3.1 Motivation. - Mit (mehreren) Koordinatentransformationen wird das Objektsystem in das Gerätesystem transformiert.

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1 3.1 Motivation Wichtige Grundlage der Bildwiedergabe auf dem Bildschirm oder anderen Ausgabegeräten sind Koordinatensysteme und Koordinatentransformationen im IR 2 und IR 3. Im allgemeinen unterscheidet sich das Koordinatensystem eines Objektes von dem Koordinatensystem des Ausgabegerätes: - Das Koordinatensystem eines Objektes ist oft über geometrische Eigenschaften des Objektes festgelegt. - Das Koordinatensystem des Bildschirms und die Größe der Bildfenster sind durch das Gerät selbst definiert (z. B. Nullpunkt in der linken, oberen Ecke, x- und y-achsen parallel zu den Bildrändern). - Mit (mehreren) Koordinatentransformationen wird das Objektsystem in das Gerätesystem transformiert. 3-1

2 3.1 Motivation Spezieller: Objektdefinition, Modeling, Sichtdefinition, Animation, Rendering, Ausgabe,... verschiedenste Koordinatensysteme Koordinatentransformationen im 2D-, 3D-Raum (Verschiebungen, Skalierungen, Drehungen,...) zur Definition von Position und Orientierung! Matrixoperationen Hardware- und Softwareunterstützung aber auch: Grundlagenverständnis, Gefühl! 3-2

3 3.2 Koordinatensysteme local coordinate system, object coordinate system, modeling coordinate system, 3D - eigenes Koordinatensystem für jedes Objekt sinnvoll - erleichtert Modellierung und Animation! - oft über geometrische Eigenschaften des Objektes (z. B. Symmetrien oder ausgezeichnete Richtungen) oder durch gewünschte Aktionen des Objektes (z. B. Flug entlang Kurve mit gleichzeitiger Drehung) festgelegt - findet auch für Lichtquellen Verwendung! 3-3

4 3.2 Koordinatensysteme world coordinate system, global coordinate system, scene coordinate system, 3D - hier lebt die gesamte Szene - Objekte (Objektkoordinatensysteme) werden mittels Transformationen platziert - zum Rendern: Umrechnung lokaler Objektkoordinaten in globale Objektkoordinaten (bei Animationen d. h. animiertem Objekt: dynamisch in jedem Frame!) - hier ebenso: Definition der Beleuchtung der Szene 3-4

5 3.2 Koordinatensysteme eye coordinate system, camera coordinate system, 3D - Konzept: virtuelle Kamera mit entsprechenden Parametern - im Weltsystem (mittels Transformationen) verankert - so soll es der Beobachter sehen hier wird der Bildausschnitt definiert! - zum Rendern: i. d. R. Umrechnung globaler Koordinaten in Kamerakoordinaten ( Szene vor die Kamera drehen ) (bei Animationen d. h. animierter Kamera: dynamisch in jedem Frame!) - Bem.: virtuelle Kamera bestimmt auch Art der Projektion 3-5

6 3.2 Koordinatensysteme view coordinate system, view plane coordinate system, 2D - durch die Projektion (Kameratransformation) werden 3D-Koordinaten 2D-Koordinaten in der Bildebene zugeordnet - Koordinatensystem in der zweidimensionalen Bildebene nach der Projektion - ein Window definiert ein Sichtfenster in der Bildebene display coordinate system, device coordinate system, 2D - definiert das Koordinatensystem des Gerätes - ein Viewport definiert einen Bereich, in dem der Inhalt eines Windows dargestellt werden soll ( Windowgröße, -position ) - Window-Viewport-Transformationen sind 2D-2D 3-6

7 3.2 Koordinatensysteme Überblick / Zusammenspiel: Lokale Koordinatensysteme Objekt A Objekt B Weltkoordinaten Objekt-, Licht- und Kamerapositionen und -orientierungen Displaykoordinaten (Viewport-Koordinaten, in Pixel) Objekttransformationen Kameratransformation View-to-Display- Transformation, auch Window- Viewport- Transformation (Viewport, Windowgröße, Windowposition) Viewkoordinaten (Window-Koordinaten)

