Schulinterner Lehrplan (SILP) des Johannes-Althusius-Gymnasiums Bad Berleburg. zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

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1 Schulinterner Lehrplan (SILP) des Johannes-Althusius-Gymnasiums Bad Berleburg zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe Mathematik Gültigkeit: - für die Einführungsphase - für die Qualifikationsphase 1 - ab dem Schuljahr 2016/2017 in der Qualifikationsphase 2 Erstes Abitur auf der Grundlage des neuen Kernlehrplans: 2017 Der SILP wir in dieser Zeit laufend ergänzt und vervollständigt. Version 2 (Dezember 2017) Grundlegende Informationen finden Sie hier: - zur Standardsetzung: - zur Standardüberprüfung, also zu den Abiturvorgaben: 1

2 Inhalt Seite 1 Ziele unsres schulinternen Lehrplans 3 2 Mathematikunterricht am Johannes-Althusius- Gymnasium 7 3 Entscheidungen im Unterricht Kompetenzerwartungen im Mathematikunterricht Unterrichtsraster: empfohlene Unterrichtsvorhaben Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung Eingeführte Medien für die Schülerinnen und Schüler 79 4 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen 80 5 Qualitätssicherung und Evaluation 81 2

3 1 Ziele unseres schulinternen Lehrplans Die Fachkonferenz Mathematik am Johannes-Althusius-Gymnasium hat die Aufgabe, die kompetenzorientierten Vorgaben und Ziele des neuen Kernlehrplans zu konkretisieren. Im Vorwort des Lehrplans schreibt die zuständige Ministerin dazu: "In Nordrhein-Westfalen ist sukzessive ein umfassendes System der Standardsetzung und Standardüberprüfung aufgebaut worden. Als Standard werden das Qualitätstableau und kompetenzorientierte Kernlehrpläne gesetzt. Der Grundgedanke dieser Standardsetzung ist es, in kompetenzorientierten Kernplänen die fachlichen Anforderungen als Ergebnisse klar zu definieren. Die curricularen Vorgaben konzentrieren sich dabei auf die "fachlichen" Kerne. Die didaktisch-methodische Gestaltung der Lernprozesse, also die Umsetzung des Kernlehrplans, muss von der Fachkonferenz gestaltet werden und liegt in der pädagogischen Verantwortung der Lehrerinnen und Lehrer. Schulinterne Lehrpläne konkretisieren die Kernlehrplanvorgaben und berücksichtigen dabei die konkreten Lernbedingungen in der jeweiligen Schule. Sie sind eine wichtige Voraussetzung dafür, dass die Schülerinnen und Schüler die angestrebten Kompetenzen erreichen und sich ihnen verbesserte Lebenschancen eröffnen." Kernlehrpläne als kompetenzorientierte Unterrichtsvorgaben, was heißt das? "In diesen Plänen stehen die erwarteten Lernergebnisse im Mittelpunkt. Sie beschreiben die erwarteten Lernergebnisse in Form von prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen, die im Unterricht verknüpft werden müssen. 3

4 Für die prozessbezogenen Kompetenzen sind folgende Kompetenzen als Beispiel angegeben: Lösen (lös) lös01: entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege. lös02: nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z.b. Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärtsund Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern). lös03: setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein. lös04: wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen. lös05: wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus. lös06: berücksichtigen einschränkende Bedingungen. lös07: führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus. Für die inhaltsbezogenen Kompetenzen sind folgende Kompetenzen für den Leistungskurs als Beispiele angegeben: LGK01: stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar. LGK02: beschreiben den Gauß- Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. LGK03: wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind. 4

