Variante A Musterlösung

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1 RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung Höhere Mathematik II / III Variante A Musterlösung Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern. Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben Schmierblätter ist von den Studenten zur Klausur mitzubringen. Bewertung: Bitte nutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben die in der Klausur ausgeteilten Blätter! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Lösungsbogen stehen! Zur Bewertung der einzelnen Teile: I: Aufgabe -3 Sie müssen unter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: Aufgabe 4-7 Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüberhinaus können Sie im Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: Aufgabe 8- Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: 3 = 6 + = 3. Pkt. Antwort Punkte. W W. W F 3. F W 4. F F Antwort Punkte 5. F - 6. W F 8. - W Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Viel Erfolg!

2 Teil I r cosϕ + sinϕ, ϕ π, z in Zylinderkoordina- Aufgabe i Es sei der Körper K := ten gegeben. r cosϕ r sinϕ z +8+3 Punkte a Geben Sie K in kartesischen Koordinaten an. b Berechnen Sie das Volumen von K mit Hilfe der Polarkoordinaten. Tipp: Sie können das Ergebnis Ihrer Rechnung in Teil b mit Hilfe von Teil a einfach überprüfen ii Es seien V := {x,y,z R 3 x + y, z } und F := ze x,x y + y z, f x,y,z gegeben. Bestimmen Sie ein f x,y,z, sodass erfüllt ist. Lösung: i a Es soll gelten r cosϕ r sinϕ z = x y z mit ZZ V FdV = r cosϕ + sinϕ r cosϕ + r sinϕ, also x + y und ausserdem z. Wir haben also einen Quader mit Seitenlänge + = und Höhe. b Sym., Beträge fallen weg = 4 Z π Z π cosϕ + sinϕ Z Z r dz dr dϕ = Z π Z π cosϕ + sinϕ dϕ = cosϕ + sinϕ Z dϕ + sinϕ r dr dϕ = Z π r cosϕ + sinϕ dϕ

3 Wir berechnen zunächst das unbestimmte Integral: u=ϕ = Z = Z du Cayley = + sinu cosϕ cosϕ + sinϕ dt Z +t + t = +t dt +t = +t = + tan u = + tanϕ Damit ergibt sich für unser Integral π cosϕ... = cosϕ + sinϕ = = Die Volumenberechnung ergibt ebenfalls =. ii Nach dem Satz von Stokes gilt ZZ ZZZ FdV = V V Das Integral wird also Null, wenn divf = ist, also wenn ze x + x + yz + f z x,y,z = divfda. f z x,y,z = ze x x yz gilt. Also ist f x,y,z = z e x yz x z eine mögliche Lösung. Aufgabe Punkte Es sei die Funktion f : R R gegeben durch { x x +y y, falls x,y, f x,y = x +y, falls x,y =,. i Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich von f. ii Berechnen Sie, falls möglich, die partiellen Ableitungen von f nach x und y im Punkt,. iii Berechnen Sie die partiellen Ableitungen nach x und y im Punkt a,b mit a,b R und a,b >. iv Besitzt f auf R absolute Extrema? Begründen Sie Ihre Antworten!

4 Lösung: i Für x,y, ist f stetig, da f Komposition stetiger Funktionen ist. Für x, y =, verwenden wir Polarkoordinaten: x r cosφ = y r sinφ mit r [,, φ [,π. Dann gilt: r cos φ r cosφ + r sin φ r sinφ lim f r cosφ,r sinφ = lim r r r cos φ + r sin φ f ist auch stetig im Punkt,, also auf ganz R. ii Für x,y =,: rcos φ cosφ + sin φ sinφ = lim = = f, r f h h, = lim f h, f, = lim x h h h h f, = lim f,h f, = lim y h h h h h h h h h = und lim h h = sind unter- h Beide Grenzwerte existieren nicht, denn die einseitigen Grenzwerte lim h h schiedlich. h = lim h h. h = lim h h. iii Zunächst können wir den Funktionsterm von f vereinfachen, wenn wir uns auf einer hinreichend kleinen Umgebung von a,b mit a,b > befinden. Dort ist f x,y = x3 +y 3 x +y, denn für x und y werden in der Umgebung nur positive Werte eingesetzt. Damit können wir die Ableitung bilden, in dem wir diesen Term nach x und y mit der Quotientenregel differenzieren: f x x,y = 3x x + y xx 3 + y 3 x + y = x4 + 3x y xy 3 x + y f y x,y = 3y x + y yx 3 + y 3 x + y = y4 + 3x y x 3 y x + y Damit lauten die partiellen Ableitungen an der Stelle a, b : f x a,b = a4 + 3a b ab 3 a + b und f y a,b = b4 + 3a b a 3 b a + b. iv Die Funktion f besitzt genau ein absolutes Minimum an der Stelle,, da die Funktion außerhalb des Ursprungs ausschließlich positive Werte annimmt. Ein absolutes Maximum besitzt f nicht, denn es gilt zum x Beispiel lim f x, = lim x = lim x =. x x x x

