Kapitel 12 Erwartungswert und Varianz

Transkript

1 Kapitel 12 Erwartungswert und Varianz Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 4/10. Juni 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 12.1

2 Der Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X : Ω R wurde definiert als der Mittelwert der Verteilung P X dieser Zufallsvariablen: EX = m 1 (P X ) = { y X y f X (y) falls P X diskret mit WF f X yf X (y)dy falls P X Dichte f X Für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) wurde eine alternative Berechnungsformel hergeleitet: EX = ω Ω X(ω) P{ω} Diese Formel erlaubt die Herleitung spezieller Rechenregeln, wie z.b. E(X + Y ) = EX + EY. P-Integral einer Zufallsvariablen: X(ω)P(dω) 12.2

3 Das P-Integral Eine kurze Darstellung der Konstruktion: 1. Schritt: Definition des P-Integrals einer Treppenfunktion. 2. Schritt: Definition des P-Integrals für allgemeine Zufallsvariable durch Approximation mit Treppenfunktionen. Die wichtigsten Rechenregeln Beziehung zwischen P- und L-Integral 12.3

4 Treppenfunktionen Definition Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt eine Treppenfunktion, wenn sie nur abzählbar viele Werte annimmt. Ist X = {x 1, x 2, x 3,...} der Wertebereich von X mit paarweise verschiedenen reellen Zahlen x k, dann bilden die Mengen A k = (X = x k ) = {ω Ω ; X(ω) = x k } eine Partition von Ω und X besitzt die Darstellung X(ω) = k x k 1 Ak (ω) Bezeichung Diese Darstellung heißt die Normaldarstellung von X. 12.4

5 Treppenfunktionen Definition Eine Treppenfunktion mit der Normaldarstellung X(ω) = k x k1 Ak (ω) heißt P-integrierbar, wenn x k P(A k ) < k Ist X P-integrierbar, so heißt X(ω) P(dω) := k x k P(A k ) das P-Integral von X. 12.5

6 Treppenfunktionen P-Integral und Mittelwert Die Verteilung P X einer Treppenfunktion ist diskret mit der Ergebnismenge X und der Wahrscheinlichkeitsfunktion f X (x k ) = P X {x k } = P(X = x k ) = P(A k ) daher ist X(ω) P(dω) = k x k f X (x k ) = m 1 (P X ) der Mittelwert der Verteilung von X. 12.6

7 Allgemeine Zufallsvariable Zu einer beliebigen Zufallsvariablen X : Ω R auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gibt es eine Folge (X n ) von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen X konvergiert: lim X X n = lim n sup n ω Ω X(ω) X n (ω) = 0 Theorem Ist wenigstens ein X n0 P-integrierbar, so sind alle X n P-integrierbar und die Folge der Integrale X n (ω) P(dω) konvergiert. Der Limes ist unabhängig von der verwendeten Folge und hängt nur von X und P ab. Bezeichnung In diesem Fall heißt X P-integrierbar und X dp = X(ω) P(dω) = lim n X n (ω) P(dω) das P-Integral von X. 12.7

8 Rechenregeln Direkt aus der Definition des P-Integrals einer Treppenfunktion und anschließend durch Grenzübergang leitet man die folgenden Eigenschaften ab: Rechenregeln 1 X(ω) = 1 ist P-integrierbar und es gilt 1 dp = 1. 2 Ist X P-integrierbar und X(ω) 0 P-fast überall, so ist X dp 0. 3 X ist P-integrierbar genau dann, wenn X (ω) := X(ω) P-integrierbar ist und es gilt X dp X dp Eine Aussage gilt P-fast überall (P-f.ü.), wenn sie für alle ω mit der eventuellen Ausnahme der Elemente einer Menge N mit P(N) = 0 richtig ist. 12.8

9 Rechenregeln (4) Additionsregel Sind X und Y P-integrierbar, dann auch jede Linearkombination ax + by und es gilt (ax + by ) dp = a X dp + b Y dp (5) Produktregel Sind X und Y P-integrierbar und stochastisch unabhängig, dann ist auch das Produkt X Y P-integrierbar und es gilt (X Y ) dp = X dp Y dp 12.9