5 Die Lehrkräfte müssen in Abstimmung mit der Mathematikfachkonferenz den Unterricht so fachdidaktisch-methodisch gestalten, dass die Schülerinnen und Schüler die vom Kernlehrplan gesteckten Ziele erreichen. Was ist noch zu beachten? Die seit 1999 geltenden Richtlinien für die Oberstufe gelten weiterhin: "Erziehung und Unterricht in der gymnasialen Oberstufe sollen zu einer wissenschaftspropädeutischen Ausbildung führen und Hilfen geben zur persönlichen Entfaltung in sozialer Verantwortlichkeit." "Wissenschaftspropädeutisches Lernen ist ein besonders akzentuiertes wissenschaftsorientiertes Lernen, das durch Systematisierung, Methodenbewusstsein, Problematisierung und Distanz gekennzeichnet ist und das die kognitiven und affektiven Verhaltensweisen umfasst, die Merkmale wissenschaftlichen Arbeitens sind. Wissenschaftspropädeutisches Lernen setzt Wissen voraus." Folgende Elemente gehören zu diesem Lernen: Grundlagenwissen, Selbstständiges Lernen und Arbeiten, Reflexions- und Urteilsfähigkeit, grundlegende Einstellungen und Verhaltensweisen für wissenschaftliches Arbeiten "Persönliche Entfaltung und soziale Verantwortlichkeit bestimmen den Erziehungsauftrag der Oberstufe. Erziehung findet in erster Linie im Unterricht statt; das Schulleben insgesamt muss aber ebenso Ansatzpunkte bieten, um den Erziehungsprozess zu fördern und die Schülerinnen und Schüler in die Entscheidungsprozesse der Schule einzubeziehen." Dazu gehört: " sollen ihre individuellen Fähigkeiten entfalten und nutzen." " sollen sich mit Werten, Wertesystemen und Orientierungsmustern auseinandersetzen können, um trag- 5

6 fähige Antworten auf die Fragen nach dem Sinn des eigenen Lebens zu finden." " sollen ihre sozialen Kompetenzen entwickeln und in der aktiven Mitwirkung am Leben in einem demokratisch verfassten Gemeinwesen unterstützt werden." " sollen auf ein Leben in einem zusammenwachsenden Europa und in einer international verflochtenen Welt vorbereitet werden." " sollen bei ihrer Studien- und Berufswahl unterstützt werden." Dafür entwickeln wir unseren Unterricht weiter, darum dieser schulinterne Lehrplan. Alle Mathematiklehrerinnen und -lehrer freuen sich über Ihre Rückmeldung, insbesondere über konstruktive Verbesserungsvorschläge. Für die Fachkonferenz: Thorsten Mankel, 6

7 2 Mathematikunterricht am Johannes-Althusius-Gymnasium Das Johannes-Althusius-Gymnasium Bad Berleburg ist das einzige Gymnasium im Gebiet "der Stadt der Dörfer", das Umfeld ist weit ab von größeren Städten und Fernverkehrsanbindungen durch seinen ländlichen Charakter mit regen kulturellen Leben und vielen kleineren und mittelständischen leistungsstarken Betrieben geprägt. Das Gymnasium ist in der Sekundarstufe I entweder zwei- oder dreizügig. In der Einführungsphase werden die Sekundarstufenjahrgänge des Gymnasiums regelmäßig in erheblichem Ausmaße durch Realschülerinnen und -schüler verstärkt, die nach dem qualifizierten Abschluss der Sekundarstufe I das Abitur anstreben. Die Schülerschaft stammt fast ausschließlich aus dem Stadtgebiet und einigen Ortsteilen der Gemeinde Erndtebrück. Mathematik wird ab der 5. Jahrgangsstufe durchgehend unterrichtet. Überdurchschnittlich viele Schülerinnen und Schüler wählen einen Leistungskurs in Mathematik. Der Unterricht findet zum größten Teil in Doppelstunden statt. Die bisherigen schriftlichen Abiturarbeiten in Nordrhein-Westfalen sind so konzipiert, dass alle Aufgaben mit der Hilfe eines grafikfähigen Taschenrechners und der Formelsammlung gelöst werden können. Ab dem Abitur 2017 gibt es jetzt im 1. und 2. Prüfungsfach als ersten Prüfungsteil ohne GTR und Formelsammlung zu lösende Aufgaben. In diesem Prüfungsteil kommen alle drei Inhaltsfelder Funktionen und Analysis, analytische Geometrie und Stochastik vor. Im 2. Teil der schriftlichen Prüfung sind für die Lehrkraft des Leistungskurses die Wahlfreiheiten gegenüber dem aktuellen Abiturmodus stark eingeschränkt. Im Bereich der analytischen Geometrie und der linearen Algebra gibt es keine Wahlmöglichkeit, in den anderen beiden Inhaltsfeldern muss jeweils eine von zwei Aufgaben gewählt werden. Dazu kommt, dass jetzt der Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern verbindlich wird. Die Fachkonferenz Mathematik muss diesen Änderungen Rechnungen tragen. Folgende Punkte sind wichtig für die Realisierung erfolgreichen Unterrichts: - Die Lehrkraft schafft eine möglichst angenehme Atmosphäre im Unterricht, in dem sie mit den Schülerinnen und Schülern achtsam und 7

