SYS_A - ANALYSIEREN. Statistik. NTB Druckdatum: SYS A. Histogramm (Praxis) Gaußsche Normalverteilung (Theorie) Gebrauch: bei n > 100
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- Klemens Blau
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1 SYS_A - ANALYSIEREN Statistik Gaußsche Normalverteilung (Theorie) Gebrauch: bei n > 100 Histogramm (Praxis) Realisierung Lage Streuung Zufallsvariable Dichte der Normalverteilung Verteilungsfunktion Fläche unter monoton steigend Fläche der Normalverteilung Erwartungswert Standardabweichung von X Varianz von X Standardnormalverteilung Wahrscheinlichkeiten Fläche Lage Streuung Anzahl Messungen Klassen Klassenbreite Klassenhöhe Absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Fläche des Histogramm Mittelwert arithm. Mittel emp. Standardabweichung empirische Varianz emp. Standardabweichung des Mittelwertes 10x genauer = 100x mehr Messwerte Mehrere Histogramme (für ) Mittelwerte addieren Varianzen addieren Standardabweichung Student t-verteilung Gebrauch: bei n < 30 (30<n<100 empfohlen) Zufallsvariable Sicherheitswahrscheinlichkeit Irrtumswahrscheinlichkeit Freiheitsgrad Weitere Verteilungsarten Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Dreiecksverteilung Marcel Meschenmoser Dozent: Rainer Pickhardt, Vincenzo Parisi Seite 1 von 5
2 Messunsicherheit Messergebnis Messgerät zu ungenau Messgerät optimal Messgerät zu genau Dreiecksverteilung Rechteckverteilung U-förmige Verteilung Korrigierter Mittelwert (bester Schätzwert) Erweiterte Unsicherheit (Streuung) Arithmetischer Mittelwert Bekannte systematische Abweichung Erweiterungsfaktor Kombinierte Standardunsicherheit Typ C Standardunsicherheit Typ A (statistische Analyse) Standardunsicherheit Typ B (Messgeräte, -aufbau, -verfahren) Vertrauensfaktor Varianzen Empfindlichkeitsabweichung Nullpunktsabweichung Angaben des Herstellers oder Kalibirierzertifikate Bereich mit Vertrauensniveau keine weiteren Angaben digitale Anzeigen Messunsicherheitsanteile Angabe Erweiterungsfaktor Unsicherheit aus Tabelle Garantiefehler Nullpunktsabweichung Schwankung der Anzeige Auflösung der Anzeige Umgebungseinflüsse Vorgehen nach GUM Faktor 10 Regel Messunsicherheit des Messgerät höchstens geforderten Messunsicherheit der Fortpflanzungsgesetz Idee Das Messergebnis F soll eine Funktion von N Teilmesswerten sein Gesetze Multiplikation und Division Addition und Subtraktion Messwesen Kalibrieren: Vergleichen von Sekundärnormale mit anderen Messgeräten oder Referenzmaterialien. Eichen: Bestätigen, dass ein Messmittel den gesetzlichen Anforderungen entspricht. Kontrolle vor Auslieferung Kontrolle vom Kunden Kennzahlen der Prozessfähigkeit Messunsicherheit reduziert Toleranz Marcel Meschenmoser Dozent: Rainer Pickhardt, Vincenzo Parisi Seite 2 von 5
3 Fourier-Reihen Jede periodische Funktion lässt sich als unendliche Summe von trigonometrischen Funktionen schreiben! Fourier-Polynom 1. Funktion Darstellung des Zeitverlaufs Gibbsscher Überschwinger / Gibbs-Effekt 2. Gleichanteil Mittelwert der Funktion: 3. Fourier-Spektrum Gerade Funktionen: (Gesamtheit der Fourier-Koeffizienten) Ungerade Funktionen: Darstellung des Spektrums 4. Grundschwingung 5. Oberschwingungen 6. Fourier-Polynom Fourier-Reihe mit endlichen Summanden Fourier-Reihen Reelle Darstellung Komplexe Darstellung Gleichanteil