Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.

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1 Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet) üblicherweise weg, da spricht ma eifacher ur och vo der Wurzel: Beispiel: 00 Gesucht ist die Wurzel aus der 00 Ergebis: Die Wurzel aus 00 ist die 0, weil 0 mal 0 00 ergibt. Was du auch wisse musst: Das Quadrat-Wurzelziehe ( ) ist das Gegeteil des Quadrieres. Das Wurzelziehe ( ) ist das Gegeteil des Potezieres (a ) Wurzelziehe heißt auch radiziere Wurzelziehe geht zum Beispiel mit Probiere. Negative Zahle habe keie Wurzel. Die Zahl uter dem Wurzelzeiche ist positiv: mit a 0 (der Radikad muss positiv sei) Negative Zahle gelte icht als Wurzel. Aber eie Wurzel ka ei egatives Vorzeiche habe. Ei egatives Vorzeiche heißt so viel wie multipliziere mit mius eis : ( ) Viele Wurzel sid irratioale Zahle, also Zahle die ma icht durch eie Bruch ausdrücke ka: π, etc. Ist der Wurzelexpoet eie, da ist die Kubikwurzel gesucht, ma sagt auch: die dritte Wurzel aus a. Ist der Wurzelexpoet eie, sagt ma die vierte Wurzel aus usw. Für beliebige Zahle sagt ma die -te Wurzel aus a Ist der Wurzelexpoet eie heißt das so viel wie a a a Da die Wurzel eier Zahl auch als Potez geschriebe werde ka, folgt, dass der Wurzelexpoet icht ull sei darf, da ma durch ull icht teile darf. () a Quadratwurzel ud eie Quadratzahl uter/über der Wurzel hebe sich gegeseitig auf, ebeso hebe sich die dritte Wurzel aus a³ durch die dritte Potez vo a auf ( a) etc. 08_wurzelgesetze.docx.09.6

2 Wurzelgesetze: Recheregel ) Wurzel multipliziere: Zwei Wurzel mit gleichem Wurzelexpoete werde multipliziert, idem ma die Radikade multipliziert ud daraus die Wurzel zieht (alles uter eie Wurzel schreibe), dabei bleibt der der Wurzelexpoet uverädert: b b bei Quadratwurzel: b b Bsp.: Astatt zwei Zahle uter eie gemeisame Wurzel zu ziehe, wie obe gezeigt, ka ma Produkte auch tree: Die Wurzel des Produkts kast du i das Produkt zweier Wurzel umwadel b b Bsp.: Multiplikatio eier gaze Zahl ud eier Wurzel: Bei der Multiplikatio eier Zahl mit eier Wurzel wird oft das Multiplikatioszeiche-Zeiche weggelasse. Bsp.: Aufgabe: 8 0 0, 00, 6 70, , 6, 0, , _wurzelgesetze.docx.09.6

3 ) Wurzel dividiere: Wurzel mit gleichem Wurzelexpoete werde dividiert, idem ma die Radikade dividiert ud da die Wurzel zieht, dabei bleibt der Wurzelexpoet gleich b a b bei Quadratwurzel: b b Bsp.: oder: 7 7 Wurzel aus Bruch: Auch bei der Divisio ka ma de Bruch tree: Die Wurzel eies Bruchs ka ma i de Quotiete zweier Wurzel umwadel: a b b Bsp.: oder: Aufgabe: , ,6 6 0,6 0, ,09,,,69 0, ,8 0,06 08_wurzelgesetze.docx.09.6

