Lehrstuhl für Statistik und empirische Wirtschaftsforschung Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Prüfung im Fach Ökonometrie im WS 2011/12 Lösungsskizze

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1 Lehrstuhl für Statistik und empirische irtschaftsforschung Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Prüfung im ach Ökonometrie im S 20/2 Lösungsskizze

2 Aufgabe (.5 Punkte) Sie verfügen über einen Datensatz, der Informationen zu den jährlichen individuellen Gesundheitsausgaben und dem sozio-ökonomischen Hintergrund von Individuen enthält. Sie stellen folgendes Modell der logarithmierten jährlichen Gesundheitsausgaben auf: lny i = β 0 + β private i + β 2 totchr i + β 3 f emale i + ε i Die Ergebnisse der KQ-Schätzung sind in Tabelle?? abgebildet. Tabelle : Beschreibung der Variablen ln_y private totchr female Jährliche Gesundheitsausgaben in US-Dollar (logarithmiert) Private Krankenversicherung (privat=, nicht-privat=0) Anzahl der chronischen Erkrankungen rau (rau=, Mann=0) Tabelle 2: Regressionsergebnisse Source SS df MS Number of obs = ( 3, 295) = Model? Prob > = Residual? R-squared = Adj R-squared = 0.9 Total Root MSE =.2300 ln_y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] private totchr female _cons Interpretieren Sie statistisch und inhaltlich den Zusammenhang zwischen privater Krankenversicherung (private) und den jährlichen Gesundheitsausgaben. (.5 Punkte) Inhaltlich: Personen mit einer privaten Krankenversicherung haben im Mittel ceteris paribus ca. 24.2% höhere Ausgaben (genau: 27.38%) im Vergleich zu Personen ohne private Krankenversicherung. Statistisch: der Koeffizient ist signifikant am % Signifikanzniveau..2 Berechnen Sie die Summe der quadrierten erklärten Abweichungen, die Summe der quadrierten nicht-erklärten Abweichungen, sowie die geschätzte Varianz des Störterms. (4 Punkte) Summe der quadrierten erklärten Abweichungen: = 060. Alternativ: (ŷ i y) 2 = R 2 (y i y) 2 = = Summe der quadrierten nicht-erklärten Abweichungen: 2

3 = Alternativ: (y i ŷ i ) 2 = (y i y) 2 (ŷ i y) 2 = = geschätzte Varianz des Störterms: s 2 = (y i ŷ i ) 2 N K =.5.3 Nennen Sie zwei Änderungen der Schätzergebnisse, wenn Sie anstatt der Dummy-Variable female die Dummy- Variable male (= falls Mann, 0 sonst) verwenden. Hinweis: Es ist keine Berechnung notwendig. ( Punkt) () Das Vorzeichen des Koeffizienten der Dummy-Variable dreht sich. (2) Die Konstante der Regression ändert sich. (jeweils 0.5 Punkte).4 Überprüfen Sie für das Modell, ob sich die Koeffizienten der Variablen totchr und female für privat bzw. nicht-privat versicherte Personen unterscheiden. ühren Sie einen geeigneten Test durch. Geben Sie Nullund Alternativhypothesen, Teststatistik (inkl. Schätzgleichung des unrestringierten Modells), kritischen ert und Testentscheidung am 5% Signifikanzniveau an. Hinweis: Das Bestimmtheitsmaß des unrestringierten Modells hat den ert R 2 = (5 Punkte) Unrestringiertes Modell aufstellen: lny = β 0 + β private + β 2 totchr + β 3 f emale + β 4 totchr private + β 5 f emale private+µ. Nullhypothese: H 0 : β 4 = β 5 = 0; H : β 4 0 und/oder β 5 0 Teststatistik: f = (R2 R2 0 )/J ( R 2 )/(N K) J,N K Kritischer ert: krit J,N K;0,05 = krit 2,2949;0,05 = 3.00 Berechnung: f =(( )/2)/(( 0.932)/2949)= Entscheidung: Die Nullhypothese, dass sich die Koeffizienten unterscheiden, kann nicht verworfen werden. Aufgabe 2 (3.5 Punkte) Mit Zeitreihendaten wird der durchschnittliche tägliche Umsatz in einer Cafeteria in Abhängigkeit von erklärenden Merkmalen geschätzt. Die Cafeteria ist von Montag bis reitag geöffnet. Tabelle?? zeigt die deskriptiven Statistiken und eine Beschreibung der Variablen. Die Regressionsergebnisse sind in Tabelle?? ausgewiesen. Tabelle 3: Deskriptive Statistiken Variable Mittelwert Std. Abw. Min. Max. Beschreibung sales täglicher Umsatz in US-Dollar Tue =, falls Dienstag, 0 sonst. ed =, falls Mittwoch, 0 sonst. Thu =, falls Donnerstag, 0 sonst. ri =, falls reitag, 0 sonst. temp Temperatur in ahrenheit 3

