Höhere Mathematik für Ingenieure

Transkript

1 Burg / Haf / Wille Höhere Mathematik für Ingenieure Band III Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen Von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf Universität Kassel, Gesamthochschule 3., durchgesehene und erweiterte Auflage Mit 126 Figuren, zahlreichen Beispielen und 77 Übungen, zum Teil mit Lösungen a; B. G. Teubner Stuttgart 1993

2 Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf Geboren 1938 in Pfronten/ Allgäu. Von 1956 bis 1960 Studium der Feinwerktechnik-Optik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München. Von 1960 bis 1966 Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Hochschule Aachen und 1966 Diplomprüfung in Mathematik. Von 1966 bis 1970 Wiss. Assistent, 1968 Promotion und von 1970 bis 1974 Akad. RatiOberrat an der Universität Stuttgart. Von 1968 bis 1974 Lehraufträge an der Universität Stuttgart und seit 1974 Professor für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel. Seit 1985 Vorsitzender der Naturwissenschaftlich-Medizinischen Gesellschaft Kassel. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Approximationstheorie. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Höhere Mathematik für Ingenieure / Burg; Haf ; Wille. - Stuttgart : Teubner. NE: Burg, Klemens; Haf, Herbert; Wille, Friedrich Bd. 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen : mit zahlreichen Beispielen und 77 Übungen, zum Teil mit Lösungen / von Herbert Haf. - 3., durchges. und erw. Aufl ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Stuttgart 1993

3 Vorwort Der Inhalt dieses dritten Bandes gliedert sich in drei Themenkreise: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen und Integraltransformationen. Dabei stehen hier, wie auch in den übrigen Bänden, Anwendungsaspekte im Mittelpunkt. Insbesondere erfolgt die Motivierung für die o. g. Schwerpunkte jeweils aus konkreten Situationen, wie sie in Technik und Naturwissenschaften auftreten. Die Übertragung der entsprechenden Fragestellungen in die Sprache der Mathematik ("Mathematisierung") stellt hierbei den ersten Schritt dar. Ihm folgt die mathematische Präzisierung und Einbettung in allgemeinere mathematische Theorien sowie die Bereitstellung von Lösungsmethoden. Den Verfassern ist sehr wohl bewußt, daß Mathematik für den Ingenieur in erster Linie Hilfsmittel zur Bewältigung von Problemen der Praxis ist. Dennoch halten wir eine Abgrenzung von reiner "Rezeptmathematik" für unentbehrlich: Zu einer soliden Anwendung von Mathematik gehört auch ein Wissen um die Tragweite einer mathematischen Theorie (unter welchen Voraussetzungen gilt ein bestimmtes Resultat; welche Konsequenzen ergeben sich aus dem Ergebnis usw.). Eine überzogene Betonung der theoretischen Seite andererseits, etwa durch zu abstrakte Behandlung, würde die Belange des Praktikers verfehlen. Wir haben uns bemüht, einen Mittelweg zu beschreiten und zu vermeiden, daß der Eindruck "trockener Theorie" entsteht. Ein Beispiel hierfür ist der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (vgl. Abschn ), ein zentrales Resultat in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dieser Satz wird in den sich anschließenden Überlegungen unmittelbar in Anwendungsbezüge gestellt, etwa bei der Diskussion von ebenen Vektorfeldern (vgl. Abschn ) oder im Zusammenhang mit der Frage, wie sich Ungenauigkeiten bei Anfangsdaten (z. B. ungenaue Meßdaten) oder Parameter (z. B. nicht exakte Materialkonstanten) auf das Lösungsverhalten von Anfangswertproblemen auswirken (vgl. Abschn ). Das Kapitel "Gewöhnliche Differentialgleichungen" endet mit einem Ausblick in ein modernes mathematisches Gebiet, nämlich einem kleinen Exkurs in die Verzweigungstheorie. Diese hat in den letzten Jahrzehnten erhebliche Bedeutung gewonnen. Etwas ungewöhnlich im Rahmen einer Mathematik für Ingenieure ist der Abschnitt über Distributionen. Diese erweisen sich immer mehr als ein wichtiges Hilfsmittel auch für den Ingenieur. Zur Aufnahme wurden wir durch Kollegen anderer Hochschulen ermuntert. Wir beschränken uns auf die Behandlung von "Distributionen im weiteren Sinne". Dieses Gebiet wird auch für den interessierten Ingenieur-Studenten "zumutbar", und zwar aufgrund einer vereinfachten Darstellung, die topologische Aspekte ausklammert. Bereits auf dieser Ebene ist es möglich, einen Einblick in Wesen und Anwendungsmöglichkeiten von Distributionen zu gewinnen. Gegenstand des letzten Abschnitts "Integraltransformationen" sind die Fourier- und die Laplace-Transformation. Dabei wurde ein klassischer, vom Lebesgue-Integral freier, Zugang gewählt. Für den Beweis des Umkehr satzes für die Fourier-Transformation (s. Abschn. 8.2) beschränken wir uns auf den (= Raum der in lr beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit entsprechendem Abklingverhalten). Dadurch wird der im allgemeinen Fall recht komplizierte und umfangreiche Beweis besonders einfach und übersichtlich.

