Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)
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- Etta Junge
- vor 6 Jahren
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1 Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym)
2 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten, in welchen die Vrible uch in einer höheren Potenz, lso in der dritten, vierten oder uch in einer noch höheren utritt. 6. Gnzrtionle Funtionen Eine Funtion : x (x) ; ID IR mit n n (x) x x... x x, n IN wobei n n 0 n n 0,,...,,, IR nennt mn eine gnzrtionle Funtion. Ist n 0, so ht die Funtion den Grd n. Den Grph einer gnzrtionlen Funtion vom Grd n nennt mn eine Prbel n-ter Ordnung. Bspe:.) (x) x Die Funtion ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes (linere Funtion), ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung (Gerde)..) (x) x x Die Funtion ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes (qudrtische Funtion), ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung (Prbel)..) (x) x 6x 7 Die Funtion ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes, ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung..) (x) x x 6x x 7 Die Funtion ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes, ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung. Bemerung: Jede Potenzuntion ist eine gnzrtionle Funtion. 6. Nullstellen gnzrtionler Funtionen Um den Verlu des Grphen einer gnzrtionlen Funtion zu bestimmen ist es wichtig dessen Schnittstellen mit der x-achse zu ennen. Deinition: (Nullstellen) Unter den Nullstellen der gnzrtionlen Funtion mit : x Lösungen der Gleichung (x) 0 (x) versteht mn die x mx t 0 Linere Gleichung x x bx c 0 Qudrtische Gleichung Aber wie bestimmt mn die Nullstellen einer gnzrtionlen Funtion vom Grd oder sogr vom Grd? W. Str; Beruliche Oberschule Freising
3 6 Gnzrtionle Funtionen 6.. Nullstellenbestimmung durch Ftorisieren Liegt der Funtionsterm in torisierter Form vor, so lssen sich die Nullstellen gnz einch blesen. Mn mcht hierbei von der Nullprodutregel Gebruch. Ein Produt ist Null, wenn mindestens einer seiner Ftoren den Wert Null ht. Bspe.: Geben Sie die Nullstellen olgender Funtionen n! x x x.).) x x x x.) x x x.) x x x x x x 5.) Berechne zunächst die Nullstellen der Funtion! 8 (x) x x 0 x Somit lässt sich die Funtion olgendermßen schreiben: x x x Zur Kontrolle: x x x x x x 8 x x 6.) x x x 6x Augben:. Ftorisieren Sie olgende Funtionsterme und geben Sie die Nullstellen n. x x x x x x x ) b) x x x x x c) x x x x x x d) x x x x x x x x x e) x x x ) x x x g) x x x h) i) x x 6x 9 x x x x j) 9 x x x ) Eine gnzrtionle Funtion dritten Grdes ht die Nullstellen ; und. Wie lutet ein möglicher Funtionsterm? (x) x x x x x x x x W. Str; Beruliche Oberschule Freising
4 6 Gnzrtionle Funtionen Eine qudrtische Funtion ht nur die Nullstelle. Wie lutet ein möglicher Funtionsterm? (x) x Eine gnzrtionle Funtion dritten Grdes ht nur die Nullstelle. Wie lutet ein möglicher Funtionsterm? (x) x (x) x x 6.. Mehrche Nullstellen Ist eine gnzrtionle Funtion vollständig torisiert, so nennt mn den Exponenten IN des Ftors Die Vielchheit sgt us, wie ot der Wert vorommt. Ist lso (x) x x x 5 x x N die Vielchheit der Nullstelle x N. x ls Lösung der Gleichung N x 0, so ist x eine vierche, x eine dreiche und x 5 eine einche Nullstelle von (x). Beispiele: Gib von olgenden Funtionen die Nullstellen und deren Vielchheiten n!.) x x x x 7.) x x x.) x x x x.) x x x 5.) x x x x 6.) x x x x x Doch wie sieht so eine Nullstelle mit Vielchheit us? Einche Nullstellen: x 0,5x 0,5 x.) x ist eine einche Nullstelle. x x x x x.) x und x sind je einche Nullstellen. W. Str; Beruliche Oberschule Freising
5 6 Gnzrtionle Funtionen.) x 0,5x x 0,5x x x x, x 0 und x sind je einche Nullstellen. Bei einchen Nullstellen schneidet der Grph der Funtion die x-achse in den Nullstellen, es ommt zu einem Vorzeichenwechsel. Doppelte Nullstellen:.) x 0,5 x 0,5x x x ist eine doppelte Nullstelle. 8 8.) x x x x x x und x sind je doppelte Nullstellen. x x x x x x.) x ist eine einche und x eine doppelte Nullstelle. Bei doppelten Nullstellen berührt der Grph der Funtion die x-achse in den Nullstellen, es ommt zu einem Vorzeichenwechsel. W. Str; Beruliche Oberschule Freising 5