10 Rechenregeln (Ω, A, P) X (R n, B n, P X ) Y = G X G (R, B, P Y ) (6) Kompositionssatz Ist X : Ω R n ein Zufallsvektor und G : R n R P X -integrierbar, dann ist Y = G X P-integrierbar und es gilt Y (ω) P(dω) = G(X(ω)) P(dω) = G(y) P X (dy) 12.10

11 P-Integral und L-Integral (7) Absolutstetige Verteilungen Ist P eine absolutstetige Verteilung auf dem R n mit der Dichte f (y) und X : R n R eine P-integrierbare Zufallsvariable, so gilt X(y)P(dy) = X(y)f (y)dy R n (8) Diskrete Verteilungen Ist P eine diskrete Verteilung auf einer abzählbaren Ergebnismenge X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) und Y : X R eine P-integrierbare Zufallsvariable, so gilt Y (x)p(dx) = x X Y (x)f (x) 12.11

12 Die Momente Definition Ist P eine eindimensionale Verteilung und ist die Funktion x x k P-integrierbar, so heißt m k (P) = x k P(dx) das k-te Moment der Verteilung P. Speziell m 1 (P) nennen wir den Mittelwert. Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x), so ist nach den Eigenschaften (7) bzw. (8) m k (P) = y k f (y) dy bzw. m k (P) = x k f (x), x X d.h. die Definition ist eine Erweiterung der bisherigen Konzepte

13 Die Momente Definition Ist P eine eindimensionale Verteilung und ist die Funktion x (x m 1 (P)) k P-integrierbar, so heißt ˆm k (P) = (x m 1 (P)) k P(dx) das k-te zentrale Moment der Verteilung P. Speziell ˆm 2 (P) nennen wir die Varianz der Verteilung P. Ist P absolutstetig mit Dichte f (y) bzw. diskret mit Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x), so ist nach den Eigenschaften (7) bzw. (8) ˆm k (P) = (y m 1 (P)) k f (y) dy bzw. ˆm k (P) = x X(x m 1 (P)) k f (x), d.h. die Definition ist eine Erweiterung der bisherigen Konzepte

14 Der Erwartungswert Bezeichnung In der Wahrscheinlichkeitsrechnung nennt man das P-Integral einer Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) üblicherweise den Erwartungswert: EX = E P X = X(ω)P(dω) Mit G(x) = x ist Y (ω) := G(X(ω)) = X(ω), weshalb nach dem Kompositionssatz gilt X(ω)P(dω) = xp X (dx) Theorem Der Erwartungswert von X ist der Mittelwert von P X : EX = m 1 (P X ) 12.14

15 Der Erwartungswert Die Momente Für k = 1, 2, 3,... und G k (x) = x k bzw. G k (X(ω)) = X k (ω) ergibt sich entsprechend E(X k ) = m k (P X ) 12.15

16 Rechenregeln Die Rechenregeln für das P-Integral lauten dann 1 E1 = 1 2 EX E X 3 E(aX + by + c) = a EX + b EY + c 4 Sind X und Y stochastisch unabhängig, so gilt E(XY ) = (EX)(EY ) 5 Ist die Zufallsvariable X P-fast überall nichtnegativ, dann ist EX 0. 6 Gilt für zwei Zufallsvariable X Y P-fast überall, so ist EX EY

17 Funktionen von Zufallsvariablen Ist X = (X 1, X 2,..., X n ) ein Zufallsvektor mit absolutstetiger n-dimensionaler Verteilung P X und Dichte f (x), sowie Y = G(X 1, X 2,..., X n ) = G X, dann gilt E Y = = = G(X(ω))P(dω) G(x)P X (dx) G(x)f (x)dx 12.17

18 Berechnung des Erwartungswerts Es gibt also im wesentlichen zwei Methoden zur Berechnung des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen der Form Y = G X: 1 Berechnung der Dichte g(y) der Verteilung P Y und des Mittelwerts E Y = m 1 (P Y ) = yg(y)dy 2 Auswertung des Integrals E Y = G(x)f (x)dx Die zweite Methode ist auch dann anwendbar, wenn P Y keine Dichte besitzt

