gegeben: G sei endliche Gruppe, jede Untergruppe von G sei ein Normalteiler zu zeigen: je zwei Elemente teilerfremder Ordnung kommutieren

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1 Stefan K. 4.Übungsblatt Algebra I Aufgabe 1 gegeben: G sei endliche Gruppe, jede Untergruppe von G sei ein Normalteiler von G zu zeigen: je zwei Elemente teilerfremder Ordnung kommutieren Beweis: Seien also a, b G mit ggt orda), ordb) ) = 1. Der Schnitt der von a und b erzeugten zyklischen Untergruppen a b ist ebenfalls eine Untergruppe von G, denn der Schnitt zweier Untergruppen ist ebenfalls eine Untergruppe. Es ist sogar a b eine Untergruppe sowohl von a als auch von b aus demselben Grund. Eine Folgerung aus dem Satz von Lagrange ist, daß die Ordnung einer Untergruppe einer Gruppe G ein Teiler der Gruppenordnung G ist. Es folgen a b a, a b b, und da die Ordnungen der von a und b erzeugten Untergruppen nach Voraussetzungen teilerfremd sind, ist a b = 1, es folgt a b = {e}. 1) Nach Voraussetzung sind a und b Normalteiler von G, daher haben wir und damit und wegen 1) ist aba 1 b, ba 1 b 1 a denn a 1 a ) aba 1 b 1 a b, aba 1 b 1 = e, ab = ba, und die beiden Elemente a und b kommutieren. Stefan K., Algebra I Blatt 4 Seite 1

2 Aufgabe 2 gesucht: Beschreibung der Bahnen der SO2) im R 2 Die spezielle orthogonale Gruppe SO2) ist die Gruppe aller 2 2-Matrizen A mit deta) = 1 2) und AA t = A t A = E. 3) Wegen 2) und 3) haben wir für SO2) eine Darstellung { ) } a b SO2) = : a, b R, a 2 + b 2 = 1 b a denn mit ist wegen 3) wegen 2) ist ) a b A = c d A 1 = A t, deta) = ad bc = 1, 4) a, b, c, d R) 5) wir haben als inverse Matrix A 1 = deta) ) ) ) 1 d b d b =, c a c a Koefizientenvergleich mit A t ergibt a = d, c = b, und wir erhalten 4). deta) = a 2 + b 2 = 1 Für die Operation der Matrix A SO3) wie in 4) auf einen Vektor x gilt ) ) ) a b x1 ax1 + bx Ax = = 2, b a x 2 bx 1 + ax 2 Stefan K., Algebra I Blatt 4 Seite 2

3 für die Länge eines Vektors x nach Anwendung der Operation Ax gilt damit Ax = ax 1 + bx 2 ) 2 + bx 1 + ax 2 ) 2 = a 2 x b 2 x ax 1 bx 2 + b 2 x a 2 x 2 2 2ax 1 bx 2 = a 2 + b 2 )x a 2 + b 2 )x 2 2 = x x 2 2 = x. Die gewöhnliche Operation der speziellen orthogonalen Gruppen läßt also Längen invariant, ebenso Winkel zwischen Vektoren. Die Operationen entsprechen insbesondere Drehungen im R 2, da die Determinante +1 ist. Wir haben also A SO2) : x R 2 : Ax = x, die Bahn eines x R 2 ist also eine Teilmenge der Sphäre des Kreises) S x = {y R 2 : y = x }. Sei umgekehrt ein y S x mit y = x gegeben, dann hat y den gleichen Abstand zum Nullpunkt 0 R 2 wie x, und kann daher durch eine Drehung im R 2 in x überführt werden, also durch eine Operation von SO2). D.h. S x ist eine Teilmenge der Bahn von x. Wir erhalten also, daß die Bahn eines Elementes x unter der Operation der SO2) gleich der Sphäre S x ist. R 2 wird in disjunkte Bahnen S x zerlegt, welche Sphären/Kreisen mit Radius x und Mittelpunkt 0 entsprechen. Insbesondere ist die Bahn des Punktes 0 R 2 gleich {0}, da A0 = 0 A SO2). Stefan K., Algebra I Blatt 4 Seite 3

