Die reellen Zahlen. Analysis I. Teil I. 1 Die Körperaxiome. 2 Die Anordnungsaxiome. 3 Die natürlichen Zahlen. Satz 1.1 (Kürzungsregel der Addition)

Transkript

1 Analysis I Mitschrift der Vorlesung Analysis I im WS 2012/13 bei Prof. Gudlaugur Thorbergsson von Dario Antweiler an der Universität zu Köln. Kann Fehler enthalten. Stand: Veröentlicht unter (CC BY-NC-SA 3.0 DE) Teil I Die reellen Zahlen 1 Die Körperaxiome Satz 1.1 (Kürzungsregel der Addition) Ist a + b = a + c, dann gilt b = c. Satz 1.2 (Subtraktion) Zu je zwei Elementen a, b R gibt es eine eindeutige Zahl x R, sodass a + x = b. Satz 1.3 Es gilt b a = b + ( a). 2 Die Anordnungsaxiome Satz 1.4 Es gilt 1. Für x, y R gilt genau eine der Alternativen x < y oder x = y oder x > y (Trichotomie) 2. Aus x < y und y < z folgt x < z (Transitivität) 3. Ist x < y, dann gilt für jedes z R: x + z < y + z (Monotonie der Addition) 4. Ist x < y und z > 0, dann gilt x z < y z. Ist x < y und z < 0, dann gilt x z > y z Satz Für x 0 gilt x 2 R + 2. Aus x > y > 0 folgt x 1 < y 1 3 Die natürlichen Zahlen Satz 1.6 N ist induktiv. 1

2 Satz 1.7 N R+, d.h. jede natürliche Zahl ist positiv. Satz 1.8 (Das Prinzip der natürlichen Induktion) Es sei A(n) eine Aussage, die von der natürlichen Zahl n abhängig ist. Dann gilt: 1. Die Aussage A(1) ist richtig 2. Aus der Richtigkeit von A(n) folgt die Richtigkeit von A(n + 1) Satz 1.9 (Bernoulli Ungleichung) Für jede reelle Zahl x > 1 und für jede natürliche Zahl n N gilt (1 + x) n 1 + nx. Satz 1.10 Für alle x, y R gilt: 1. x + y x + y (Dreiecksungleichung) 2. x y = x y Satz 1.11 Es seien a, x, δ R und δ > 0. Dann gilt 1. x a < δ x (a δ, a + δ) 2. x a δ x [a δ, a + δ] 4 Das Vollständigkeitsaxiom Satz 1.12 Es sei M eine nach unten beschränkte Teilmenge in R. Dann besitzt M ein Inmum inf(m). Satz Die Menge N R ist nicht nach oben beschränkt 2. Zu jeder Zahl x R gibt es ein n N, sodass n x > 0 3. M := { 1 n n N}. Das Inmum der Menge ist gleich 0 4. Zu je zwei x, y R+ gibt es ein n N, sodass nx > y Satz 1.14 Zu jeder Intervall-Schachtelung I 1 I 2... I n gibt es eine eindeutige Zahl c, sodass c I n für alle n N. Satz 1.15 (Wohlordnungssatz) Eine nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge A Z besitzt ein Maximum. Eine nach unten beschränkte nichtleere Teilmenge B Z besitzt ein Minimum.

3 Satz 1.16 In jedem Intervall (a, b) mit a < b gibt es eine rationale Zahl r Q, sodass a < r < b, d.h. in jedem Intervall gibt es eine rationale Zahl. Satz 1.17 (Existenz von Wurzeln) Zu jeder Zahl x > 0 und jeder natürlichen Zahl n N gibt es eine eindeutige reelle Zahl y > 0, sodass x n = y. Bezeichnung y := x 1/n = n x. 5 Abzählbarkeit Satz 1.18 Z ist abzählbar unendlich. Satz 1.19 Jede unendliche Teilmenge E einer unendlich abzählbaren Menge A ist abzählbar. Satz 1.20 Es sei (E n ) eine abzählbare Folge von abzählbaren Mengen E n (n N). Dann ist die Menge S := E n abzählbar, d.h. eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar. n=1 Satz 1.21 Sei A eine abzählbare Menge und B n die Menge aller n-tupel (a 1... a n ) mit a 1,..., a n A. Dann ist B n abzählbar. Satz 1.22 Q ist abzählbar. Satz 1.23 R ist überabzählbar. Satz 1.24 Jedes Intervall ist überabzählbar. Satz 1.25 Jedes Intervall von R enthält eine nicht rationale Zahl. 6 Komplexe Zahlen Satz 1.26 Es gelten für die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen: 1. die Assoziativgesetze: x + (y + z) = (x + y) + z und x (y z) = (x y) z 2. die Kommutativgesetze: x + y = y + x und x y = y x 3. das Distributivgesetz: x (y + z) = x y + x z