19 Beispiel 1 Exercise In einer Eisdiele wird an jedem Abend bei der Eisfabrik die gesamte Menge q an Eis für den nächsten Tag bestellt. Der Einkaufspreis sei p 1 Euro pro Mengeneinheit. Die Tagesnachfrage ist unter anderem wetterbedingt zufällig. Wir nehmen an, dass es sich um eine exponentiell mit Parameter λ verteilte Zufallsvariable X handelt. Gemäß den gesetzlichen Vorschriften darf Eis, das am Abend noch nicht verkauft ist, nicht gelagert, sondern muss vernichtet werden. Welche Menge an Eis muss bei einem Verkaufspreis von p 2 Euro pro Mengeneinheit bestellt werden, damit der mittlere Gewinn maximal wird? 12.19

20 Beispiel 1 ω ist zufällig ausgewählter Tag, X(ω) ist Nachfrage an diesem Tag und q bestellte Menge. Absatz am Tag ω = min(x(ω), q). pro Mengeneinheit: Y (ω) = p 2 min(x(ω), q) p 1 q Erwartungswert des Gewinns: E Y = E(p 2 min(x(ω), q) p 1 q) = p 2 E(min(X(ω), q)) p 1 q Ansatz zur Berechnung: min(x(ω), q) = G X mit G(x) = min(x, q) 12.20

21 Beispiel 1 min(x(ω), q) = G X mit G(x) = min(x, q) E min(x(ω), q) = = G(x)P X (dx) G(x)f (x)dx = = 0 q min(x, q)λe λx dx xλe λx dx + 0 q qλe λx dx 12.21

22 Beispiel 1 E min(x(ω), q) = q xλe λx dx + 0 q qλe λx dx q 0 xλe λx dx = [ x( e λx ) ] q q e λx dx 0 = 0 [ ] q 1 qe λq λ e λx = qe λq + 1 λ 0 ( 1 e λq ) qλe λx dx = q q q λe λx dx = qe λq ( = E min(x(ω), q) = ) 1 λ 1 e λq 12.22

23 Beispiel 1 Mittlerer Gewinn als Funktion der Bestellmenge q: g(q) = p 2 E(min(X(ω), q)) p 1 q = p 2 λ Notwendige Bedingung für eine Extremalstelle: g (q) = p 2 λ ( 1 e λq ) p 1 q ( λe λq ) p 1 = p 2 e λq p 1 = 0 e λq = p 1 p 2 ( ) = q = 1 λ ln p2 p 1 q ist Maximalstelle, denn g (q) = λp 2 e λq <

24 Beispiel 2 X 1, X 2 seien N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable, Y = X X 2 2. Ohne zusätzliche Voraussetzungen kann die Verteilung von X = (X 1, X 2 ) nicht berechnet werden. EY = E(X1 2 + X2 2 ) = E(X1 2 ) + E(X2 2 ) Xk 2 = G(X k) mit G(t) = t 2 E(Xk 2 ) = G(t)P X k (dt) = t 2 P X k (dt) = m 2 (P X k ) = m 2 (N (0, 1)) = t 2 ϕ(t)dt = 1 EY =

25 Die Varianz X : Ω R sei eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit der Verteilung P X. Erwartungswert: EX = m 1 (P X ) = xp X (dx) Zur Definition der Varianz einer Zufallsvariablen formen wir die Varianz von P X um: (x ˆm 2 (P X ) = m1 (P X ) ) 2 P X (dx) = (x EX) 2 P X (dx) = G(x)P X (dx) mit G(x) = (x EX) 2. ˆm 2 (P X ) = G(x)P X (dx) = Y (ω)p(dω) = EY mit Y (ω) = G(X(ω)) = (X(ω) EX) 2 ˆm 2 (P X ) = E(X EX)

26 Die Varianz Definition Ist X : Ω R eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und existieren die entsprechenden Erwartungswerte, so heißt var P (X) = E P (X E P X) 2 die Varianz der Zufallsvariablen X. Kurzform: var(x) = E(X EX)