4 IV Vorwort Unser Dank gilt in besonderer Weise Herrn Prof. Dr. P. Werner (Universität Stuttgart). Seine wertvollen Anregungen und Hinweise haben diesen Band mitgeprägt. Weiterhin danken möchten wir Herrn A. Heinemann für seinen Beitrag bei der Ausarbeitung von Übungsaufgaben, Herrn K. Strube für die Herstellung der Figuren, den Herren M. Seeger und K. H. Dittmar für Korrekturlesen und Frau E. Münstedt bzw. Frau M. Gottschalk für die sorgfältige Erstellung des Schreibmaschinenmanuskriptes bzw. einer typographisch ansprechenden Druckvorlage. Auch dem Teubner-Verlag haben wir wiederum für die ständige Gesprächsbereitschaft, Rücksichtnahme auf Terminprobleme und Gestaltungswünsche zu danken. Kassel, im März 1985 Herbert Haf Vorwort zur dritten Auflage Die dritte Auflage von Band III präsentiert sich in verändertem Layout. Auch inhaltliche Erweiterungen bzw. Ergänzungen wurden vorgenommen. So enthält diese Neuauflage eine Einführung in die Theorie ebener autonomer Systeme (s. Abschn. 1.4) und ein kurzes Kapitel über die Hilberttransformation (s. Abschn ). Als Beispiel für eine diskrete Transformation haben wir die 3-Transformation aufgenommen (s. Abschn. 10). Wir hoffen, daß dieser Band dadurch an Attraktivität gewonnen hat. Unser besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. J. Hainzl für wertvolle Verbesserungsvorschläge. Ferner danken wir Herrn cand. inf. J. Barner für die Erstellung der hervorragenden Textvorlage. Kassel, September 1992 Herbert Haf

5 Inhalt Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Einfühmng in die gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.1 Was ist eine Differentialgleicbung? Differentialgleichungen als Modelle für technisch-physikalische Probleme Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung Differentialgleicbungen 1-ter Ordnung Geometrische Interpretation. Folgerungen Grundprobleme Existenz- und Eindeutigkeitssatz Anwendungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes Elementare Lösungsmethoden Numerische Behandlung Differentialgleicbungen böberer Ordnung und Systeme 1-ter Ordnung Existenz- und Eindeutigkeitssätze Abhängigkeit von Anfangsdaten und Parametern Elementare Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen 2-ter Ordnung. Anwendungen Ebene autonome Systeme (Einführung) Fortsetzbarkeit der Lösungen von Anfangswertproblemen Phasenebene, Orbits und Gleichgewichtspunkte Lineare autonome Systeme Ebene nichtlineare Systeme. Anwendungen Lineare Differentialgleichungen 2.1 Lösungsverbalten Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Systemen I-ter Ordnung Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung Fundamentalsystem Wronskideterminante

