4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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1 4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert. Lösug 6: a) Zuächst ist cosπ) ). Daher zerfällt die Folge a ) vollstädig i die beide Teilfolge c ) ud d ) mit c a ) ud d a ) 2 2 Da 2 siehe Beispiel 2.4, Teil a) folgt c 2, d 0. Isgesamt folger wir: Die Folge zerfällt vollstädig i zwei kovergete Teilfolge, also sid dere Grezwerte die eizige Häufugspukte. Die Folge a ) hat also die Häufugspukte c 2 ud d 0, die Teilfolge a 2 ) bzw. a 2 ) kovergiere gege diese Häufugspukte. b) Mit der geometrische Summeformel forme wir zuächst um: Da, für k N, i 4k ist, folgt b i) i j i) i i i. j0 i 4k i 0, i 4k+ i i, i 4k+2 i 2, i 4k+3 i 3 i. Also zerfällt b ) vollstädig i die 4 Teilfolge mit de Glieder: c k a 4k i 4k 0, d k a 4k+ i 4k+ i, e k a 4k+2 i 4k+2 2, f k a 4k+3 i 4k+3 + i. Jede dieser Teilfolge ist kostat, isbesodere also koverget. Die Häufugspukte der Folge b ) sid demach 0, i, 2 ud + i. j0 Aufgabe 7: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez geeigeter Teilfolge. Der Grezwert oder die Häufugspukte müsse icht agegebe werde. a) a ) b) b ) Lösug 7: a) Ma hat Daraus folgt die beidseitige Abschätzug a ) + 3) a 3 für alle N, also ist a ) beschräkt. Ferer gilt a + a ) + 4) 2 + 3) ) + 3) + 4) ) + 3) + 4) < 0, also ist a ) streg mooto falled. Ma schließt mit dem Mootoiekriterium daraus, dass a ) koverget ist.

2 b) Wir köe b ) i zwei Teilfolge zerlege: b Wir utersuche die Mootoie für gerade : ) { gerade, + 2 ugerade b +2 b ) ) ) ) < 0 Die Teilfolge b 2k ) ist also streg mooto falled ud deswege ach obe durch b 2 b 2k beschräkt. Da aber Zähler ud Neer immer positiv sid, ist auch b 2k > 0 ud somit ist sie auch ach ute beschräkt ud deswege ach dem Mootoiekriterium koverget. Für ugerade erhalte wir b +2 b > 0, dass diese Teilfolge also streg mooto steiged ist, ud auch immer positiv ist b 2k > 0, doch hat 2 keie obere Schrake ud damit ist diese Teilfolge diverget. Damit hat b ) isgesamt zwar ur eie Häufugspukt, ist aber deoch icht koverget, ist also diverget. Aufgabe 8: Bereche Sie die Grezwerte der Folge a) a ) 3, b) b a + b, a, b R, hireiched groß, [ c) c + 3 ) ] [ ] ! 2 + ) 2, d) d ). Lösug 8: a).möglichkeit: Beachte: Die Idetität x + y ) x + y gilt ur, we die Grezwerte existiere! Es gilt a ) ) ) 2 3 ) b) Nach de Recheregel gilt 2.Möglichkeit: Es gilt a ) ) ) a ) 3 4 2) 3 + ) ) 2 + 4) ) ) Daraus folt a b 2 + a + b 2 + a + b ) 2 + a + b a + b a + b a + b + a + b + a + b + 2 a + 0 a, )

3 c) Wir köe die Faktore eizel betrachte- zuächst eimal ist 3 5 < ud somit ist 3 5) 0. Im zweite Faktor betrachte wir de erste Summade x : 0! > 0 geauer. Der Grezwert lässt sich mit dem Eischliessugskriterium bestimme. Sei y ), N 0 eie Folge mit y 0 0!. Da ist y 0 ) eie Nullfolge, de y ! 0 0! ! Für > 0 ist also x y ud wir sehe 0 0! 0 0 0! y y 0! De Bruch multipliziere wir aus ud kürze die höchste Potez: ) ! ) Der Grezwert ist hier da 3 4. Isgesamt erhalte wir c + 0) 0 3 ) ) 0 }{{} 0, da 0 < ) 0 0. d) I der erste Wurzel wird der Term 2 domiiere, de wir ausklammer ud aus der Wurzel ziehe werde- der Rest 7 geht da gege. I der Klammer verwede wir die biomische Formel a 2 b 2 a + b)a b) i der Form a b a2 b 2 a+b ud erhalte damit: d 2 ) }{{} 0, Aufgabe 9: Die Folge a ) sei rekursiv durch eie Startwert a 0 [0, 2] ud die Vorschrift gegebe. a) Zeige Sie Zeige Sie außerdem die beide Aussage: a + a a 2 + 3) 3a 2, 0,, 2,..., + a + a ) 3 3a 2, 0,, 2, < a 0 < 0 < a < für alle N, < a 0 < 2 < a < 2 für alle N. b) Zeige Sie, dass für 0 < a 0 < die Folge streg mooto wachsed, für < a 0 < 2 die Folge streg moto falled ist. c) Für welche a 0 [0, 2] kovergiert die Folge? Bereche Sie gegebefalls de Grezwert. Lösug 9: a) Es gilt a + a a 2 + 3) 3a 2 + a3 3a 2 + 3a 3a 2 a ) 3 3a 2 +.