8 wertschätzend umgeht, sie immer wieder ermutigt und individuell fördert, insbesondere unsere Seiteneinsteiger. - Die Lehrkraft fördert durch seinen Unterricht das wissenschaftspropädeutische Arbeiten, die persönliche Entfaltung und soziale Verantwortung der Schülerinnen und Schüler. - Die Lehrkraft gestaltet seinen Unterricht so, dass die Schülerinnen und Schüler möglichst aktiv am Unterricht teilnehmen. - Die Lehrkraft nutzt dazu die verschiedenen Sozial- und Kooperationsformen sinnvoll. - Die Lehrkraft bildet sich regelmäßig fort und sucht den Austausch mit Fachkollegen. - Die Lehrkraft bewertet den Lernerfolg mit transparenten Kriterien. - Die Lehrkraft berücksichtigt, dass der nachhaltige Erwerb von Kompetenzen viele Einübungssituationen, Geduld und Ermutigungen erfordert. - Die Lehrkraft hat die aktuellen Abiturvorgaben und aktuelle den Mathematikunterricht betreffende Änderungen im Blick. - Die Lehrkraft weist die Schülerinnen und Schüler auf interessante Veranstaltungen oder Informationsquellen hin. - Die Lehrkraft nutzt die Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler, die sie im Mathematikunterricht erworben haben und verwendet deren Kenntnisse und Fertigkeiten im Mathematikunterricht. - Die Lehrkraft arbeitet sich in den Umgang mit dem eingeführten GTR und anderer digitaler Hilfsmittel ein und verwendet diese im Unterricht umfassend, indem sie evtl. die Erfahrung der anderen Kolleginnen und Kollegen nutzt. - Da der Kernlehrplan outputorientiert ist, informieren sich alle Mathematiklehrer über die gestellten Abituraufgaben und die Aufgaben der zentralen Prüfung am Ende der Einführungsphase und die aktuellen 8

9 Vorgaben für das Abitur und die zentrale Prüfung am Ende der Einführungsphase. - Die Lehrkraft verwendet die eingeführte Formelsammlung im Unterricht häufig, da sie u.a. ein wichtiges Hilfsmittel im Abitur ist. - Der Lehrkraft regt Neu- und Ersatzbeschaffungen, um die Unterrichtsqualität zu verbessern, aber auch um interessante Facharbeitsthemen zu ermöglichen und interessierten Schülerinnen und Schülern aktuelle und weiterführende Literatur zu bieten. - Die Fachkonferenz erstellt Formblätter (und bewirkt eine Datensammlung) -> für einen Überblick der im Unterricht erworbenen Kompetenzen -> für die Dokumentation des Unterrichts (untergeordnete Kontexte, Leitfragen, Inhaltsfelder, Kompetenzen, Verwendung der Schulbücher, und anderer Quellen, Verwendung des GTRs und ähnlicher Medien, Reflexions- und Evaluationselemente etc.) - Die Fachkonferenz veranlasst einen Jahreskalender, um die Qualität des Unterrichts zu analysieren und verbessern (Termine für den Austausch am Ende und Anfang des Schuljahres mit Aktualisierung der Dokumentation) die Sammlung zu ergänzen und in Ordnung zu halten die Planung und Durchführungen der Fachkonferenzen, Dienstbesprechungen Fortbildungen, Wettbewerben, Workshops, Abiturintensivtraining in der Projektphase zu erleichtern die schulinternen Lehrpläne zu ergänzen und evaluieren. 9