8 3.2 Koordinatensysteme Bemerkungen: 3D-Koordinatensysteme Wir verwenden (bis auf Widerruf) orthonormierte kartesische Koordinatensysteme! Wiederholung: orthonormiert: orthogonal, d. h. Basisvektoren paarweise senkrecht + Basisvektoren normiert (Länge 1) kartesisch: orthogonal + Basisvektoren gleiche Länge + Basisvektoren bilden Rechtssystem 3-8

9 3.2 Koordinatensysteme Bemerkungen: 3D-Koordinatensysteme (cont.) Rechts-/Linkssystem? z Zeigefinger y Mittelfinger R Daumen x y z L x y x R z z x L y x z R y x y L z y z L x z x R y 3-9

10 3.3 Transformationen Bemerkung: Vorsicht vor Verwirrungen! Für Transformationen existieren mehrere äquivalente Sichtweisen! - Transformation der Punkte - Koordinatensystem bleibt fest - Punkt ändert Ort und damit Koordinaten im gleichen System - beteiligte Koordinatensysteme: 1 A 3-10

11 3.3 Transformationen Bemerkung: (cont.) - Transformation des Koordinatensystems - Koordinatensystem wird der inversen Transformation der Punkttransformation unterworfen Koordinatensystem bewegt sich! - Punkt bleibt fest, ändert allerdings Koordinaten, da in neuem System beschrieben B - beteiligte Koordinatensysteme: eigentlich nur 1 (aber: vorher, nachher) Transformation zwischen Koordinatensystemen 3-11

12 3.3 Transformationen Bemerkung: (cont.) - Transformation mittels Koordinatensystem - ein dem Punkt lokales Koordinatensystem wird mittels der Punkttransformation im globalen Koordinatensystem bewegt (lokales) Koordinatensystem bewegt sich! - anschließend wird Punkt (mit alten Koordinaten) in bewegtes lokales Koordinatensystem eingetragen Punkt ändert Ort! - beteiligte Koordinatensysteme: 2 hervorragend geeignet für Modellierung und Animation! C 3-12

13 Es geht los: Wir verwenden zunächst parallel die Sichtweisen Transformation der Punkte und Transformation zwischen Koordinatensystemen Gegeben: Koordinatensystem S (z. B. Objektsystem) durch S :(O ; x 1, x 2 ), sowie Koordinatensystem S (z. B. Weltsystem) durch S:(O; x 1, x 2 ) Wir transformieren S nach S, also ändern sich die Punktkoordinaten von Koordinaten im System S zu Koordinaten im System S. 3-13

14 Translation / Verschiebung Voraussetzung: beide (gerichteten) Koordinatenachsen sind jeweils zueinander parallel x 2 p 2 x 2 p 2 Punkt Es gilt für das System S : S ergibt sich aus S durch Verschiebung um -T t 2 P O T O t 1 B P p 1 p 1 S S x 1 x 1 T=(t 1,t 2 ) T sind die Koordinaten des Ursprung von System S in System S Es gilt für den Punkt: hat in S die Koordinaten P = (p 1,p 2 ) T hat in S die Koordinaten P = T + P = (t 1,t 2 ) T + (p 1,p 2 ) T 3-14

15 Translation / Verschiebung (cont.) A Es gilt für den Punkt: Punkt P wird um T verschoben, es entsteht neuer Punkt P mit P = T + P x 2 p 2 p 2 Punkt P P P T Punkt P Bei beiden Sichtweisen gilt: O p 1 p 1 x 1 Vektor-Matrix-Schreibweise: p 1 t 1 p 1 = + p 2 t 2 p 2 kurz: P = T+ P 3-15

16 Rotation / Drehung Drehung von S gegenüber S um Winkel ϕ um gemeinsamen Ursprung O=O Bem.: Drehung im math. positiven Sinn verläuft gegen den Uhrzeigersinn! Es gilt für das System S : S ergibt sich aus S durch Drehung um - ϕ x 2 p 2 x 2 P p 2 ϕ ϕ O=O p 1 L l S p 1 B x 1 S x 1 Geometrie: Es ist l/p 2 = sin und L / p cos 1 = ϕ also p L l p cos p sin 1 = = ϕ ϕ 1 2 analog p = p sinϕ + p cosϕ