4 ) Wurzel addiere ud subtrahiere Wurzel köe ur da addiert oder subtrahiert werde, we sie de gleiche Expoete ud de gleiche Radikade habe. Wurzel werde addiert (subtrahiert) idem ma de Faktor vor der Wurzel addiert (bzw. subtrahiert): x x + y y (x + y) (x y) Additio: ( + ) x 8 8( + x) Subtraktio: (7 ) a 8 8( a) Aufgabe: x 9a + 0 ) Wurzel ausklammer Wie beim Ausklammer vo Zahleterme oder Variableterme ka ma auch Wurzelterme zusammefasse oder ausklammer: Bsp.: ( ) Solche Umformuge helfe dabei, Terme zu vereifache. Meist ergebe sich vorteilhafte Möglichkeite zu kürze. Aufgabe: a - b + c 6 - ³ +³ +x (+x) 08_wurzelgesetze.docx.09.6

5 ) Teilweise die Wurzel ziehe: Um de Radikad möglichst klei zu mache, zieht ma die Wurzel teilweise. Dazu spaltet ma de Radikade i ei Produkt auf. Aus de eizele Faktore dieses Produktes ka ma da die Wurzel ziehe: Beispiele: 9a Aufgabe: ² 6 a 8 6) Vor-Faktor uter die Wurzel brige: Machmal lasse sich Wurzelausdrücke dadurch vereifache, dass ma de Vorfaktor uter die Wurzel zieht. Bei Quadratwurzel wird dazu der Vorfaktor quadriert ud als Faktor uter die Wurzel geschriebe: x x a oder: x x a Bsp.: 0 De Vorfaktor uter die Wurzel brige ist die Gegeoperatio zum teilweise die Wurzel ziehe. Aufgabe: _wurzelgesetze.docx.09.6

6 7) Neer ratioal mache: (Beseitige eie Wurzel aus dem Neer) a) Steht im Neer ei Produkt mit eier Wurzel als Faktor, da erweiterst Du de Bruch mit dieser Wurzel: Bsp.: ( ) a a 0, 0 0 b) Steht im Neer eie Summe oder Differez mit eier Wurzel, da erweiterst Du de Bruch uter Awedug der biomische Formel: Beispiel: Erweiterug mit Hilfe der. Biomische Formel +b (+b) (+b) (+b) +b +b (a+b)(a+b) (a+b) +b a+b Beispiel: Erweiterug mit Hilfe der. Biomische Formel b b b b b ( b) b b a b a b Beispiel: Erweiterug mit Hilfe der. Biomische Formel + ( ) (+ ) ( ) (²+( ) +a Aufgabe: b +b +a + 08_wurzelgesetze.docx.09.6

7 Zusatzaufgabe ab der Klasse 9: 8) Wurzel als Potez Wurzel lasse sich auch als Potez schreibe: a m ud a m oder: (ma darf auch schreibe 0, ) Bsp.: 9 9 Aufgabe: , 9) Wurzel aus Potez: Steht im Expoet eier Zahl ei Bruch, da ka ma diese Zahl auch als Wurzel eier Potez schreibe: a m m Bsp.: (siehe auch Potezgesetze) Aufgabe: 6 Wurzel ud Potez kürze: Eie Wurzel wird mit eiem Expoete poteziert, idem der Radikad mit dem Expoete poteziert wird: Aufgabe: ( ) _wurzelgesetze.docx.09.6

8 0) Wurzel aus Wurzel: Die Wurzel wird aus eier Wurzel gezoge (oder eie Wurzel wird radiziert), idem die Wurzelexpoete multipliziert werde, ud die Basis gleich bleibt: Bsp.: m m a m (a hoch eis durch m mal ) Aufgabe: Zusammefassug Wurzelgesetze: Recheoperatio Voraussetzug Rechegesetz Wurzel multipliziere gleicher Wurzelexpoet b b Wurzel dividiere Wurzel aus Bruch gleicher Wurzelexpoet b a b a b b Wurzel addiere gleicher Radikad, gleicher Wurzelexpoet x + y (x + y) Wurzel subtrahiere gleicher Radikad, gleicher Wurzelexpoet x y (x y) Wurzel aus Potez a m m Wurzel aus Wurzel m m a m 08_wurzelgesetze.docx.09.6

