Mathematik für Physiker I

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Artur Hofer
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1 Mahemaik für Physiker I Themenübersich Michael Junk Raum G 47

2 Beispiel Bewegung 4 Verfolger Esefania Jeder beweg sich mi feser Geschwindigkei immer in Richung zum Vorgänger Dieer B. Paparaz Verona Auf die Pläze

3 Beispiel Bewegung ferig Tick

4 Beispiel Bewegung los Tick Tack

5 Beispiel Bewegung los Tick Tack Tick

6 Beispiel Bewegung los Tick Tack Tick Tack

7 Beispiel Bewegung Mahemaische Beschreibung der Bewegung? Tick Tack Tick Tack

8 Was is Bewegung? Frage: Was is Bewegung? Eine zeiliche Änderung on Posiionen Frage: Was is Zei? philosophische Frage

9 Was is Bewegung? Zei Frage: Wie beschreib man Zei? Definiion einer Zeieinhei e T Feslegung eines Referenzzeipunks T 0 e T T0.5 T Ein beliebiger Zeipunk T wird beschrieben durch die Anzahl T 0 der Zeieinheien zwischen und negai, wenn or T T T0 Sandardmodell: beliebige reelle Brucheile der Zeieinhei möglich: R

10 Was is Bewegung? Zei Frage: Wie beschreib man Zei? Zei wird durch, T,R 0 e T beschrieben e T T 0 R is ein ypisches Beispiel eines angeordneen Körpers Ordnungsrelaion s < bedeue s is früher als

11 Was is Bewegung? Raum Frage: Wie beschreib man Posiionen? Definiion einer Längeneinhei e L Feslegung einer Referenzposiion Feslegung on Referenzrichungen R O R R,, R 3 e L O R

12 Was is Bewegung? Raum Frage: Wie beschreib man Posiionen? R P d O d P Eine Posiion is beschrieben durch die Anzahl 3 der Längeneinheien, um die ein Punk ausgehend on der Selle nacheinander enlang der RichungenR, R, R3 erschoben werden muss, um an der Posiion anzukommen. P R d d,, d O

13 Was is Bewegung? Raum Frage: Wie beschreib man Posiionen? Sandardmodell: beliebige reelle Brucheile der Längeneinhei sind möglich zusammengefass: d d,, d 3 R karesisches Mengenproduk d R R d, R Menge aller Paare mi Komponenen aus R 3 d, d d R R R R, 3 Menge aller Tripel mi Komponenen aus R Paare/Tripel beschreiben Verschiebungen und indirek Posiionen

14 Arbeien mi Verschiebungen Koordinaensyseme O, R R, O,R R, R3,e L,,e L bzw. sind Koordinaensyseme R Verschiebung, P O d R d allgemeines Koordinaensysem

15 Arbeien mi Verschiebungen Koordinaensyseme O, R R, O,R R, R3,e L,,e L bzw. sind Koordinaensyseme R Verschiebung, P d O d R karesisches Koordinaensysem

16 Arbeien mi Verschiebungen Koordinaensyseme Achung: In unerschiedlichen Koordinaensysemen seh das gleiche Paar, für unerschiedliche Verschiebungen

17 Arbeien mi Verschiebungen Länge Voreil des karesischen Koordinaensysems: Länge der Verschiebung leich zu berechnen! R Verschiebung a,b c b a + b c O a R a, b a + b a,b Noaion: Länge oder Norm on

18 Arbeien mi Verschiebungen Länge Voreil des karesischen Koordinaensysems: Länge der Verschiebung leich zu berechnen! Verschiebung,, 3 R k k + 3 l l k R O R, + +, Noaion: 3 3

19 Arbeien mi Verschiebungen Wirkung auf Punke Verschiebung a,b b b b a b a a a b a

20 Arbeien mi Verschiebungen Hinereinanderausführung R,, O P 3 3, Hinereinanderausführung, + y y + y + Schreibweise: :,, y Seie mi : definier durch Seie mi R Summe on Zahlen

21 Arbeien mi Verschiebungen Hinereinanderausführung Kommuaigesez:, + y, y y, y +, Wieso?, y, y + y + y +, so war s definier y + y +, bei Zahlen darf man y, y +, so war s definier,

22 Arbeien mi Verschiebungen Hinereinanderausführung Kommuaigesez:, + y, y y, y +, Assoziaigesez:, + y, y + z, z, + y, y + z z Nullerschiebung:, + 0,0,, Rückerschiebung: +, 0,0, wird auch mi, bezeichne, y y kürz, + y y,, ab

