VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN. Mittwoch

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1 Lösue Mittwoc -- VORURS: MATHEMATI RECHENFERTIGEITEN, LÖSUNGEN Mittwoc Block. a 6 9 : 9 b 6 :... Au eie ausürlice Recu wird verzictet, da aalo zu a. Diese Divisio et ict restlos au. Es kommt oc ei Restterm vor: 6 7 c Screibe Sie die Divisio oledermasse au dieses "Auülle mit -oeiziete" bietet sic immer da a, we Sie ict eüed Summade ür das Divisiosverare abe: k k k k k : k k Auc ier verzicte wir au die Zwiscescritte. k k k k k k. a a b : a b a ab b a a b a b b a b ab ab b ab b Auc ier köte Sie zuäcst -oeiziete eiüe. Wicti dabei ist, dass Sie de Dividede ud de Divisor ac dem leice Gesictspukt orde, ier ac allede Poteze vo a: a a b ab b : a b a ab b a a b a b ab a b ab ab b ab b b Die Divisio vo a b : a b wird aalo zur Auabe a elöst. Sollte Sie ict a ab b eralte abe, rece Sie bitte ocmals ac.

2 Lösue Mittwoc --. a 6. Die erste NST lässt sic leict errate. otrolle:. Nu üre wir die etsprecede Polyomdivisio 6 : durc. Ma sat dazu auc: "Wir spalte die NST ab." 6 : Somit ilt: 6 6. Mit eiem Zwei-lammerasatz köe wir auc oc de quadratisce Faktor 6 zerlee ud wir eralte somit: 6. Nu lasse sic die NST ablese:,,. b Vorsict: We Sie die Fuktiosleicu eiac rects mit multipliziere, eralte Sie eie eue, veräderte Fuktio Strecku aller Werte mit dem Faktor, die Nullstelle bleibe allerdis eralte, da ist. Sie kriee also zwar das rictie Resultat, ormal ist aber der Ausdruck 8 alsc, da 8 ist! Abile: Formal korrekt als Gleicu ausdrücke: } 8. Abile: Wie olt rece: Die erste NST lässt sic leict errate. otrolle:. Diese NST spalte wir mit Hile der Polyomdivisio ab ud wir eralte: : Es ilt also:. Somit müsse weitere NST vo auc Lösue der quadratisce Gleicu sei. Da die Diskrimiate eativ ist, köe wir aber sicer sei, dass keie weitere NST at. Die eizie NST vo lautet also: c Bekatlic wird ei Produkt da Null, we eier der Faktore Null ist. Wir aktorisiere desalb: [ ] [ ] Nu lasse sic die zwei NST so. doppelte NST vo ablese: ud.

3 Lösue Mittwoc --. a. Neer: ür alle IR. Also: ID IR. Somit keie Deiitioslücke! Zäler: Die NST laute:, ud. Sciee Asymptote: Vermutu: y. Nacweis: Die Polyomdivisio ürt zu: : Für ± strebt der zweite Summad ee : : Somit ilt ür rosse : b 6 Wir aktorisiere de Zäler: Da de Neer: Abspalte des Faktors mit Hile der Polyomdivisio ürt zu 6 6 Somit ilt:. ist eie auebbare Deiitioslücke. & - sid Polstelle. ist eie Nullstelle. Grezveralte ür ± wir kürze mit : ± ± 6 Die -Acse ist eie waarecte Asymptote.

4 Lösue Mittwoc --. A B A B Ei Verleic der Zäler ürt zu: A B ud somit zu: A A B A A B A ud B sid also so zu bestimme, dass A A B ist. Wir erkee allerdis, dass au der like Seite dieser Gleicu kei vorkommt. Dies at zur Fole, dass A B sei muss. Follic ilt A ud somit A. Scliesslic olt aus der Bezieu A B,dass B ist. Das Gaze köte ma auc so ormuliere: Die Bezieu A A B ürt zum Gleicussystem: A B A Daraus resultiere die esucte Zale: A ud B. 6. a Der olede Asatz stammt vo eiem Assistete. Beste Dak a Georios Atitsis. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Hier oc ei weiterer Asatz meier Assistete der ür 6 b leider ict uktioiert: Idee: Wir suce zuäcst ei Polyom mit als NST. Asatz: Nu betracte wir de Grape vo ud versciebe i um ac rects. Da versciebt sic atürlic auc die NST um ac rects ud wir eralte die NST. Somit: Versciebu umac rects b [ ] [ ] [ ] Leider sid oc ict alle oeiziete azzali. Also wiederole wir de Asatz:

5 Lösue Mittwoc -- Block. a ürze mit eribt a. Da ist auc. Also olt a b Beweis: Sei ε > beliebi. a a < ε < ε < ε 6 8 < ε < ε 8 8 Die Betrasstrice im Neer köe weelasse werde da der Ausdruck stets positiv bleibt eal welce atürlice Zal ür eiesetzt wird. Zudem ist der Betra vo leic. Somit: 8 < ε < ε 8 < 8ε ε ε < 8ε q.e.d. ε Zu jedem oc so kleiem ε > ide wir also dak der Bezieu < stets ei 8ε passedes, so dass sämtlice Folelieder a ab diesem, vom Grezwert a we- ier als ε > etert sid. ε c Wir setze ε. i de Ausdruck < 8ε ei ud eralte 6. <. D.., ab der Ideummer 6 sid sämtlice Folelieder a vom Grezwert weier als, etert. a. a Umorme ud Awedu der Grezwertsätze: Natürlic köte ma auc ei paar Scritte übersprie ud so rece } {

6 Lösue Mittwoc -6- b { 678. a b c e d Mit de Bructerm kürze: } {. a { liks vo b { rects vo c { d { Fazit: Nict auebbare Deiitioslücke a der Stelle. Waarecte Asymptote y / Tipp: Vertraue Sie ict zu ser dem TR, we Sie oe Epoete eitippe. Bei ser rosse ud ser kleie Zale, ka es bald eimal zu "Ruduseler" komme. oder allealls zu eier so. "Auslöscu". Merke: Ei TR ersetzt ict de esude Mesceverstad!

7 Lösue Mittwoc -7-. a... Oesictlic ilt:. e e b TR au Boemass umstelle!... si si Oesictlic ilt:. Alebraisc-recerisce Herleitu: Wir brauce die Tatsace, dass oledes ilt siee ester: " ta si ür > klei". si Divisio durc si lieert:. erwert bilde: cos. cos si 678 si si De Limes bilde: cos. Somit muss elte.

8 Lösue Mittwoc -8- Block. Wir erier us: ist a der Stelle dierezierbar die Liksableitu als auc die Rectsableitu eistiere, ud die beide Ableitue sid leic. a Da mit eie Polyomuktio vorliet, ist diese a jeder beliebie Stelle dierezierbar. Die Ableitu lautet:. b Da ür eative ict deiiert ist, eistiert a der Stelle die Liksableitu ict. Näer wir us vo rects a die Stelle wird die Taetesteiu "uedlic ross". Somit eistiert a der Stelle auc keie Rectsableitu. Zusammeassu: ist ür > dierezierbar. A der Stelle eistiert weder die Liks-, oc die Rectsableitu. Die Ableitu lautet:. c Da ür eative ict deiiert ist, eistiert a der Stelle die Liksableitu ict. Näer wir us vo rects a die Stelle wird die Taetesteiu Null. Somit ist a der Stelle vo rects ableitbar. Zusammeassu: Rectsableitu ud sie beträt. ist ür > dierezierbar. A der Stelle eistiert ur die. Die Ableitu lautet:. d Die Recstableitu a der Stelle beträt, die Liksableitu iee. Somit ist die Betrasuktio a der Stelle ict dierezierbar. A alle adere Stelle ist iee dierezierbar. Die vier Grape zu de Auabe a, b, c ud d see oledermasse aus: a b

9 Lösue Mittwoc -9- c d. a c b a b q q q q q, q c, 6 6. a Ei solcer Scittwikel vo o mit der -Acse etsprict eier Taetesteiu vo, oder vo -. Hier eie Zeicu ürs bessere Verstädis: Das eisst: Wir suce alle Stelle i dee die Taetesteiu im urvepukt /, oder - beträt. Zu löse ist somit die Gleicu: ± : ± ±. Somit i P ud i P.

10 Lösue Mittwoc -- b Der Recewe ist aalo zur Teilauabe a: ± ±. Im Fall eralte wir ±. Im Fall ibt es keie weitere Lösue. Somit i P ud i P - c e ± Im Fall e eralte wir keie Lösu, da Im Fall e olt. Somit i P. Iteressat zu wisse: Uter alle Epoetialuktioe eizie, die i eie Taete mit eiem Steiuswikel vo e ür alle Epoete stets rösser ist. a, ist die Basis e die o zur Fole at!. a Hier wäre es zwar mölic, aber uvorteilat, die Quotietereel azuwede! b Hier muss die Produktreel ud die ettereel aewedet werde: cos si cos si. Bei dieser Auabe brauce wir die Quotietereel:

11 Lösue Mittwoc Sei, ln.... Wir erier wir us a das Pascalsce Dreieck: ] [ Wir kürze mit ud bestimme da de Limes: q.e.d. 7. Die Produktreel PR ud ascliessed die ettereel R awede: R PR