10 3 Entscheidungen zum Unterricht, insbesondere Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe - Der Mathematikunterricht muss die im Kernlehrplan aufgeführten prozessbezogenen Kompetenzen mit den fachinhaltsbezogenen Kompetenzen so zusammenführen, so dass alle im Kernlehrplan beschriebenen Kompetenzen erreicht werden können. - Die intensive Diskussion der Lehrkräfte hat ergeben, dass sehr unterschiedliche Möglichkeiten bestehen, um die vorgeschriebenen Kompetenzen zu vermitteln. Dabei spielt die Inhomogenität der Lerngruppen untereinander, die sehr unterschiedlichen Stundentafeln der verschiedenen Kurse, aber auch die unterschiedlichen Lehrkraftpersönlichkeiten mit ihren reichhaltigen Erfahrungen eine große Rolle. Die Fachkonferenz konzentriert deswegen auf die Kompetenzerwartungen, die in einem ersten Schritt analysiert und zur besseren Behandlung katalogisiert und schafft damit einen großen Gestaltungsfreiraum für die Lehrkräfte, die die betreffenden Kurse unterrichten. 3.1 Kompetenzerwartungen im Mathematikunterricht Der Lehrer setzt diese Vorgaben in seinem Unterricht so um, dass die die Schülerinnen und Schüler alle folgende Kompetenzen erwerben können: Mathematische Kompetenzerwartungen in den prozessbezogenen Kompetenzbereichen in der Sekundarstufe II MODELLIEREN Strukturieren (str) str01: erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung. str02: treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor. Mathematisieren (mat) 10

11 mat01: übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle. mat02: erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells. Validieren (val) val01: beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation, val02: beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung. val03: verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung, val04: reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen. PROBLEMLÖSEN ERKUNDEN (erk) erk01: recherchieren Informationen. erk02: erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme. erk03: finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation. erk04: analysieren und strukturieren die Problemsituation. erk05: wählen heuristische Hilfsmittel (z.b. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen. erk06: erkennen Muster und Beziehungen. 11

12 Lösen (lös) lös01: entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege, lös02: nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z.b. Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärtsund Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern). lös03: setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein. lös04: wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen. lös05: wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus. lös06: berücksichtigen einschränkende Bedingungen. lös07: führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus. Reflektieren (ref) ref01: überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen. ref02: interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung. ref03: vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten. ref04: beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz. 12

13 ref05: beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz. ref06: analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern. ref07: variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung. ARGUMENTIEREN Vermutungen (ver) ver01: stellen Vermutungen auf. ver02: unterstützen Vermutungen beispielgebunden. ver03: präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur. Begründen (beg) beg01: stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober-/Unterbegriff). beg02: nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen. beg03: verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten. beg04: nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (direktes Schlussfolgern, Gegenbeispiele, indirekter Beweis). beg05: berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige/hinreichende Bedingung, Folgerungen/Äquivalenz, Und-/Oder-Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen). beg06: erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise. 13

14 Beurteilen (beu) beg01: erkennen lückenhafte Argumentationsketten und vervollständigen sie. beg02: erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie. beg03: überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können. beg04: beurteilen Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit. Kommunizieren Rezipieren (rez) rez01: erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen. rez02: beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren. rez03: erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen. rez04: formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege. Produzieren (pro) pro01: formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege. pro02: verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang. pro03: wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus. 14