4 Tabelle 4: Regressionsergebnisse Source SS df MS Number of obs = ( 5, 34) = 2.84 Model Prob > = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = sales Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Tue ed Thu ri temp _cons Interpretieren Sie den Koeffizienten der Variable ri inhaltlich und statistisch. (.5 Punkte) Inhaltlich: reitags ist der Umsatz im Mittel ceteris paribus um 42.5 US-Dollar geringer als montags. Statistisch: Der Koeffizient ist am %-Signifikanzniveau statistisch signifikant. 2.2 Erklären Sie kurz verbal, was inhaltlich unter positiver Autokorrelation zu verstehen ist. Hinweis: Es ist keine formale Darstellung notwendig. ( Punkt) Positive Autokorrelation bedeutet, dass nach einem positiven (negativen) Störterm tendenziell wieder ein positiver (negativer) Störterm folgt. 2.3 Erläutern Sie allgemein die kritischen erte und die möglichen Testentscheidungen beim Durbin-atson- Test auf positive Autokorrelation. (4 Punkte) Da es keine allgemein gültigen kritischen erte gibt (diese hängen von den Ausprägungen der exogenen Variablen ab), werden nur untere und obere Grenzen, d L bzw. d U, für den kritischen ert angeben, die vom Stichprobenumfang T und der Anzahl der Variablen K abhängen. Es ergeben sich drei Entscheidungsmöglichkeiten: (a) dw<d L : H 0 : ρ=0 ablehnen und H A : ρ>0 akzeptieren. (b) dw>d U : H 0 : ρ=0 kann nicht verworfen werden. (c) d L < dw<d U : keine Aussage möglich. 2.4 ühren Sie einen Durbin-atson-Test auf positive Autokorrelation durch. Geben Sie Null- und Alternativhypothesen, Entscheidungsregel mit kritischen erten und Testergebnis an. Hinweis: Der empirische ert der Teststatistik beträgt dw=.60. (4 Punkte) Hypothesen: H0: ρ 0 gegen H: ρ>0 4

5 Teststatistik: dw = T (e t e t ) 2 t=2 T et 2 t= 2 2ˆρ Entscheidungsregel: Die kritischen erte für K = 5 Steigungsparameter und T = 40 Beobachtungen lauten am 5%-Signifikanzniveau: dl =.23 und du =.79. Entscheidung: Da dw=.60 zwischen d L und d U liegt, ist die Entscheidung indeterminiert. 2.5 ie unterscheiden sich der Moving-Average-Prozess ε t = ν t + ν t und der autoregressive Prozess erster Ordnung ε t = ρε t +ν t in Bezug auf Beobachtungen, die mehr als eine Periode auseinanderliegen? Hinweis: ür v t gelten die Gauß-Markov-Annahmen. (2 Punkte) Die Korrelation der Störterme verschiedener Beobachtungen wird im all des AR() niemals null, auch wenn die Beobachtungen zeitlich weit auseinanderliegen, während sie beim MA() für Beobachtungen, die mehr als eine Periode auseinanderliegen, null ist. 2.6 Nennen Sie zwei mögliche Ursachen von Autokorrelation. ( Punkt) Zum Beispiel: ehlspezifikation der funktionalen orm ehlspezifikation der Dynamik Auslassen relevanter Variablen (die einen Zeittrend aufweisen) Aufgabe 3 (6 Punkte) Der Zusammenhang zwischen Job-Zufriedenheit und gewünschter Arbeitszeit wird mit einem binären Logit- Modell und einer unabhängig gezogenen Stichprobe von N = 732 Individuen geschätzt. Tabelle?? enthält die deskriptiven Statistiken und eine Beschreibung der Variablen. Die Regressionsergebnisse sind in Tabelle?? ausgewiesen. Tabelle 5: Deskriptive Statistiken Variable Mittelwert Std. Abw. Min. Max. Beschreibung jobsat =, falls Person mit ihrem Job zufrieden ist, =0 sonst. age Alter in Jahren mismatch =, falls gewünschte von tatsächlicher Arbeitszeit abweicht, =0 sonst. 5

