeit setze g = f 1 Definition der Umkehrfunktion = x = g(f (x)) Differentiation mit der Kettenregel 1 = g (f (x))f (x) Ableitung der Umkehrfunktion 2-4
6 Beweis: f (x) 0 = strikte Monotonie von f in einer Umgebung von x und damit lokale Invertierbarkeit setze g = f 1 Definition der Umkehrfunktion = x = g(f (x)) Differentiation mit der Kettenregel 1 = g (f (x))f (x) Formel für g, da y = f (x) Ableitung der Umkehrfunktion 2-5
7 y f 1 f x Ableitung der Umkehrfunktion 2-6
8 y f 1 f x Symmetrie der Graphen von f und f 1 = reziproke Steigungen Ableitung der Umkehrfunktion 2-7
9 Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y der Tangensfunktion Ableitung der Umkehrfunktion 3-1
10 Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y der Tangensfunktion d dx tan x = d sin x dx cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x Ableitung der Umkehrfunktion 3-2
11 Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y der Tangensfunktion d dx tan x = d sin x dx cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 = 1 x cos 2 x Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = ( ) d 1 1 dy arctan y = cos 2 = cos 2 x x Ableitung der Umkehrfunktion 3-3
12 Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y der Tangensfunktion d dx tan x = d sin x dx cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 = 1 x cos 2 x Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = Darstellung als Funktion von y ( ) d 1 1 dy arctan y = cos 2 = cos 2 x x Ableitung der Umkehrfunktion 3-4
13 Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y der Tangensfunktion d dx tan x = d sin x dx cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 = 1 x cos 2 x Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = Darstellung als Funktion von y ( ) d 1 1 dy arctan y = cos 2 = cos 2 x x = 1 cos 2 x = 1 + sin2 x cos 2 x = 1 + tan2 x = 1 + y 2 d dy arctan y = y 2 Ableitung der Umkehrfunktion 3-5
14 Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y der Tangensfunktion d dx tan x = d sin x dx cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 = 1 x cos 2 x Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = Darstellung als Funktion von y = ( ) d 1 1 dy arctan y = cos 2 = cos 2 x x 1 cos 2 x = 1 + sin2 x cos 2 x = 1 + tan2 x = 1 + y 2 d dy arctan y = y 2 analoge Berechnung der Umkehrfunktion des Kotangens Ableitung der Umkehrfunktion 3-6
15 arccot x tan x arctan x cot x Ableitung der Umkehrfunktion 3-7
16 Beispiel: Umkehrfunktionen g von y = f (x) = x (1 x) Ableitung der Umkehrfunktion 4-1
17 Beispiel: Umkehrfunktionen g von y = f (x) = x (1 x) verschiedene Zweige g ± auf den Monotonieintervallen (, 1/2] und [1/2, ) Ableitung der Umkehrfunktion 4-2
18 Beispiel: Umkehrfunktionen g von y = f (x) = x (1 x) verschiedene Zweige g ± auf den Monotonieintervallen (, 1/2] und [1/2, ) y (x = g (y), y) (x = g + (y), y) 1/2 x Ableitung der Umkehrfunktion 4-3
19 Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = g (y) = 1 f (x) = 1 1 2x Ableitung der Umkehrfunktion 4-4
20 Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = g (y) = 1 f (x) = 1 1 2x nochmaliges Differenzieren mit Hilfe der Kettenregel g (y) = d ( ) 1 dx dx 1 2x dy = 2 1 (1 2x) 2 1 2x Ableitung der Umkehrfunktion 4-5
21 Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = g (y) = 1 f (x) = 1 1 2x nochmaliges Differenzieren mit Hilfe der Kettenregel g (y) = d ( ) 1 dx dx 1 2x dy = 2 1 (1 2x) 2 1 2x z.b. x = 1, y = 0 (rechter Zweig g + ) g +(0) = 1, g +(0) = 2 Ableitung der Umkehrfunktion 4-6
22 Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = g (y) = 1 f (x) = 1 1 2x nochmaliges Differenzieren mit Hilfe der Kettenregel g (y) = d ( ) 1 dx dx 1 2x dy = 2 1 (1 2x) 2 1 2x z.b. x = 1, y = 0 (rechter Zweig g + ) g +(0) = 1, g +(0) = 2 Überprüfung durch explizite Berechnung der Umkehrfunktionen: x 2 x + y = 0 g ± (y) = 1 2 ± 1/4 y Ableitung der Umkehrfunktion 4-7
23 Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = g (y) = 1 f (x) = 1 1 2x nochmaliges Differenzieren mit Hilfe der Kettenregel g (y) = d ( ) 1 dx dx 1 2x dy = 2 1 (1 2x) 2 1 2x z.b. x = 1, y = 0 (rechter Zweig g + ) g +(0) = 1, g +(0) = 2 Überprüfung durch explizite Berechnung der Umkehrfunktionen: x 2 x + y = 0 g ± (y) = 1 2 ± 1/4 y Auswertung der Ableitungen: g +(0) = 1 2 (1/4 y) 1/2 y=0 = g +(0) = 1 4 (1/4 y) 3/2 y=0 = Ableitung der Umkehrfunktion 4-8
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