15 pro04: wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen. pro05: dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar. pro06: erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie. Diskutieren (dis) dis01: greifen Beiträge auf und entwickeln sie weiter. dis02: nehmen zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung. dis03: vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität. dis04: führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbei. Werkzeuge nutzen Werkzeuge nutzen (wer) wer01: nutzen Formelsammlungen, Geodreiecke, Zirkel, geometrische Modelle, grafikfähige Taschenrechner, Tabellenkalkulationen, Funktionenplotter, Dynamische Geometrie-Software und gegebenenfalls Computer-Algebra-Systeme. wer2_: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum. wer2a: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen. 15

16 wer2b: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen. wer2c: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle. wer2d: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum grafischen Messen von Steigungen. wer2e: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle, wer2f: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse. wer2g: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals. wer2h: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen. wer2i: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden. wer2j: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Objekten im Raum. wer2k: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen. wer2m: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung), wer2n: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. wer2o: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 16

17 wer2p: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung). wer2q: verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten und (auf erhöhtem Anforderungsniveau) normalverteilten Zufallsgrößen. wer03: nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen. wer04: entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus. wer05: reflektieren und begründen die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge Mathematische Inhaltsfelder und Kompetenzerwartungen in den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen in der Sekundarstufe II Für den Grundkurs in der Einführungsphase: -> Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Einführungsphase, Funktionen und Analysis, inhaltliche Schwerpunkte (EAiS) EAiS1: Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen EAiS2: Grundverständnis des Ableitungsbegriffs EAiS3: Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 17

18 Einführungsphase, Funktionen und Analysis, Kompetenzerwartungen (EAK) EAK01: beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie von quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen. EAK02: beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen. EAK03: wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter. EAK04: berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext. EAK05: erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate. EAK06: deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten. EAK07: deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/Tangentensteigung. EAK08: beschreiben und interpretieren Änderungsratenfunktional (Ableitungsfunktion). EAK09: leiten Funktionen graphisch ab. EAK11: begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen. EAK12: begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen. EAK13: nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten. 18

19 EAK14: nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion. EAK15: wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an. EAK16: lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel. EAK17: verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten. EAK18: unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich. EAK19: verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen. -> Analytische Geometrie und lineare Geometrie (A) Einführungsphase, analytische Geometrie und lineare Algebra, inhaltliche Schwerpunkte (EGiS) EGiS1: Koordinatisierungen des Raumes EGiS2: Vektoren und Vektoroperationen Einführungsphase, analytische Geometrie und lineare Algebra, Kompetenzerwartungen (EGK) EGK01: wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum. EGK01: stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar. 19

20 EGK02: deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren. EGK03: stellen gerichtete Größen (z.b. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar. EGK04: berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mithilfe des Satzes des Pythagoras. EGK05: addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität. EGK06: weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach. -> Analytische Geometrie und lineare Geometrie (A) Einführungsphase, Stochastik, inhaltliche Schwerpunkte (ESiS) ESiS1: Mehrstufige Zufallsexperimente ESiS2: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Einführungsphase, Stochastik, Kompetenzerwartungen (ESK) ESK01: deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente. ESK02: simulieren Zufallsexperimente. ESK03: verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen. ESK04: stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch. ESK05: beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln. ESK06: modellieren Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfeldertafeln. 20

21 ESK07: bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten. ESK08: prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit. ESK09: bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten Für den Grundkurs in der Qualifizierungsphase: -> Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundkurs, Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundkurs, Funktionen und Analysis, inhaltliche Schwerpunkte (GAiS) GAiS1: Funktionen als mathematische Modelle GAiS2: Fortführung der Differentialrechnung GAiS3: Grundverständnis des Integralbegriffs GAiS4: Integralrechnung KOMPETENZERWARTUNGEN GAK01: führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese. GAK02: verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten. 21

22 GAK03: beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung. GAK04: interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang. GAK05: bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben ( Steckbriefaufgaben ). GAK06: bilden die Ableitungen weiterer Funktionen: a) Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten, b) natürliche Exponentialfunktion GAK07: bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung). GAK08: wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an. GAK09: wenden die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen an. GAK10: beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion. GAK11: untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mithilfe funktionaler Ansätze. GAK12: interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe. GAK13: deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext. GAK14: skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion. 22