4 De zweite Teil zeigt ma durch vollstädige Iduktio. Mit 0 < a 0 < folgt < a 0 ) 3 < ud 3a > 0 ud damit < a 0 ) 3 3a < 0. Also ist 0 < a <. Für < a 0 < 2 aalog. Der Iduktiosschritt fuktioiert geauso: Mit 0 < a < folgt < a ) 3 < ud 3a 2 + > 0 ud damit < a ) 3 3a 2 + < 0. ud es folgt die Behauptug. Aalog für < a < 2. Wir habe also gezeigt, dass die Folge für a 0 0, ), 2) beschräkt ist. b) Es gilt a + a2 + 3 a 3a a2 3a 2 +. Nach a) ist für 0 < a 0 < auch stets 0 < a <, ud da ist der letzte Bruch i der obige Gleichug positiv. Es folgt a + /a >, also wächst die Folge streg mooto. Aalog ist für < a < 2 der Bruch egativ, ud es folgt a + /a <. Die folge fällt streg mooto. c) Für a 0 0, ), 2) ist die Folge ach a) ud b) beschräkt ud mooto, also koverget. Der Grezwert muss die Gleichug a a a2 + 3) 3a 2 + efülle. Wir teile zuerst beide Seite der letzte Gleichug durch a ud multipliziere da mit 3a 2 +. Also etweder a 0 oder 3a 2 + a a 2 2 a 2. Diese letzte Gleichug hat die Lösug a ±. Als Grezwert kommt hier ur a i Frage. Für a 0 0 ist die Folge kostat 0, also gege 0 koverget. Für a 0 ist die Folge kostat ud somit gege koverget. Für a 0 2 folgt a 4/3, also < a < 2. Der Rest der Folge ist ach de Überleguge aus a), b) beschräkt ud mooto falled. Die Folge ist also koverget ud als Grezwert kommt ur i Frage. Aufgabe 20: Gegebe sei die komplexe Zahlefolge c ), die rekursiv defiiert ist durch c + 2i ud c + 2Rec )Imc ) Rec ) + Imc ) + i Rec )Imc ),. a) Zeige Sie, dass Rec ) Rec 2 )... Rec ) Imc )... Imc 2 ) Imc ). Hiweis: Beweis mit vollstädiger Iduktio. b) Zeige Sie, dass c ) kovergiert ud für de Grezwert c die Aussage Rec) Imc) gilt. Beachte Sie: Die Berechug des Grezwertes c ist icht erforderlich! Lösug 20: a) Beweis mit vollstädiger Iduktio: Iduktiosafag: Für gilt ach Voraussetzug Rec ) 2 Imc ). Die Aussage gilt also für. Iduktiosschritt: Für ei N gelte Rec )... Rec ) Imc )... Imc ) Zu zeige ist da: Rec ) i) Rec + ) ii) Imc + ) iii) Imc ) Zu i): Rec + ) 2Rec )Imc ) Rec ) Imc ) 2Rec )Imc ) Rec ). Rec ) + Imc ) 2Imc )

5 Zu ii): Für je zwei positive reelle Zahle a, b gilt a + b 2 ab 0 biomische Formel). Da ach der Iduktios Voraussetzug. 0 < Rec ) Rec ) Imc ), köe wir diese Formel awede ud erhalte Rec ) + Imc ) 2 Rec )Imc ), also 2Rec )Imc ) Rec ) + Imc ) Rec )Imc ). Zu iii): Imc + ) Rec )Imc ) Rec) Imc) Imc )Imc ) Imc ). b) I a) wurde gezeigt: Die Folge Rec )) ist mooto wachsed ud ach obe beschräkt z.b. durch Imc )). Aalog ist Imc )) mooto falled ud ach ute beschräkt. Beide Folge kovergiere also. Damit kovergiert auch c ) selbst. Für die Real- ud Imagiärteile des Grezwerts c muss gelte: Imc) Rec)Imc), also Imc) Rec). Damit folgt Imc) Rec).