5 Aufgabe 3 4 Punkte Bestimmen Sie die Anzahl der Fixpunkte der Funktion f : R R, f x = arctanx x. Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch exakt. Hinweis: Fixpunkte sind Werte x R mit f x = x. Lösung: Ein Fixpunkt von f erfüllt die Gleichung arctanx x = x. Das heißt, wir können auch untersuchen, wie viele Nullstellen die Funktion gx = arctanx x x besitzt. Eine Nullstelle ist schon offensichtlich, nämlich. Um herauszufinden, ob es weitere Nullstellen gibt, untersuchen wir die Monotonie von g. Es gilt g x = x. + x Die Ableitung g setzen wir gleich. Dies führt auf die Gleichung = x+. +x Durchmultiplizieren mit dem Faktor + x ergibt = x + + x 3 + x. Dies ist äquivalent zu x 3 + x + x = und diese Gleichung hat nur als Lösung. Bilden wir noch g = 3 und g = 5, so können wir schließen, dass g für x < streng monoton steigt und für x > streng monoton fällt und somit ist die einzige Nullstelle von g, also der einzige Fixpunkt von f.

6 Teil II Aufgabe Punkte i Geben Sie einen integrierenden Faktor der Differentialgleichung y cosx + x y dx + ysinx + 4x 3 ydy = an. Geben Sie an, wenn die Differentialgleichung bereits exakt ist. ii Lösen Sie die folgende exakte Differentialgleichung: y + x 4sinx dx + arctanx + ydy = iii Bringen Sie die folgende Differentialgleichung auf eine lineare Form Sie dürfen annehmen, dass e 3x + eine Lösung ist. y = y x x + y e 3x + + 6x + xe 6x +4. iv Finden Sie eine Funktion y : [, π 4 ] R, die das Anfangswertproblem löst. Tipp: Es gilt R tant cos t = cos t. y = tanxy + x tanx + x, y = v Finden Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes eine Folge a n n N, so dass a n x n die folgende Differentialgleichung löst: y + xy x = mit y = n=

7 Lösung: i Es ist P := y cosx + x y, Q := ysinx + 4x 3 y und es gilt also ist die Differentialgleichung nicht exakt. Der Quotient Q x P y P P y = ycosx + 4x y ycosx + x y = Q x, ist nur von y abhängig und der integrierende Faktor ist ii Die gesuchte Funktion Fx, y erfüllt F x x,y = = ycosx + x y ycosx + 4x y y cosx + x y R e dy y = e ln y = y. = y y 4sinx Fx,y = y arctanx + 4cosx + gy + x für eine Funktion g, die nur von y abhängt. Des weiteren haben wir und damit gy = y + D, für D R. Es sind also F y x,y = arctanx + g y! = arctanx + y Fx,y = y arctanx + 4cosx + y = C y = arctanx für C R Lösungen der DGL. arctanx ± 4cosx C