23 GAK15: erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs. GAK16: erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). GAK17: bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen. GAK18: nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen. GAK19: bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge. GAK20: ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate. GAK21: ermitteln Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen. -> Inhaltsfeld Analytische Geometrie und Lineare Algebra(G) Grundkurs, analytische Geometrische und lineare Algebra, inhaltliche Schwerpunkte (GGiS) GGiS1: Lineare Gleichungssysteme GGiS2: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte GGiS3: Lagebeziehungen GGiS4: Skalarprodukt KOMPETENZERWARTUNGEN GGK01: stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar. 23

24 GGK02: beschreibenden Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. GGK03: wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind. GGK04: interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen. GGK05: stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar. GGK06: interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext. GGK07: stellen Ebenen in Parameterform dar. GGK08: untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden und zwischen Geraden und Ebenen. GGK09: berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext. GGK10: deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es. GGK11: untersuchen mithilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung). Inhaltsfeld Stochastik(S) Grundkurs, Stochastik, inhaltliche Schwerpunkte (SiS) GSiS1: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen GSiS2: Binomialverteilung GSiS3: Stochastische Prozesse 24

25 KOMPETENZERWARTUNGEN GSK01: stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar. GSK02: untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben, erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen. GSK03: bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen. GSK04: verwendenbernoullikettenzurbeschreibungentsprechenderzufallsexperimente. GSK05: erklären die Binomialverteilung und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten. GSK06: beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung. GSK07: nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen. GSK08: schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregelaus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit. GSK09: beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen. GSK10: verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände) Für den Leistungskurs in der Qualifizierungsphase: -> Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) 25

26 Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Leistungskurs, Funktionen und Analysis, inhaltliche Schwerpunkte (LAiS) LAiS1: Funktionen als mathematische Modelle LAiS2: Fortführung der Differentialrechnung LAiS3: Grundverständnis des Integralbegriffs LAiS4: Integralrechnung Leistungskurs, Funktionen und Analysis, Kompetenzerwartungen (LAK) LAK01: führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese. LAK02: verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten. LAK03: beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung. LAK04: interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen. LAK05: bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben ( Steckbriefaufgaben ). LAK06: bilden die Ableitungen weiterer Funktionen: a) Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten b) natürliche Exponentialfunktion c) Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis d) natürliche Logarithmusfunktion. 26

27 LAK07: deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen. LAK08: führen Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurück. LAK09: wenden die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an. LAK10: beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begründen die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion. LAK11: nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. LAK12: verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums-und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum. LAK13: interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe. LAK14: deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext. LAK15: skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion. LAK16: erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der ProduktsummezumIntegralaufderGrundlageeinespropädeutischenGrenzwertbegriffs. LAK17: erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion. LAK18: bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen. 27

28 LAK19: nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion x 1/x. LAK20: nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen. LAK21: begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs. LAK22: bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von gegebenen oder Nachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen. LAK23: ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion. LAK24: bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen. -> Inhaltsfeld Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Leistungskurs, analytische Geometrie und lineare Algebra, inhaltliche Schwerpunkte (LGiS) LGiS1: Lineare Gleichungssysteme LGiS2: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte LGiS3: Lagebeziehungen und Abstände LGiS4: Skalarprodukt Leistungskurs, analytische Geometrie und lineare Algebra, Kompetenzerwartungen (LGK) LGK01: stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar. 28

29 LGK02: beschreiben den Gauß- Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. LGK03: wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind. LGK04: interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen. LGK05: stellen Geraden in Parameterform dar. LGK06: interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext. LGK07: stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar. LGK08: stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar. LGK09: untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und zwischen Geraden und Ebenen. LGK10: berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext, LGK11: deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es, LGK12: untersuchen mithilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung). LGK13: stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum. LGK14: bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen. 29