6 6 Gnzrtionle Funtionen Dreiche Nullstellen:.) x x x x x x ist eine dreiche Nullstelle..) x x x x 6x x 8x x ist eine dreiche Nullstelle, x 0 ist eine einche Nullstelle. Bei dreichen Nullstellen berührt der Grph der Funtion die x-achse schneidend. (Berührend schneidend!) Es ommt zu einem Vorzeichenwechsel. Allgemein gilt bei Einchen Nullstellen wird die x-achse vom Grphen geschnitten (Vorzeichenwechsel!) Doppelten Nullstellen wird die x-achse vom Grphen berührt (ein Vorzeichenwechsel!) Dreichen Nullstellen wird die x-achse vom Grphen berührend geschnitten (Vorzeichenwechsel!) W. Str; Beruliche Oberschule Freising 6
7 6 Gnzrtionle Funtionen 6.. Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funtion x x x x 8 (Dieses Verhren ist etws unmthemtisch, d mn zunächst eine Nullstelle errten muss!!!).. Nullstelle errten () 9 () 0 x ist eine Nullstelle der Funtion..Polynomdivision (ohne Rest) x x x 8 : x x x x x x x x 8x x 8 x 8. Bestimmung weiterer Nullstellen x x 0 x 0 x ist eine doppelte Nullstelle. Zerlegung von (x) und Nullstellen mit Vielchheit (x) x x x 8 x x x ist eine einche Nullstelle x ist eine doppelte Nullstelle Allgemein gilt: Die Nullstellen einer gnzrtionlen Funtion dritten Grdes indet mn nch olgendem Schem:. Nullstelle x errten x 0; ; ;. Funtion durch x x dividieren (Polynomdivision). Quotiententerm gleich Null setzten und mit der Lösungsormel die restlichen Nullstellen x und x bestimmen.. Zerlegung und Nullstellen ngeben! Augben:. Bestimmen Sie die Nullstellen der olgenden Funtionen und geben Sie uch deren Vielchheiten n. Sizzieren Sie, wenn möglich den Funtionsgrphen x x x x 0 (x) x x x 5 ) b) x x x 8x x x x c) x x 7x 6 x x x x 6 x x x W. Str; Beruliche Oberschule Freising 7
8 6 Gnzrtionle Funtionen d) x x x x x x x e) x x 9x 7x 7 ) x x x 5x 5 x x x x x 5x 5 g) x x 5x 6 x x x x 9 h) x 6 x x x 6 x x x x x 6 x x x i) 6 j) x x x x x x ) x x x x x x Bemerung: Ht mn eine gnzrtionle Funtion. Grdes, so muss mn dieses Verhren zweiml hintereinnder nwenden. Mn muss lso zweiml eine Nullstelle errten!! Nullstellenbestimmung durch Substitution Funtionen der Form x x bx c mit 0 heißen biqudrtische Funtionen, ihre Nullstellen lssen sich durch die Substitutionsmethode bestimmen. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funtion x x 7x Dzu ormt mn den Term zunächst ein lein wenig um x x 7x x 7 x 0 Substitution: x z z 7z 0 z Rücsubstitution: x x x x x x x x x Augben:. Bestimmen Sie die Nullstellen olgender Funtionen x x 5x x x x x x ) b) x x 9x 0 x x x x 5x 5 c) x 6x 6x 5 x 6x,5 x,5 x,5x,5 d) x x x 8 x x x x 7 x x x 9 x x x x e) x x x 6 x x x ) W. Str; Beruliche Oberschule Freising 8
9 6 Gnzrtionle Funtionen x x x x x g) x x x Bemerung: Dieses Verhren der Substitution lässt sich uch bei olgenden Gleichungen nwenden. Verwenden Sie hierbei die Substitution x z. x 8 x 5 0 x 6 x 0 x x 0 0 x 9 0 x Augben:. Bestimme Sie, in Abhängigeit von IR, die Anzhl der Nullstellen olgender Funtionen. Geben Sie uch die Vielchheiten der Nullstellen n sowie eine Zerlegung der Funtion. x x x ) x x x x b) x x x x c) x x x x 9 d) x x x e) 9 x x x ) 9 g) x x x 8 h) x x x i) x x x j) x 9 x x ) (x) 9 x x 9x 9 l) m) (x) x x (x) x x x 8 (x) 9 (x 9)(x ) (x) (x )(x ) 6. Schnittstellen zweier Funtionsgrphen Die Schnittstelle zweier Grphen G und G indet mn durch Lösen der Gleichung g (x) g(x) (x) g(x) 0 Die Schnittstellen von und g sind lso die Nullstellen der Dierenzuntion g. Ist die Nullstelle der Dierenzuntion -g einch, dnn ist die Schnittstelle der beiden Funtionen und g uch einch. D bei einer einchen Nullstelle der Grph der Funtion die x-achse schneidt, schneiden sich lso bei einer einchen Schnittstelle die Grphen der beiden Funtionen. Bei einer doppelten Schnittstelle berühren sich die beiden Funtionsgrphen ( Berührpunt). Bei einer dreichen Schnittstelle schneiden sich die beiden Funtionsgrphen berührend ( Wendetngente im Wendepunt). W. Str; Beruliche Oberschule Freising 9