4 Satz Existenz der Eins und der Null: Es gilt für alle (a, b), dass (a, b) + (0, 0) = (a, b) und (a, b) (1, 0) = (a, b). (0, 0) heiÿt die komplexe Null, (1, 0) heiÿt die komplexe Eins. 2. Existenz inverser Elemente: Für jedes (a, b) gilt: (a, b) + ( a, b) = (0, 0). Ist x = (a, b), so schreiben wir x := ( a, b) = (a, b). ( a, b) heiÿt das zu (a, b) inverse Element. ( ) a b 3. Existenz reziproker Elemente: Für alle (a, b) gilt (a, b) a 2 +b, 2 a 2 +b = (1, 0), falls (a, b) 0. ( ) 2 1 (a,b) := a b a 2 +b, 2 a 2 +b =: (a, b) 1 2 Satz 1.28 Jede komplexe Zahl (a, b) kann als a + ib geschrieben werden. Satz 1.29 Es seien x, y C. Dann gilt 1. x 0 und x = 0, genau dann wenn x = x y = x y 3. x + y x + y (Dreiecksungleichung) Satz 1.30 Die Anordnungsaxiome gelten nicht für den Körper C. Es gibt keine Menge C+ C, sodass 1. für eine Zahl x C genau eine der Alternativen x C+, x = 0 oder x C+gilt. 2. aus x, y C folgt x + y C und x y C gilt.

5 Teil II Polynome Lemma 2.1 (Abstufen einer Linearfunktion) Ist α K eine Nullstelle von p K[x], so gilt p(x) = (x α) p 1 (x) für ein p 1 K [x], p 0. (x α) heiÿt Linearfaktor. Der Grad von p = 1 + Grad(p 1 ). Satz 2.2 Sei n = Grad(p). Das Polynom p 0 hat höchstens n verschiedene Nullstellen. Satz 2.3 (Identitätssatz für Polynome) Stimmen die Werte der Polynome p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n und q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n in n + 1 Stellen überein, so folgt a 0 = b 0, a 1 = b 1,..., a n = b n. Satz 2.4 (Fundamentalsatz der Algebra) Es sei p C [x] und der Grad(p) 1. Dann gibt es ein α C, sodass p(α) = 0. Satz 2.5 Es sei p R [x]. Ist α C eine komplexe Nullstelle des Polynom, so auch α K. Man kann dann das Polynom p wie folgt schreiben: p(x) = a n (x α 1 ) v1 (x α 2 ) v2... (x α i ) vi... (x 2 + A 1 x + B 1 ) µ1... (x 2 + A j x + B j ) µj, wobei α 1, α 2,..., α i verschiedene reelle Nullstellen des Polynoms p sind und die quadratischen Polynome x 2 + Ax + B 1 keine reellen Nullstellen haben. Satz 2.6 (Partialbruchzerlegung komplexwertiger rationaler Funktionen) Seien p, q C [x] mit 1 Grad(p) < Grad(q). Die rationale Funktion f = p q über C kann als Summe von Partialbrüchen geschrieben werden. Es seien α 1, α 2,..., α m alle paarweise verschiedenen Nullstellen des Polynoms q und es sei q(x) = a n (x α 1 ) v1... (x α m ) vm ( mit 0 a n C. Dann gilt f(x) = a11 (x α a1v 1 am1 1) (x α 1) v 1 (x α amvm m) (x α m) = m v1 ) a lk vm (x α 1) mit k a lk C. Satz 2.7 (Partialbruchzerlegung reellwertiger rationaler Funktionen) Seien p, q R [x] mit 1 Grad(p) < Grad(q). Es sei f = p q. Es seien α 1, α 2,..., α r alle paarweise verschiedenen Nullstellen des Polynoms q und es sei a n R und q(x) = a n (x α 1 ) v1... (x α r ) vr (x 2 + A 1 x + B 1 ) σ1... (x 2 + A s x + B s ) σs. Dann gilt f(x) = a11 (x α a1v 1 ar1 1) (x α 1) v 1 (x α r) ( b 1σ1 x+c 1σ1 bs1 x+cs1 b1sσ x+c1sσ (x 2 +A 1x+B 1) σ 1 (x 2 +A sx+b s) (x 2 +A = r v1 sx+b s) σ 1 l=1 k=1 l=1 k=1 arvr (x α r) + b11 x+c11 ) vr ( a lk (x α l + s σ1 b lk x+c lk ) k l=1 k=1 (x 2 +A 1x+B 1) (x 2 +A l x+b l ) k ).

