Mathematisches Kaleidoskop 2014 Materialien Teil 2. Dr. Hermann Dürkop

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1 Mathematisches Kaleidoskop 2014 Materialien Teil 2 Dr. Hermann Dürkop 1

2 1.6 Quadratische Reste und das Legendre-Symbol Im folgenden seien die Moduln p immer Primzahlen. Wir haben bisher gesehen, ob und wie man lineare Kongruenzen der Form ax + b 0 mod p nach einer Unbekannten auflösen kann. Das nächstschwierige Problem ist nun, auch die Lösungen von Kongruenzen 2-ten Grades, also quadratischen Kongruenzen zu bestimmen: ax 2 + bx + c 0 mod p Wir betrachten das etwas einfachere Problem, in dem a 1 ist: x 2 + bx + c 0 mod p Im Falle einer quadratischen Gleichung x 2 + bx + c 0 haben wir gemäß Schulunterricht die berühmte sog. p, q-formel: x b/2 + (b/2 2 c oder x b/2 (b/2 2 c. Wir müssen also Quadratwurzeln bestimmen können, um die Lösungen explizit anzugeben. In unserer Resterechnung bedeutet das, dass wir zumindest in der Lage sein sollten, quadratische Kongruenzen der einfachsten Form x 2 c mod p auf Lösbarkeit zu untersuchen, und im Falle der Lösbarkeit auch die passenden Lösungen anzugeben. Gesucht sind z.b. die Lösungen der Kongruenz: x 2 5 mod 11 Nun ist mod 11. Also ist die Kongruenz lösbar durch x 4 mod 11. Mit x ist aber auch x eine Lösung, d.h. 4 7 mod 11 ist eine zweite Lösung, und in der Tat ist ja mod 11. Die Kongruenz x 2 2 mod 5 besitzt hingegen keine Lösung; denn 1 und 4 sind die einzigen quadratischen Reste mod 5. 2

3 Der Übersicht halber sei hier nochmal eine Tabelle quadratischer Reste und Nichtreste für ungerade Primzahlen p angegeben: p Quadrate 0 mod p Nichtquadrate mod p , 4 2, 3 7 1, 2, 4 3, 5, , 3, 4, 5, 9 2, 6, 7, 8, 10 1, 3, 4, 9, 10, 12 2, 5, 6, 7, 8, , 2, 4, 8, 9,, 15, 16 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14 Mithilfe einer solchen Tabelle können wir entscheiden, ob eine quadratische Kongruenz lösbar ist oder nicht. Wäre unsere Tabelle ein bisschen länger, könnten wir leicht feststellen, ob die Kongruenz x 2 73 mod 7 ( lösbar ist. Wir wollen nun ein Symbol einführen, um die etwas umständliche Sprechweise eine Zahl a ist quadratischer Rest modulo p und die damit zusammenhängenden Gleichungen übersichtlicher darzustellen. Definition: ( a : p { +1, wenn a quadratischer Rest mod p 1, wenn a quadratischer Nichtrest mod p Dieses Symbol ( a heißt Legendre-Symbol und so wird es ausgesprochen: p a nach p. Beispiele: ( 1 +1, 3 oder auch so: ( 2 1, 3 ( 25 1, 2 +1 ( 25 ( Bei der obigen Kongruenz ( stellt sich also die Frage ( 73?? 7 3

4 1.7 Das Gaußsche Reziprozitätsgesetz Wenn man eine riesige Tafel der Quadrate mod p für beliebig große Primzahlen p hätte, bräuchte man nur in diese hineinzuschauen, um (73/7 zu ermitteln. Aber das wäre sicher kein zukunftsträchtiges Verfahren; denn wo sollte diese Tabelle enden? Erstrebenswert wäre es hingegen, wenn man ein Rechenverfahren, also einen Algorithmus hätte, mit dem man das Legendre- Symbol in möglichst wenig Schritten ermitteln kann. Um solch ein Verfahren zu gewinnen, bietet es sich zunächst an, irgendwelche Zusammenhänge zwischen Legendre-Symbolen zu entdecken. Wir untersuchen hierzu, ob es bei verschiedenen ungeraden Primzahlen p, q einen Zusammenhang zwischen (p/q und (q/p gibt. Dazu betrachten wir die folgenden Beispiele: 7 1, ( ( (beachte: 7 2 mod 5 11 ( ( 17 +1, 1, 1, +1, ( ( ( ( ( ( ( ( (11 1 mod 5 1 ( 3 mod 5 1 (17 6 mod (17 4 mod Da drängt es sich doch auf zu fragen, ob denn immer gilt: ( ( p q? q p Folgende Tabelle zeigt uns aber, dass wir uns wohl zu früh gefreut haben: 4

