6.2.6 Ohmsches Gesetz ******

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1 6..6 ****** Motivation Das Ohmsche Gesetz wird mithilfe von verschiedenen Anordnungen von leitenden Drähten untersucht. Experiment Abbildung : Versuchsaufbau. Die Ziffern bezeichnen die zehn Messpunkte. Der experimentelle Aufbau ist in Abb. wiedergegeben. Eine elektrischer Schaltkreis wird mithilfe von Konstantandrähten hergestellt, und zwar (im Bild oben) ein einzelner Draht für die Hinleitung und zwei parallele Drähte (im Bild unten) für die Rückleitung des Stroms. Man stellt den Strom I 0 derart ein, dass die Spannung zwischen den Messpunkten und 0 U 0 =, V beträgt. Man untersucht nun das Ohmsche Gesetz U = R I () Die Grösse R wird als (elektrischer) Widerstand bezeichnet (Einheit: Ohm = Ω = V/A). Der Widerstand eine Drahtes (Länge l, Querschnitt A und spezifischer elektrischer Widerstand ρ) beträgt R = lρ A ()

2 I + U U U U U Abbildung : Ersatzschaltbild Konstantan hat den spezifischen elektrischen Widerstand ρ = 0 7 Ω m. Man greift nun die Spannung zwischen verschiedenen Messpunkten der Schaltung ab. Abb. zeigt das Ersatzschaltbild, wobei der Widerstand eines Drahtstückes zwischen zwei Messpunkten ist. Mit den folgenden Messungen verifiziert man die Gleichungen und : a) Eine Verdopplung der Länge ergibt den doppelten Spannungsabfall, demnach ist R l () b) Eine Verdopplung des Querschnitts ergibt den halben Spannungsabfall, demnach ist R () A c) Eine Halbierung des Stroms ergibt den halben Spannungsabfall, und es gilt U I ()

3 E v l Abbildung : In einem Leiter wandern die Elektronen entgegengesetzt zur Richtung des elektrischen Feldes. Theorie. Stromleitung, Wir betrachten einen Leiter der Länge l und des (konstanten) Querschnitts A, an welchen wir eine Spannung U anlegen. Das elektrische Feld E führt zu einer Kraft auf die Ladungen q mit der Masse m. Falls wir zusätzlich eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft annehmen, erhalten wir folgende Differentialgleichung für die Bewegung der Ladungen : m r = q E 6π η a v (6) Dabei bedeuten η die Viskosität des Mediums und a den Radius der bewegten Ladung. Man beachte, dass sich negative Ladungen (Elektronen) entgegengesetzt zur Feldrichtung bewegen (siehe Abb. ), so dass sich bei beiden Termen auf der rechten Seite der Gl. (6) das Vorzeichen umkehrt. Da die elektrische Kraft konstant ist, die Reibungskraft aber mit der Geschwindigkeit zunimmt, stellt sich nach einer Anlaufphase eine konstante Geschwindigkeit v der Ladungsträger ein: v = q 6π η a E. (7) Mit der Teilchenladungsdichte q d n/dv erhalten wir schliesslich die Stromdichte: j = d n dv q 6π η a E = σ E (8) σ wird als Leitfähigkeit, der Kehrwert ρ = /σ als spezifischer Widerstand bezeichnet. Für den gesamten Leiter ergibt sich: I = A j U = l E = l j σ = l ρ A I (9)

4 bzw. das Ohmsche Gesetz: U = R I (0) Die Grösse R wird als (elektrischer) Widerstand bezeichnet (Einheit: Ohm = Ω = V/A). R = lρ A () In Tabelle sind einige typische Werte für die Leitfähigkeit angegeben. Zu beachten ist aber, dass sich σ (oder ρ) i.a. stark mit der Temperatur ändert. Tabelle : Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Materialien Material ρ/(ω m) Bemerkungen Ag Cu Al Pb Konstantan Metalle, typische Elektronenleiter AgNO (n) Ionenleiter, Elektrolyt; je nach Konzentration Ge Si 0 Halbleiter, Dotierung und 0 Temperatur wichtig! Porzellan Glas Quarz Isolatoren, praktisch keine freien Ladungsträger Luft Je nach Ionisationsgrad. Die Kirchhoffschen Gesetze Häufig müssen in einem komplizierteren Netzwerk die Ströme, Spannungen, Leistungen berechnet werden. Dazu werden die Kirchhoffschen Gesetze verwendet: A) Die Summe aller Ströme eines Stromknotens ist 0: I i = 0 () i= Hierbei werden zufliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gerechnet (Ladungserhaltung).

5 B) In einem geschlossenen Kreis ist die Summe der an den einzelnen Elementen liegenden Spannungen gleich gross wie die Summe der Batteriespannungen. Bei komplizierteren Problemen liefert das folgende Verfahren ein Minimum an Gleichungen (und damit an Rechenarbeit!): a) Man führe als Unbekannte die Spannungen U i bezüglich eines Fixpunktes ( = Spannungen gegen Erde) in den Knoten ein. b) Man schreibe die Stromerhaltung für die Netzwerkknoten auf, wobei die Ströme durch die unbekannten Spannungen und die Widerstandswerte auszudrücken sind. c) Die Lösung dieses (linearen!) Gleichungssystems liefert die Unbekannten U i. Aus diesen können alle andern Grössen leicht berechnet werden. Für n Widerstände R i, i =,..., n) in Serie gilt für den resultierenden Gesamtwiderstand R: R = R i () i= Bei Parallelschaltung dieser Widerstände gilt dagegen: R = i= R i ()