6 Teil III Folgen Konvergente Folgen (a n ) sei eine Folge in C mit a 1, a 2, a 3,..., a n, wobei a n C. (a n ) heiÿt konvergent, falls es ein a gibt, sodass es zu jedem ɛ > 0 ein N N gibt, sodass, a n a < ɛ für alle n > N. Satz 3.1 (Eindeutigkeit des Grenzwerts) Es sei (a n ) eine Folge mit Grenzwerten a und â. Dann ist a = â. Satz 3.2 (Rechenregeln für Grenzwerte) Es sei (a n ) und (b n ) Folgen in C mit Grenzwerten a = lim n a n, b = lim n b n. Dann gilt: 1. lim n a n + b n = a + b 2. lim n c a n = c a mit c C 3. lim n a n b n = a b 1 n 4. lim a n = 1 a, falls a n 0, a 0 Satz 3.3 Es sei (a n ) eine Folge komplexer Zahlen. Dann konvergiert a n genau dann, wenn R (a n ) und I (a n ) konvergieren. Satz 3.4 Es sei (a n ) eine Folge in C mit Grenzwert a. Dann gilt: 1. a n a 2. a n a Satz 3.5 (Sandwich-Theorem, Satz von den zwei Carabinieri) Es seien (a n ), (b n ), (c n ) Folgen in R, sodass a n b n c n für alle n > N 0 (N 0 fest gegeben). Gilt L = lim a n = lim c n, so ist L = lim b n. n n n monoton wachsend monoton fallend Eine Folge (a n ) im Reellen heiÿt streng monoton wachsend streng monoton fallend falls a n+1 a n falls a n+1 a n falls a n+1 > a n falls a n+1 < a n n N gilt. Eine Folge (a n ) in C heiÿt beschränkt, falls es ein L R gibt, sodass n N : a n < L.

7 Satz 3.6 Eine konvergente Folge (a n ) in C ist beschränkt. Satz Eine beschränkte, monoton wachsende Folge (a n ) in R konvergiert gegen sup (a n n N). 2. Eine beschränkte, monoton fallende Folge (a n ) in R konvergiert gegen inf (a n n N). Satz von Bolzano-Weierstraÿ Eine Zahl k C heiÿt Häufungspunkt der Folge (a n ) in C, falls zu jedem ɛ > 0 unendlich viele a n in der Kreisscheibe K ɛ (k) liegen. Satz 3.8 (Bolzano-Weierstraÿ in R) Eine beschränkte Folge (a n ) reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt. Es sei (a n ) eine Folge in C und (n k ) eine streng monoton wachsende Folge in N. Dann heiÿt die Folge (a nk ) eine Teilfolge von (a n ). Satz 3.9 Es sei (a n ) eine Folge in C. Dann gilt h C ist ein Häufungspunkt von (a n ) Es gibt eine Teilfolge (a nk ) die gegen h konvergiert Satz 3.10 (Bolzano-Weierstraÿ in C) Eine beschränkte Folge (a n ) in C hat einen Häufungspunkt. ( a n besitzt eine konvergente Teilfolge) Es sei (a n ) eine beschränkte Folge in R. Wir bezeichnen die Menge der Häufungspunkte von (a n ) mit E und denieren: lim sup a n := sup E und lim inf a n := inf E. n n Konvergiert (a n ) gegen a, so ist lim sup a n = lim inf a n = lim a n = a. Satz 3.11 Es sei (a n ) eine beschränkte Folge in R und sei E die Menge der Häufungspunkte von (a n ). Dann gilt: 1. lim sup n a n E, d.h. lim sup n a n = max(e) 2. Zu jedem ɛ > 0 gibt es nur endlich viele n, sodass a n ɛ + lim sup n Kriterium für Konvergenz von Folgen (Cauchy-Kriterium) Eine Folge (a n ) in C heiÿt Cauchy-Folge, falls es zu jedem ɛ > 0 ein N N gibt, sodass a n a m < ɛ für alle n, m > N. a n

8 Satz 3.12 (Cauchy-Kriterium) Es sei (a n ) eine Folge in C. Dann gilt (a n ) ist konvergent (a n ) ist eine Cauchy-Folge.