27 Die Ungleichung von Tschebyscheff Theorem P( X EX > ε) var(x) ε 2 Beweis. B = {ω Ω ; X(ω) EX > ε} = ( X EX > ε) Z (ω) = ε 2 1 B (ω) B (ω) EZ = Z dp = ε 2 P(B) = ε 2 P( X EX > ε) Z (ω) Y (ω) = (X(ω) EX) 2 EZ EY ε 2 P( X EX > ε) var(x) 12.27

28 Rechenregeln (1) var(x) 0 Y (ω) = (X(ω) EX) 2 0 var(x) = EY 0 (2) var(x) = 0 X(ω) = EX P-f. ü. B n = {ω Ω ; X(ω) EX > 1 n } 0 P(B n ) n 2 var(x) = 0 Ist X(ω) EX > 1 1 n, dann ist auch X(ω) EX > n+1, d.h. B n B n+1 B = n=1 B n = {ω Ω ; X(ω) EX > 0} = ( X EX > 0) P(B) = lim n P(B n ) = 0 P(B) = P(X = EX) =

29 Rechenregeln Algebraische Ausdrücke (X(ω) EX) 2 = (X(ω)) 2 2(EX) X(ω) + (EX) 2 (X EX) 2 = X 2 2(EX) X + (EX) 2 Algebraische Ausdrücke, in denen Zufallsvariablen vorkommen, kann man mit den aus der Algebra gewohnten Rechenregeln umformen. (3) var(x) = E(X 2 ) (EX) 2 Mit EX =: µ ist E(X EX) 2 = E [ X 2 2µX + µ 2] = E(X 2 ) 2µEX + µ 2 = E(X 2 ) 2(EX)(EX) + (EX) 2 = E(X 2 ) (EX)

30 Rechenregeln (4) var(ax + b) = a 2 var(x) var(y ) = E(Y EY ) 2 = E [(ax + b) E(aX + b)] 2 = E [ax + b aex b] 2 = E [ax aex] 2 = E [ a 2 (X EX) 2] = a 2 E (X EX)

31 Die Kovarianz Definition Für zwei Zufallsvariable X 1 und X 2 auf (Ω, A, P) heißt cov(x 1, X 2 ) = E [(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] die Kovarianz von X 1 und X 2. (5) var(x 1 + X 2 ) = var(x 1 ) + 2cov(X 1, X 2 ) + var(x 2 ) var(x 1 + X 2 ) = E [(X 1 + X 2 ) E(X 1 + X 2 )] 2 = E [(X 1 EX 1 ) + (X 2 EX 2 )] 2 = E(X 1 EX 1 ) 2 + 2E [(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] + E(X 2 EX 2 )

32 Rechenregeln (6) cov(x 1, X 2 ) = E(X 1 X 2 ) (EX 1 )(EX 2 ) cov(x 1, X 2 ) = E [(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] = E[X 1 X 2 (EX 1 )X 2 (EX 2 )X 1 + (EX 1 )(EX 2 )] = E(X 1 X 2 ) (EX 1 )EX 2 (EX 2 )EX 1 + (EX 1 )(EX 2 ) = E(X 1 X 2 ) (EX 1 )(EX 2 ) 12.32

33 Rechenregeln (7) Stochastisch unabhängige Zufallsvariable Sind X 1 und X 2 stochastisch unabhängig, so ist E(X 1 X 2 ) = (EX 1 )(EX 2 ) und daher sowie cov(x 1, X 2 ) = 0 var(x 1 + X 2 ) = var(x 1 ) + var(x 2 ) Achtung! Die Umkehrung dieser Aussage ist nicht immer richtig! Aus cov(x 1, X 2 ) = 0 folgt normalerweise nicht, dass die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind

34 Beispiel Der Zufallsvektor X = (X 1, X 2 ) sei auf M = {(x 1, x 2 ) R 2, x 1 + x 2 1} uniform verteilt. x 2 x

35 Beispiel M ist ein Quadrat mit der Kantenlänge 2 und der Fläche M = 2. Die Verteilung P X des Zufallsvektors X besitzt daher die Dichte { 1 f (x 1, x 2 ) = 2 falls x 1 + x sonst Marginaldichten: Die Dichte f ist in den beiden Argumenten symmetrisch: f (x 1, x 2 ) = f (x 2, x 1 ), Daher sind die beiden Marginaldichten gleich. f 2 (t) = f 1 (t) = f (t, x 2 )dx

