R. Brinkmann Seite Aufgabe Die Gerade g verläuft durch die Punkte P 4 3,5 und P 2,5 1.

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1 R. Brinkmnn Seite Lösung linere Funktionen Teil IX en: A A A A Die Gerde g verläuft durch die Punkte P,5 und P,5. 5 Die Gerde h verläuft durch die Punkte P( 5,5 ) und P. Wie liegen die Gerden zueinnder? g(x):p ;P h(x):p 5 ;P y y g = = = = = = g(x) = x+ x x P : g( ) = + 0g = 0g = g(x) = x y y h(x) x P 5 : h(5) = 5+ 0h = 0h = h(x) = x+ 6 6 h = = = = = = = + 0h x 0 7 x 7 6 Die Gerden g(x) und h(x) sind prllel ber verschieden. Bestimmen Sie den Funktionsterm und den Wertebereich der lineren Funktion f(x), wenn gilt: ) f(0) 0 ; f() ; x 0 f( ) = 6 ; f() = 8 ; x ; = = > b) [ ] f(0) = 0 P 0 0 = 0 ; f() = P ) y y 0 0 = = = f(x) = x+ 0 x x 0 Wertemenge für x > 0: Wf = { y 0 < y < } 0g Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite von 7

2 R. Brinkmnn Seite A f( ) = 6 P 6 ;f() = 8 P 8 ;x ; b) [ ] y y 8 6 = = = f(x) = x+ 0 x x ( ) P( 8 ): f() = + 0 = 8 0 = f(x) = x 5 5 Wertemenge durch einsetzen der Intervllgrenzen f( ) = ( ) = 6 ; f() = = = 0, W = y 0,8 y 6 f { } A A Der Grph der lineren Funktion f(x) wird um LE nch links verschoben. Wie lutet die Gleichung f * (x) der verschobenen Gerden? x - Verschiebung nch links um LE bedeutet: x + 5 * 5 5 f(x) = x f (x) = ( x + ) = x + 5 f(x) = x D = A A Gegeben sind die Funktionen f(x) und g(x). Für welche x Werte gilt f(x) > g(x)? f(x) = x : g(x) = 0,5x + x f(x) = x : g(x) = 0,5x + x f(x) > g(x) x > 0,5x + + 0,5x,5x > +,5x > :,5 x >,6 Für x >,6 gilt f(x) > g(x), d.h f(x) verläuft oberhlb von g(x). A5 Gegeben ist eine Gerde g(x). Diese wird von einer Gerden h(x) geschnitten. Bestimmen Sie eine Gleichung von h(x) wenn gilt: ) Schnitt uf der x- Achse. b) Schnitt bei x = 5 g(x) = x + Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite von 7

3 R. Brinkmnn Seite A5 A5 A6 A6 ) g(x) = x + Nullstelle: g(x ) = x+ = 0 x = Gerde durch den Nullpunkt: f(x) = x * Verschoben um x = f ( x) = x sind lle Gerden durch P 0 Für z. B. = gilt: g(x) = x geht uch durch P 0 b) g(x) = x + Schnitt bei x = 5 Schnittpunkt: g(5) = 5 + = 7 P 5 7 Gerde durch den Nullpunkt: f(x) = x = = * = ( + ) ( ) = = + geht uch durch P( 5 7) Verschoben um x 5 und y 7 f x x 5 +7 sind lle Gerden durch P 5 7 Für z. B. gilt: g(x) x Eine Ursprungsgerde mit der Steigung = 0,5 wird so verschoben, dss sie die Gerde h mit der Gleichung h(x) =,5 ( x ) uf der x - Achse schneidet. Beschreiben Sie die Verschiebung und bestimmen Sie die Gleichung der verschobenen Gerden. f(x) = x Nullstelle von h(x) =,5 ( x ) ist x = 8 * f(x) wird um x = verschoben f ( x) = ( x ) = x Gegeben ist eine linere Funktion f(x). Die Gerde mit der Gleichung x = u schneidet den Grphen von f(x) in P und die x Achse in Q. Fertigen Sie eine Skizze n. ) Bestimmen Sie die Koordinten von P und Q, wenn f (x) = 0,75x + ist. b) Für welche Werte von u liegt P oberhlb der x Achse? c) P( u f(u) ) liegt im. Qudrnten. R ( 0 0), Q und P bilden die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Term für den Flächeninhlt A dieses Dreiecks. Bestimmen Sie u so, dss gilt A(u) = 0. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite von 7