17 x 2 Rotation / Drehung (cont.) p 1 P = p 2 p cosϕ p sinϕ 1 2 = p sinϕ + p cosϕ 1 2 cosϕ sin ϕ p 1 = sin ϕ cos ϕ p 2 = R P x 2 p 2 P p 2 O=O p 1 S p 1 x 1 ϕ S x 1 Vektor-Matrix-Schreibweise: P = R P mit der (orthogonalen) (Dreh-)Matrix: R cosϕ sin ϕ = sin ϕ cosϕ Spaltenvektoren bilden normiertes Orthogonalsystem, es ist det(r) =1, es ist A -1 = A T 3-17

18 Rotation / Drehung (cont.) x 2 A p 2 Punkt P In dieser Sichtweise Transformation der Punkte dreht die Matrix R(ϕ) Punkte um den Winkel ϕ in positiver Richtung in einem festen Koordinatensystem p 2 O l ϕ β l p 1 p 1 Punkt P S x

19 Rotation / Drehung (cont.) Bei der Rotation um einen beliebigen Punkt P1 müssen zusätzlich zwei Translationen gemacht werden: (1) Translation von P1 in den Ursprung (2) Rotation um den Ursprung (3) Rücktranslation von P1 in die ursprüngliche Position 3-19

20 Rotation / Drehung (cont.) Bemerkung: Die Matrixmultiplikation ist i. a. nicht kommutativ, d. h. A B B A Bei hintereinander geschalteten Rotationen muss also darauf geachtet werden, dass die Reihenfolge der Matrizen der der Rotationen entspricht. Diese Aussage gilt grundsätzlich für jede Art zusammengesetzter Transformationen! 3-20

21 Scaling / Skalierung / Größenveränderung Soll das System S vergrößert oder verkleinert werden, so muss eine Skalierung durchgeführt werden: p = s p p = s p Vektor-Matrix-Schreibweise: P = S P mit der Skalierungsmatrix: s 0 1 S = 0 s 2 Vorsicht! Skalierungen nur sehr sehr sparsam und bedacht einsetzen! können Orthonormalität, Orthogonalität, kartesisches System, Rechtssystem, Normalenlängen und Normalen ZERSTÖREN! 3-21

22 Homogene Koordinaten - entstammen projektiver Geometrie - unsere Motivation: Hintereinanderschaltung von Rotationen, Translationen und Skalierungen führt auf Zusammenhänge wie z. B. P = R S (T+ R P) Problem: - bei der Hintereinanderausführung mehrerer Transformationen stört die Addition von Translationen - heutige Computergrafikhardware unterstützt aber (zusammengesetzte) Matrixmultiplikationen, wie z. B. P = M K M M M P n

23 Homogene Koordinaten (cont.) einheitliche Matrixdarstellung aller Transformationen durch Übergang auf die nächst höhere Dimension Das Tripel (x, y, w) T (w 0) stellt die homogenen Koordinaten des Punktes (x/w, y/w) T IR 2 dar. Da es unendlich viele solcher Darstellungen des selben Punktes gibt, verwendet man i. d. R. die sogenannte Standarddarstellung mit w=1. Also besitzt ein Punkt (x, y) T IR 2 z. B. die homogenen Koordinaten (x, y, 1) T. Bem.: Für Punkte im IR 3 gilt analoges. 3-23

24 Homogene Koordinaten (cont.) Dies erlaubt nun eine neue, einheitliche Darstellung unserer Transformationen: - Translation eines Punktes (x,y) T um den Vektor (t 1,t 2 ) T : 1 0 t 1 x 0 1 t y x+ t 1 x = y t y + 2 = 1 1 T(t,t )

25 Homogene Koordinaten (cont.) - Rotation eines Punktes (x,y) T um den Winkel ϕ: cosϕ sin ϕ 0 x sin ϕ cosϕ 0 y R( ϕ) x cosϕ y sinϕ x = x sinϕ+ y cosϕ = y Skalierung eines Punktes (x,y)t mit den Faktoren s 1 und s 2 : s x 0 s 0 y S(s 1,s 2) s x 1 x = s y y 2 =

26 Homogene Koordinaten (cont.) - Rotation eines Punktes (x,y) T um einen Punkt P 1 =(P 1x, P 1y ) T um den Winkel ϕ: 1 0 P cosϕ sin ϕ P 1x 1x 0 1 P sin ϕ cosϕ P 1y 1y x y 1 x = y 1 = T(P,P ) R( ϕ) T( P, P ) P kurz: P 1x 1y 1x 1y 3-26

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