8 iii Wir haben eine Ricatti DGL der Form y = y ax + ybx + cx mit ax = x x, bx = e 3x + + 6x und cx = xe 6x +4, dann substituieren wir y := e 3x + + v und y = 6xe 3x + v v : v = bx + axe 3x + v ax = e 3x + + 6x + x xe 3x + v x + x iv Es ist y = f xy+gx mit f x = tanx und gx = x tanx+x. Damit ist die Lösung des Anfangswertproblems: Z x e R t f sds gtdt = e R x tantdt e R x f tdt + + Z x = e ln cosx x + e ln cosx t t tant + tdt = Z x = cos x + cos t t tant + tdt Z x = cos x + t tant Z x cos t dt + t cos t dt = = cos x + t x Z x Z t x cos t cos t dt + t cos t dt = cos x + x cos = cos x + x x Z x e R t tansds t tant + tdt v Setze y = a n x n, dann ist y = na n x n und wir haben n= n= n= na n x n + x n= a n x n x = n= a + a + a x + 3a 3 + a x + Jetzt vergleichen wir Koeffizienten: a = a = n + a n+ x n + n=3 n= a n x n x = a n+ n + + a n x n a + a = a = a 3a 3 + a = a 3 = a 3 a 3 = 4a 4 + a = a 4 = a 4 a 4 = a 5a 5 + a 3 = a 5 = a 3 5 a 5 = 6a 6 + a 4 = a 6 = a 4 6 a 6 = 3! a. na n + a n = a n = a n n a n = n n! a n + a n+ + a n = a n+ = a n n+ a n+ = Wir haben also für ein a die folgende Funktion n= Da aber a = y = ist ergibt sich y = e x + x. n a x n + x = a e x + x. n!

9 Aufgabe Punkte i Berechnen Sie die Taylorentwicklung T, x der Funktion f : R R, f x = arctanx um den Punkt bis zum zweiten Glied und geben Sie das zugehörige Restglied R, x in der Form von Lagrange an. ii Berechnen Sie das Taylorpolynom T,, x,y der Funktion um den Punkt, bis zum zweiten Glied. Lösung: i Es gilt Damit erhält man: f x = arctanx, f x = + x = + x, f x = + x x und g : R R,gx,y = x e x+y f x = + x 3 4x + x = + x 8x + x. T, x = π 4 + x + 4 x und + ξ 8ξ +ξ R, x = x 3, für ein ξ [x,] oder ξ [,x]. 6 ii Der Gradient und die Hesse-Matrix von g lauten xe x+y + x e x+y grad gx,y = x e x+y = e x+y H g x,y = Hess gx,y = x + x x und e x+y x + x + e x+y x + e x+y x + x e x+y x + x e x+y x = e x+y x + 4x + x + x x + x x. Damit erhält man: T,, x,y = t t e x + e 3 + x e 7 3 x y y 3 y = e + 3e x + e y + 7 e x + e y + 3e x y.

10 Aufgabe 6 Die Kurve Γ sei durch die Parameterdarstellung γt = t + t mit t [, ] gegeben Punkte i Geben Sie die Bogenlänge für das Intervall [, ] an. Hinweis: Das Endergebnis ist ein längerer Term, der nicht vereinfacht werden muss. ii Wo besitzt Γ vertikale bzw. horizontale Tangenten? iii Finden Sie die Punkte auf Γ mit extremalem Krümmungsbetrag. Lösung: i Es ist γ t = t Z Z 4 + 4t dt =. Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion: Z t + dt = cosh udu = Z e u + e u du = Z e u + + e u du = eu + u e u = t 4 t lnt + t + 4 t + t + Also ist die Bogenlänge gegeben durch ln ii Es ist γ t =, somit erhalten wir nur eine horizontale Tagente im Punkt t =. t iii Es ist γ t =, damit erhält man κt = t = 4 4+4t 3 = κt. Dieser Bruch wird maximal an 4+4t 3 der Stelle t = und minimal an den Rändern unseres Definitionsbereiches. Also erhalten wir den maximalen Krümmungsbetrag an der Stelle t = und den minimalen Krümmungsbetrag an den Stellen ±.