4 Aufgabe 3 1) Bahnen der SO3) im R 3 Die spezielle orthogonale Gruppe SO3) ist die Gruppe aller 3 3- Matrizen A mit und deta) = 1 AA t = A t A = E. Die gewöhnliche Operation der speziellen orthogonalen Gruppen läßt Längen invariant, sie entsprechen Drehungen im R 3. Wir haben also A SO3) : x R 3 : Ax = x, die Bahn eines x R 3 ist also eine Teilmenge der Sphäre S x = {y R 3 : y = x }. Sei umgekehrt ein y S x mit y = x gegeben, dann hat y den gleichen Abstand zum Nullpunkt 0 R 3 wie x, und kann daher durch eine Drehung im R 3 in x überführt werden, also durch eine Operation von SO3). D.h. S x ist eine Teilmenge der Bahn von x. Wir erhalten also, daß die Bahn eines Elementes x unter der Operation der SO3) gleich der Sphäre S x ist. R 3 wird in disjunkte Bahnen S x zerlegt, welche Sphären mit Radius x und Mittelpunkt 0 entsprechen. Insbesondere ist die Bahn des Punktes 0 R 3 gleich {0}, da A0 = 0 A SO3). 2) Stabilisator des Basisvektors e 1 Der Stabilisator vom Basisvektor e 1 ist die Menge aller Rotationen aus SO3), welche diesen Vektor fest lassen. Daher sind dies die Drehungen um e 1 als Drehachse, damit alle Drehungen in der Ebene, welche durch e 2, e 3 aufgespannt wird. Formal: einer Rotation um die e 1 -Achse um den Winkel ϕ entspricht die Rotationsmatrix R e1,ϕ = 0 cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ Stefan K., Algebra I Blatt 4 Seite 4

5 damit haben wir SO3) e1 = {A SO3) : Ax = x} = {R e1,ϕ : ϕ R} = 0 cos ϕ sin ϕ : ϕ R 0 sin ϕ cos ϕ und mit der bekannten Darstellung der SO2): { ) } cos ϕ sin ϕ SO2) = : ϕ R sin ϕ cos ϕ erhalten wir SO3) e1 = SO2). 3) Fixpunkte unter der gesamten Gruppe Der einzige Punkt, welcher bei sämtlichen Drehungen invariant bleibt, ist der Nullpunkt. Aufgabe 4 1) zu zeigen: R, ) operiert auf R 2 mittels tx, y) =) t, x, y) ) tx, y ) t 6) Beweis: Wir haben nach der Voraussetzung eine Abbildung R, ) R 2 R 2. Nach 6) ist für beliebiges x, y) R 2 : ) 1, x, y) 1x, y ) = x, y). 7) 1 Weiterhin ist für beliebige t 1, t 2 R, ), x, y) R 2 t 1 t2 x, y) ) = t 1 t 2 x, y t 2 ) ) = t 1 t 2 x, y t 1 t 2 ) ) = t 1 t 2 )x, y). 8) Stefan K., Algebra I Blatt 4 Seite 5

6 Nach 7) und 8) operiert R, ) auf R 2 mittels 6). 2) gesucht: die Bahnen unter der Operation 6) Die Bahn eines Elements x, y) R 2 ist Wir haben die Bahnen: R x,y) = { tx, y/t) R 2 t R }. für x, y) = 0, 0): R 0,0) = {0, 0)}, 0 ist invariant bezüglich Multiplikation und Division. für x = 0, y 0: R 0,y) = { 0, y/t) R 2 t R } ; die y-achse ohne den Nullpunkt. Jeder Punkt 0, ỹ) der y-achse ohne 0, 0) taucht als Bildpunkt auf, für ein t = y/ỹ. für x 0, y = 0: R x,0) = { x, 0/t) R 2 t R } ; die x-achse ohne den Nullpunkt. Jeder Punkt x, 0) der x-achse ohne 0, 0) taucht als Bildpunkt auf, für ein t = x/x. für x 0, y 0: R x,y) = { x, y/t) R 2 t R } ; das sind die Hyperbeln definiert durch xỹ = xy, denn für jeden dieser Punkte x, ỹ) gilt x = tx, ỹ = y t mit t = ỹ y = x x 0, 9) für jedes t bleibt unter der Operation 6) das Produkt der xy konstant, d.h. das Produkt der Koordinaten des Ursprungsvektors ist gleich dem Produkt der Koordinaten des Bildvektors unter der Operation, also etwas anders geschrieben: R x,y) = { x, ỹ) R 2 xỹ = c, c R \ {0} }. Die Bildpunkte liegen auf diesen Hyperbeln, und jeder Punkt x, ỹ) dieser Hyperbeln ist auch ein Bild unter dieser Operation mit durch 9) definiertem t. Stefan K., Algebra I Blatt 4 Seite 6