4 R. Brinkmnn Seite y x=u f(x) x=u min P(u f(u)) A R(0 0) Q(u 0) x ) Q( u 0 ) Schnittpunkt von f(x) mit x = u : P( u f(u) ) f(u) = u + b) Bedingung: f(u) > 0 8 u + > 0 u > dfür liegt P oberhlb der x - Achse c) Dreiecksfläche: A = g h = u f(u) = u u u u + = + 8 A( u) = u + u 8 A ( u) = 0 u + u = 0 u + u 0 = 0 qudrtische Gleichung p u + u = 0 p = ;q= D = q = + = 9 p 56 6 u/ = ± D u = + = + = = u = = 0 A ( u) = 0 für u = oder für u = Bestimmen Sie die Gleichung der Prllelen und der Orthogonlen zur Gerden g durch den Punkt P. ) g:x y 0;P( 0 ) + = b) g(x) = x ; P c) g(x) =,5kx ; P ( 0) Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite von 7

5 R. Brinkmnn Seite A9 ) g: x+ y = 0 g(x) = x+ P( 0 ) 0 = Prllele zu g durch P: g ( x) = x + Orthogonle zu g durch P: Steigung von g : = = = g (x) = x + b) g(x) = x P ( ) Prllele zu g durch P: = = g (x) = x P : g() = + 0 = 0 = g(x) = x+ Orthogonle zu g durch P: Steigung von g : = = = g (x) = x + 0 P : g() = + 0 = 0 = g (x) = x+ c) g(x) = kx P ( 0) Prllele zu g durch P: = = k g (x) = kx + 0 P( 0 ): g () = k + 0 = 0 0 = k g (x) = kx+ k Orthogonle zu g durch P: Steigung von g : = = = g (x) = x + 0 k k k P 0 : g() = + 0 = 0 0 = g (x) = x k k k k Die Gerde g verläuft durch die Punkte P und P. Untersuchen Sie die Lge zur Gerden h und bestimmen Sie gegebenenflls den Schnittpunkt. P,5 ;P,5 h: x 6 y = 0 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite 5 von 7

6 R. Brinkmnn Seite A9 5 P ;P h: x 6 y 0 h(x) x = = 5 y y g = = = g(x) = x+ 0g x x P : g 0g 0g g(x) x = + = = = + Die Gerden g und h sind orthogonl, d g = = = ist. h 8 Schnittpunkte: g( xs) = h( xs) xs + = xs xs = ys = g( xs) = S 7 + = 7 A0. Zeigen Sie: Die Gerde g und die Gerde h sind orthogonl. g: y x = h: y x+ 6= 0 A0 g: y x = g(x) = x+ h : y x + 6 = 0 h(x) = x + Bedingung für Orthogonlität: g = g = = = = = = h q.e.d Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite 6 von 7

7 R. Brinkmnn Seite A Die Punkte A, B und C sind Eckpunkte eines Dreiecks. Für welche Werte von k > 0 ist ds Dreieck rechtwinklig? (Rechter Winkel liegt bei C). k k A k ; B k ; C 0 k A y h C g A B x k k A k ; B k ; C 0 k Bedingung: AC BC Steigung von AC: AC BC k k k k = = = 0 k k k Steigung von BC: k k k k = = = 0 k k k Für die Steigung zweier orthogonler Gerden g und h gilt: = = g g h h k k 7 = k = k k Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_09_e.doc :5 Seite 7 von 7