36 Beispiel x 2 1 x 1 x 1 (1 x 1 ) 12.36

37 Beispiel Für t < 1 oder t > 1 ist f (t, x 2 ) = 0 für alle x 2, so dass f 2 (t) = f 1 (t) = 0. Für 1 t < 1 ist f (t, x 2 )dx 2 = 1 t (1 t ) 1 2 dx 2 = 1 t Erwartungswerte der Komponenten X 1 und X 2 : EX 2 = EX 1 = tf 1 (t)dt = 1 1 t(1 t )dt =

38 Beispiel Kovarianz: = = 1 2 = 1 2 cov(x 1, X 2 ) = E(X 1 X 2 ) = x 1 x 2 P X (d(x 1, x 2 )) x 1 x 2 f (x 1, x 2 )d(x 1, x 2 ) = 1 2 x 1x 2 d(x 1, x 2 ) x 1 ( 1 x1 (1 x 1 ) x 1 0dx 1 = 0 M x 2 dx 2 ) dx 1 Die Zufallsvariablen X 1, X 2 sind aber nicht stochastisch unabhängig! 12.38

39 Beispiel Z.B. auf dem Dreieck D = {(x 1, x 2 ) R 2 ; 0 < x 1 < 1, 1 x 1 < x 2 < 1} ist f (x 1, x 2 ) = 0, während f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) = (1 x 1 )(1 x 2 ) > 0. x 2 D x

40 Rechenregeln (8) cov(y, Y ) = var(y ) cov(y, Y ) = E[(Y EY )(Y EY )] = E(Y EY ) 2 = var(y ) (9) cov(x 1, X 2 ) = cov(x 2, X 1 ) E(X 1 X 2 ) (EX 1 )(EX 2 ) = E(X 2 X 1 ) (EX 2 )(EX 1 ) Anmerkung: Das gilt nur für reellwertige Zufallsvariable. Für komplexwertige ist die Kovarianz anders definiert. (10) cov(x 1 + a, X 2 + b) = cov(x 1, X 2 ) cov(x 1 + a, Y ) = E[((X 1 + a) E(X 1 + a))(y EY )] = E[(X 1 + a EX 1 a))(y EY )] = E[(X 1 EX 1 )(Y EY )] = cov(x 1, Y ) 12.40

41 Bilinearität (11) cov(a 1 X 1 + a 2 X 2, Y ) = a 1 cov(x 1, Y ) + a 2 cov(x 2, Y ) cov(a 1 X 1 + a 2 X 2, Y ) = E[a 1 X 1 + a 2 X 2 E(a 1 X 1 + a 2 X 2 )](Y EY ) = E(a 1 X 1 + a 2 X 2 a 1 EX 1 a 2 EX 2 )(Y EY ) = E[a 1 (X 1 EX 1 ) + a 2 (X 2 EX 2 )](Y EY ) = E[a 1 (X 1 EX 1 )(Y EY ) + a 2 (X 2 EX 2 )(Y EY )] = a 1 E(X 1 EX 1 )(Y EY ) + a 2 E(X 2 EX 2 )(Y EY ) = a 1 cov(x 1, Y ) + a 2 cov(x 2, Y ) 12.41

42 Bilinearität (12) cov(x, b 1 Y 1 + b 2 Y 2 ) = b 1 cov(x, Y 1 ) + b 2 cov(x, Y 2 ) cov(x, b 1 Y 1 + b 2 Y 2 ) = cov(b 1 Y 1 + b 2 Y 2, X) = b 1 cov(y 1, X) + b 2 cov(y 2, X) = b 1 cov(x, Y 1 ) + b 2 cov(x, Y 2 ) 12.42