10 6 Gnzrtionle Funtionen Allgemein gilt: Eine Schnittstelle heißt n-ch, wenn die zugehörige Nullstelle der Dierenzuntion n-ch ist. Für den Schnittpunt zweier Funtionsgrphen gilt dnn: S x y, mit der Schnittstelle S S S x und mit y x gx. S S S Beispiel : Bestimme die Schnittpunte der Grphen der Funtionen und g : x x : x x x x G x x x x x x 0 (x) g(x) x x 0 x e in che Schnittstelle x zweiche Schnittstelle Berechnung der Schnittpunte: S S g() g( ) ist ein eincher Schnittpunt ist ein doppelter Schnittpunt S S G g Zeichnet mn die beiden Funtionsgrphen, so erennt mn, dss sich bei einem einchen Schnittpunt die beiden Funtionsgrphen schneiden, bei einem doppelten dgegen nur berühren. Beispiel : Bestimme die Schnittpunte der Grphen der Funtionen und h : x x : x x x x x x x x x x x 0 (x) h(x) x 0 x ist eine dreiche Schnittstelle Berechnung des Schnittpuntes: h( ) S ist ein dreicher Schnittpunt G h S G Bei einem dreichen Schnittpunt schneiden sich die beiden Funtionsgrphen berührend. (Berührend schneidend!) Deinition: Eine Gerde g heißt Tngente von G im Punt P () mehrche Schnittstelle von und g ist; P heißt Berührpunt., wenn zwei- oder W. Str; Beruliche Oberschule Freising 0
11 6 Gnzrtionle Funtionen Deinition: Eine Gerde g heißt Sente von Schnittstelle von und g ist. G im Punt P (), wenn einche Augben: 5. Bestimmen Sie die Nullstellen olgender Funtionen sowie deren Schnittpunte. Geben Sie uch deren Vielchheiten n und sizzieren sie die beiden Funtionsgrphen. : x x 6x 8x x x x ; g : x x ) S 0 0 S eincher Schnittpunt, g ist Sente von in S zweicher Schnittpunt, g ist Tngente von in S b) : x x x xx S 0 S,5 0,65 9 ; g : x x eincher Schnittpunt, g ist Sente von in S zweicher Schnittpunt, g ist Tngente von in S c) : x x x xx S 0 ; g : x x dreicher Schnittpunt, g ist Tngente von in S d) 5 : x x x x x x x x x x x 5 x ; g : x x 6. Gegeben sind die beiden Funtionen x x x ; IR und g : x x ) Bestimmen Sie in Abhängigeit von IR die Anzhl, Lge und Vielchheit der Nullstellen der Funtion. b) Bestimmen Sie IR so, dss der Punt P u dem Grphen der Funtion liegt. c) Setzen Sie nun. Sie erhlten die Funtion x x x. Ermitteln Sie nun die Nullstellen der Funtionen und g. Geben Sie uch deren Vielchheiten n. d) Ermitteln Sie die Koordinten der Schnittpunte der beiden Funtionsgrphen G g. S 0 eincher Schnittpunt S,5 eincher Schnittpunt S 0 eincher Schnittpunt G und e) Zeichnen Sie ür x die beiden Funtionsgrphen in ein gemeinsmes Koordintensystem ein. 7. Bestimmen Sie die Nullstellen olgender Funtionen sowie deren Schnittpunte. Geben Sie uch deren Vielchheiten n und sizzieren sie die beiden Funtionsgrphen. : x x x x x ; g : x x x ) b) : x x x xx ; g : x x 6x c) : x x x x x ; g : x x d) : x x x x x ; g : x x e) : x x x x x ; g : x x W. Str; Beruliche Oberschule Freising
12 6 Gnzrtionle Funtionen ) : x x x x x x x ; g : x x x x 8. Bestimmen Sie den Prmeter IR so, dss sich die Grphen der beiden Funtionen : x x x und g : x x x berühren. Geben Sie unter Umständen uch die weiteren Schnittpunte n. x 0; x : x 0 ein. Schnittstelle und x doppelte Schnittstelle 0: x 0 doppelte Schnittstelle und x ein. Schnittstelle 9. Bestimmen Sie in Abhängigeit von IR die Anzhl der Schnittstellen der beiden : x x x und g : x x x Funtionen x 0, x,75 Schnittstelle:,5,5 Schnittstellen:,5 oder,5 Schnittstellen: IR\,5;,5 0.Bestimmen Sie IR so, dss sich die Grphen der beiden Funtionen und g : x x : B 7 berühren. S 0 ist Schnittpunt ür lle IR. Für 0 ist die Schnittstelle sogr dreich..bestimmen in Abhängigeit von IR die Anzhl der Nullstellen sowie deren Vielchheit! x x x x x x x x ) b) x x x x x x c) x x 6x x 6 x x x x d) x x x x x x x e) x x x x x x x x ) x x x x x x x g) x x x x x x x x h) x x x x x x x x i) x x x x x x x : x x x W. Str; Beruliche Oberschule Freising
definiert ist, heißt an der Stelle x0
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![x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]](/thumbs/39/18968299.jpg "x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]")
[Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.
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