Amplitude und Phase Amplitude Phase Filter Tiefpassfilter Hochpassfilter Idealer Tiefpass Lässt tiefe Frequenzen (fast) unverändert, dämpft hohe Fourier-Koeffizienten Lässt hohe Frequenzen (fast) unverändert, dämpft tiefe Fourier-Koeffizienten (lässt Frequenzen bis unverändert durch) Fourier-Koeffizienten Idealer Filter idealer Hochpassfilter idealer Tiefpassfilter Bandpassfilter Dämpft bis auf ein Frequenzband tiefe und hohe Frequenzanteile Marcel Meschenmoser Dozent: Rainer Pickhardt, Vincenzo Parisi Seite 3 von 5
4 Fourier Transformation Kontinuierliche Fourier-Transformation Verallgemeinerung der Fourier-Reihe für nicht periodische Signale! Konstante Dirac-Stoss Dirac-Stoss Konstante Funktion im Zeitbereich Funktion im Frequenzbereich Rechteck-Fenster Idealer Tiefpass Fourier-Transformation ist linear Dirac-Stoss: Spektrallinie im Fourierspektrum = komplexe Exponentialfunktion mit der entsprechenden Frequenz Die Fourier-Transformierte der sin, cos Funktion besteht jeweils aus zwei Spektrallinien bei und Diskrete Fourier-Transformation Berechnung der Fourier-Koeffizienten aus Funktionswerten von nicht periodischen, bandlimitierten Signalen! Funktionswerte im Zeitbereich Funktionswerte im Frequenzbereich Theorem von Shannon Fourier-Koeffizienten Funktion muss bandlimitiert sein (endliche Fourier-Koeff.) ist eindeutig bestimmt durch Fourier-Koeffizienten Verlustfrei = Signale bis zu zu detektieren: Für reelle Funktionen Indizes Anzahl Samples (Punkte) Grenzfrequenz Nyquist-Frequenz Sampling-Frequenz Abtastintervall Abtastfrequenz Stützstellen Aliasing Problem Folge Lösung wenn = wenn Theorem von Shannon nicht eingehalten wird Amplitudenspektrum wird an der Nyquist-Frequenz gespiegelt nicht das richtige Spektrum Mit einem analogen Tiefpassfilter das Signal filtern, um Aliasing zu vermeiden Nach dem Samplen kann das Spektrum nicht mehr repariert werden Leackage (lecken) keine ganze Anzahl an Perioden -> Abrupte Übergänge neue Spektrallinien Fensterfunktionen Amplitude leidet,verschmiert Verschmieren mehrere Peaks da Keule breiter als die Funktion falsche Amplitude grössere Messdauer oder grösseres Fenster (Effekt zu klein) Zero-Padding Marcel Meschenmoser Dozent: Rainer Pickhardt, Vincenzo Parisi Seite 4 von 5
5 Samplen von mehreren Perioden 1 Periode 3 Perioden Frequenzauflösung wird vergrössert. falsche Periode (nicht genau eine Periode) Entstehung einer künstlichen Sprungstelle Spektrum wird verschmiert Marcel Meschenmoser Dozent: Rainer Pickhardt, Vincenzo Parisi Seite 5 von 5
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Prüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft Polito Seminar Carl Schweinitz 10.12.2014 Übersicht 1. Einheiten und Variablen 2. Skalen und ihre Transformation 3. Deskriptive Statistik 4.
Inhaltsverzeichnis. Vorwort
V Vorwort XI 1 Zum Gebrauch dieses Buches 1 1.1 Einführung 1 1.2 Der Text in den Kapiteln 1 1.3 Was Sie bei auftretenden Problemen tun sollten 2 1.4 Wichtig zu wissen 3 1.5 Zahlenbeispiele im Text 3 1.6
Die Anwendung der. Wahrscheinlichkeitstheorie. nach Bayes und Laplace in der Fertigungsmesstechnik. Michael Krystek
Die Anwendung der nach Bayes und Laplace in der Fertigungsmesstechnik Michael Krystek Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig Kolloquium der Abt. Fertigungsmesstechnik, Braunschweig, 4.2.2008