6 VI Inhalt 2.3 Inhomogene lineare Systeme I-ter Ordnung Inhomogene Systeme und Superposition Spezielle Lösungen und Variation der Konstanten 2.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter-ordnung Fundamentalsystem und Wronskideterminante Reduktionsprinzip Variation der Konstanten Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Homogene Differentialgleichungen und Konstruktion eines Fundamentalsystems Inhomogene Differentialgleichungen und Grundzüge der Operatorenmethode Inhomogene Differentialgleichungen und Grundlösungsverfahren Anwendungen Lineare Systeme I-ter Ordnung Eigenwerte und -vektoren bei symmetrischen Matrizen Systeme mit symmetrischen Matrizen Hauptvektoren. lordansche Normalform Systeme mit beliebigen Matrizen Systeme und Matrix-Funktionen Zurückführung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Systeme höherer Ordnung Anwendungen Potenzreihenansätze und Anwendungen 4.1 Potenzreihenansätze Differentialgleichungen mit regulären Koeffizienten Hermitesche Differentialgleichung 4.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansätze Differentialgleichungen mit singulären Koeffizienten Besselsche Differentialgleichung

7 Inhalt VII 5 Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen 5.1 Rand- und Eigenwertprobleme Beispiele zur Orientierung Randwertprobleme Eigenwertprobleme 5.2 Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung Die schwingende Saite Physikalische Interpretation Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung) AufgabensteUung Das linearisierte Problem Das nichtlineare Problem. Verzweigungslösungen Distributionen 6 Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs 6.1 Motivierung und Definition Einführende Betrachtungen Der Grundraum Ci:' (1R. n) Distributionen (im weiteren Sinn) 6.2 Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen Stetige Funktionen und Distributionen Die Diracsche Delta-Funktion Rechnen mit Distributionen. Anwendungen 7.1 Rechnen mit Distributionen Grundoperationen Differentiation. Beispiele 7.2 Anwendungen Grundlösungen der Wärmeleitungsgleichung Ein Differentialgleichungsproblem

8 VIII Inhalt Integraltransformationen Vorbemerkungen Fouriertransformation 8.1 Motivierung und Definition Einführende Betrachtungen Definition der Fouriertransformation. Beispiele Umkehrung der Fouriertransformation Umkehrsatz im Umkehrsatz für stückweise glatte Funktionen Eindeutigkeit der Umkehrung Eigenschaften der Fouriertransformation Linearität Verschiebungssatz Faltungsprodukt Differentiation Fouriertransformation und temperierte Distributionen Fouriertransformation kausaler Funktionen und Hilberttransformation Anwendungen auf partielle Differentialgleichungsprobleme Wärmeleitungsgleichung Potentialgleichung Laplacetransformation 9.1 Motivierung und Definition Zusammenhang zur Fouriertransformation Definition der Laplacetransformation 9.2 Umkehrung der Laplacetransformation Umkehrsatz und Identitätssatz Berechnung der Inversen 9.3 Eigenschaften der Laplacetransformation Linearität Verschiebungssätze. Streckungssatz Faltungsprodukt Differentiation Integration Laplacetransformation und periodische Funktionen

9 Inhalt IX 9.4 Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Differentialgleichungen mit unstetigen Inhomogenitäten Transformation 10.1 Motivierung und Definition Einführende Betrachtungen gj"-transformation und Zusam~enhang zur Laplacetransformation Definition der ß-Transformation Eigenschaften der 3-Transformation Grundlegende Operationen. Rechenregeln Umkehrung der ß-Transformation Anwendungen Lineare Differenzengleichungen Impulsgesteuerte Systeme 372 Anhang Lösungen zu den Übungen I) Symbole... Literaturverzeichnis Sachverzeichnis I) Zu den mit versehenen Übungen werden Lösungen angegeben oder Lösungswege skizziert.

10 x Band I: Analysis (F. Wille) 1 Grundlagen 1.1 Reelle Zahlen 1.2 Elementare Kombinatorik 1.3 Funktionen 1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen 1.6 Stetige Funktionen 2 Elementare Funktionen 2.1 Polynome 2.2 Rationale und algebraische Funktionen 2.3 Trigonometrische Funktionen 2.4 Exponentialfunktion, Logarithmus, Hyperbelfunktionen 2.5 Komplexe Zahlen 3 Differentialrechnung einer reellen Variablen 3.1 Grundlagen der Differentialrechnung 3.2 Ausbau der Differentialrechnung 3.3 Anwendungen 4 Integralrechnung einer Variablen 4.1 Grundlagen der Integralrechnung 4.2 Berechnung von Integralen 4.3 Uneigentliche Integrale 4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung 5 Folgen und Reihen von Funktionen 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen 5.2 Potenzreihen 5.3 Fourier-Reihen 6 Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 6.1 Der n-dimensionale Raum IR n 6.2 Abbildungen im IR n 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen 6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen 7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 7.1 Integration bei zwei Variablen 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen 7.3 Parameterabhängige Integrale