11 Aufgabe Punkte i Finden Sie mittels des Lagrange-Verfahrens alle Stellen, an denen mögliche Extrema der Funktion f : R 3 R, f x,y,z = x + y + z unter der Nebenbedingung gx,y,z = x + y + z 5 = liegen. ii Sei f : R R eine Funktion. Der Gradient von f hat die Nullstellen,,, und,. Die Hessematrix von f an drei den kritischen Punkten lautet Hess f, =,Hess f =, und Hess f, =. Liegen an den kritischen Punkte lokale Extrema oder Sättel von f? Welche Aussage kann man hierüber allein aufgrund der angegebenen Hessematrizen treffen? iii Der Gradient einer Funktion g : R 4xy + y R sei gleich 4x. Berechnen Sie die Richtungsableitungen von y + x g an der Stelle, in Richtung eines Vektors a,b. Lösung: i Es gilt grad f x,y,z = x y und gradgx,y,z =. Da der Gradient von g nicht der Nullvektor ist, x = λ y = λ sind alle Voraussetzungen für das Lagrange-Verfahren erfüllt. Der Ansatz lautet = λ x + y + z = 5 Aus diesem System folgt, dass x = y = und z = 4 der einzige mögliche kritische Punkt ist. ii Anmerkung: Die zweite Matrix müsste symmetrisch sein. Wem das aufgefallen ist, bekommt volle Punktzahl, sowie alle, die die Definitheit der Matrix mit Determinanten oder Eigenwerten auch wenn das nur für symmetrtische Matrizen gilt untersucht haben. Die Matrix Hess f, = ist positiv definit Hauptminoren und Hess f, = ist indefinit. Damit liegt an der Stelle, ein lokales Minimum von f vor und an der Stelle, liegt ein Sattelpunkt. iii Der Gradient ist an der Stelle, gleich 5,5 T, damit lautet die Richtungsableitung in Richtung a,b T 5a + 5b.

12 Teil III Aufgabe Punkte i Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Total differenzierbare Funktion sind stetig.. Die Funktion f : [, [,π] R R 3, f r,φ,z = lokal umkehrbar. r cosφ r sinφ z ist an allen Stellen r,φ,z mit r > 3. Die Gleichung Fx,y = cosxe y e y = besitzt an der Stelle, eine lokale Auflösung y = f x. Lösung:. Ja..Die Jacobi-Matrix von f lautet cosφ r sinφ sinφ r cosφ. Die Funktionaldeterminaten ist gleich r cos φ + r sin φ = r >. Also ist f lokal umkehrbar. 3. F, = und F y x,y = cosxe y y + e y, damit folgt F y, = e + e =. Also besitzt die Gleichung diese Auflösung. ii Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Ist f differenzierbar, dann ist f auch integrierbar.. Ist f integrierbar auf [a,b], dann ist f auch stetig auf [a,b]. 3. Es seien f x,gx : R R zwei zweifach differenzierbare Funktion und es gilt f x = g x, des weiteren existiert mindestens ein x R mit f x = gx, dann ist f x = gx. Lösung:. Ja, jede differenzierbare Funktion ist stetig und jede stetige Funktion ist integrierbar.. Nein, denn z. B. f x := x die Funktion, die jede Zahl auf die kleinste ganze Zahl x abbildet ist integrierbar, aber nicht stetig. 3. Nein. Z.B. f x = x + x und gx = x +. Es ist f x = = g x und f = = g. iii Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Es gilt Fx + c = Fx für alle c R.. Es gilt R Fx + cdx = R Fxdx für alle c R. 3. Sei p n x ein Polynom vom Grad n, dann gilt Fx+ p n x n+ = Fx n+ für die n+-ten Ableitungen. Lösung:. Ja.. Nein. 3. Ja, denn es ist Fx + p n x n+ = Fx n+ + p n x n+ und die n +. Ableitung eines Polynoms von Grad n ist Null.

13 iv Die Funktion g : [a,b] R sei stetig differenzierbar und f : I R stetig mit g[a,b] I. Dann gilt: Z b a f gx g xdx f Rb gb R. = gydy 3. = f ydy f a ga gb R f Rb. = f ydy gb ga 4. = gydy f b f a ga f a Lösung:. Nein. 3. Ja. Nein. 4. Nein.