9 Gemischte Aufgabe: ) 8 7 ) ) + 9a 0 b ) x x x 6 x ) 7, 0 6) 0, 8 60,6 7) 0,, + 8) Neer ratioal mache: 7+ 9) a b 6,8 0) 0,7,8 ( ) ) 6, ) ) 8 08 ) ) 80 0, 6) ) ) + 0, _wurzelgesetze.docx.09.6

10 9) ) ² 6 ) Teilweise Wurzel ziehe: 7 98 ) x 8x a³ ) ) 8a x r² a²b³ ) Vorfaktor uter die Wurzel ziehe: a a 6) 0 7) ) ) 0) ) ) ) ) ) ) (a + b) (a + b) + (a + b) - (a + b) 08_wurzelgesetze.docx.09.6

11 Lösuge:. Wurzel multipliziere: , , , , 6,,, 0,6 0,6 0,, ,09 9 0,09 0, 0, Wurzel dividiere: oder , 6 :, ,8 0,8 0 0, ,6 0,8 0,6 0, , ,09 0,,,,,,69, 0,0009 0, ,8 0,9,6 0,06 0,. Wurzel addiere ud subtrahiere: + ( + ) + ( + ) ( ) (8 + ) x 9a 9 + x 9 ( + x) ( + 0 ), 0 08_wurzelgesetze.docx.09.6

12 . Wurzel ausklammer: a - b + c (a b + c) 6 - (6 ), ³ +³ ( + )a +x (+x) (+x) (+x). Teilweise die Wurzel ziehe: ² 9 9 ² a a 9 ² Vorfaktor uter die Wurzel ziehe: Neer ratioal mache: 6 b ( b) (+b) +b b (a b)(a+b) a² b² +b (+b) (+b) (a+b)(a+b) (a+b) a+b (+ ) + + ( ) (+ ) 9 7 +a +a (+a) a²+a +a +a (+a)² +a + ( ) (+ ) ( ) (²+( ) +a 8. Wurzel als Potez: , Wurzel aus Potez: _wurzelgesetze.docx.09.6

13 Wurzel ud Potez kürze: 9 ( ) 7 6 (7 ) (0 ) 0² Wurzel aus Wurzel: Gemischte Aufgabe: ) ) ) + 0 ( + 0 ) 0 x, 6 x 8 9a b a² b b ) x x x² 6x² 8x x x x 6 a 9a a ax a ) , 0,, 6) 0, 8 0, 8 60,6 60,6 76 7) 0,, 0,, 6,, + 8) Neer ratioal mache: a (+a) 7+ (7+ ) (7 ) (7²+( a²+a ) 9+ 9) a b 6 a² b,8,8 0) 0,7,8 0,7,8,96, ( ) 08_wurzelgesetze.docx.09.6

14 ) 6,8 00 6, ) ) oder ) (-) 8 8 ) 80 0, 80 0, 6 6) ) oder ) + 0,, ) ) ² 9 a² 9 ² a 6 8 ) Teilweise Wurzel ziehe: ) x x 8x a³ x x a² a ) ) 8a x 9a x x r² r a²b³ ab b ) Vorfaktor uter die Wurzel ziehe: a a ² a ³ 6) 0 7) (6 - ) _wurzelgesetze.docx.09.6

15 8) 6 + 6, 6,,6 9) ( + ) 9+ + ( )( + ) 0) + ( ) ( ) 6 ) 6 6 ( + )( ) ) ( )( ) ( + )( ) ( 6) ) + ( + )( + ) ( )( + ) ) ( + 7) (6 + ) ( 7)( + 7) 7 ) 7 7+ ( 7 ) ( 7 )( 7+ ) 7 ) 7 7+ ( 7) ( 7 ) + 9+ ( 7+ ) ( 7 ) ) (a + b) (a + b) + (a + b) - (a + b) (a + b) 08_wurzelgesetze.docx.09.6