9 Teil IV Reihen Konvergente Reihen Es sei (a n ) eine Folge in C. Wir denieren s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2,..., s n = a a n =: s 1,..., s n heiÿen Partialsummen. Wir erhalten eine Folge (s n ), die wir als Reihe bezeichnen. Wir bezeichnen (s n ) mit a k. Falls (s n ) konvergiert, so heiÿt der Grenzwert Summe. Satz 4.1 (Cauchy-Kriterium für Reihen) k=1 n a k. Die Reihe m a n konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein N N gibt, sodass a k < ɛ k=n für alle m, n > N. Satz 4.2 (abgeschwächtes Cauchy-Kriterium) Ist a k konvergent, so gilt lim n a k = 0. Satz 4.3 Es gelte a n 0 für alle n 0 und die Folge der Partialsummen sei beschränkt. Dann konvergiert an. k=1 Satz 4.4 (Vergleichskriterium) 1. Gilt a n b n für alle n N 0 für ein N N und b n konvergiert. Dann konvergiert a n ebenfalls. 2. Gilt a n b n 0 für alle n N 0 und b n divergiert, so divergiert a n auch. Satz 4.5 (Verdichtungssatz von Cauchy) Angenommen a 1 a Dann konvergiert die Reihe konvergiert. n=1 a n genau dann, wenn 2 k a 2 k k=0 Satz 4.6 Die Reihe 1 n für r R r + konvergiert für r > 1 und divergiert für 0 < r 1. n=1

10 Die Zahl e e := 1 n! = ! Satz 4.7 (Approximationsgüte) Es sei s n = Satz 4.8 n k=0 Die Zahl e ist irrational. Satz 4.9 lim n ( n) n = e. ( +... Es gilt 0! := 1 und e = lim n. n n) 1 k!. Dann gilt n N : 0 < e s n < 1 n! 1 Wurzel- und Quotientenkriterium Satz 4.10 (Wurzelkriterium) Es sei n a n eine Reihe in C. Setze α := lim sup an, wobei α := +, falls n a n unbeschränkt ist. Dann gilt: 1. α < 1 a n konvergiert 2. α > 1 a n divergiert n 3. α = 1 a n kann konvergieren oder divergieren Satz 4.11 (Quotientenkriterium) Es sei, a n eine Reihe in C. Setze α := lim sup an+1 a n n wobei α := +, falls a n+1 a n unbeschränkt ist. Dann gilt: 1. α < 1 a n konvergiert 2. α > 1 a n divergiert 3. α = 1 a n kann konvergieren oder divergieren Potenzreihen Satz 4.12 Es sei eine Potenzreihe c n z n n gegeben. Wir setzen α := lim sup cn mit α := +, falls n c n k=0 unbeschränkt. Ferner sei R := 1 α c n z n konvergiert, falls z < R k=0 c n z n divergiert, falls z > R k=0 3. Für z = R ist keine Aussage möglich n. n mit R :=, falls α = 0 und R := 0, falls α = +. Dann gilt:

11 Alterniederende Reihen Eine Reihe Reihe ist konvergent. a n heiÿt absolut konvergent, falls a n konvergiert. Eine absolut konvergente Eine Reihe a n heiÿt alternierend genau dann, wenn die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind, d.h. n N : a n a n+1 < 0. Satz 4.13 Es sei (a n ) eine monoton fallende Folge in R +, die gegen 0 konvergiert. Dann gilt: 1. ( 1) n a n konvergiert k=1 Exponentialfunktion f : C C; f (z) = z n n!. Wir schreiben exp = f, d.h. exp (z) = z n n! und es gilt exp (1) = e und exp (0) = 1. Rechnen mit Reihen Satz 4.14 Gilt an = A und bn = B, so ist (an + b n ) = A + B und can = c an. Es seien a n und b n zwei Reihen. Wir setzen c n := Reihe n k=0 n k=0 c n das Cauchy-Produkt der Reihen a n und b n. Satz 4.15 (Cauchy-Produkt) a n k b k = n k=0 a k b n k und nennen die Angenommen a k und b k konvergieren absolut. Es sei A = a k und B = b k. Dann gilt cn = AB, wobei c n := n a k b n k. k=0 Umordnung von Reihen Es sei a k eine Reihe und φ : N N eine Bijektion. Wir setzen b k := a φ(k). Dann heiÿt b k eine Umordnung von a k. Satz 4.16 Konvergiert a k absolut, so konvergiert jede Umordnung b k von a k auch absolut und es gilt bk = a k.