5 Werte des Legendre-Symbols (p/q für die ungeraden Primzahlen {3, 5, 7, 11,, 17}: q p Wir sehen, dass die +1-Einträge und die 1-Einträge in den meisten Fällen symmetrisch zu der grau dargestellten Diagonale der Tabelle liegen. Nur in den Zeilen bei p3, 7 und 11 und zwar auch nur bei q3, 7 und 11 gibt es Abweichungen von dieser Regel. Nun, was haben die Primzahlen 3, 7 und 11 gemeinsam? Sie sind alle 3 mod 4. Das könnte natürlich Zufall sein, aber das Quadratische Reziprozitätsgesetz bestätigt unsere Beobachtung: Quadratisches Reziprozitätsgesetz (Gauß: Seien p, q ungerade Primzahlen. Dann gilt: ( p q ( p q ( q +, wenn p 1 mod 4 oder q 1 mod 4 p ( q, wenn p 3 mod 4 und q 3 mod 4 p 5

6 Beispiele: ( mod 4 ( mod 73 ( ( ( , mod 4 ( mod mod Weitere Rechenregeln: ( ( 127 mod ( 5 1 mod 4 5 ( mod ( 57 1 mod 4 3 mod 5 ( 3 5 ( 1 +1 Natürlich gibt es noch weitere Rechenregeln für das Legendre-Symbol, sowie Erweiterungen dieses Symbols auch auf Nichtprimzahlen, etwa das Jacobi- Symbol. Forschen Sie einfach diesbezüglich im Internet und in den gängigen Lehrbüchern der Zahlentheorie. 1.8 Das RSA-Verschlüsselungsverfahren Dieser Teil folgt dem Abschnitt 1.9 von [Diekert, Kufleitner, Rosenberger: Elemente der diskreten Mathematik]. Alice möchte von Bob eine Nachricht erhalten, die geheim bleiben soll. Dazu verwenden die beiden ein weit verbreitetes Verschlüsselungsverfahren, das sog. RSA-Verfahren, das seinen Namen von den Anfangsbuchstaben der drei Mathematiker Rivest, Shamir und Adleman bekommen hat. Dieses Verfahren ist asymmetrisch: Bob verschlüsselt die Nachricht mit seinem öffentlichen Schlüssel, Alice entschlüsselt Bobs Nachricht mit ihrem privaten Schlüssel. Dabei wird so vorgegangen: - Alice wählt Primzahlen p, q mit 3 < p < q. - Sie berechnet n p q und setzt φ(n (p 1(q 1. - Sie wählt ein e > 1, das teilerfremd zu φ(n ist. - Sie berechnet s mit e s 1 mod φ(n und sendet (n, e an Bob. - Bob verschlüsselt seine Nachricht x mit 0 x n 1 durch y x e mod n und sendet y an Alice. - Alice berechnet Bobs Original-x durch x y s mod n. 6

7 Beispiel: Alice wählt p 5, q 11, also n 55 und φ(n Außerdem setzt sie e 3 > 1 und 3 ist teilerfremd zu 40. Nun sucht sie s mit e s 3 s 1 mod 40. Aus ihrer Einmaleinstafel mod 40 ermittelt sie s 27; denn es ist ja mod 40. Alice veröffentlicht das Zahlenpaar (n, e (55, 3. Bob möchte gern die Nachricht x 23 an Alice senden. Er berechnet y x mod 55. Bob versendet die 12, Alice erhält die Nachricht y 12 und berechnet y 27 mod 55, also mod 55. Alice sucht nun nach einer Möglichkeit, zu berechnen, ohne tatsächlich 26-mal mit 12 multiplizieren zu müssen. Sie denkt sich: es ist , also Jetzt quadriert sie sukzessive: mod ( ( ( mod ( mod ( mod 55. Schließlich setzt sie die Faktoren zusammen: ( mod 55. In der Tat war Bobs Originalnachricht die 23. 7