43 Bilinearität Allgemein: ( m cov a i X i, i=1 ) n b k Y k = k=1 m n a i b k cov(x i, Y k ) = a C XY b i=1 k=1 wobei a der Zeilenvektor mit den Komponenten a i, b der Spaltenvektor mit den Komponenten b k und C XY die m n-matrix cov(x 1, Y 1 ) cov(x 1, Y 2 )... cov(x 1, Y n ) cov(x 2, Y 1 ) cov(x 2, Y 2 )... cov(x 2, Y n ) cov(x m, Y 1 ) cov(x m, Y 2 )... cov(x m, Y n ) 12.43

44 Bilinearität Exercise Die Zufallsvariablen X 1 und X 2 seien stochastisch unabhängig und exponentiell verteilt mit Parametern λ 1 = 1 bzw. λ 2 = 2. Welche Kovarianz besitzen die Zufallsvariablen Y 1 = 3X 1 + 2X 2 und Y 2 = X 1 X 2? cov(y 1, Y 2 ) = cov(3x 1 + 2X 2, Y 2 ) = 3cov(X 1, Y 2 ) + 2cov(X 2, Y 2 ) = 3cov(X 1, X 1 X 2 ) + 2cov(X 2, X 1 X 2 ) = 3cov(X 1, X 1 ) 3cov(X 1, X 2 ) +2cov(X 2, X 1 ) 2cov(X 2, X 2 ) X 1 und X 2 sind stochastisch unabhängig, daher cov(x 1, X 2 ) = cov(x 2, X 1 ) = 0: cov(y 1, Y 2 ) = 3cov(X 1, X 1 ) 2cov(X 2, X 2 ) 12.44

45 Beispiel cov(y 1, Y 2 ) = 3cov(X 1, X 1 ) 2cov(X 2, X 2 ) cov(x, X) = var(x): cov(y 1, Y 2 ) = 3var(X 1 ) 2var(X 2 ) var(x) = ˆm 2 (P X ): cov(y 1, Y 2 ) = 3 ˆm 2 (E(λ 1 )) 2 ˆm 2 (E(λ 2 )) = 3 1 λ λ 2 = =

46 Die Kovarianzmatrix Definition Für einen Zufallsvektor X = (X 1, X 2,..., X n ) heißt die Matrix cov(x 1, X 1 ) cov(x 1, X 2 )... cov(x 1, X n ) cov(x 2, X 1 ) cov(x 2, X 2 )... cov(x 2, X n ) C X = cov(x n, X 1 ) cov(x n, X 2 )... cov(x n, X n ) die Kovarianzmatrix von X

47 Eigenschaften C X ist symmetrisch Folgt aus cov(x i, X k ) = cov(x k, X i ) C X ist positiv semidefinit Ist a = (a 1, a 2,..., a n ) ein beliebiger reeller Zahlenvektor, so besitzt die Zufallsvariable Y = a 1 X 1 + a 2 X a n X n die Varianz ( n ) n var(y ) = cov(y, Y ) = cov a i X i, a k X k = a C X a Da Varianzen stets nichtnegativ sind, ist für beliebige Vektoren a a C X a 0 i=1 k=

48 Die Kovarianzmatrix Gibt es einen Vektor a 0 mit a C X a = 0, so besitzt die Zufallsvariable Y = a 1 X a n X n die Varianz Null und ist damit fast überall gleich einer Konstanten c bzw. sind die Zufallsvariablen X i fast überall affin linear abhängig

49 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Theorem cov(x 1, X 2 ) var(x 1 ) var(x 2 ) wobei die linke und rechte Seite genau dann gleich sind, wenn es Konstanten a, b und c mit a 2 + b 2 > 0 gibt, so dass ax 1 (ω) + bx 2 (ω) = c P-fast überall 12.49

50 Der Korrelationskoeffizient Definition Für positive Varianzen heißt ρ(x 1, X 2 ) = cov(x 1, X 2 ) var(x1 ) var(x 2 ) der Korrelationskoeffizient von X 1 und X 2. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt, dass 1 ρ(x 1, X 2 ) 1 ρ(x 1, X 2 ) = ±1 besagt, dass X 1 und X 2 affin linear abhängig sind. Ist ρ(x 1, X 2 ) = 0 so heißen X 1 und X 2 unkorreliert