12 Satz 4.17 Es sei a k eine Reihe die konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Es sei α R beliebig. Dann gibt es eine Umordnung b k = a φ(k), sodass α = b k.

13 Teil V Stetige Funktionen Erste Eigenschaften Es sei D C und f : D C eine Funktion und x 0 D. Dann heiÿt f stetig in x 0, falls für ( jede Folge ) (x n ) aus D (bzw. x n D) mit Grenzwert x 0 gilt, dass f (x n ) f (x 0 ), d.h. f lim x n = lim (f (x n)). n n f heiÿt stetig, falls f stetig in x ist, für alle x D. Satz 5.1 Seien f, g : D C stetige Funktionen in x 0, a C und x 0 D. Dann gilt: 1. f +g : D C, x f (x)+g (x), a f : D C, x a f (x) und f g : D C, x f (x) g (x) sind stetig in x g (x 0 ) 0 f g : D C, x f(x) g(x) ist stetig in x 0, wobei D := {x D g (x) 0} Satz 5.2 Polynome über C sind stetig überall in C. Polynome über R sind stetig überall in R. Radiale Funktionen (=Brüche p q von Polynomen) sind stetig in ihren sbereichen. Satz 5.3 Es seien f : D C und g : E C, sodass f (D) E. Ist f stetig in x 0 und g stetig in f (x 0 ), dann ist g f stetig in x 0. Satz 5.4 Die Funktion f : D C ist dann und nur dann stetig in x 0 D, wenn R (f) : D R, x R (f (x)) und I (f) : D R, x I (f (x)) stetig in x 0 sind. ɛ-δ- der Stetigkeit Satz 5.5 (ɛ-δ- der Stetigkeit) f : D C ist dann und nur dann stetig in x 0 D, falls es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x D mit x 0 x < δ die Aussage f (x 0 ) f (x) < ɛ gilt. Stetigkeit von Potenzreihen Satz 5.6 Es sei a n z n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Dann ist die Funktion f : K R (0) C deniert durch f (x) = an x n überall in C stetig. Zwischenwertsatz Satz 5.7 (Zwischenwertsatz) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es zu jeder Zahl λ zwischen f (a) und f (b) eine Zahl c [a, b], sodass f (c) = λ.

14 Satz 5.8 Jedes Polynom ungeraden Grades hat eine Nullstelle. Satz 5.9 Es sei f : [a, b] R eine stetige, streng monoton wachsende (oder fallende) Funktion mit f (a) = A und f (b) = B. Dann bildet f das Intervall [a, b] bijektiv auf [A, B] (oder [B, A]) ab und die Umkehrfunktion f 1 : [A, B] [a, b] ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend). Der natürliche Logarithmus Satz 5.10 Die reelle Exponentialfunktion exp : R R +, x x n n! =: e x ist streng monoton wachsend mit Bild= R +. Die Umkehrfunktion ln : R + R ist stetig, streng monoton wachsend und heiÿt natürlicher Logarithmus. Es gilt ln (xy) = ln (x) + ln (y) für alle x, y R + und ln (e) = 1, ln (1) = 0 und ln ( 1 b ) = ln (b). Satz 5.11 Es sei a > 0, p Z und q N. Dann gilt a p q = exp ( p q ln (a) ). Wir denieren für a > 0 und x R: a x := exp (x ln a). (Falls x Q Satz 5.11) Satz 5.12 Es seien a, b > 0. Dann gilt für alle x, y R: 1. a x+y = a x a y 2. (a x ) y = a x y 3. a x b x = (a b) x 4. ( ) 1 x a = a x Satz 5.13 Sei a > 0. Die Funktion exp a : R R deniert durch exp a (x) = a x ist stetig, streng monoton wachsend für a > 1 und streng monoton fallend für a (0, 1). Die Umkehrfunktion log a : R + R heiÿt der Logarithmus zur Basis a und es gilt log a (x) = ln(x) ln(a). Maxima und Minima von stetigen Funktionen Es sei D R oder D C und f : D R eine Funktion. Man sagt f nimmt in x 0 D ein Maximum bzw. ein Minimum an, falls x D : f (x) f (x 0 ) bzw. x D : f (x) f (x 0 ) gilt. Eine Teilmenge K R oder K C heiÿt kompakt, falls jede Folge (x n ) in K eine Teilfolge (x nk ) besitzt, die gegen einen Grenzwert x in K konvergiert.