6 Tabelle 6: Regressionsergebnisse für binäres Logit-Modell Logistic regression Number of obs = 732 LR chi2(2) =? Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = jobsat Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] age mismatch _cons Erläutern Sie den folgenden Ausdruck, der der Schätzung des Modells zugrunde liegt. Erklären Sie dabei die Komponenten A, B und C. (3 Punkte) L(β) = }{{} A N i= }{{} B P(y i = x) y i P(y i = 0 x) y i } {{ } C A: Der Ausdruck bezeichnet die Likelihood-unktion. B: Da Unabhängigkeit vorliegt, berechnet sich die Likelihood (=ahrscheinlichkeit für die realisierte Stichprobe) als Produkt der einzelnen ahrscheinlichkeiten (individuelle Likelihood-Beiträge). C: Der aktor P(y i = x) bezeichnet den Likelihood-Beitrag für Individuen, die mit ihrem Job zufrieden sind (y i = ), der aktor P(y i = 0 x) ist der Likelihood-Beitrag für Individuen, die nicht mit ihrem Job zufrieden sind (y i = 0). 3.2 Bestimmen und interpretieren Sie den marginalen Effekt des Alters. Unterstellen Sie Stichprobenmittelwerte der erklärenden Variablen. (4 Punkte) Linearer Prediktor am Mittelwert: Marginaler Effekt des Alters: E(y i x) age i = x ˆβ= = 2.77 exp(x ˆβ) ˆβ (+exp(x 2 = ˆβ)) 2 exp( 2.77) (+exp( 2.77)) 2( 0.044)= ( 0.044)= Mit jedem weiteren Lebensjahr sinkt die ahrscheinlichkeit, dass ein Individuum mit seinem Job zufrieden ist, im Mittel ceteris paribus um 0.2 Prozentpunkte. 3.3 Berechnen und interpretieren Sie die ahrscheinlichkeit, dass eine Person mit ihrem Job zufrieden ist, wenn die gewünschte und tatsächliche Arbeitszeit übereinstimmen. Unterstellen Sie ein Alter von 30 Jahren. Hinweis: Es gilt, dass P(y i = x i )=(x i β)= exp{x iβ} =. (3 Punkte) +exp{x iβ} +exp{ x iβ} 6

7 P(y= mismatch=0,age=30)=( ) = (.593) = +exp{ (.593)} = 0.68 Die ahrscheinlichkeit, dass eine durch die angenommenen Merkmalsausprägungen charakterisierte Person zufrieden mit ihrem Job ist, beträgt ca. 7%. 3.4 Beurteilen Sie die Signifikanz des Modells anhand eines Likelihood-Ratio-Tests am % Niveau. Geben Sie Null- und Alternativhypothesen, Entscheidungsregel mit kritischem ert und Testergebnis an. Hinweis: Ein Modell, das nur mit einer Konstanten geschätzt wurde, liefert einen ert der Log-Likelihood-unktion von (4 Punkte) Hypothesen: H0: alle Steigungsparameter = 0 gegen H: nicht H0 Teststatistik: ξ LR = 2[ln( θ) ln( ˆθ)] χ 2 J Entscheidungsregel : H0 verwerfen, falls ξ LR > χ 2 J=2;α=0.0 = 9.2. Berechnung: ξ LR = 2[ ( 72.24)]= 5.6 Entscheidung: H0 wird verworfen. Die beiden Variablen age und mismatch enthalten Informationen zur Erklärung der Job-Zufriedenheit. 3.5 Benennen und erläutern Sie knapp die Vorgehensweise bei einem asymptotisch äquivalenten Test, mit dem man die Signifikanz des Modells (d.h. die Hypothese aus Aufgabe??) ebenfalls überprüfen kann. Hinweis: Sie müssen den Test nicht durchführen. (2 Punkte) Die Hypothese kann mit einem ald-test überprüft werden. Es wird überprüft, ob die Schätzergebnisse des unrestringierten Modells in Tabelle?? die Restriktion β age = β mismatch = 0 erfüllen. Alternativ: Lagrange-Multiplier-Test Aufgabe 4 (9 Punkte) 4. ie lautet die formale Definition der Unverzerrtheit? ( Punkt) b ist unverzerrt/erwartungstreu, falls E[b] = β oder E[b] β = Leiten Sie die Unverzerrtheit des KQ-Schätzers in Matrizenschreibweise her. Machen Sie kenntlich, an welcher Stelle der Herleitung welche Annahme (vgl. ormelsammlung) verwendet wird. (3 Punkte) { }} { E[b] = E[(X X) X y]=e[(x X) X Xβ+(X X) X ǫ]=e[β+(x X)X ǫ]=β+ E[(X X) X ] E[ǫ] =β An der Stelle wird Annahme A2 (Unabhängigkeit von X und ǫ) benötigt. An der Stelle wird unterstellt, dass A: E[ǫ] = 0 gilt. (je Punkt). 7