30 -> Inhaltsfeld Stochastik (S) Leistungskurs, Stochastik, inhaltliche Schwerpunkte (LSiS) LSiS1: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen LSiS2: Binomialverteilung und Normalverteilung LSiS3: Testen von Hypothesen LSiS4: Stochastische Prozesse Leistungskurs, Stochastik, Kompetenzerwartungen (LSK) LSK01: untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben. LSK02: erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen. LSK03: bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen. LSK04: verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente. LSK05: erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten. LSK06: erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten. LSK07: beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung. 30

31 LSK08: nutzen die σ-regeln für prognostische Aussagen. LSK09: nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen. LSK10: interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse. LSK11: beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art. LSK12: unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen und deuten die Verteilungsfunktion als Integralfunktion. LSK13: untersuchen stochastische Situationen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen. LSK14: beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen. LSK15: beschreiben den Einfluss der Parameter μ und σ auf die Normalverteilung und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gauß sche Glockenkurve). LSK16: verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände). 31

32 3.2 Übersichtsraster: empfohlene Unterrichtsvorhaben Wie in der Einleitung schon beschrieben hat die Diskussion in der Fachschaft ergeben, dass es nicht sinnvoll ist, für jede Lerngruppe und jede Fachlehrkraft stundengenau den Unterrichtsverlauf genau festzulegen. Das ist vollkommen realitätsfern. Wir als Fachschaft entscheiden uns für die einzuführenden Schulbücher und den von uns bevorzugten GTR. Weiterhin beraten wir uns gegenseitig und evaluieren mit der Hilfe der zentralen Prüfungen in Mathematik den durchgeführten Unterricht und erhöhen dadurch die Unterrichtsqualität. Letztlich ist jede Lehrkraft für seinen Unterricht verantwortlich. Wir empfehlen folgende im Musterschulplan ähnlich vorkommende Module für die Planung des durchzuführenden Unterrichts. -> für die Einführungsphase: Funktionen und Analysis (A) Modul EA1 -Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext - Inhaltsbezogene Kompetenzen: beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung(Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) 32

33 Werkzeuge nutzen nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen Modul EA2 -Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate - Inhaltsbezogene Kompetenzen: berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion) leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen - Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Argumentieren (Vermuten) stellen Vermutungen auf unterstützen Vermutungen beispielgebunden präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur - Werkzeuge nutzen 33

34 verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle grafischen Messen von Steigungen nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen Modul EA3 -Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen - Inhaltsbezogene Kompetenzen: erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion) leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Argumentieren 34

35 präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen Modul EA4 -Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen - Inhaltsbezogene Kompetenzen: leiten Funktionen graphisch ab nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) 35

36 nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen [ ]) (Begründen) erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen) Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Modul EG1 -Thema: Unterwegs in 3D Koordinatisierungen des Raumes - Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) 36

37 setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Modul EG2 -Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum - Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Stochastik (S) Modul ES1 -Thema: Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen - Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente 37

38 simulieren Zufallsexperimente verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) Modul ES2 -Thema: Testergebnisse richtig interpretieren Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten - Inhaltsbezogene Kompetenzen: modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier-oder Mehrfeldertafeln bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. 38

39 Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Kommunizieren erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten [ ] (Rezipieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren) -> für den Grundkurs der Qualifizierungsphase Funktionen und Analysis (A) Modul GA1 -Thema: Optimierungsprobleme - Inhaltsbezogene Kompetenzen: führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien [ ] zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten 39

40 Prozessbezogene Kompetenzen: Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor. (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren) Problemlösen finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle ) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Verallgemeinern ) (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren) Modul GA2 -Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen - Inhaltsbezogene Kompetenzen: bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben ( Steckbriefaufgaben ) beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten 40

41 beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind Prozessbezogene Kompetenzen: Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Validieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden [ ], Berechnen und Darstellen Modul GA3 -Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand - Inhaltsbezogene Kompetenzen: interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion 41