15 Satz 5.14 Es seien f 1,..., f k : R bzw. C R stetige Funktionen. Ist die Menge K = {x R bzw. C f 1 (x) 0,..., f k (x) 0} beschränkt, so ist sie kompakt. Satz 5.15 Es sei K R bzw. C kompakt und f : K R stetig. Dann nimmt f Maximum und Minimum an. Gleichmäÿige Stetigkeit Eine Funktion f : D C mit D C heiÿt gleichmäÿig stetig, falls es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, sodass x, y D, x y < δ f (x) f (y) < ɛ. Satz 5.16 Es sei K C eine kompakte Menge bzw. ein Kompaktum und f : K C stetig. Dann ist f gleichmäÿig stetig. Häufungspunkte Es sei D C und x 0 C. Dann heiÿt x 0 Häufungspunkt von D, falls es in jeder Kreisscheibe K ɛ (x 0 ) unendlich viele verschiedene Punkte aus D gibt. x 0 C ist Häufungspunkt von D, falls es zu jedem ɛ > 0 ein Element x D K ɛ (x 0 ) gibt mit x x 0. Eine Menge D C heiÿt abgeschlossen, falls D ihre Häufungspunkte enthält. Satz 5.17 D C kompakt D ist beschränkt und abgeschlossen. Grenzwerte von Funktionen Es sei D C und x 0 C ein Häufungspunkt von D. Ferner sei f : D C eine Funktion. Dann hat f in x 0 den Grenzwert L = lim f (x), falls es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, sodass f (x) L < ɛ x x 0 für 0 < x x 0 < δ und x D. (d.h. x x 0 ) Satz 5.18 Es sei x 0 ein Häufungspunkt von D C und f : D C eine Funktion. Dann gilt L = lim f (x) x x 0 genau dann, wenn L = lim f (x n), wobei x n eine Folge ist aus D mit x n x 0 und x n x 0 n N. x

16 Einseitige Grenzwerte Es sei x 0 ein Häufungspunkt von D C und f : D C eine Funktion. Man sagt f konvergiert in x 0 von rechts gegen L, falls f (x n ) L, für alle Folgen x n D mit x n x 0 und x n > x 0. Grenzwerte im Unendlichen Es sei D R nach oben unbeschränkt und f : D C eine Funktion. Dann heiÿt L C der Grenzwert von f in +, falls zu jedem ɛ > 0 ein N R gibt, sodass f (x) L < ɛ für alle x > N. (analog für n )

17 Teil VI Dierentiation Die Ableitung einer Funktion Es sei f : I C eine Funktion, wobei I = Intervall. Es sei x 0 I gegeben. Dann heiÿt f f(x) f(x dierenzierbar in x 0, falls lim 0) n x x 0 existiert. f heiÿt dierenzierbar, falls f für alle x I in x dierenzierbar ist. Ist f dierenzierbar, setze f f(x) f(x (x 0 ) := lim 0) n x x 0 und nenne f (x 0 ) die Ableitung von f in x 0. Satz 6.1 Es sei f : [a, b] C dierenzierbar in x 0 [a, b]. Dann ist f stetig in x 0. Satz 6.2 Es seien f, g : [a, b] C dierenzierbar in x 0 [a, b]. Dann sind f +g, f g und f g verschwindet) in x 0 dierenzierbar und es gilt: (falls g nirgendwo 1. (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) 2. (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ) (Leibnizregel) 3. ( f g ) (x0 ) = f (x 0) g(x 0) f(x 0) g (x 0) g(x 0) 2 Bemerkung Es sei f (x) = x n. Dann gilt f (x) = n x n 1. Satz 6.3 (Kettenregel) Es seien f, g : [a, b] R stetig in [a, b] und dierenzierbar in x 0 [a, b]. E sei g : I C, sodass f ([a, b]) I. Dann ist g f dierenzierbar in x 0 und es gilt (g f) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Satz 6.4 Es sei f : [a, b] R stetig und umkehrbar ( streng monoton). Ist f in x 0 dierenzierbar und f (x) 0, so ist f 1 in y 0 := f 1 (x 0 ) dierenzierbar und ( f 1) (y0 ) = 1 f (x = 1 0) f (f 1 (y. 0)) Satz 6.5 Es sei f : [a, b] C eine Funktion. Dann ist f in x 0 [a, b] dierenzierbar genau dann, wenn die Funktionen Rf : [a, b] R und If : [a, b] R in x 0 dierenzierbar sind. Lokale Maxima und Minima Es sei f : D R oder C C eine Funktion. Dann hat f in x 0 D ein lokales Maximum, falls es ein δ > 0 gibt, sodass f (x 0 ) f (x) für x x 0 < δ, x D. (lokales Minimum analog)