8 4.3 as ändert sich bei der Lösung von Aufgabe??, wenn X deterministisch ist. (2 Punkte) Bei einer deterministischen X-Matrix wird Annahme A2 nicht benötigt, sodass E[b] = β+(x X) X E[ǫ]=β. 4.4 Sei Var[ǫ]= [ ] a a 2 eine 2 2 Matrix. elche Einträge a a 2 a i j in Var[ǫ] nehmen gleiche erte an, falls 22 (a) die Gauß-Markov-Annahmen gelten, (b) Heteroskedastizität vorliegt, (c) Heteroskedastizität und Autokorrelation vorliegen, (d) die ε i durch einen AR()-Prozess erzeugt wurden? (4 Punkte) alls... die Gauß-Markov-Annahmen erfüllt sind, ist a = a 22 und a 2 = a 2. Heteroskedastizität vorliegt, ist a 2 = a 2. Heteroskedastizität und Autokorrelation vorliegen, ist a 2 = a 2. die ε i durch einen AR()-Prozess erzeugt wurden, ist a = a 22 und a 2 = a Ihnen liegen folgende Daten vor: i y i x i x i [ Sie schätzen das Modell y i = β x i + β 2 x i2 + ε i. Berechnen Sie b mittels KQ-Verfahren. Hinweis:(X X) = 3 ] 0. (4 Punkte) 0 2 [ 3 ][ ] b = (X X) X 0 y = 2 [ 3 = wenn tatsächlich ausgerechnet wurde ] 2 3 = 4 [ 3 ] den letzten Punkt nur geben, 4.6 Berechnen Sie Var[b] unter Angabe des Rechenwegs. Unterstellen Sie hierbei, [ ] dass Annahmen A bis A4 3 erfüllt sind. Erläutern Sie kurz Ihr Ergebnis. Hinweis: Verwenden Sie b =, falls Sie die vorherige Teilaufgabe nicht gelöst haben. (5 Punkte) 8

