Vorbereitung Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Fachlehrer : W. Zimmer

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1 Vorbereitung Mathematik Cuanu-Gymnaium Wittlich Fachlehrer W. Zimmer Den folgenden Katalog habe ich bei gefunden. Er oll Beipiele dafür aufzeigen, wa konkret verlangt werden kann, ohne dabei den Anpruch auf Volltändigkeit zu erheben. I Algebra/Analyi Differentiation/Integration - Ableitung(en) von Funktionen (ganzrationale, gebr. rationale, e-funktionen, trig. Funktionen, Wurzelfunktionen; Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) - Integration/Stammfunktion (partielle Integration und lineare Subtitution) Gleichunglehre - Gauß-Verfahren (ohne Formvariablen, verchiedene Löungräume) - Gleichungen höherer Ordnung (nicht unbedingt ganzrational, mit bekannter Nulltelle, Subtitution) - Bruchgleichungen Funktionale Betrachtungen - Tangente, Normale an Kurven - Auftellen von Funktiongleichungen mit Randbedingungen - Skizze de Schaubild einer Funktion au dem Funktionterm - Herleitung wichtiger Eigenchaften au dem Funktionterm - Kenntni wichtiger Funktiontypen - Tranlation (horizontal, vertikal) - Auffinden de Funktionterm bei gegebenem Schaubild - Interpretation charakteriticher Eigenchaften einer Funktion anhand ihre Schaubilde - Elemente der Kurvendikuion II Geometrie Geraden/Ebenen - Gleichungen von Ebenen und Geraden - Ebene au drei Punkten - Lage von Geraden zueinander (Schnitt, parallel, windchief) - Lage von Gerade und Ebene zueinander (orthogonal, parallel, Inkluion, Schnittpunkt) - Lage von Ebenen zueinander (parallel, Schnittgerade, identich) - Skizze de Schaubild einer Ebene bzw. Gerade im D-Koordinatenytem - Auffinden einer entprechenden Gleichung für Ebene bzw. Gerade, wenn Skizze gegeben Abtand/Winkel - Abtand Punkt Ebene - Abtand Punkt Gerade - Winkel zwichen Ebenen bzw. zwichen Geraden bzw. zwichen Ebene und Gerade - ABI_Fundu.doc

2 Algorithmiche Grundkenntnie zur Differentiation/Integration u.a. Ableitung(en) von Funktionen (ganzrationale, gebr. rationale, e-funktionen, trig. Funktionen, Wurzelfunktionen; Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) Integration/Stammfunktion (lineare Subtitution). Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f() in.. Leiten Sie einmal ab. a) f() e - b) g() ( k e - ) c) h() ln ( ) c) k() ln(). Geben Sie jeweil eine Stammfunktion an. a) f() 8-6 b) f() ( e ) c) f() (9 ). Gleichunglehre u.a. Gleichungen höherer Ordnung (nicht unbedingt ganzrational, mit bekannter Nulltelle, Subtitution). Löen Sie die folgenden Gleichungen a) 5 b) e e 5. Löen Sie die Gleichungen a) - b) ( 8) 6 Funktionale Betrachtungen u.a. Auftellen von Funktiongleichungen mit Randbedingungen 6. Eine Parabel.Ordnung berührt die -Ache im Urprung. Ihr Wendepunkt it W( - / ). Betimmen Sie die Gleichung dieer Parabel! t für 7. Gegeben it die Funktion h mit h(). ont Betimmen Sie und t o, da die Funktion an der Stelle differenzierbar it. - ABI_Fundu.doc

3 Funktionale Betrachtungen u.a. Graphiche Differentiation / Integration Vertändni von f bzw. f 8. Die Funktionen f, f und f haben die folgenden Schaubilder a) Skizzieren Sie in einem jeweil neuen Koordinatenytem die Schaubilder der Ableitungfunktionen. f f b) Im Folgenden finden Sie Auagen über f bzw. f. Streichen Sie die Funktionen au Aufgabenteil a) durch, auf welche diee Auagen nicht zutreffen? f.) f () > f f f.) f () f f f.) f it bei minimal. f f f.) f für > negativ f f f 5.) f it negativ f f f 9. Eine Funktion g hat die Nulltelle. Welche Auage können Sie über da Schaubild einer zugehörigen Stammfunktion G im Punkt P(...) machen? - ABI_Fundu.doc

4 . Gegeben it da Schaubild einer quadratichen Funktion f im Intervall I [;]. a) Skizzieren Sie im Intervall I da Schaubild der Ableitungfunktion f und da Schaubild der Integralfunktion J () f (t)dt. b) Begründen oder widerlegen Sie folgende Auagen (A) f hat im Intervall I genau eine Nulltelle (A) J () hat genau eine Nulltelle in I (A) J () hat Etremtellen in I.a) Gegeben ind die beiden Parabeln. bzw. Ordnung (iehe Abbildungen) al Schaubilder von Funktionen. Zeichnen Sie jeweil die Schaubilder der erten Ableitungfunktion in da entprechende Koordinatenytem. Tragen Sie für die Parabel dritter Ordnung auch da Schaubild der zweiten Ableitung ein. b) Wa bedeutet e für da Schaubild einer Funktion, wenn f(), f '(), f "() und f "'() gilt? - ABI_Fundu.doc

5 . h it eine für IR differenzierbare Funktion. Nebentehend it für, 5 da Schaubild ihrer Ableitungfunktion h dargetellt. Entcheiden Sie, ob folgende Auagen über die Funktion h richtig, falch oder unentcheidbar ind. Begründen Sie Ihre Entcheidung. () An der Stelle hat da Schaubild von h einen Tiefpunkt. () h() > für. y Schaubild von h () An der Stelle hat da Schaubild von h eine Tangente, die parallel it zur Geraden mit der Gleichung y 7. () h it treng monoton wachend für, 5. Funktionale Betrachtungen u.a. Interpretation charakteriticher Eigenchaften einer Funktion anhand ihre Schaubilde Elemente der Kurvendikuion Kenntni wichtiger Funktiontypen. Eine Firma regitriert wie oft ihre Homepage im Internet beucht wird. Da nebentehende Schaubild zeigt die Anzahl der Beucher pro Tag. Beucher pro Tag a) Nennen Sie beondere Punkte und Bereiche diee Schaubild und ihre Bedeutung für die Firma. Zeit in Tagen b) Erläutern Sie den Begriff lokale Etremtelle anchaulich. Wie kann man bei differenzierbaren Funktionen lokale Etremtellen betimmen? Überprüfen Sie damit, ob die Funktion f mit f() e lokale Etremtellen beitzt. c) Nennen Sie zwei Funktionen, die keine lokale Etremtellen haben. - 5 ABI_Fundu.doc

6 . Zeigen Sie, da da Schaubild von f mit Hochpunkt hat. f() e ; IR an der Stelle einen 5. Prüfen Sie nach, ob da Schaubild der Funktion f mit f() 6 ; IR an der Stelle - einen Tiefpunkt hat. Funktionale Betrachtungen Kenntni wichtiger Funktiontypen Tranlation (horizontal, vertikal) Auffinden de Funktionterm bei gegebenem Schaubild 6. Geben Sie zu den kizzierten Schaubildern jeweil einen möglichen Funktionterm an. Funktionale Betrachtungen Kenntni wichtiger Funktiontypen Skizze de Schaubild einer Funktion au dem Funktionterm 7. Gegeben ind die Funktionen f mit f() und g mit g(). a) Zeichnen Sie in einem Koordinatenytem die Schaubilder von f und g im Intervall I [-; ]. b) Betimmen Sie den Flächeninhalt den die Schaubildern von f und g im Intervall I einchließen. - 6 ABI_Fundu.doc

7 c) Skizzieren Sie im Intervall I den Verlauf de Schaubild der Funktion h mit h() f() g(). Begründen Sie, da h genau zwei Nulltellen in I hat. Funktionale Betrachtungen u.a. Vertändni Kenntni von Begriffen, Definitionen (Ableitung, Monotonie,...) 8. Gegeben it die Funktion f durch f() 6 ; IR. Betimmen Sie eine Gleichung der Tangente an da Schaubild von f, die orthogonal zur Geraden 6y it. 9. Geben Sie eine Definition der Ableitung einer Funktion an einer Stelle an. Anwendungen u.a. Ableitung im Zuammenhang mit Tangententeigung, Änderungrate, Etremwertaufgaben Integral im Zuammenhang mit Flächenberechnungen, Wirkung, Mittelwertbildung. Ein 6m langer Zaun oll ein möglicht große rechteckige Gartengrundtück o umgeben, da m für die Einfahrt frei bleiben. Wie müen die Seitenlängen de Rechteck fetgelegt werden?.gegeben it der Parabelbogen mit der Gleichung f() mit [ ; ] owie der Parabelpunkt A( - / ). Die Gerade u chneidet den Parabelbogen in P und die -Ache in B. Für welchen Wert von u it der Flächeninhalt de Dreieck ABP am größten?. Gegeben it die Funktion f durch f() e e ; IR Ihr Schaubild ei K. a) Berechnen Sie den Inhalt A de Flächentück, da K mit den Koordinatenachen umchließt. b) K umchließt mit der y-ache und der waagrechten Aymptoten ein in Unendliche reichende Flächentück mit dem Inhalt A. Prüfen Sie nach, ob A A gilt. - 7 ABI_Fundu.doc

8 . Nimmt man ein Gla mit einer Flüigkeit au dem Kühlchrank, o erwärmt ich die Flüigkeit. Durch f() 5e ; ( in Minuten, f() in Grad Celiu) wird ein olcher Erwärmungvorgang bechrieben. a) Betimmen Sie die Gleichung der Aymptote. Welche Bedeutung hat die Aymptote für den Erwärmungvorgang? b) Zu welcher Zeit it die Gechwindigkeit, mit der ich die Flüigkeit erwärmt, am größten? c) Berechnen Sie für die erten Minuten die Durchchnitttemperatur. - 8 ABI_Fundu.doc

9 Fundu für den Pflichtbereich / Mathematik-Abitur ab Geometrie - 9 ABI_Fundu.doc Gleichunglehre u.a. Gauß-Verfahren (ohne Formvariablen, verchiedene Löungräume). Löen Sie da lineare Gleichungytem a) Unteruchen Sie da folgende lineare Gleichungytem auf Löbarkeit 5 b) Interpretieren Sie Ihr Ergebni geometrich. Grundkenntnie zu Geraden/Ebenen u.a. Gleichungen von Ebenen und Geraden Skizze de Schaubild einer Ebene bzw. Gerade im D-Koordinatenytem Auffinden einer entprechenden Gleichung für Ebene bzw. Gerade, wenn Skizze gegeben Lagebeziehungen Gerade-Gerade, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene. Gegeben ind die beiden Ebenen E und E durch r E und 8 E Betimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden.. Gegeben ind eine Ebene E und eine Gerade g durch R t ; t g RI r, ; r E. a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E an. b) Betimmen Sie den Schnittpunkt von g und E. c) Die Ebene F enthält g und it orthogonal zu E. Geben Sie eine Gleichung von F an.

10 Fundu für den Pflichtbereich / Mathematik-Abitur ab Geometrie 5. Gegeben ind die Punkte A ( ), B ( ) und C ( ). Zeigen Sie, da die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die diee Punkte enthält. 6. Gegeben ind die Ebenen E und F 6. a) Veranchaulichen Sie die Ebenen E und F mithilfe ihrer Spurgeraden in einem Koordinatenytem. b) Zeichnen Sie die Schnittgerade von E und F ohne weitere Rechnung in da Koordinatenytem ein und begründen Sie Ihr Vorgehen. 7. In der Abbildung it ein Quader dargetellt. M und N ind die Mittelpunkte der zugehörigen Kanten. a) Welche Lage haben die Geraden g (OM) und h (AN) zueinander? Begründen Sie ihre Antwort geometrich. b) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, die D, E und F enthält. 8. Gegeben ind vier Ebenen E, F, G und H mit E 8 7 F G H 5 6. a) Welche beondere Lage haben die Ebenen E und F zueinander? Wie erkennen Sie die an den Koordinatengleichungen? Wie wäre die rechte Seite in der Gleichung von E abzuändern, damit E und F identiche Ebenen wären? b) Betimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen F und G. c) Welche beondere Lage hat die Ebene H im Koordinatenytem? - ABI_Fundu.doc

11 Fundu für den Pflichtbereich / Mathematik-Abitur ab Geometrie - ABI_Fundu.doc 9. Gegeben ind die Gerade g und die Ebene E durch g IR r u ; r a und E n p) (. a) Welche geometriche Bedeutung haben die Vektoren a und u bzw. ) p ( und n? Veranchaulichen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Skizze. b) Welche Beziehungen müen für die in den Gleichungen vorkommenden Vektoren gelten, damit i) g parallel zu E it? ii) g enkrecht zu E verläuft?. Gegeben it die Gerade 5 g ; IR a) Geben Sie eine Gleichung der Parallelen k zu g durch den Punkt P( - ) an. Geben Sie außerdem eine Gleichung der Mittelparallelen m von g und k an und begründen Sie kurz Ihr Vorgehen. b) Unteruchen Sie die gegeneitige Lage der Geraden g und der Geraden t h ; IR t Abtand/Winkel u.a. Abtand Punkt Ebene Abtand Punkt Gerade Winkel zwichen Ebenen bzw. zwichen Geraden bzw. zwichen Ebene und Gerade. Gegeben ind die Geraden g und h mit den Gleichungen 5 g und 5 h mit IR Zeigen Sie, da die beiden Geraden windchief ind.

12 Fundu für den Pflichtbereich / Mathematik-Abitur ab Geometrie - ABI_Fundu.doc. Gegeben ind die Geraden g und h mit den Gleichungen 5 g und 6 t h mit IR, t. Zeigen Sie, da die beiden Geraden keinen gemeinamen Punkt haben und betimmen Sie den Abtand der beiden Geraden..Welche Punkte der Geraden 5 g mit IR haben von der Ebene 8 E den Abtand?. Die Punkte A(-6/-/), B(/-/), C(//7) und D(/5/-) bilden eine Pyramide mit der Grundfläche ABC. Stellen Sie die Pyramide in einem karteichen Koordinatenytem dar. Berechnen Sie die Höhe der Pyramide. 5.Gegeben ind die Ebene E 5 7 und der Punkt Q(6 9 ). Berechnen Sie den Abtand de Punkte Q von der Ebene E. 6.a) Welcher Punkt der Geraden g ; IR hat die kürzete Entfernung vom Punkt P( - - )? b) Von welcher der Ebenen E a a mit IR a hat der Punkt P( - - ) den Abtand?