11 XI Band 11: Lineare Algebra (F. Wille, H. Haf, K. Burg) 1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1.1 Vektoren in der Ebene 1.2 Vektoren im dreidimensionalen Raum 2 Vektorräume beliebiger Dimensionen 2.1 Die Vektorräume IRn und <en 2.2 Lineare Gleichungssysteme, Gauß'scher Algorithmus 2.3 Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper 2.4 Vektorräume über beliebigen Körpern 3 Matrizen 3.1 Definition, Addition, s-multiplikation 3.2 Matrizenmultiplikation 3.3 Reguläre und inverse Matrizen 3.4 Determinanten 3.5 Spezielle Matrizen 3.6 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.8 Die lordansehe Normalform 3.9 Matrix-Funktionen 3.10 Drehungen, Spiegelungen, Koordinatentransformationen 4 Anwendungen 4.1 Technische Strukturen 4.2 Roboter-Bewegung Band IV: Vektoranalysis und Funktionentheorie (H. Haf, F. Wille) Vektoranalysis (F. Wille) 1 Kurven 1.1 Wege, Kurven, Bogenlängen 1.2 Theorie ebener Kurven 1.3 Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte

12 XII 1.4 Beispiele ebener Kurven 11: Rollkurven, Blätter, Spiralen 1.5 Theorie räumlicher Kurven 1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale 2 Flächen 2.1 Flächenstücke und Flächen 2.2 Flächenintegrale 3 Integralsätze 3.1 Der Gaußsche Integralsatz 3.2 Der Stokessche Integralsatz 3.3 Weitere Differential- und Integralformeln 3.4 Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale 4 Alternierende Differentialformen 4.1 Alternierende Differentialformen im IR Alternierende Differentialformen im IR n 5 Kartesische Tensoren 5.1 Tensoralgebra 5.2 Tensoranalysis Funktionentheorie (H. Haf) 6 Grundlagen 6.1 Komplexe Zahlen 6.2 Funktionen einer komplexen Variablen 7 Holomorphe Funktionen 7.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie 7.2 Komplexe Integration 7.3 Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse 7.4 Asymptotische Abschätzungen 8 Isolierte Singularitäten, Laurententwicklung 8.1 Laurentreihen 8.2 Residuensatz und Anwendungen

13 XIII 9 Konforme Abbildungen 9.1 Einführung in die Theorie konformer Abbildungen 9.2 Anwendungen auf die Potentialtheorie 10 Anwendungen der Funktionentheorie auf die Besselsche Differentialgleichung 10.1 Die Besselsche Differentialgleichung 10.2 Die Besselschen und Neumannschen Funktionen 10.3 Anwendungen Band V: Funktionalanalysis und Partielle Differentialgleichungen (H. Haf) Funktionalanalysis 1 Grundlegende Räume 1.1 Metrische Räume 1.2 Normierte Räume. Banachräume 1.3 Skalarprodukträume. Hilberträume 2 Lineare Operatoren in normierten Räumen 2.1 Beschränkte lineare Operatoren 2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen 2.3 Symmetrische vollstetige Operatoren 3 Der Hilbertraum L 2(Q) und zugehörige Sobolevräume 3.1 Der Hilbertraum Lz(Q) 3.2 Sobolevräume Partielle Differentialgleichungen 4 Einführung 4.1 Was ist eine partielle Differentialgleichung? 4.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1-ter Ordnung 4.3 Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung

14 XIV 5 Helmholtzsche Schwingungsgleichung und Potentialgleichung 5.1 Grundlagen 5.2 Ganzraumprobleme 5.3 Randwertprobleme 5.4 Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie 5.5 Einführung in die Methode der finiten Elemente (F. Wille) 6 Die Wärmeleitungsgleichung 6.1 Rand- und Anfangswertprobleme 6.2 Ein Anfangswertproblem 7 Die Wellengleichung 7.1 Die homogene Wellengleichung 7.2 Die homogene Wellengleichung im ]R.3 8 Hilbertraummethoden 8.1 Einführung 8.2 Das schwache Dirichletproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen 8.3 Das schwache Neumannproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen 8.4 Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem