Seminararbeit Zahlentheorie. Gitter und der Minkowskische Gitterpunktsatz

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1 Seminararbeit Zahlentheorie Gitter und der Minkowskische Gitterpunktsatz Natascha Bilkic und Andreas Welling 4. Dezember 2007

2 Inhaltsverzeichnis I. Einführung Definition: Gitter Bemerkung: Untergruppe Definition: Grundmasche Bemerkung: Interpretation II. Vorbereitung für den Minkowskischen Gitterpunktsatz Definition: Freies Modul Lemma Satz Lemma Defintion: Volumen Bemerkung Definition: Konvexe Menge III. Minkowskischer Gitterpunktsatz Satz: Minkowskischer Gitterpunktsatz A. Abbildungsverzeichnis 13 B. Literatur 13 2

3 Teil I. Einführung Im Vortrag über die Gaußschen Zahlen haben wir benutzt Z [i] = {a + bi a, b Z} C und somit gesehen, dass die Gaußschen Zahlen auch als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene bezüglich der Basis {1, i} angesehen werden können. Um im nächsten Vortrag die Minkowskische Theorie entwickeln zu können, benötigen wir den allgemeinen Begriff des Gitters und einigen seiner grundsätzlichen Eigenschaften wie zum Beispiel den Minkowskischen Gitterpunktsatz. Der Vortrag orientiert sich an Neukirch [1992]. Zugrundeliegende Definitionen 8.1. Definition: Gitter Seien V ein R-Vektorraum mit Dimension dim(v) = n und v 1,..., v m linear unabhängige Vektoren aus V. Ein Gitter in V ist definiert durch { m } Γ = Zv Zv m = v 1,..., v m = a i v i a i Zi = 1... m i=1 Ein Gitter heißt vollständig in V, wenn m = n ist Bemerkung: Untergruppe Durch die Definition v 1,..., v m ist Γ die kleinste von den Vektoren v 1,..., v m erzeugte Untergruppe von V, welche die Vektoren enthält. Diese bilden zugleich eine Basis von Γ Definition: Grundmasche Die Menge Φ = {x 1 v x m v m x i R, 0 x i < 1} heißt Grundmasche des Gitters Γ Bemerkung: Interpretation Eine Interpretation der Vollständigkeit ist, dass sämtliche Verschiebungen Φ + γ, γ Γ, der Grundmasche ganz V überdecken. 3

4 Einige Beispiele von Gittern 1. Für V = R 2 {0} und v 1 = (2, 0, 0) und v 2 = (1, 3, 0) erhalten wir das folgende Gitter Γ : Das Gitter ist vollständig, da dim(v) = dim(γ). Γ ist aber nicht vollständig im R 3 (Abb.1). 2. Für V = R 3 und v 1 = (2, 0, 0) und v 2 = (1, 1, 0) und v 3 = (1, 0, 3) erhalten wir das dreidimensionale Gitter Γ (Abb. 2) 3. Die Grundmasche für V = R 2 und v 1 = (2, 0) und v 2 = (1, 3) ist dargestellt durch die farbige Fläche (Abb. 3): 4

5 Abbildung 1: Gitter in einer Fläche Abbildung 2: Dreidimensionales Gitter 5

6 Abbildung 3: Gitter mit Grundmasche 4. Für das dreidimensionale Gitter ergibt sich die folgende Grundmasche (Abb. 4) Abbildung 4: Grundmasche für dreidimensionales Gitter Die obige Definition eines Gitters enthält ein Problem: Nach der Definition des Gitters ist dieses stets von der Wahl der linear unabhängigen Vektoren v 1,..., v m abhängig. Um dieses Problem zu beheben, möchten wir eine von dieser Wahl unabhängige Charakterisierung des Gitters herleiten. Dazu benötigen wir einige grundliegende Eigenschaften von Gittern. Eigenschaften des Gitters Jedes Gitter in V ist eine endlich erzeugte Untergruppe von V, aber nicht jede endlich erzeugte Untergruppe von V ist auch ein Gitter. Gegenbeispiel: Z + Zπ Jedes Gitter in V ist eine diskrete Untergruppe von V, d.h. für jeden Gitterpunkt γ Γ gilt ɛ > 0 x B(γ, ɛ): x / Γ für x γ. 6

7 Teil II. Vorbereitung für den Minkowskischen Gitterpunktsatz Wie wir gerade festgestellt haben, ist jedes Gitter eine diskrete Untergruppe. Im Folgenden möchten wir die Umkehrung dieser Aussage auch beweisen und erhalten somit eine Äquivalenz. Inhaltliche Voraussetzungen 8.5. Definition: Freies Modul Ein endlich erzeugter Z-Modul Γ heißt frei, falls Γ = Z n für ein n Lemma Ist Γ 1 ein freier Z-Modul vom Rang m und ist Γ 0 Γ 1 ein Untermodul von endlichem Index, dann ist auch Γ 0 ein freier Z-Modul vom Rang m Satz Eine Untergruppe Γ V ist genau dann ein Gitter, wenn sie diskret ist. Beweis (klar) Sei Γ eine diskrete Untergruppe des Vektorraums V. V 0 sei der durch Γ aufgespannte Unterraum von V und habe Dimension m. Dann existiert eine Basis u 1,...,u m von V 0, die in Γ liegt. Damit ist Γ 0 = Zu Zu m ein vollständiges Gitter in V 0. Da u 1,..., u m Γ, liegt ganz Γ 0 in Γ, d.h. Γ 0 Γ. Wir behaupten, dass der Index ( Γ : Γ 0 ) endlich ist. Der Index ist die Mächtigkeit der Menge aller Nebenklassen von Γ nach Γ 0. Ein Repräsentantensystem für die Nebenklassen sind die Elemente des diskreten Unterraums Γ, die in der Grundmasche des Gitters Γ 0 liegen. Zum Beweis der Behauptung durchlaufe γ i Γ ein beliebiges Repräsentantensystem für die Nebenklassen in Γ/Γ 0. Γ 0 ist vollständig in V 0, also überdecken die Verschiebungen Φ 0 + γ, γ Γ 0 der Grundmasche Φ 0 = {x 1 u x m u m x i R, 0 x i < 1} 7

8 den ganzen Raum V 0. Deshalb ist jedes Element γ i Γ die eindeutige Summe eines Elementes µ i aus der Grundmasche Φ 0 des Gitters Γ 0 mit einem Element γ 0i aus dem Gitter Γ 0. γ i = µ i + γ 0i Da die µ i = γ i - γ 0i Element von Γ sind und diskret in der Grundmasche Φ 0 liegen, die eine beschränkte Menge ist, kann es nur endlich viele von ihnen geben. Also ist der Index ( Γ : Γ 0 ) endlich. Mit q := ( Γ : Γ 0 ) ist qγ Γ 0 und Γ q 1 Γ 0 = Z ( q 1 u 1 ) Z ( q 1 u m ). Γ liegt also in einem Gitter. Nach dem Lemma über Z-Moduln besitzt Γ daher eine Z Basis v 1,..., v r, r m, d.h. Γ = Zv Zv r. Die Vektoren v 1,..., v r sind linear unabhängig, da sie den m-dimensionalen Raum V 0 aufspannen. Deshalb ist Γ ein Gitter. Die einzelnen Beweisschritte wollen wir noch einmal anhand eines Beispiels wiederholen. Beispiel Sei V = R 3 und Γ die von den Vektoren (1, 0, 0) und (0, 1, 0) erzeugte diskrete Untergruppe. V 0, der Unterraum von V, der von Γ aufgespannt wird, ist dann der R 2 {0} und seine Dimension ist m = 2. Wir wählen eine in Γ gelegene Basis von V 0, nämlich u 1 = (2, 0) und u 2 = (1, 3). Das so gebildete Gitter Γ 0 = Z(2, 0, 0) + Z(1, 3, 0) ist ein vollständiges Gitter in V 0 = R 2 und offensichtlich eine Teilmenge von Γ. Die Menge aller Nebenklassen in Γ/Γ 0 ist {[(0, 0, 0)], [(1, 0, 0)], [(1, 1, 0)], [(2, 1, 0)]}. Der Index ( Γ : Γ 0 ) ist gleich 4 und damit endlich. Es gilt 4Γ Γ Lemma Ein Gitter Γ V ist genau dann vollständig, wenn es eine beschränkte Teilmenge M V gibt, deren sämtliche Verschiebungen M + γ, γ Γ den ganzen Raum V überdecken. Beweis Sei dazu Γ = Z v Z v n vollständig und aus der Wahl der Grundmasche Φ = 8

9 {x 1 v x n v n } folgt die Behauptung. Nun sei M eine beschränkte Teilmenge von V, deren Verschiebungen M + γ, γ Γ V überdecken und sei V 0 der durch Γ aufgespannte Untervektorraum. Wir zeigen nun, dass V = V 0. Sei dazu v V. Da V= γ Γ (M + γ) gilt, kann man für jedes ν N v geschrieben werden als νv = α ν + γ ν, wobei α ν M und γ Γ V 0. Nach Voraussetzung ist M beschränkt und damit ist 1 ν α ν eine Nullfolge und da V 0 abgeschlossen ist gilt v = lim v 1 ν α ν + lim v 1 ν γ ν = lim v 1 ν γ ν V 0 Um den Minkowskischen Gitterpunktsatz einführen zu können, brauchen wir zunächst den Begriffs des Volumens. Sei jetzt V ein euklidischer Vektorraum, also ein R-Vektorraum mit dim(v)=n und einem Skalarprodukt Defintion: Volumen, : V V R Betrachtet man nun den von der Orthonormalbasis e 1,..., e n aufgespannten Würfel, kann das Volumen angesehen werden als Inhalt der Größe 1. Wird das Objekt von n beliebigen linear unabhängigen Vektoren aufgespannt, also ein Paralellepiped Φ = {x 1 v x n v n x i R, 0 x i < 1} hat dieser das Volumen vol(φ) = deta Bemerkung Betrachte A=(a ik ) die Übergangsmatrix der Basis e 1,..., e n zu v 1,..., v n Dann kann ein v i dargestellt werden als v i = a ik e k k Dann gilt ( v i, v j ) = k,l a ik a jl e k e l = ( ) a ik, a jk = AA T k 9

10 Mit dieser Eigenschaft kann das Volumen auch als vol (Φ) = det (A) = det (A 2 ) det = (AA T ) det = ( v i, v j ) geschrieben werden. Sei Γ das von v 1,..., v n aufgespannte Gitter und Φ dessen Grundmasche. Setze nun vol(γ) = vol(φ) Man stellt hier fest, dass das Volumen unabhängig von der Wahl der Gitterbasis ist, da die Übergangsmatrix und ihre Inverse ganzzahlige Koeffizienten aufweist und somit die Determinante ±1 hat. Demzufolge wird Φ in eine Menge mit dem gleichen Volumen transformiert. Eine weitere wichtige Definition, die für den Minkowkischen Gitterpunktsatz wichtig ist, ist die der Zentralsymmetrie und Konvexität Definition: Konvexe Menge Eine Teilmenge X V wird zentralsymmetrisch genannt, wenn gilt sie heißt zudem konvex, wenn x X x X x, y X {ty + (1 t)x 0 t 1} X also die Verbindungsstrecke in X enthalten ist. Abbildung 5: Konvexe Menge 10

11 Abbildung 6: Eine nichtkonvexe Menge Teil III. Minkowskischer Gitterpunktsatz Kommen wir nun zu der zentralen Aussage unserer Seminararbeit, dem Minkowskischen Gitterpunktsatz Satz: Minkowskischer Gitterpunktsatz Sei Γ ein vollständiges Gitter im eunklidischen Vektorraum V und X eine zentralsymmetrische und konvexe Teilmenge von V. Wenn vol(x) > 2 n vol(γ) gilt, dann enthält X mindestens einen von 0 verschiedenen Gitterpunkt γ Γ Beweis Es genügt zu zeigen, dass es zwei verschiedene Gitterpunkte γ 1, γ 2 Γ gibt mit ( ( ) 1 1 1) 2 X + γ 2 X + γ 2. Wählen wir einen Punkt aus diesem Durchschnitt aus, so gilt 1 2 x 1 + γ 1 = 1 2 x 2 + γ 2, x 1, x 2 X. Der Mittelpunkt γ der Strecke von x 2 nach x 1 ist γ = γ 1 γ 2 = 1 2 x x 1, liegt also sowohl in X, da x 1 und x 2 in konvexer und zentralsymmetrischen Menge 11

12 X liegen, als auch in Γ, da γ 1 und γ 2 im Gitter Γ liegen. Also gilt γ X Γ. Wenn aber die Mengen 1 2X + γ, γ Γ disjunkt sind, so trifft dies auch auf ihre Durchschnitte ( ) Φ 1 2 X + γ mit einer Grundmasche Φ von Γ zu, denn ( ( )) ( ( )) (( ) ( )) Φ 2 X + γ i Φ 2 X + γ j = (Φ Φ) 2 X + γ i 2 X + γ j = Φ = Damit gilt vol (Φ) ( ( )) 1 vol Φ 2 X + γ γ Γ Da die Φ γ, γ Γ( den ganzen )) Raum V überdecken, ) überdecken sie auch die Menge 1 2 (Φ X und da vol 1 2 X + γ = vol ((Φ γ) 1 2 X, so würden wir vol (Φ) γ Γ ((Φ γ) 1 2 X ) ( ) 1 = vol 2 X erhalten, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. = 1 vol (X) 2n 12

13 A. Abbildungsverzeichnis A. Abbildungsverzeichnis 1. Gitter in einer Fläche Dreidimensionales Gitter Gitter mit Grundmasche Grundmasche für dreidimensionales Gitter Konvexe Menge Eine nichtkonvexe Menge B. Literatur J. Neukirch. Algebraische Zahlentheorie. Springer Verlag,