12 Lösue Mittwoc -- Block. a lo lo 6 [lo ] [lo ] 6. Substitutio: t [lo ] ürt zur quadratisce Gleicu t t 6, welce wir mit eiem Zweiklammerasatz löse: t t. Die Lösue laute: t ud t. Rücksubstitutio: t [lo ] ud t [lo ]. Die Lösusmee lautet somit: IL { ; 8 }. b Dieser Lösuswe ist mit der Uterstützu meies Assistete Be Hambrect etstade, der mic au die Problematik des Deiitiosbereics aumerksam emact at: Beste Dak! Actu: Loaritmiere ist ur ür > erlaubt; also lieber eie adere We suce, de sost werde allällie Lösue eiac ioriert. Überaupt sollte ma ier beacte, dass der Ausdruck ict ür alle lr deiiert ist! Asatz: Wir vereiace die Gleicu durc die Divisio mit. Der Fall erweist sic als erste Lösu der Gleicu. Nu ist also die Gleicu zu löse, was ac etsprecede Umormue zum Problem ± ürt. Dieses Problem ilt es u sorälti zu aalysiere ud zu löse. Etwa mit eier Fallutersceidu: Sei >, da ist der Ausdruck deiiert ud sicer positiv. Weiter ka ma zeie, dass ür < < kleier als ud ür > rösser als wird, ud somit sicer die eizie positive Lösu der Gleicu sei ka. Eie adere Mölickeit im Fall > ist, die Gleicu zu loaritmiere, was erlaubt ist, da ier ausscliesslic positive aescaut werde. Dies ürt zur Gleicu lo ud ollic ebealls zur Lösu, de lo ist leic ud zudem wird > vorausesetzt. Sei u <, da ist der Ausdruck ur ür {-; -; -;...} Z deiiert. Wir ee u alle mölice Lösuskadidate {-; -; -;...} durc: Zuäcst stellt sic - leic als weitere Lösu eraus! Daac utersuce wir zuerst die oc verbleibede erade Zale -; -; -6;..., ud ascliessed die oc verbleibede uerade Zale -; -; -7;... : ; ;... Diese Werte liee alle im Itervall ; ] ud köe also keie Lösue der Gleicu ± sei. ; ;... Diese Werte liee alle im Itervall [ ; ud köe ebealls keie Lösue der Gleicu ± sei. 7

13 Lösue Mittwoc -- Usere Problemaalyse ist u abesclosse. Nac dieser Fallutersceidu köe wir oler, dass ur -; ud zur Lösusmee eöre. Zum Abscluss ocmals die wictiste Scritte: Beide Seite durc dividiere ud sic die Lösu vormerke ±. Aus de obie Überleue olt: Für ist erüllt, ür ist erüllt ud es ibt keie weitere Lösue, da sämtlice oc i Frae kommede Lösuskadidate aus dem Deiitiosbereic systematisc ausesclosse wurde. Somit ilt: ll { -,, }. a e l Nac Deiitio. Wir leite beide Seite der Gleicu ab ud wede au der like Seite die ettereel a. l e{ l l l. loa b a Nac Deiitio. Wir leite beide Seite der Gleicu ab ud wede au der like Seite die ettereel a. äussere Ableitu 6 78 iere Abl. 678 loa l a a loa l a lo a lo a l a Beim erste Scritt wurde zudem die Tatsace a l a a verwedet siee Skript.. a.. Somit ilt: α arcta o 6.6 b. Somit ilt: α arcta o Zuäcst stelle wir die Parabelleicu au. Die uel wird im Urspru, also a der NST abescosse ud erreict das Maimum a der Stelle. Aus Symmetrierüde lautet also die zweite NST. Ledilic die Öu der Parabel ist oc ubekat. Somit bietet sic der olede Nullstelle-Asatz ür die Parabelleicu P a Vl. auc die utesteede Zeicu:

14 Lösue Mittwoc -- P: y a a a Um a zu berece setze wir de Pukt ; i die Parabelleicu P ei, a a a a ud eralte somit P: Weiter ilt: y. y ud ollic y. o Nu lässt sic der esucte Steiuswikel berece: arcta cos cos si si cos si ta cos cos cos oder so: cos si cos si ta... ta cos cos cos 6. Wir betracte sämtlice Alters-ombiatioe der ider: Mölice Hausummer sid somit: 8,, 6,,,,,. Baba brauct a dieser Stelle eie weitere Iormatio. Also wisse wir, dass die Hausummer sei muss. De ur daür ibt es zwei ombiatioe: 66 ud 9...das älteste... also muss es sic um die ombiatio 9 adel.