9 Unter A-A4 ist Var[b]=s 2 (X X). Mit N K= folgt s 2 = N K e2 i = e2 i = (y i 3 x i2 ) 2 = 0. Somit ist Var[b]=0. Var[b] = 0, da y perfekt vorhergesagt wird, d.h. y = Xb. Aufgabe 5: ahr-alsch ragen (30 Punkte) ahr oder falsch? Tragen Sie für jede der folgenden Aussagen ein,,w für wahr oder ein,,f für falsch ein. ür jede richtige Antwort gibt es 0,75 Punkte, für jede falsche Antwort werden 0,75 Punkte abgezogen. Die Gesamtpunktzahl kann nicht negativ werden. Ein omitted variable bias liegt vor, wenn eine ausgelassene erklärende Variable mit der abhängigen Variablen, nicht jedoch mit einer anderen erklärenden Variable korreliert ist. Die Informationsmatrix wird für die Schätzung der Varianz-Kovarianz-Matrix des ML-Schätzers verwendet. Zur Durchführung eines Lagrange-Multiplier-Tests ist die zweimalige Schätzung des Modells (d.h. mit bzw. ohne Restriktion) notwendig. Die Parameter eines GLS-Modells müssen wie die Parameter des Original-Modells interpretiert werden. Mit steigender Zahl von reiheitsgraden konvergiert die t-verteilung zur -Verteilung. Quadratische Matrizen mit vollem Spaltenrang sind invertierbar. Die Normalverteilung ist eine einparametrige Verteilungsfunktion. Das Produkt aus einem Spaltenvektor und einem Zeilenvektor ist ein Skalar. Bei negativer Autokorrelation ist der Durbin-atson Test nicht durchführbar. Ein Parameterschätzer ist effizient, wenn er gegen seinen wahren ert konvergiert. Enthält das lineare Regressionsmodell eine verzögerte endogene Variable (y t ), dann kann für den Test auf Autokorrelation erster Ordnung des Störterms der Breusch-Godfrey-Test verwendet werden. Der verallgemeinerte Kleinstquadrateschätzer kann als gewichteter KQ Schätzer interpretiert werden. Maximum-Likelihood-Schätzer benötigen eine Annahme bezüglich der Verteilung der abhängigen Variable. Autokorrelation führt zu Inkonsistenz und Verzerrheit des KQ-Schätzers. Die geschätzten Parameter in Logit- bzw. Probit-Modellen haben typischerweise die gleiche Größenordnung, da die beiden Verteilungsfunktionen sehr ähnlich sind. Die Likelihood-unktion wird auch als Score-Vektor bezeichnet. Im linearen Modell gibt die Regressionskonstante den Mittelwert der abhängigen Variable an. enn der p-ert größer ist als das Signifikanzniveau eines Tests, wird die Nullhypothese verworfen. Bei einem gegebenen Schätzverfahren und Modell können sich für unterschiedliche Stichproben verschiedene Schätzwerte ergeben. Im Logit-Modell mit Konstante ist die Summe der vorhergesagten ahrscheinlichkeiten gleich dem Stichprobenumfang, d.h. p i = N. i Die vorhergesagten ahrscheinlichkeiten eines Probit-Modells liegen immer im Intervall[0;]. Der KQ-Schätzer erzeugt für Steigungsparameter aber nicht für die Regressionskonstante Zufallsvariablen. Der ML-Schätzer für die Varianz des Störterms im linearen Modell ist verzerrt. Der Score-Vektor kann zur Approximation der Varianz-Kovarianz-Matrix der ML-Schätzer verwendet werden. 9

10 Die Störterme im GLS transformierten Modell haben einen Erwartungswert von 0. Die Prais-insten-Schätzer müssen vor der Interpretation transformiert werden. Die Annahme ε N(0,σ 2 I) schließt sowohl Heteroskedastie als auch Autokorrelation aus. ür Matrizen gilt allgemein:(a ) = A Unterschiede in Koeffizienten für verschiedene Gruppen lassen sich mittels Interaktionstermen überprüfen. Multikollinearitätsprobleme können durch Vergrößerung der Stichprobe reduziert werden. enn statt eines Cochrane-Orcutt-Schätzers ein Prais-insten-Schätzer verwendet wird, steigt die Effizienz der Schätzung. enn keine analytische Lösung für die unbekannten Parameter existiert, kann der ML-Schätzer nicht bestimmt werden. Der Prais-insten-Schätzer verwendet transformierte Daten ohne Berücksichtigung der ersten Beobachtung. Bei Autokorrelation sind die mit dem Cochrane-Orcutt-Schätzer ausgewiesenen p-erte ungültig. Die statistische Signifikanz eines Steigungsparameters lässt sich mittels eines -Tests testen. Der Durbin-atson Test verallgemeinert den hite Test. Der geschätzte marginale Effekt einer erklärenden Variablen kann je nach Spezifikation des Modells unterschiedlich ausfallen. Mithilfe eines linearen Regressionsmodells lassen sich Elastizitäten schätzen. Im all eines Moving-Average-Prozesses der orm ε t = ν t + ν t sind die Störterme homoskedastisch, wenn v t die Gauß-Markov-Annahmen erfüllt. Bei perfekter Multikollinearität ist die Matrix X X nicht invertierbar. 0