14 Aufgabe Punkte i Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Die Funktion f : R R, f x,y = e x +y 4x y + y 4xy + x ist exakt. Z. Der Wert des Kurvenintegrals 3x y+4xy dx +x 3 +4x ydy ist gleich, wobei die Kurve Γ definiert ist Γ durch die Parametrisierung γ : [,π] R cost,t. sint x + y + z 3. Es existiert eine Funktion g : R 3 R, so dass die Funktion h : R 3 R 3,hx,y,z = cosx exakt gx,y,z ist. Lösung:. Ja, denn f y x,y = ex +y y4x y + y + e x +y 4x + = e x +y 8x y + 4y + 4x + = f x x,y = ex +y x4xy + x + e x +y 4y +..Die Funktion T x,y über die integriert wird besitzt eine Stammfunktion, denn T y x,y = 3x + 8xy = T x x,y. Darüber hinaus ist die Kurve ist geschlossen. Also ist der Wert des Integrals gleich. 3. Es existiert keine solche Funktion g, denn h y x,y h x x,y. ii Es sei f x = 5 + cos x x + sinx. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen. 3R Der Wert des Integrals f xdx liegt im Intervall:. [4, 5] 3. [5, 6] 5. [8, ] 7. [6, ]. [, ] 4. [, 6. [, ] 8. [, 4] Lösung: Da cos x für alle x R und x + sinx für alle x [,3] gilt, ist 5 f x 6 für alle x [,3] und damit gilt Aufgabe = 53 i Gegeben sei das folgende uneigentliche Integral Z Z 3 f xdx 63 = e x x + xdx Punkte Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Das Ergebnis ist. 4. Das Ergebnis ist. 7. Das Ergebnis ist ln3.. Das Ergebnis ist. 5. Das Ergebnis ist π. 8. Das Ergebnis ist e. 3. Das Ergebnis ist Das Ergebnis ist ln. 9. Das Ergebnis ist e.

15 ii Gegeben sei das folgende uneigentliche Integral Z xlnxdx Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Das Ergebnis ist Das Ergebnis ist. 7. Das Ergebnis ist.. Das Ergebnis ist. 5. Das Ergebnis ist. 8. Das Ergebnis ist. 3. Das Ergebnis ist Das Ergebnis ist ln. 9. Das Ergebnis ist. iii Gegeben sei das folgende uneigentliche Integral Z x x dx Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Das Ergebnis ist Das Ergebnis ist. 7. Das Ergebnis ist.. Das Ergebnis ist. 5. Das Ergebnis ist. 8. Das Ergebnis ist. 3. Das Ergebnis ist Das Ergebnis ist ln. 9. Das Ergebnis ist. iv Gegeben sei das folgende uneigentliche Integral Z x dx Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Das Ergebnis ist ln4. 4. Das Ergebnis ist ln. 7. Das Ergebnis ist.. Das Ergebnis ist ln. 5. Das Ergebnis ist. 8. Das Ergebnis ist. 3. Das Ergebnis ist ln4. 6. Das Ergebnis ist ln. 9. Das Ergebnis ist. v Gegeben sei das folgende Integral Z b a x dx Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen Das Ergebnis ist endlich für a = und b =. 5. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =.. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =. 6. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =. 3. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =. 7. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =. 4. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =. 8. Das Ergebnis ist endlich für a = und b =.

16 Teil III Lösung: i Es gilt Z e x x + xdx = lim Z p p e x x + xdx P.I. = lim lim e p p + p + [ e x x + ] p p lim p p Zp + [ e x x + x ] p e x dx P.I. = Zp + e x x + dx P.I. e p p + p e p p + + e + [ e x] p = lim p e p p + 3p e p + e p + 3p + 3 = lim p e p + 3 l H = 3 + lim p e p = 3 = ii Z x lnx dx P.I. = lim lnp = lim p 4 p p [ x lnx l H = lim x ] Z p p x 4 x 3 4 = 4 x x dx P.I. p [ p = lim p lnp 4 ] p iii Z x u= x x dx = Z du u = lim p u p = iv Z x dx = Z e x ln = lim p ln e p ln p = lim p ln p = ln v Es gilt lim p p Z b a x Zb u=x dx = a du u = u =, daher gilt für alle Paare a,b mit a b, dass das Integral keine endliche Lösung besitzt. Und nur für a = und b = gilt R b a x dx = lim p p + =.