18 Satz 6.6 Es sei f : [a, b] R, sodass f in x 0 [a, b] ein lokales Maximum oder lokales Minimum annimmt. Ist f in x 0 dierenzierbar, so gilt f (x) = 0. Mittelwertsatz Satz 6.7 (Satz von Rolle) Es sei f : [a, b] R eine stetige Funktion und f (a) = f (b). Ist f in (a, b) dierenzierbar, so gibt es ein c (a, b), sodass f (c) = 0. Satz 6.8 (Mittelwertsatz) Es sei f : [a, b] R stetig in [a, b] und dierenzierbar in (a, b). Dann gibt es ein c (a, b), sodass f (c) = f(b) f(a) b a. Satz 6.9 (Mittelwertsatz von Cauchy) Es sei f : [a, b] R stetig in [a, b] und dierenzierbar in (a, b). Dann gibt es ein c (a, b), sodass f (c) (g (b) g (a)) = g (c) (f (b) f (a)). Falls g (c) 0 und g (b) g (a), so gilt f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). Monotonie von Funktionen bei globalen bzw. lokalen Maxima und Minima Satz 6.10 Es sei f : [a, b] R stetig in [a, b] und dierenzierbar in (a, b). Dann gilt: 1. Ist f (x) > 0 x (a, b), so ist f streng monoton wachsend. Andersherum gilt: f streng monoton wachsend f (x) 0 x (a, b) (analog für streng monoton fallend) 2. Ist f (x) = 0 x (a, b), so ist f konstant Satz 6.11 Es sei f : [a, b] R stetig in [a, b] und es existiere die Ableitung überall in (a, b), auÿer in höchstens einem Punkt c (a, b). Dann gilt: 1. Ist f (x) > 0 für alle x < c und f (x) < 0 für alle x > c, so hat f ein Maximum in c 2. Ist f (x) < 0 für alle x < c und f (x) > 0 für alle x > c, so hat f ein Minimum in c Ist f : [a, b] R in (a, b) dierenzierbar und c (a, b), sodass f (c) = 0, so heiÿt c kritischer Punkt. Ist f : [a, b] R überall dierenzierbar, so erhalten wir f : [a, b] R; x f (x). Ist f in x 0 dierenzierbar, so heiÿt f (x 0 ) := (f ) (x 0 ) die zweite Ableitung.

19 Satz 6.12 Es sei c (a, b) ein kritischer Punkt von f : [a, b] R und f existiert in allen x (a, b). Dann gilt: 1. Ist f (x) < 0 x (a, b), so hat f ein Maximum in c 2. Ist f (x) > 0 x (a, b), so hat f ein Minimum in c Konvexe und Konkave Funktionen Es sei f : [a, b] R stetig in [a, b]. f heiÿt konvex, falls die Sekante zwischen x und y immer oberhalb vom Graphen von f liegt. f heiÿt konkav, falls die Sekante zwischen x und y immer unterhalb vom Graphen von f liegt. Alternative : f heiÿt konvex, falls x, y [a, b] gilt f (λx + (1 λ) y) λf (x) + (1 λ) f (y). f heiÿt konkav, falls x, y [a, b] gilt f (λx + (1 λ) y) λf (x) + (1 λ) f (y). Ist eine Funktion konkav auf einer Seite von c und konvex auf der anderen Seite von c, so heiÿt c Wendepunkt. Satz 6.13 Es sei f : [a, b] R stetig in [a, b] und dierenzierbar in (a, b). Ist f monoton wachsend auf (a, b), so ist f konvex. Ist f monoton fallend auf (a, b), so ist f konkav. Falls f (x) x (a, b) existiert, so ist f konvex, falls f (x) 0 x (a, b).