23 Arbeien mi Verschiebungen Mehrfacherschiebung R,,, 6,3 3, P skalare Muliplikaion O Schreibweise: : a a a,, R a -fache Verschiebung Produk on Zahlen

24 Arbeien mi Verschiebungen Mehrfacherschiebung Assoziaigesez: a b, a b, Disribuigesez: a + b, a, + b, Disribuigesez: a, + y, y a, + a y y neurales Elemen:,,, Beispiel: was is,? 4, is die Verschiebung, die 4 mal ausgeführ, 4 4, 4,,, 4 4 ergib

25 Arbeien mi Verschiebungen Vekorräume R,+, R 3,+, bzw. sind ypische Vekorräume Elemene on Vekorräumen heißen Vekoren Ebene/räumliche Verschiebungen sind also spezielle Vekoren Die Verschiebung die O in P überführ heiß auch Orsekor zu P Posiionen lassen sich durch Orsekoren beschreiben

26 Was is Bewegung? jez aber Frage: Wie beschreib man Bewegung? R 0 jedem Zeipunk [ 0,T ] is genau ein Orsekor, zugeordne 3 O R

27 Was is Bewegung? jez aber Frage: Wie beschreib man Bewegung? Durch Funkionen. Definiionsmenge Weremenge Funkionsname : [ 0, T ] a R Argumen Funkionswer

28 Was is Bewegung? Verfolger Frage: Wie laue die Funkion im Beispiel? 4 Verfolger Esefania Jeder beweg sich mi feser Geschwindigkei w immer in Richung zum Vorgänger Dieer B. Paparaz Verona

29 Was is Bewegung? Verfolger Weremenge? 3 4,,, R R R R R 4 Verfolgungszusand wird durch 8 Zahlen beschrieben Das Problem is 8-dimensional R 4 3 O R

30 Was is Bewegung? Verfolger Definiionsmenge? [ 0, T ] { R 0 T } mi der Eigenschaf Inerall Die Menge aller e T T 0 0 T R

31 Was is Bewegung? Verfolger Definiionsmenge? oder bei fesem Zeiak > 0 T { 0,,, K n T }, e T T 0 0 T R

32 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? Schauen wir uns zwei Verfolger an u λ u Idee: der roe Verfolger erschieb λ u λ > sich in der Zei um mi 0 O

33 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? Schauen wir uns zwei Verfolger an + u u u λ u Idee: der roe Verfolger erschieb λ u λ > sich in der Zei um mi 0 O

34 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? Schauen wir uns zwei Verfolger an λ u λ + λ u u λ u λ + u u u λ u Idee: der roe Verfolger erschieb sich in der Zei λ u um mi λ >0 O

35 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? Schauen wir uns zwei Verfolger an λ u w w λ u Idee: der roe Verfolger erschieb sich in der Zei λ u um mi 0 λ > u λ u O

36 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? + + w u u u λ u Idee: der roe Verfolger erschieb sich in der Zei λ u um mi 0 λ > O

37 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? + u w u u λ u Idee: der roe Verfolger erschieb sich in der Zei λ u um mi 0 λ > O

38 Was is Bewegung? Verfolger Funkionsorschrif? w u λ u Idee: der roe Verfolger erschieb sich in der Zei λ u um mi 0 λ > O

39 w Funkionsorschrif? Was is Bewegung? Verfolger 3 w 4 3,,, 3 w w w F 4 4 : R R F

40 Funkionsorschrif? Was is Bewegung? Verfolger,K 3,,, k k F bzw. k k k F orgegebene Sarposiionen F + + erser Schri zweier Schri F + + ypischer Fall einer rekursien Definiion

41 Was is Bewegung? Verfolger Erhöhung der Genauigkei durch feineren Zeiak 0 oder besser 00 oder besser 000 oder besser 0000 oder besser. ypischer Fall einer Zahlenfolge die gegen 0 sreb konergier

42 Was is Bewegung? Verfolger Erhöhung der Genauigkei Nullfolge 0 führ zu Folgen + on Differenzenquoienen bei Konergenz sprich man on Differenzialquoienen d d und nenn die Grenzfunkion differenzierbar

43 Erhöhung der Genauigkei Was is Bewegung? Verfolger Das Verfolgungsgesez wird zur Differenzialgleichung F d d Die Lösung erforder Die Lösung erforder k k L k i i k i i k k i i d F F τ τ Inegral

44 Themenübersich Es ergib sich das Mahemaikprogramm: Körper Q, R, C 3 Vekorräume R, R, R, K 3 Funkionen F D W 4 Folgen,,, L : 0, Differeniaion, Inegraion 4 d d

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